장음표시 사용
271쪽
addita fiet aequalis 34. N tandem a o. aequantur Is inunde Et I N. q. sunt ergo quaesui numeri 2.3. 4. Itaque vides addita unitate ad datos numems II. & I9. fieri Ia. & ΣΟ. ex quorum mutuo ductu ploducitur a o. qui ad reliquum unitate auctum, nempe ad Is. habet rationem quadrati ad quadratum. Hine facile est Canonein formare. . . .
Datis numeris addevmtatemHιllatim, productum ex bim rum mutua multUticataone invide per reliquum, quot sentis latus , erit unus quesitorum νnitate austas.
Quod autem ait Xilander duobus mimis ut collibuisset per praecedentem quaestionem positis, puta ἰ&τ liemue tertium inuenire& satisfacere quaestioni, falluni est ut ex hac ipsa hypothesi potes colligere. Nam duobus primis ita positis, impossibila est tertium inueniri qui reliquas postulati mites impleat.
INVEHi κε duos numeros indefinite, ut productus eorum multiplicatione multatus summa ipsorum , faciat datum numerum. Hic esto 8. Ponatur primus IN. secundus 3. & productus eorum multiplicatione , utroque dempto facit a N.
- 3. aequales 8. & fit 1 N. s. Ad positi nes. Erit primus 3ς- secundus 3. Rursum igitur dispicio unde factum sit quod i Ν
est 3 F. nimirum ex diuisione II. per a sed H. est compositus ex dato & secundo, Sta N. est numerus vultate minor secundo. Itaque si statuero secundum quantumcunque, eumque dato adiecero , di summam diuisero per unitate minorem secundo, inueniam primum. Esto secundus 1 N. . huic addato 6. si Ν - s. quem diuido per unitate minorem se
cundo , hoc est per i N. & fit I -- S. Ita que soluta est quaestio indefinite , nam productus eorum multiplicatione, amborum sunmia detracta, facit 8. IN RUAESTION EM XXXIX.
HI c soluitur indefinitε quaestio, ita ut nullus omnino numerus excludatur a valore Numeri. Quod euenit quia in positionibus nulli bi repetitur signum desectus, ut ex dicendis ad quadrageliniam primam clarius Patebit.
IN v v K i R a tres numeros, Ut producti ex binorum mutua multiplicatione detracta amborum summa faciant datos numeros. Oportet autem datos esse quadratos unitate multatos. Statutum M pr ductam ex primo in secundum utroque detracto facere 3. Productum ex secundo in tertium utroque dempto facere Is. &productum ex primo in tertium, utroque
ablato facere M. Quia volo productum
272쪽
ex primo in secundum detracto utroque facere 8. si secundum statuero quantum cunque, &eum adiecero ad 8. & summam diuisero per unitate minorem secundo , habebo primum iuxta lemma iam expositum. Elio secundus I N. - I. addo illi 8. fit 1 N -- g. diuido hoc per unitate minorem secundo, hoc est per i N. fit I H. L. Tantus est primus. Simili
ratione inuenietur tertius I in s. Ita duobus postulatis est satisfactum. Superest
ut productus ex primo in tertium utroque dempto faciat et . facit autem I.
hoc aequatura . de fit IN. . Ad positiones. Erit primus 'secundus V. Tertius C. Quos si velis idein habere nomen, Omnia ad sexagesimas. Erit primus, se
HI C quoque cotiditio nimis stricte proponitur Diophanto, & proponenda est omnino ut ad trigesimam octauam dictum est. Etenim summa primi di secundi detracta a plano lub iplis fiatii. secundi & tertii ι9. tertij & primi I . Quamuis nullus datorum numerorum sit quadratus unitate multatus , tamen quia cuilibet addendo unitatein , productus ex binorum mutua multiplieatione ad reliquum est in ratione quadrati ad quadratum , optimὸ Iuttur quaestio. Esto enim seeundus IN. . erit ergo primus I --. At tertius I - - γ, ita satisfit duobus postulatis. Superest veproducti is exprimo in tertium, utroque dempto faciat I . facit autem Q. - r. hoc ergo aequaturi . & fit I N. 4, Quare quaesiti humeri sunt . s. 6. Hinc etiam elicietur iste Canon. Paris numeris adde sigillarim unitatem , productumque ex bisorum mutua multiplicatione diuide per retiquum, pistisnras latus, erit unus quasitorum unitate multatus.
IN v x N i R E duos numeros indefinite, ut productus eorum multiplicatione ad summam eorundem datam habeat rationem. Esto productus suminae triplus. Ponatur primus IN. secundus s. & est productus eorum multiplicatione. 3 N. hunc volumus triplum esse ad I N. - y. Quamobrem 3 N. -ΦI . aequantur s N. & fit
1 N Ad positiones. Erit primus 7 l.
secundus s. Considero hic unde I N. Ω-etiis sit 7 t. nimirum ex diuisione Is per a. At is. est multiplex secundi secundum datam rationem. At a. est excessus quo secundus superat denominatorein rationis. Ergo si secundum statuamus quantumcunque,&multiplicemus eum per denominatore in rationis, & productum diuidamus per excessum quo secundus superat denominatorem ratio- ΕΥ P EIN ἀριθμουο αρρίπις δυο. o- ἀ
273쪽
nis , habebimus primum. Esto secundusi N. Hic inde nominatorem rationis, s cit 3 N. qui si diuidatur per excessum secundi supra denominatorem rationis, ni
mirum per i N - a. sit primus it D , ONEM XLI.
Qv A M vi s posito altero numelorum i N. altero Grai quaestio indes nitὸ soluta sit, non tamen quilibet numerus statui potest pro valore Numeri, sed suinendus est omnino numerus aliquis maior quam 3. ut euidens est. Vt haberi possit a N. - 3. per quem dividant ut 3 N. Itaque quoniam hue reiecimus tractationem de inueniendis terminis inita quo, eonsistere debet vallar Numeti in huiusmodi quaestionibus quae indes nitE soluuntur, esto tire regula generalis. Quotiescunquee2 lege problematis institutis positionibus, in aliqua vel in aliquibus illarum reperiuntur unitates cum defectu numerorum vel potestatis alicujus; aut eonuerso numeri vel potestatis eum defectu unitatum; vel etiam utrumque: necesse est vel dari terminum insta quem, vel terminum supra quem , vel denique terminos intra quos sumi debet valot Numeri. Triplex ergo casus dari potest, ae proinde tria haec Obseruanda. Primo si Numerus vel potestas alia adiunctum habeat desectum unitatum , diuide unitates per Numetotum vel potestatis numerum , quotiens erit terminus supra quem sumi debet valor Numeri vel potestatis , ut in hac quaestione Diophanti , quia in una positione reperitur x N. - 3. diuiso 3. petr . fit quotiens . supra quem necesse est sumi valorem Numeri. Et si in aliqua positionum reperiren- tui a N. - to. diuiso Io. per a. fieret f. terminus supra quem consistere debetet valot Numeti; idem que de aliis die endum potestatibus . nam si haberes 3 in i a. diuidendo I a. per 3. quotiens q. essettet minus supra quem lumendus esset valor quadrati. Seeuudh si unitates adiunctum habeant defectum Numerorum vel aliatum potestatum , diuidetursus unitates per Numerorum vel potestatum numerum , quotiens erit terminus insta quem sumi debet valor Numeti vel potestatis ut aceidit in secunda analysi quam tradidimus trisesima septima huius, ubi ponentes alterum quaestorum I N. alter positus est 6M . Quare cum diuidendo 8. peti. sat quotiens s. conclusimus Numetum minorem sumi debuisse quam 8. & se de aliis. Denique si in una positionum reperiantur Numeri vel potestates aliae eum desectu unitatum , Ecsmul in alia positione reperiantur unitates cum desectu Numerorum, vel potestatis. Tune utrobiisque diuidendo unitates per numerum Numerorum vel potestatum, fient quotientes, qui terminierunt intra quos sumi debet valor Numeri vel potestatis. Vt in analys Diophantaea, quaestione titigesina septima citata, quoniam in una positione reperitur I N. - 1. in altera 9 N. Acta vitobique diuisione producuntur I.& s. termini intra quos sumendus est valor Numeti Quam obtem etiam inde faeilh eognoscetur an proposita quaestio sit impols bilis , si enim tales tetmini reperiantiit intra quo, sumi non possit aliquis numerus, impossibilis erit quaestio. Verbi gratia, si in una positione sit 3-is N. in alia a N. -ia. Quia diuiso Is. per 3. fit s. tetminus insea quem sumendus est valor Numeri, at diuiso ra. per a. st 6. terminus supra quem valor Numeti sumi debet, eum euidens sit eundem numerum non posse esse maiorem quam 5. minorem qu in s. quaestionem impossibilem essepto nonclabimus. Caeterum si in diuersis positionibus eaedem species ab iisdem dese Iant, sed inaequali multitudine sumendus erit tet minus quaesitus ab illa positione in qua desectus est maloi. Vt in primo casu, si in una positione sit a N. - 6. in altera a N. - g. sumendus erit terminus , postrema, diuidendo scilicet 8. peti. unde fit A. terminus supt, quem sumendus est valor Numeri. Sie in secundo casas in una positione sit 8 a N. in altera 8 -ΑN. sumetur etiam valor Numeri postrema in qua est desectus maior . Vel aliter, in primo casu sumendus est terminus ab illa positione, in qua diuisis unitatibus per Numeros vel potestates, fit quotiens maior. Contia in secundo casu sumendus est terminus ab illa positione, in qua diuisis unitatibus per Numeros vel potestates fit quotiens minor. Sie in primo casu si oeeurrant et N. Is.& 4 N. - a. sumetur terminus a priore quia diuiso Is . per 3. st quotiens maior qita in diuiso ra. per η. sed in se eundo casu si occurram 8 a N. N ia -3 N. sumetur terminus posteritate ob contrariam causam. His an E praeeeptis, tota de inueniendis huiusmodi terminis docti; na comprehenditur, quae eum sae ilia sint, & e te ipsa nata, ita ut suam secum serant demonstrationem , tamen a nemine ante nos tradita sunt, vi verἡ asserere possm quaestionum quam plurimarum quae Indes nite soluuntur, perseiactam enodationem neminem hactenus calluisse; quod uno aut altero exemplo fiet manifestum. Sit enim pio positum soluere pulcherrimum problema, quod omnium qui nos praecesserunt Atithmeti- cotum ingenia inise torsit, quodque olim ex parte explicauimus libello nostro extremo iucundo
274쪽
Arithmeticorum Liber IV. is ue
nam problematum qui per numeros absoluuntur, ante aliquot annos Lugduni edito nimirum.
Datum numerum diuidere in quot labet numeros, ita ut singulis in datos numeros ductis , sumina productorum datum conficiat numerum. Oportet autem summam productorum cadere inter productos, ex numero diuidendo in m aYimum & in minimum multiplicatorum.
Verbi gratia. sit et . diuidendus in tres numeros , ita ut ς imum ducendo in A. secundum in I tettium in summa pio ludiorum coniiciat etiam et . Esto primus I N. ergo teliqui duo simul erunt aci- IN. & cum primo dueto in . fiant in N. his subductis a summa ploductorum, remanet 2 N. continens utique secundi & . tertii. Quate ducendo aO - 4 N. in A. fiet 8o- 16 N. continens bis secundum, & tertium semel. Proinde si hinc auferatur summa secundi tertii, puta χο - I N
relinquetut secundus 6o- is N. quem si ausetas a summa secundi & tertis , nempe a 2 .-I N. remanebit tertius ι4 N. - o. Itaque primo post N. st secundus 6O. - is N. tertius I N. - . &quastio iniic finite soluta est. Quoniam veto secundus continet unitates cum desectu numerorum,&tertius eonti het numeros cum desectu unitatum, dividendo utrobique unitates per Numeros, fient
tetmini intra quos eons stete debet valor numeri, nimirum 4. S a. are soluetur quastio si a N. ponatur quilibet numerus minor qu,m 4. maior quam 2 i. Verbi gratia ponatur P erit primus 3. se
Rulsus sit propositus diuidendus in tres numeros ea lege, ut primum ducend in .seeutidum in 3. tertium in summa productorum sit Ao Esto primus i N.ergo reliqui simul erunt qi - i N.& cum ptimo ducto in fiant N. his detractis o. summa proditesolum . remanet qΟ - 4 N.continenstet secundum, & tert; j. Quare dueendo Ao - 4 N. in 3. fiet Iao - Ia N. eontinens secundum novies, S tertium semes. Ae proinde s hine auferatur summa secundi & ter iij, nempe I - i N. relinquetur Octuplum secundi, puta ς - Ii N. Quare secundus erit s. ἰ - i J N. quo subducto a summa secundire tertij, remanet tertius 31 - N. di quaestio indefinite soluta est. Quoniam veto sisnum dese- eius reperitur tantum in secundo numero u e ri N. unus tantum hie erit terminus, insta quem stilicet suinendus erit valot Numeri, qui habetur diuidendo unitates per numeros, estque 7 . . Quare soluetur quaestio si I N. ponatur quilibet numetus minor quam 7 Ponatur s. Erunt quasti numeri s. 3, 33. Saepe aute in huiusmodi quaestiones ita proponuntur, ut requitatur solutionem in integris exhibeti seclusis fractionibus,quod accidit ex rerum quibus applicant ut natura quae non patitur diuisionem in partes, ut si de hominibus vel animalibus mentio fiat. verbi gratia proponatur ita prior quaestio. Fuerunt in sympos o personae et . nimirum viri mulieres,& pueri.& expenderunt si in ut solidosao ita tamevi quilibet virorum solvetii 4. solidos,quaelibet mulierum : solidi, quilibet puero tum E solidi. Quaeli. tur tam virorum, qu3m mulierum, atque puerorum numerus sigillatinυSi in iliter se proponatur posterior quaestio. Fuerunt personae 4 .expenderuntque solidos M.& virorum quilibet persoluit A. solidos,
quaelibet mulier 3. puerorum quilibet ' solidi. Quaeritur idem quod prius. Hic patet solutionem in integris omnino exhibendam esse. Quod quide sacili pinstabit ut in priore quaestione, quia in positionibus nullae omnino interueniunt seaetiones, nam sum ciet si sumat ut quilibet numerus integer cadens in tet terminos inuentos . N a qualis est 3. unde sunt quaesiti numeri qui supta . is. a. At in posteriore, ubi positiones habent fractiones admixtas , maiore artiscio tes opus habet. Veruntamen ita expedietur. Quoniam tertius numerus ponitur 3I : -- l N. euidens est ut solutio contingat in integris , oportere pro valore Numeri sumi numerum integrum minorem qu in 7 δ. cuius tres Octauae partes adscita : unitatis iaciant integrum. Quia vero ut habeantur : cuiust bet numeri, ducendus est ille numerus in a. di productus diuidendus pet s. Patet quatendum esse numerum minorem quam n quo ducto in a. & producto addendo I. sat numerus multiplex ad 8. seu quod idem est. Quatendus est numerus multiplex ad p. qui excedat unitate multiplicem ad 3. ita tamen ut multiplicator ipsius . sit minor quam et . . . Id autem qui fieti possit abunde docuimus in elementis, immo demonstrauimus uniuersale hoe problema.
Datis duobus numeris inter se primis, inuenire multiplicem unius, qui alterius multiplicem superet dato numero, ita ut inuenti multiplices sint minimi qui hoc
praestent. Inuentisque minimis, alios omnes ordinatim multiplices idem praestant ea Ostendimus inueniti polia undo sanae propositae quaest onis solutio manifesta est, inueniet utque res multiplex ad 8. qui excedit unitate is . multiplicem ad a. & diuiso 13. per 3. fiet s. quaesitus valor Numeri. Quare numeri qui prius repetiuntur s. 3. 33. Huius naturae quaest 1 O proponitur in veteri Epigrammate quod extat apud Pithoeuin lib. 4. dc tale est.
275쪽
Ut tot emantur aues, bis denis utere nummis Perdix, anser, Anas empta vocetur auis.
Sit simpleκ obolus pretium Perdicis, ematur Se κ obolis Anser, bisque duobus Anas. Vt tua procedat in lucem quaestio, mentem Consile, se loquitur inctoris arca mihi. Sint Anates tres atque duae, simplex erit Anser.
Accipe Perdices quatuor atque decem.
. Huius quoestionis sensu ε est. Viginti Nummis, quorum quilibet duos obolos valet, seu M. cibo
lis emuntur Aues ao. videlicet Perdices , Anseres, Anates, sed Perdix obolo uno constat, Anseeo Oboliς, Ana Quaeritur Perdicum numerus, itemque An serum atque Anatum. Ponat Anterum numerus i N. erit Perdicum & Anatum simul numerus sto N. erit autem Anselum omnium pietium 6 N. quo detracto a 4o. obolis, remanet pretium Perdicum & Anatum sinu o- 6 N. Qua te o- 6 N. eontinet. Perdicum numerum semel, & Anatum numerum quater, ac proinde hine ausetendo numerum Perdicum & Anatum semel, nempe aci - N. remanet 2: - 3 N. iii plum numeri Anatum, unde Anatum numerus est 6 ' F l N. quo detracto a Io - N. rema ian et Perdicum numerus io. ἡ - - . N R quaestio indefinitὲ soluta est Sed quia in numero A natum te periuntur unitates eum deseelu Numerorum diuiso 6ό per e . st 4. terminus insta quem sumendu est valoe Numeri. Rursu; obstactiones adiunctas. ut solutio contingat in integris, quia Perdicum numerus est 13 ὲ - ἰ N. patet valorem Numeri esse debere, numerum integrum cuius ad sciseentes; saciant integrum. seu quod idem est quaerendus est multiplex ad 3. qui excedat unitate multipli cena ipsius a. ita tamen ut multiplicator ipsius a. sit minor quam 4. inuenieturque ipse a. qui excedit ita te ipsum a. Quite diuiso a. per a. st I. quaestus valor Numeri. Est ergo An serum numerus i. Anatum s. per si eum I . ut voluit Epigrammatarius. Iam vero diuidendus sit 1 . in quatuor numeros, ut primo ducto in 3. seeundo in I. retrici in '. quarto in summa productorum sit Ioo. Ponatur primus I N. ergo reliquotum summae tit ioci i N. & eum ex ptimo in a. sant 3 N. erit summa trium reliquorum productoruinios N. Superest igitur ut partiamur roo - i N. in tres numeros ut primo ducto in a. secun do in et . tettio in ' summa productorum sit Ioo. - N. id autem ut fieri possit, propter adiectam ab initio huie quaestioni conditionem , oportet producium ex I. maximo multiplicatorum inroo - I N. nempe ioo - t N maiorem esse quam Ioo-3 N.&rursus productum eri minimo mul
tiplicatorum in ioci I N. nempe π έ N. minorem esse quam Ioo - 3 N. Et primum quidemnia nifestum est, nam per se patet ioci - i N. maiorem esse quana I- - 3 N. quod signum est non dati minimum terminum supra quem sumi debeat vasot Numeti, sed titὸ solui posse quaestionem
quantumlibet exiguus statuatur primus quatuor quaesto in numerorum. At vero ut secundum eon
sequamur, eima non statina appareat an - : N. sit minor quam ioci - 3 N. fingamus aquati, set I N. o. maximus terminus, insta quem utique sumendus est valor Numeri. Vnde iam eonstat quaestionem infinitas recipere solutiones, cum primus quatuor quaestorum numerorum statui possit quilibet numerus minor quani 3o. Ponatur verbi gratia 2 . erit ergo trium reliquorum sunt mago.&eum ex a o. in a. fiat clo. quo subducto a I O. remanet Ao. erit utique trium reliquorum producto rum summa o. superest igitur ut diuidam us 8o. in tres partes, ut prima ducta in r. secunda in 1. t et tia in summa productorii in sit o. Ponatur prima i N. erunt duae reliquae simul λ - N. & quia ex prima parte in r. fit i N. patet duorum reliquorum productorum sumnaam esse o -I N. quae uti que continet i seeundae partis & : tertiae. Quare multiplicando per P. fiet aD - 7 N. continens semel terti, ni & Pseeundae Pt inde si hine auferatur summa secundae & tertiae, puta 8O - I N. restat etoo 6 N. continens 1 secun iae. Quamobrem ipla pars secunda teperietur g - ' N. quam auserendo ago - i N. testat pro tertia ' N. & qiMestio indefinitὸ soluta est. Nam posito primo quatuor quaestorum numerorum aci. erit secundus I N. tertius 8o N. Quartus N. sed quoniam in tertio si tu ilitates eum deiectu Numerorum diuiso 8o. per - fit 33 i terminus insta quem sumendus est valor
Mettim si requ tatur solutionem in integris exhiberi, utendum erit eodem artificio quod supra explieauimus. Vt si quaestio haec ita proponatur. Fuerunt in symposci personae Io . viti, mulieres, pueri, puellae. Et vir quilibet expendit tres aureos, mulier i. puer puella I. Quaeritur virorum , &mulierum, puerorum que & puellarum numerus, eodem utentes duetv euidenter inseremus sumendum esse pro valore Numeri aliquem Numerum minorem quam 33 l quem quinarius metiatur. & sie sex solutiones in integris per hanc opcrationem reperientur, prout posito virorum numero a . ponet ut multeium numerus I. vel I vel is. vel m. vel 2I. vel 3o. Itaque ut omnes solutiones quae in in-
276쪽
tegris possunt exhiberi, repetiamus, cum iam determinatum sit virorum numerum poni posse quem libet infra go. toties repetenda erit haee operatio quot sunt numeri integri insta 3 . nimirum noviesti vice sies. Sed rem succedere non posse inueniemus, si numerus virorum ponatur i. vel a. vel 3. velas. Nam si ponat ut t. di mulierum numerus I N. erit puerorum numerus 232 - - N. At puellarum: N -333. Quare termini intra quos eadere debet valor Numeri erunt s . &s6. l. inter quos nullus eadit integet numerus. Similiter si vitorum numerus ponatur ae mulierum I N. erit puerorum numerus 22 - εἰ N. puellatum vero i N. - Ia 5. Quare termini intra quos consistere debet valot Numeri erunt uens& so. inter quos nullus eadit integer quem quinarius metiatur. Rursus s saluatur virorum numerus 3. mulierum T N. erit puerorum numerus II 6 N. & puellarum i N. - ias. Quare termini intra quos sumi debet valor Numeri repetientur so . & 8s. inter quos non cadit integer quem quinarius metias ur. Denique si numerus virorum ponatur 29. mulierum I N. erit puer rum numerus 8 N. puellatum vero . N. - 63. Quare terminus insta quem sumendus est valor Numeri reperietur 3 l. Insta quem nullus est numerus integer quem quinarius metiatur. Caietum s virorum Numerus statuatur quilibet cadens inter a. & 29. res optime succedet, & reperientur in intestis solutiones numero gi. quas Omnes in sequenti diagrammate exhibeo, monens primum numerum esse virorum, secundum mulierum, tertium puerorum, quartum denique puellarum. 28
277쪽
Hine apparet quaestiones huiusmodi a nobis persectis me resolui, cum tamen Nicolaus Tartalea asserat, neque pet Algebram, neque per aliam eertam regulam id fieti posse. Sed N alius non con temnendus Arithmeticus, cum hanc ipsam quaestione sub eadem prorsus hypothesi sibi proposuisset
enodandam , unicam tantum illius solutionem aflert, eam scilicet quae primum in superiore diagrammate locum obtinet, eamque etiam non satis certa latione inuestigat, sed illa utitur regula quam in libello nostro Iueundorum Problematum olim e,plieaulinus, quamque ut nimis inperse-
Quod si postuletur exemplum in quo uniea solutio contingat in integris. Sit Personarum numerus fio. aureorum cxpensorii in summa ioci. N vit quilibet expendat a. aureos. Mulier i. Ρuet '. Puella . Ρonatur virorum numerus I N. Igitur i N. et it numerus mulierum, puelorum N puellarum simul, de ioci - a N. crit reliquorum aureorum summa , quare ducendo tum l. tum ' in 6o N. fiet εο - N. maior quam roo. - a N & 3ο-: N. minor qu in 1 - - 2 N. & utraque aequatione sigillati in resoluta fient termini intra quos consistere debet valot Numeti que. &4s. 4. Proinde citin inter eos cadat solus numerus integer 46. patet virorum Numerorum non posse poni nisi 46. Atque ideo relinquentur i personae I . Autei p. statuatur mulierum numerus N. tandem inuenietur puerorum numerus Io --: N. Puellarum veto I N. Quare ciundi uiso io. per et prodeat 6. patet pro valore Numeri sumendii ni esse Numerum insta s. quem ternatius metiatur obstactione, positionibus admixtas. Itaque cum insta 6. solus numerus 3. habeat teristiam partem in integris ; vni ea continget solutio ponto scilicet ualore Numeti . N erit rarorum numelus 46. Mulierum 3. Duerorum s. Puellarum is .eodem prorsus attificio diuidetur datus numerus in quinque aut plures numeros, ita ut singulis in datos numeros ductis, summa productorum datum consciat numerum. Quamobrem ex omni parte satis iactum est proposito. Carteium ad hane quaestionem facile reducuntur Alligationis regulae , quarum persectam enodationem , neminem antὸ nos tradidisse audacter asserere ausim. Etenim eum tria rei alicuius genera proponuntur alliganda, patet vulgari tegula uni eam tantum reperiri solutionem, quamuis infinitae tradi possint. Quod ut exemplo comprobemus. Sint alliganda tria Auti genera. Ρtimum 24. graduum bonitatis quos vulgo Κataticis vocant. Secundum eta. Κarat torum. Tertium Is. & conficiendast Masa librarum 6o. auti Grattorum dici. sanὸ per vulgarem illam Alligationis regulam unica te- petietur solutio, & sumendae erunt librae ia. ex auro I . varatiorum. Itemque librae II. exauro et a Karatiorum. Ac denique librae 36. ex auro 18. Κaratiotum. Sed quaestio suapte natura infinitas tecta pit solutiones, quas sic indagabimus. Quoniam ducto clo. in sto. fit Iroo. patet in tota massa eonfi eienda contineti gradus bonitatis seu Faratios letoo. Quare superest ut diuidamus εα in tres nume ros, ita ut primo ducto in et . secundo in aet. tertio in i 8. summa productorum si Ia O. Donaturptimus a N. erit summa resi quorum G - 1 N. S cum ducto a . in I N. fiant 24 N. erit reliquorum productorum summa raoo ah N. quae eontinet secundum numerum bis & vice sies. Tettium vero decies & octies. Quare cum 6o I N. contineat secundum N tertium semei, ducto eo in 18. fiet logo - 18 N. continens utrumque decies & octies, dis hie auferatur a Iazo. - 24 N. remanet Iaci- 6 N. continens secundum quater. pto inde seeundus est 3ο - I N. quo detracto 1 εο - r N. rema
net tertius 3o N. & quastio indes te toluta est. Ut ergo habeamus terminum insta quem eonsistere debet valot Numeti diuidamus 3o. per i set eto. quaesitus terminus. Igitur ex auro et . Κ aiatmtum sumi potest quilibet I bratum numerus minor quam et . unde constat infinitis modis sol ui posse quaestionem. Vcibi gratia, sumantur ex praedicto auro librm I p. sumemus ex secundo libra, 3. ex tertio libras 39. Rursus sumantur primi auri librae r 6. secundi 6. tertit 38. Rursus sumantur. primi auri librae I . seeundi o. tertii 3 . vel sumantur, ptimi auri libra Io. secundi II. tertii 33 . veistimantur primi auri librae 8. se eundi 1R. tertii 34. vel sumantur primi auri tibia 6. secundi dii. tertii 4. vel sumantur primi auri librae 4 seeundi et . tertii 3i .vel etiam sumantui primi auri librae a. secvndi et . tertij 33. His omnibus modis, etiam per integros soluitur quaestio, quod si stafiiones admittete libeat , quae ab hoc quaestionum genere non excluduntur, infinitas alias solutiones reperiti posse manifestum est. Haee dixisse sustietat , ne pulehertimum utilissim unique inuentum posterisitiuidisse videamur.
κις. τον θ via πρωίυ κυ τρίτου σωυαμ φρ IN vani Ra tres numeros , ut quem bini producunt, is ad eorum summam datam habeat rationem. Sit productus e pruno in secundum , ad summam ipsorum triplus , productus e secundo in ter lium, sit ad summam eorum quadruplus,
278쪽
Arithmeticorum Liber IV. - l99
di productus e primo in tertium, sumismae amborum sit quintuplus. Statuatur secundus IN. erit ex praecedenti lemmate primus eodem modo tertius erit M . .. Restat vi productus ex primo in tertium ad summam ipsorum si quincuplus. Sed productus ex primo in tertium est u summa vero primi & tertii est V mk. quae sc habetur. Quoniam portet addere minutias . - .&. Ipsi quidem numeri in denominatores alternatim multiplicabuntur,verbi gratia 3 N. in denominatorem alterius, hoc estim N. - q. &rursus N. iris denominatorem alterius, puta in i N. - 3. sic facta est summa 7 Q. - 24 N. sub denominatione partis quae fit ex denominatorum mutua multiplicatione, hoc est a Q. - Ia - 7 N. Habemus autem & productum ex primo in tertium Quamobrem quincuplum est summa'. Proin de summa quinquies puta , incit, aequa V --κις. α-' Ο ὐπο τοῦ προωti εδε Φουή. ω ψρι ω δῆ α μ' a. λά Mς otiost δὲ μν ο ψ a Φρ-c . si κου' ψριου 4r' α. μὴ ιβ . λι,-ψω ιξ c . um . επιν γο - σωυθ ira
MAE I quae pcndet a praecedente , ut disertis verbis monet Diophantus. Caeterum ἱn sua clarioris doctrii gratia posuit , ut appini
IN va Nista tres numeros , Ut quem bini producunt mutua multiplicatione , is ad compositum ex tribus intam
279쪽
habeat rationem. Sit productu S ex primo in secundum ad summam trium triplus ; at productus ex secundo in tertium, sit summae quadruplus. Denique productiis ex tertio in primum , summae om nium sit quincuplus. Quia igitur productus ex binorum mutua multiplicatione ad summam trium datam habet rationem. Quaero primum tres numeros, & aliquem ut cumque adscitum , ad quem producti ex binorum mutuo ductu datas habe ni rationes. Arbitrarius esto s. Tunc quia productus ex primo in secundum triplus est arbitrarii numeri nempe ipsus s. vii que productus ex primo in secundum eritis. esto secundus I N. ergo primus T i. Rursus quia productus ex secundo in tertium est quadruplus ipsius 3. utique productus ex secundo in tertium erit 1 o. At secundus est i N. ergo rertius erit n. Superest ut productus ex primo in tertium, nimirum lc. sit quincuplus ipsus s. Proinde fiunt 3oo. aequalesas in Hic si species ad speciem rationem haberet quae est quadrati ad quadratum, soluta eis et quaestio. Enim vero 3oo. orti sunt ex I . in zo. At I . triplum est ipsius s. & 1o eit eiusdem s. quadruplum. Volumus ergo ut triplo ipsius s. per quadruplum eius. dem multiplicato, producti ad quincuplum eiusdein s. ratio sit quae quadrati ad quadratum. Atqui s. arbitrarius est. Hoc igitur mihi negotij incumbit, Vt quaeram numerum , cuius triplus & quadruplus inter se multiplicati numerum producant qui ad quincuplum eiusdem, rationem .habeat quam habet quadratus ad quadratum. Esto qui quaeritur i N. & triplus eius ductus in quadruplum facit ia in pomtet igitur hunc ad quintuplum eiusdem rationem habere quae est quadrati ad quadratum. Volumus ergo Iet Q ad 3 N. esse in ratione quadrati ad quadratum. Qiiamobrem altero in alterum ducto fiet quadratus. Proinde so C. aequantur quadra
sitiones , erit quaesitus I 3. POno ergo eum Iue. Quare productus ex primo in secun dum erit s. Atqui secundu S est i N. ergo primus erit Ni. similiter inuenietur tertius . . superest ut productus ex primo in tertium'
280쪽
eium , hoc est ipsius Is . quincuplus
reperiatur. Igitur pH aequatur 73. & fit iN. S. Ad politiones. erit primus 7 secundus 6. tertius 1o. Horum summa si foret i s. soluta plane esset quaestio. Statuo itaque summamarium Is Q. Ipses autem tres in numeris, quales e S muenimus, primum scilicet N. secundum 6 N. tertium to N. Superest igitur ut trium sum
HI et restitiuo textu, ut fecimus, omnia sunt perstiora , nee maiore explicatione indigent: nonnulla etiam omiserat Xilander , quorum deseciu res obscurabatur, ut videre est si versio illius cum nostra conseratur.
IN vεNiRε tres numeros , Ut compositus ex tribus multiplicatus in primum faciat triangulum i in secundum, faciat quadratum, in tertium faciat cuia bum. Statuatur summa trium i in Priinus autem fractio quadratica unitatum trianis gularium, puta in . secundus fract io quadratica unitatum quadratarum , ut doTertius denique fractio quadratica unitatum cubicarum, nimirum iet. & quidem
I in multiplicatus in primum facit 6. qui est triangulus, 3c t multiplicatus in secundum iacit 4. qui est quadratus,& rursus a Q. multiplicatus in tertium facit 8. qui est cubus. Superest ut trium summa sit 1 in sed trium summa est a. hoc ergo ' aequatur I omnia peri in multiplicentur, fit 1 QQ. aequalis 18. Oportet igitur 18. elle quadratoquadratum. Atqui 18. est compositus ex triangulo, quadrato, & cubo. Proinde reperiendus est quadratus, latus habens quadratum, &diuidendus in triangulum, quadratum , & cubum. Esto is i Quadratus autem I. R - - Ι - et insiergo dei Qinabstulero i Q λ- r - 2 relinquetur a QGI.Hunc rursus oportet diuidere in cubum, Sc triangulum. Esto cubus 8. relinquitur ergo triangulus . ET P E IN Wωὶ αυθμοῦς, οπως o συγ