장음표시 사용
281쪽
a Q. - q. Porro quiuis triangulus per 8. multiplicatus , & adsumens unitatem, facit quadratum .Proinde Io Q 7I.a quan tur quadrato. Formo quadratum a N - 1. fit IN. 9. Ad positiones. Erit triangulus I M. quadratus 6 oo. cubus 8. Ue
nio ad id quod initio propositum fuit M
statuo compositum ex tribus quadratumi Primum autem l . ut fiat triangulus. Secundum e. ut fiat quadratus. Tertium denique et . Ut fiat cubus. & i in cum sit quadratus ductus in unumquemque, facit primum triangulum , secundum quadratum, tertium cubum. Oportet autem tres
fimul esset insunt autem ra. hoc ergo arquatur I sc omnia in I Q. ducantur, fit i Q inaequalis 616I. &fit I. N. 9. Ad positiones. erit primus N. secundus P . tertius c. & demonstratio manifesta. NEM X L IV.
HI c tota obscuritas nascitur ex fractionibus quadrati eis , qliae ut iam saepe monuimus semper
ambigue exprimuntur apud Diophantum. De erant dc nonnulla verba quae reposuimus, da more nostro virgulis includentes. Numerus triangulus dicitur summa progressionis arithmeticae ab unita. te incipientis, &per unitatem progredientis, cuius ultimus terminus, qui& idem est cum numero qui exprimit multitudinem terminorum dicitur latus trianguli ut quinque terminorum I. a. 3. q. s. sumina I s. est triangulus cuius latus s. dc sex terminorum I. a. 3. 4 F. 6. summa a I. est triangulus euius latus s. Quod susius explicat Diophantus libro de numeris multangulis. Nos quoque in appendice ad eundem librum uniuersalissime demo nitrabunus Theorema quod de Numeris triangulis prosert Diophantus . nimirum. Omnis triangulus per octo multiplicatus 3c adscistens unitatem quadratum facit. Interim tamen peculiari demonstratione libet id ostendere, supponendo modum illum communem inueniendi summam citiuscunque progressionis arithmeticae, ducendo scilicet sumniam extremotum in semissem numeri terminorum, quem etiam demonstrat Diophantus loco citato. Vnde insertur in progressione euius summa est uumerus triangulus, ubi primus terminus est I. maximus vero aequatur numero terminorum , seu lateri trianguli, ipsum triangulum haberi si Iatus ip. sius unitate auctum ducatur in semissem eiii idem lateris. His positis, si e pronuncio.
Omnis numerus triangulus per octo multiplicatus, & adsciscens unitatem , quadratum iacit, cuius latus est duplum lateris ipsius trianguli unitate auctum.
Sit num eius triangulus A cuius latus B D. euius semissis B C.& sit unitas DE. A c o s & octu plum ipsius Aesto Feui addita unitate fiat G. sumat utque ΗΚ duplum pios G ,δ. cui δddasus Unita K L dico G esse quadratum a lateta H L. etenim ι - - Α κ L ς η dicti c nst i triangulum A aequari producto ex B C. in totum B E. ' sed hie productu aequatur producti siex B C in B C. & in C D. & iii DE. hoe est duplo quadrati ipsius B C & ipsi B C. semel. Quare oetuplum ipsius A puta F. aequatur sedecuplo quadrati ipsius B C. &octu plo ipsius B C. Ergo G eontinet sede cupIsi quadrati ipsius B C. Octuplum ipsius BC & praeterea unitate. Porro cum BD sit duplus ad BC.& rursus HΚ sit duplus ad B D. patet Η Κ esse quadruplum ipsius B C. ac proinde quadratus ipsius Η Κ aequatur sedecuplo quadrati ipsius B C. & dupi um ipsius Η Κ aequatur octo plo eiusdem B C. Igitur G aequatur quadrato ipsius H K. &duplo ipsius H Κ.& vnitati. Sed & quadratus ipsus H L ' aequatur quadrato H Κ. di quadrato Κ L. hoe η ' unitati. & duplo producti ex HK. in unitatem Κ L. hoc est duplo ipsus H X. Eruo G aequalis est
qdadrato ipsius H L. Quod erat demonstrandum. Nec refert utrum B D. lecari possit bifariam indiuisa unitate, necne , cum haec demonstratio nitatur solum propositionibus libri secundi Euelidis, quae abstrii hunt ab integris & a radiis, ut manifestum est. Porro hinc euidenter colligitur omnem quadratum imparem unitate multatum, esse multiplicem Octonari , nam metitur eum octonarius
282쪽
per numerum itiangulum , cuius latus aequatur semissi lateris quadrati unitate multat; . Diligenter autem attendenda est operatio Diophanti, qui positiones suas appositissimὸ instituit ut solutio contingat rationalis. Etenim cum quaerendus sit quadratoquadratus constans ex triangulo, quadrato , N eubo, ponit eum I Q a Tum argute quadratum statuit I QR-. I. a ina latere I α- i. quo ablato ab I Q Q iaperest a Q. - I. qui ex cubo S ex triangulo componi debet. Hine ergo si ausetatur cubus quilibet, puta s. restat a s. aequandus triangulo. Quamobrem oportet ut ductus in R Ee ad seiseens unitatem, faciat quadratum per theorema supta demonstratum. Vnde fita6 Q - i. aequandus quadrato. Hoe autem fieri minime posset, nisi I6. quadratorum numeres, esset quadratus. Itaque. Aduet te primo in quadrato detrahendo ab I Q talem reperiri debere quadratorum numerum, ut is ad 8. habeat rationem quadrati ad quadratum, quales sunt l. s. o. Sc. sic poni poterat quadratus ille a. - 19 - 8 i latere i q. vel etiam I Qe -- - 32 Mi latere I QE- i5.& se de aliis. Verbi gratia si ponatur quadratus i5 - 8 eo detracto ab a Q intestabit 8 Q. -rct unde si auferas elabum aliquem , puta s. remanebit 8 Q - 24. aequandusitiangulo, ae proinde ducto eo in 8. de producto addendo unitatem, set 64 Q Ui.' aequandus quadrato , cuius latus si fingas 8 N. I. fiet I N. I a. cuius quadratoquadratus optimἡ Ω-tissae it proposio.
Aduerte secundo, alium etiam quemlibet cubum quὶm 8. sumi posse, ut in hypothesi Diophantis sumat ut cubus et . fiet a Q. - 28. aequalidus triangulo, quem s dueas in p. de producto addas i. . set i6. Q - 2as. aequalidus quadrato, cuius latus uponas 4 N. - i. fiet a N. 28. cuius quadrat qua .dratus tutius implet postulata . . Aduet te postremo in fingendo latere vltimi quadrati, talem adhibendam esse cautionem, ut valor Numeri reperiatur in integris numeris , eum numerus triangulus non possit esse nisi integer. Id autem temper iuccedet operando modo , Diophanto tradit , H quadrati latus fingatur a tot num e tis qui sui aliis quadratorum in numero quadrato aquando contentorum r. Caeterum vix aliter
id fieri posse, satis experiendo deprehendes. Ex opetatione autem Diophanti AetlE est elicere C nonem ad inueniendum quadrato quadratum qui constet ex triangulo, quadrato, di cubo nimirum.
Euerientiam non fasis exactam feeis Baehetus .famatur 'ailibet ea has vcl. evitastistis mala ptiei ternarii superaddas unitato Ertini rus a α-3 4 aquando trian stilo ergo 16. - 273 I aequabuntur quadrato cuius Iasus finges fi Isbet , 4N - 3. c. Nih I enim ierat quo minus generali methodo loeo etiam ipsus 3. religa os in infinitum amares usurpemus , variando cubos.
Sume cubum queml b/l, π hule aiae υηιta em, set Iatui quassi quadrasoquadrati. Quod si velis reperire quadratum . de cubum, S triangulum , ex quibus inuentus quadrato quadratus componitur. Adde I. quadratoquadrato inuento, & hinc aufer duplum quadrati ab eodem latere prosecii, relinquetur quadratus qualitus. Cubus vero is est quem ab initio sumpsisti. Titan. gulus vero reperiet ut si ab inuento quadratoquadrato auferas compostum ex quadrato & cubo iam inuentis .. Verbi gratia, sume cubum . cui adde I. set et . latus quaesti quadratoquadratis. Is ergo est 6. quem dico componi ev quadrato, eubo, & triangulo. Nam adde I ad Is. st 17. unde aufer durium quadrati a latere a. puta 8. remanet quaesitus quadratus s. eubus veris est is quem sumpsisti ab Initio, nempe r. Quare a quadrat quadrato I s. auferendo s. 3e i. simul, remanet triangulus s. sed de quadratum sic alitet inuenies, auset I. a quadrato ab eodem latere prosecto, a quo prosciscitur quadrato quadratus inuentus, residuum erit latus quaesti quadrati, ut in eodem exemplo, cum quadratus lateris a. sit q. auser hinc I. remanet a. latus quaesti quadrati s. Rursus aliter inuenietur triangulus hac arte. Cape dupluin e ubi ab initio sumpti, de hule adde unitatem, fiet latus quaesti trianguli. Vt in eodem exemplo, duplo eubi I. adde . set 3. latus trianguli 6.
Hoc vero lemmate soluto , soluetur & proposta quaestio huiusmodi Canone.
Vt in nostra hypolms, ditiide s gillatim s. s. r. per Α. sent quaesti numeri: . a. nam eorum summa es 4. qua diaeta in primum si triangulus 6. de eadem ducta in secundum I. fit quadratus y de eadem duela tu tettium, fit cubus I.
283쪽
Dignum quoque animaduersione est, ex vi analyseos Diophantatae sequi, lummam quaesitorum numerorum esse quadratum numerum, quoniam uonitur huiusmodi summa i Mie Vides in illiti, hypothesi, summam numerorum esse gI. At in noura g. di se de aliis. Sed & operat pretium fuerit adnotasse, quaestionem hane eodem prorsus artificio extendi posse ad quonibet polygonos& quassibet potestates, dummodo iis adnumerentur quadratus & triangulus. verbi gratia.
Inueniantur quinque numeri , ut summa ipsorum ducta in primum, fiat triangulus, in secundum quadratus , in tertium cubus, in quartum Pentagonus, in quintum quadrato quadratus.
Ille euidens est reperiendum esse quadratoquadratum compostum ex triangulo , quadrato, cubo, pentagono,& quadrat quadrato. Is esto I Q ΟΣ quadratus autem I Q I-a Q quo detracto ab 1 in emanet a QV-I. diuidendus in cubum, pentagonum, quadratoquadratum , &triangulum. Esto cubus 8. pentagonum 3. Quadratoquadratus . relinquitur ergo triangulus a Q. Is . qui ductus in s.& adsuinens a. iacit I6 Q. - Πs. aequandandum quadrato. Esto latus eius 4 N. - I. fiet I N. rs. Est ergo triangulus 433 . quadratus For76.cubus 8. Pentagonus s. Quadratoquadratus I. Veniamus iam ad propositam qua stionem , & statuantur summa quaesitotum numerorum I
primus vero Me. seeundus tertius et . quartus in quintus . Erit illorum summa . aequa-iis x in unde fili N.is. Igitur primus est El. secundus tertius quartus ab quintus M.
stituant. Imperetur ut interuallum maio
ris de me dij, interualli medij & minimi
sit triplum. Iam cum summa medij & -- nimi sit quadratus, esto . ergo medius
maior est binario. esto I N. - a. Igitur minimus erit a -IN. dc quoniam interuallum maximi de medij , est triplum interualli medij Se minimi interuallum autem medii Se minimi est a N. erit interuallum maximi de medii 6 N. Quamobrem maximus erit 7 N. - 2. Supersunt duo postulata, nimirum ut maximus cum medio faciat quadratum, dc ut maximus cum misnimo iaciat quadratum, dc occurrit duis p Iicata aequalitas, nemph 8 N. -- Φ.aequa Ies quadrato, dc 6 N. -- q. aequales quadrato , bc quia unitates sunt quadratae, pedita est aequationis ratio. Statuo duos numeros quorum mutuo ductu fiant 1 N. scut nouimus in duplicata aequalitate faciendum. sunto P N. dc . fit I N. Ha. At ubi me ad positiones consero,non possum dea. auferre I N. nimirum II a. Volo igitur numerum inueniri minorem quam a. atque sic etiam 5 N. -- q. minores erunt
quam I s. nam binari ian 6 N. multiplicato , dc additis . fiunt I 6. Quandoquidem ergo quaero 8 N. -- q. aequari quadrato,
284쪽
Arithmeticorum Liber IV. et os
de 6 N. - - . aequari quadrato, sed & abinario fit quadratus . sunt tres quadrati 8 N. - . dc s N. -- q. & q. & interuallum maximi de me dij est triens interuallimedjj dc mimini. eo res rediit ut inueniantur tres quadrati, ut interuallum maximi& medij, sit triens interualli med ij dc iii mi , sed Ze minimus sit ε. Medius autem minor quam 16. Ponatur minimus
4. At medij latus i N. - a. Ipse igitur erit Im-- N. - . Quia ergo interuallum maximi de medij , est triens interualli med ij dc minimi, at interuallum med ij de minimi est I Q. - N. utique maximi dc me dij interuallum erit , -- i: N. At est medius I qN. - - 4. Igitur maximus erit 1
- - I N. -- q. aequalis quadrato. Omnia
novies. Ergo Ia inis 4 8 N. - 36. aequatur quadrato, dc huius quadrans, nempe 3 in I 2 N. -- '. aequatur quadrato. Atqui oportet Sc medium minorem esse quam I6. Quare dc latus minus esse opor tet quam 4. latus autem medii est IN. a. Proinde I N. - 2. minus sunt quam 4. de sublato utrimque binario. I N. minor est quam a. volens itaque 3. I 2 N. --y. aequare quadrato, formo quadratum a 3. cum defectu aliquot numerorum, de fit I Ν. ex aliquo numero sexies suinpto, Scadsciscente i 2.nimirum Ia N. aequationis,
de diuiso per interuallum quo numeri quadratus superat quadratos qui sunt in quatione, nempe 3. Eo itaque deducta res est, ut inueniatur numerus qui sexies sumptus, Sc adsciscens ia. diuisusque pcrinteruallum quo ipsius quadratus excedit ternarium, quotientem binario minorem exhibeat. Esto quaestus i N. Hic sexies sumptus 3c adsciscens ia. facit 6 N. 12. Quadratus autem illius detracto ternario tacit I Q 3. Volo ergo 6 N. 12. diuidi per I Q. - 3. 3c facere quotientem minorem quam et. Atqui a. diuisus per unitatem , facit quotientem
a. Proinde 6 N. - - Ir. ad I Q 3. minorem habet rationem quam et . adt. Quare
dc planus plano inaequalis est. Igitur productus ex6N. -- Ir. in I. minor est producto ex 2. in i χ- 3. hoc est 6 N. - ra. minus sunt quam αλ-6. Adiiciantur
285쪽
quae desunt utrimque Unitates , erunt a maiores quam 5 N. -P i8. In aequat1O-
ne autem hac explicanda, dimidium numerorum in se ducimus, & fit '. ducimus etiam quadratos in unitates, & fiunt 36.& addito 9. fiunt que . cuius latus non mi nus est 7. Adde semissem numerorum,&diuide per quadratos, fit i N. minor Oportet igitur 3 - Ia. N. - - 9. aequare quadrato a latere 3 -3 N. & fit i N. A. hoc est ζ. Posueram autem medij qua drati latus 3 N. - 2. erit ergo huiusnodi latus. li ipse vero quadratus est. venio igitur ad primo propositum , & statuo wquieit quadratus, aequalem 6 N. . & omnia ducendo in Ia I. fit I N. minor utique binario. Ad positioncs quaestionis initio propositae. Statueramus medium IN. - a. minimum a - I N. Maximum vero 7 N. - 2. erit ergo maximus ηἰ.'. secundus τα. minimus seu tertiuS M.& quia denominator ris . non est quadra ius sed eius sextans ia I. est quadratus,om nium sextantes accipiamus, deerit institer prunus V . secundus 'M. tertius κ . Quod si in integris haec desideras, ne se- nussis intercurrat, omnia quadruplica, Nerit primus ' I: . secundus et . . tertius . Q. &demonstratio mani sella. α , ἰαν λα uo ρκῆ. Ο - μνος. - φν M. το ἔκει. μ' o in ώγος ααλδε ς . o δὲ δAriese υξ F α ς o δε γριας ιδ α ς . G. ἰαν is ouκληερα Θιλης, ινα μὴ το ιισυ - ἔχ', esc τεπαγ-e ε ι ο πηῶπις ολη ὁ δὲ νι- ορ- -οη r. ὁ δε τριτα Dp - . φανεροι.
Haec LARvΜ est hoe problema, & admirandae subtilitatis, in quo etiam continetur nouus modus utendi duplicata aequat Rate omnium quos hactenus explieauimus, elegantissimus. Cum ereo tres operationes instituat Diophantus, age singulas persequamur, ut multa diIucidentur, ita quibus omnino caecuti it Xilander. In prima itaque operatione. Adverte primo pro quadrato quem conficiunt medius & minimus sumi potuisse quemlibet unitatu in numerum quadratum. Author sumpsit A. minimum scilicetn ore suo. Aduerte seeundo cui inserat medium maiorem esse debere binario, eausam esse quia medius debet esse maior minimo. Quare posita luinnia medij & minimi . oportet medium excedere semissem
Adverte tertio cimi aequandi sint quadrato 8 N. - φ& 6 N. -- Φ. Diopliantum indicare primum, modum illum resoluendi duplicatam aequalitatem , quo saepe in simili usus est libro tertio. Quia enim unitatum numerus utrobique quadratus est, procedit aequatio, si sumantur duo nu- meti quorum mutuo ductu fiat interuallum a M. ita tamen ut in semine summae illorum contineatura. latus quadrati q. tales sunt: N.& . Quare si horum summae semissis quadratus aequetur ipsi gN. - - 4. vel si eorundem interualli semissis quadratus aequetur ipsi 6 N. - . q. fiet utrobique i N. Ii2.Hinc autem hoc in commodi accidit,ut per hunc Numeri valorem resolui non possint hypostales.
286쪽
I enim eum mininius positus sit a -IN. euidens est valorem Numeti debere esse minorem qu ni a. Proinde clim hoc modo resoluendo duplieatam aequalitatem unica solutio reperiri possit, qua fit tN. i Ia patet eum hoc loco inutilem esse. Igitur. Aduerte quatio aliud hie genus duplicatae aequalitatis tradi a Diophanto, quo in data hypothesi,& alii, omnibus similibus inlinitae reperiti possunt solutiones, hae arte. Consderatis tribus numeriss N. - . 6 N. - q. . Quorum minimus η est unitatum numerus quadratus. At interuallum maiorum a N. est mens intctualli minorum 6 N. Quarendi sunt duo quadrati, quorum interuallum sit tilens interualli quo minor illotum superabit q. quales sunt ε . N s. Tunc veto siue aeques fi c& 8 N. - . sue 49. N 6 N. - 4. set utrobique idem valor numeli 7 P. Hoc autem ita necessarici inuenite,ae proinde modum istum resoluendi duplicatam aequalitatem est e legitimum, sic demon ri sta strabitur. Sint tres numeri A. BC.& interuallum maiorum A B.esto D. inteius Ata stacta tum minorum BC. esto E Rursus sint tres FGH.& maiorum FG. interuallume ου ti . csso Κ. minorum L. Porraturque H aequalis ipsi C. & sic eadem ratio D ad Ak, Lά quae X ad L. dico s G fiat aequalis ipsi B. & ipsum F sore aequalem ips A. in quo
'γ' eonsssit vis omnis duplicatae aequalitatis. Etenim quia B G ponuntur aequales, si tib his demantur aequales C H. erunt & residui E L. aequales. Cum ergo st D ad E. vi K ad L erunt Mipsi DK aequales. Qiramobrem additis aequalibus D. Κ ad aequales BG. fient N toti A F aequale,.
. Quod demonstandum erat. Itaque ut reperiat quadratos quales sunt F. G. quorum scilieet interualis tum sit itiens interualli quo minor G. superat q. secundam instituit operationem Diophantus. In sectitula operatione. Ad uerae primo minoris quaesitorum quadratorum latus lite poni 1 N. -- latere quadrati A. putat N. - a. ut in eius quadrato Icι- N. - unitatum numerus aeque tue ips . ac proinde excessiis quadrati illius supra 4. nimirum i -- η N. constet ex solis quadra tis&numetis, quorum triens cum t N. constans etiam ex solis quadratis & numeris, eo addito ad minorem quadratum , si maior quadratus I α-- s4 N. - - 4. vhi unitatum numerus repetitur idem quadratus q. quod accidit quia is reperiebatur in minore quadrato , &ut dictum est, maior quadratus fit addendo minori solos quadratos & numeros,unde unitates manent immuta-ir. Neeesse autem fuit unitatum numetum qua sunt in maiori quadrato, quadratum fuisse, ad hoe ut latus eius fingi potuerit. Aduelle secundo numerum quadrato aequandum, puta in s N. - 4. duci in s. ad tollendes stactiones, tum productum diuidi per ε. ut aequatio redueatur ad minimos numeros, unde fit ia N. - 9. aquandus quadrato. Nam ut alias saepe monuimus tam quadrato in quadratum ducto , quam per quadratum diuilo, producitur quadratus. Aduerte lettio numerum 3-- Ia N. -- s. aequandum esse quadrato eum quadam Numeri determinatione. Etenim ut supra ostentum est, 6 N. - 4. ita aequandus est quadrato, ut fiat i N. minor quam a. At si I N. sit minor quam a. erunt 6 N. minores quὸm II. Quare adiecto erit εώ minor quam 16. ac proinde latus quadrati cui aequandus est o N. - a. debet esse munus quim q. Positum autem est latus illud I N. - a. Igitur I N. - . a. minus est qu m N au tendo vitimque a. manet I N. minor quam a. Recte igitur concludit Diophantus numeri 3 Q. -- ia N. -- s. latus ita fingendum esse, visat i N. minor qu)m a. Potio necesse est hoe latus tingi; certo numero Numerorum, unde patet fieri valorem Numeri, si pet quadratum numeri Numerorum in latere postorum ternario multatum, diuidatur sextuplum eiusdem numeri Numerorum , auctum numero ra. Itaque benὸ insertur quaerendum esse numerum euius sextuplum auctum numero tet. & diuisum per quadratum quaesti numeri, ternario multatum, det quotientem minoia rem quam a. Ad hune ergo numerum inueniendum tertiam molitur operationem Diophantus. In tertia operatione. Cum 6 N. - a. debeat diuidi per ita ut fiat quotiens minor binatio, Diophantus ita ratiocinatur. Quouis numero per alium diuiso, quotiens est denominator proportionis diuis ad diuisorem . qui denominator eo maior est,quo maior est proportio, & eontra. Cum istitit binario per i .diuiso fiat quoties a.& diuiso 6 N. --ia per i Q .debeat fieri minus quam a. sequitur 6 N. - . II. ad I 3. minorem habere rationem , quam a. ad I. Datis igitur quatuot numeris o N. - a. I in 3. a. l. Cum minor sit ratio primi ad secundum, quam tertii ad quartum, sequitur ex primo in quartum produci minorem numerum, qu m ex secundo in tertium , ut demon strauit Clauius ad decimam nonam septimi. Rectὸ igitur intert Diophantus o N. -- I a. minus esse quὶm et in- 6. & adiectis aequalibus 5 N. - . minus esse quam a Q, Hoc autem ut si, oporteevtique a Mequari numero alicui ma ori quana 6 N.-I8. Quod ut praestet considerat primi,m Dio phantus quali sal vator Numeri si 1 inponantur aequales A N. -- 18. quae est secunda regula compositatum, quamque modo sibi familiari te soluit, ducendo se ilicet numerum quadratotum a. in unitates i8. unde fit 36. cui addit quadratum semissis numeri Numerorum, puta s. & fit que . euius lateti si addatur 1. semiissis nume. Numerorum , & summa diuidatur per numerum Quadratorum a. st valor Numeri. Sed haec aquatio solutionem dat irrationalem, quia 4s. non habet latus quadratum. Sumitur ergo loco I. proximὸ maior quadratus s. cuius lateri 7. addendo 3. fit Io quo diuiso
287쪽
per a. prodit 3 valor numeri. In hae autem aequatione 6 N. - IR ponitur minor quὶm 2 Quia a Q. sunt aequales 5 N. - sto. Eadcin de causa statui potest valor Numeri quilibet numerus mas Orquam s. puta 6. 7. 8. Sc. Tunc eni in semper a Q fient aequales alicui numeto maiori quam o
Haee quidem ad persectam Diophantaei problematis explicationem satis superque susseiunt.Quoniam vero hie utitur author elegant illime dupli eata aequalitate, unde te subtilius considerata modos aliquot adinvenimus eadem utendi, etiam in dissimili ea , quibus sane difficillima pulcheltimaque problemata feliciter explieati possunt, minime pigebit non vulgare inuentum curiolo lectori tradere ut illo perfruatur. Quemadmodum ergo in hac quaestione Diophantus docet modum quo duo numeri simul aequentur quadrato, cum uterque componitur ex Numeris & unitati hus, di numeri Numetotum sunt inaequales, nec habent rationem quadrati ad quadratum , numeri autem unitatem sunt inaequales & quadrati: se aio modum dari posse resoluendi duplicatam aequalitatem, cuin uterque propositorum numerorum quadrato aequandorum, componitur ex Numeris & unitatibus.
re numeri Numerorum sunt inaequales, nec habent rationem quadrati ad quadratum ; sed & numelivilitatum inaequales sunt , sue quadrati snt, siue non. Id autem praestabimus in duplici easu.
Plinius casus est, cum numero tum quadrato aequandorum interuallum tale est, ut eo per aliquem unitatum numerum multipli eato, vel diuiso, & producto vel quotiente a minore propositorum numerorum detracto, supet si unitatum numerus solus quadratus . verbi gratia. Propositi sint quadratci aequandi 3 N. - I3. L I N. - 7. quia horum interuallum est a N. --. 6. quo diuiso per a. fit quotiens I N. -- g. quo ablato de I N. - . superest quadratus explicabitur aequatio hac arte. Consideratis tribus numeris 3 N. - II. I N. - .de qa cum maiorum interuallum, puta 2 N. - 6.
duplus sit interualli minorum, puta I N. - - 3. Quaerendi sunt duo quadrati; quorum interuallumst duplum interualli, quo minor illorum superat in. Quod facile fiet, infinitisque modis insistendo
vestigiis Diophanti. Esto enim latus minoris i N. - latere quadrati q. puta I N. - . a. fiet quadraiatus a Q. - N. - cuius excessus supra . est i Q - - ' N. cuius duplum a Q. - 8 N. quo addito ad minorem quadratum, set maior 3 Q ia N. - q. hic ergo aequandus eli quadrato, sed prius determinandum est de valore Numeri. Quia enim minor numerorum quadrato aequandorum esti N. - . patet talem ei quadratum aequati debere, qui si maior quam 7. Quare cum latus
pro Yimum ipsus . si a debet & latus quadrati maius esse quam a P At latus huius quadrati
supra politum est I N. - 2. hoc ergo maius si oportet, qutin a l. & auferendo virimque a. manet i N. maior qu m Quoniam igitur ut aequemus quadrato 3 QE -- Ia N. - - 4. latus eius ponendum est Σ.- certo numerorum numero, unde fiet valor Numeri diuidendo quadru. plum numeri Numerorum auctum numero Ia. per quadratum eiusdem numeri numerorum multatum ternatio. Euidens est quaerendum esse numerum, cuius quadruplum auctum numerora.& diuisum per quadratulat quaesti numeri multatum ternario, det quotientem maiorem quam a. Ponatur quaesitus numerus I N. ergo Zπ-- maior est quam 3. di omnia ducendo in i a. st qN. - Ia. maior quam additoque de eiu ,& omnia per η. multiplicando, fit Io N. - -s . maior quam Q Quamobrem aequando 3 numero alicui mi uori quam Is N. - . 37. puta is N. - sa ἰ eum sat I N. pronuncio quaelitum numerum sumetu iam esse minorem quam talem tamen ut eius quadratus excedat 3. sumatur 3. Igitur numeri 3 α - 12 N. - q. sngo latus et - a N. & si a N. q. & sunt quaesti quadrati ioo. & 36. Nam sue aeques ioo. & 3 N. H. 13. sive 36.&IN. - - 7. st utrobique idem ualor Numeri as. Quod erat propositum. Itaque in hoc casu , ut aequatio si explieabilis. Oportet ut interualli propositorum numerorum diuidendo Numeros per Numeros minoris numeri, vel eontra; S per quotientem diuidendo, vel multiplicando unitates interualli , sat quotiens vel ploductus quo detracto ab unitatibus minoris numeri, supersi quadratus. Ut in exemplo allato ubi interuallum est a N. - - 6. minor numerus rN. - . 7. quia diuidendo a N. per i N. & per quotientem a. diuidendo unitates 5. fit 3. quod et tacto de I. remanet quadratisi 4. ideo aequatici potuit explicati. Quod i proponantur quadrato aequandi 8 N. - dis. Et o N. . II. quorum interuallum a N. - q. Quia diuidendo O N. pet a N. di per quotientem 3 . multiplicando unitates interualli q. fit Ia. quo ablato de sti. remanet quadranis p. ideo poterit explieari aequatio, quaerendo duos quadratos quorum interuallum si triens interualli, quo minor superat s. Ponatur latus minoris I N. - 3. erit ipse I Q. - 6 N. - ς. & excessus eius supersi est ζ α-- a M. quo ipsi minori quadrato addito es et maior I ; - - - 8 N. - s. 8e omnia duacendo in s. set a Q a N. - . gr. aequandus quadrato & s Numeri determinationem inuessiva, inuenies quadtati latus fingendum esse s - tot numeris qui non excedant Iq. sed quotum quadratus excedat ra. Ponatur 9 - 4N. set I N. 36. & erunt quaesiti quadrati Ioas. 3e Isai. quos si aeques propositis numeris . maiorem maiori, & minorem minori, net utrobique I N. 23 . Secundus easus est. Cum numerorum quadrato aequandorum interuallum tale est, ut eo per ali
quem unitatum numerum multiplicato, vel diuiso, & producto at quotiente a minore proposit rum numerorum detracto, desciat unitatum numerus solus, qui ad multiplicatorem vel diuisorem.
288쪽
rationem habeat quadrati ad quadratum. Vis pnoponantur aequandi quadrato 6 N. as.&IN.
-- g. quorum interuallum N. - aa. quia hoc diuiso pet a. st a N. - . I i. quo detracto a minore numero superest - p. & numerus 8. ad diuisitem a. habet rationem quadrati ad quadratum , ideo e plicabitur aequatio hae arte. Consideratis tribus numeris 6 N. -- 23. 2 N. -- 3. & - 8. quoniam ma totum interuallum, puta N. - . aa. duplum est interualli minorum, quod est a N. - II. Quaeram duos quadratos, quorum interuallum si duplum interualli quo minor stiperat -8. Ponatur mitior I in auius intervallum lupta - 8 est i Q -- 8.cuius duplum a Q. -- Iis. quo addito ad minorem qua diatum, fit maior 3 - - 16. Hoc ergo ut aeques aptE quadrato, si quaeras Numeri determinationem, inuenies latus ponendum es e 4 tot numeris qui non excedant 4 . & quorum quadratus superet g. Ponatu-rgo latus illud 4- 3 N. fiet x N. q. N etunt quaesti quadrati ci . N I6. Nam siue aeques s N 6 N. - as. sue I 6. & a N. - 3. fit vito hique I N. 6 et . Itaque in hoc eassi,ut aquatio sit explicabitas, oportet ut interualli propos totum numerotu diuidendo Numeros per Numeros ni inutis,vel contra, & per quotientem hun primum diuidendo, vel multiplicando unitates interualli. fiat quotiens vel productus, a quo deitatiendo unitates minotis numeri, supersi numerus qui ad primum quotientem habeat rationem quadrati ad quadratum. Vt in allaici exemplo, ubi interuallirin e N. 4. II. minor numerus a N. - 3. quia diuidendo 4 N. per a N. & per quotientem a. diuidendo aa. unitates interualli si II. a quo auferendo 3 unitates minoris numera, superest g. qui ad quotientem a. habet rationem quadrato numero expressam, ideo aequatio potuit explieari. Quod si proponantur quadrato aequandi II N. -- 39.&ra N. - 3 . quorum interuallum 3 N. - . 8. quia diuidendo in N. per 3 N. st quotiens 4. Quo ducti in L fit 32. a quo auferendo 3I. superest a. qui ad quotientem 4. habet rationem quadrati ad quadratum , ideo explicabitur aequacio hac arte. Ccnsuleratis tribus numeris II N. - - 29. Ia N. - 3 i. &-i quia maiorum interuallum 3 N. - 8. est quadrans interuallim incitum quod est Ia N. - . 3 a. Quaerendi sunt duo quadrati, quorum interuallum sit quadrans in- tetualli quo minoi superat I. ino minor I Q. erit maior i Q. -- aequandus quadrato, omnia in . si s -- 4. aequalis quadrato, & si quaeras Numeri determinationem. lnvenies latus eiu et po
nendum 2 - certo numero unitatum qui non sit maior quam 2 . nec minor quari a - . Ponatur ergo
a - α N. set I N. 144. & erunt quasti quadrati asyaοἱ S 736. quos si aeques propositis numeris, maiorem maiori, & minorem minori, set utrobique I N. Iras et . Hae arte in quatione quam resoluit Diophantus propositione i . lib. 3. aequans quadrato Ici N. - ς.&s N. - - 4. Cum ille uni eam solutionem reperite possit, nos infinitas dabimus. Etetiim quia interuallum est s N. - - s. & diuidendo s N. per 3 N. fit r. per quem diuidendo unitate s. fit quotiens s. a quo ausetendo 4. superest I. qui ad priorem quotientem I. habet rationem quadrati ad quadratum, puta aequalitatis, ideo explicabitur aequatio si quaerantur duo quadrati, quotum interuallum si aequale in tetusto quo minor superat - I. st minor I Q erit maior I Q - - . quadrato aequandus, sed si quaeras Numeri determinationem inuenies latus fingendum esse I - tot numeris qui snt mimis quam a. & quotum quadratus excedat a. fingatur x - N. set Nag. ut apud
Diophantum. Rursus fingatur I - ἱ N. het i N. et eruntque quaesiti quadrati m Q. & ptimum si
aeques to N. - s. secundum s N. - q. fiet I N. utrobique etes. porro . itaque tegula sitam vim obtinet qualicunque signo aluciantur numeri quadrato aequandi, ut constat ex tequentibus exemplis.
Sint quadrato aequandi 24. - 8 N. & s - a N. quia horum interuallum est 13 - ε N. quo diuiso peta. sis a N. quo detracto i minote superest 4. quadratus numerus, resoluetur aequatio per primant regulam; si minoris quadrati latus IN. - s. erit ipse i Q - - 4 N. - . Ergo maior α - - ΙἄN. - 4. cuius latus si tonas a. - 8 N. set I N. '. & quaesti quadrati ' '. & quos si aeques propositis numeris , set vitilique idem vallar Numeri Rursus sint quadrato aequandi aci N. - . & io N. - IL quia horum interuallum est sto N. - α quo diuiso per a. fit ici N. 3. quo detracto de minore superest -8. qui ad diuisorem a. habet laticiis nem quadrati ad quadratum, resoluetur aequatio per secundam tegulam. Sit minor quadratus I erit maior 3 Q φ. I s. euius latus esto I N. set IN. 4. Etunt ergo quadrati 5 . & I6. qui si aequentur propositis numeris, fiet utrobique valor Numeti Rursus sint aequandi quadrato 24 N. - 2 & s - . I . cum horum interuallum sit i5 N. - ra. quo diuiso pet et. st 8 N 6. quo detracio 1 minore superest i 6. quadratus. Explicabitur aequatio per primam reeulam. Sit minoris quadrati latus I N. erit ipse I 6 - 8 N. . I in ergo maior erit Is-- 24 N. - . a Q. euius latus est Α - 2 N. set N. 8. ergo quaesiti quadrati sunt Aoo. & rq . qui si aequentur propositis numeris, fit utrobique valor Numeti . .
SE proponatur si placet hae duplicata aequalitas nempe a N. - s. ct s N. - I.
aquandi quadrato. uadratus aqua dus a N. s. erit Io se quadratus aequandue s
289쪽
N. -- 3.erit 3 s. in inuenientur ali, n infinitum quaestionifatisfacienses,nec diffite es regatim generalem ad huι mori qua onum Iolutionem proponere, ut vix lιmitatio ista Baeheii sit tanto viro digna , cum ad in Itos easus extendi, quod in duobus ranium adinvenit, facillime possit, imo se ad casus omnes possibiles.
I quo quadratus maximi superat quati tum med ij, ad interuallum inedii & minimi , datam habeat rationem, sed & bini sumpti faciant quadratum. Porro excessus quo quadratus miximi superat quadratum medis , ad excessum med ij supra minimum sit triplus. Quandoquidem maximus & medius faciunt Maaratum , sa-ciant I 6 Q. ergo maximus est maior quam 8 inesto 8 Q. -- a. & quando maximus& medius coniuncti superant summam maximi & minimi, at maximus & medius
simul sunt 16 erit utique summa maximi & minimi minor quidem quam s Q. sed maior quam 8M Igitur summa maximi & minimi esto 9 Atqui summa maximi & medii estis inquesum maximus
est 8 --- a. erit ergo medius 8 Q a. Tertius vero I α - a. ω quia volo excessum quo quadratus maximi superat quadratum med ij, ad excesssum medii supta minimum esse triplum, sed excessus quo quadratus maximi superat quadratum
medij est 6 At interuallum medij Seminimi est in cuius triplum est xi in
Porro ε insunt ex 32. in a. ductor incumbit ergo mihi ut numerum aliquem inueniam, qui per 32 multiplicatus faciat Νai. est autem Pono igitur primum 8 Q - . it. Medium 8 Q. - δε- tertium I Q IL& testat implendum unum postulatorum, nimirum ut summa me dij & minimi sit quadratus numerus. est autem haec summay Q - Ω- hoc ergo aequatur quadrato at tere 3 N. - 6. & fit i N. II. Ad positiones. Erit primus Ioa ., secundus tertiua
290쪽
Ille quatuor praestanda sunt. PtImo summa maximi de medii debet esse quadratus, ideo satu tut
6 Q. & poni poterat quilibet alius quadratorum numerus quadratus. Quia vero ex duobus inaequalibus numeris, patet maiorem illorum eae me semissem luminae ipsorum eodem numeto, quo minor deficit ab eodem semisse, ideo posto maximo 8 α- . a. sequitur medium esse 8 Q a. Secundis summa maximi di minimi debet quoque esse quadratus, sed quia summa maximi di minimi . minor est summa maximi & medij eodem numerci quo medius superat minimum, ideo eum posita si summa maximi & medii 16 oportet utique summam maximi & minimi minorem inciquam Io Quia vero, ut dictum est, ipse maximus maior est quam 8 multo magis summa maiaximi di minimi, maior etit quam 3 Q. quare recte concludit Diophantus, pro summa maximi &minimi sumendΛm esse quadratum minorem quam Is in maiorem quam 8 Q. puta s munde si a feratur maximus qui positus est gQ. - . a. restat minimus α- a. Tettio excessus quadrati maximi superquadratum medii ad excessum medii supra minimum, da tam rationem habere debet, put, triplam. Quia vero maximus est binomium constans ex quadratis& unitatibus, puta 8 Q -- I. At minimus est residuum eiusdem bino mil. puta 8 a. Quadratus
autem binom ij exeedit quadratum sui residui, quadruplo plani sub partibus comprehensi , ut constat ex genesi quadrati per quartam secundi Euclidis, cum quadrati partium sint iidem tam in hinimio quam in residuo, ideo sequitur interuallum quadrato tum maximi & medii esse quadrupli, mptoducti e2 8 Q n a. nimirum 64 Q At interuallum medii & minimi est euius triplum a1 α
aequati deberet 64 R. Iloe ergo ut per ipsas positiones consequamur, quaerendus est numerus loco ipsius a. qui quater ductus in8. seu in 32. semel , e sciat Ir. hoc habetur diuidendo et t. per a et estque Hune igitur sumentes loco ipsius a. etit maximus 3 Q D m. medius 8 Q. - Minimus 1 αυή. & se pet ipsas positiones tribus postulati partibus est satisfactitin. atto testitui summa media & minimi sit quadratus. Quare s Q aequaagus est quadrato, euius latus ponitur a Diophanto N. - 6. non absque cautione aliqua. Etenim talis inueniri debervatot Numeri, ut i mit maior quam m. quia scilicet minimus numerus positus est I Q. - Αt tu maior erit qu in I '. si sit maior unitate, & si I Q. maior sit unitate, erit & I N. maior unitate. Ita que eum fiat valor Numeri ex quodam quadrato adsciscente ς.. & sic diuiso per sextuplum sui lateris, ut autem fiat quotiens maior unitate, oportet diuisum numerum esse maiorem diuiso te, quaerendos in numerus eui in quadratus adsciscensusit maior sextuplo ipsius numeri. Porro talis est 6. & omnis numerus suprὶ 6. Quia enim quadratus ipsius 6. aequatur sextuplo sui lateris, & quadratus euiuilibet
numeri supta 6. est maior sextuplo sui lateris, patet addendo ad huiusmodi quadratum fieri sem pei numerum maiorem sextuplo latetis. Ideo numeti s -- E. latus titE ponetur N. - 6. vel 3 N. - . vel 3 N. -8. & sie in infinitum. Caeterum eodem prorsus artificio soluetur huiusmodi quaest o.
Inuenire tres numeros , ut excessus quadrati med ij supra quadratum minimi ad interuallum, quo maximus superat medium datam, habeat rationem. Sed & bini sumpti iaciat quadratum. Sit data ratio tripla.
Ponatui summa minimi & med in&esto medius et I. minimus a Qin I. Tum ponais ut summa minimi & maximi quiIibet quadratus maior quam 4 Q ut a s in erit ergo maximus - . r. Est potio interuallum quadratorum minotum g tr. At interuallum maiorum T in cuius eriplum is Maequari deberet 8 Qdit autem g exa sua tet in unitatem. Itaque quaerendus est numerus loco unitatis, qui ductus in a. quater, seu qui ductus in 8. semel, efficiat is . is est j. hune ergo sumentes loeo unitatis ponemus minimum 2 Qin P. medium et Q V. maximum 7 f. Superest ut summa medii & maximi aequetur quadrato, fit ergo s -- V aequalis quadrato, cuiust,tus ita fingendum est ut fiat valor Numeri maior unitate, quia minimus positus est a Q. - Quare oportet vi I Q fit maior qu m A. quod aecidit si si maior unitate. Porrh fiet vesor numeri ex quoadam quadrato inultato numero .. & diuiso per sextuplum sui lateris. Quare ut hae diuisione prodeat quotiens maior unitate, oportet et Q. --maiorem esse quὲm s N. unde tandem sit I Q maior quam 6 N. - 43. qua aequatione resoluta fit I N. maior qu m .Igitur numeri s Q, -- V latus fingemus 3 N. - quotlibet unitatibus quae superent '. Ponatur 3 N. - et . fiet i N. eruntque quaesiti
numer; . p. m. qui satisfaciunt postulatis, nam bini faciunt quadratos a M. V. z. qum rum latera ,ri. U. interuallum vero quadratorum primi & seeundi est 'et Q. seu triplus utique interualli seeundi de tertii quod est ' M.