장음표시 사용
301쪽
- sarit 36. se inuenientur ali, in infinitum quaestionifatisfacientes,nec diffite es regulam generalem ad bus modι quaesιonum solutionem proponere, ut τιx ismitatio imi Baebeii sit tanto viro digna , cum ad infinitos easus extendi, quod in duobus tantum adinvenit, facillime risit, imo se ad casus omnes possibiles.
quo quadratus maximi superat quadratum medii, ad interuallum inedi, Se minimi , datam habeat rationem, sed & bini sumpti faciant quadratum. Porro excessus quo quadratus miximi superat quadratum media , ad excessum medi; supra minimum sit triplus. Quandoquidem maximus & medius iaci ruit quadratum , s ciant i5 Q. ergo maximus est maior quam 8 esto 8 Q. - 2. & quando maximus& medius coniuncta superant summam maximi & minimi, at maximus&medius simul sunt 16 Q erit utique summa maximi & minimi minor quidem quam Issed maior quam 8-Igitur summa maximi & minimi esto 9 Atqui summa maximi & medii estis inquo iam maximus est8 - a. erit ergo medius 8 a. Tertius vero I Q. - a. M quia volo excessiuna quo quadratus maximi superat quadratum medii, ad excessum medii supra minimum esse triplum, sed excessus quo quadratus maximi superat quadratum
medij est 6 At interuallum med ij de minimi est in cuius triplum est ri Q.
Porro in fiunt ex32. in a. ductor incumbit ergo mihi ut numerum aliquem inueniam, qui per D multiplicatus faciatat. est autem Pono igitur primum 8 - . Medium 8 4-z- tertium I Q -& restat implendum unum postulatorum, nimirum ut summa me dij de minimi sit quadratus numerus est autem haec summa' χ- , - hoc ergo aequatur quadrato a I tere 3 N. - s. &fit i N. I' . Ad positiones. Erit primus I. a. secundus texitu
302쪽
Ille quatuor praetanda sunt. Primo summa maxim; & medii debet esse quadratus, Jdeo mtulturis Q. N poni poterat quilibet alius quadratorum nummus quadratus. Quia vero ex duobus
inaequalibus numeris, patet maiorem illotum meedere semissem luminae ipsorum eodem numero,
quo minor deficit ab eodem seinisse, ideo posto madiimo 8 Q - 2. sequitur medium esse8 a. Secundo summa maximi & minimi debet quoque esse quadratus, sed quia summa maximi & minimi , minor est summa maximi & medii eodem numero quo medius superat minimum, ideo cum postast summa madii mi & medii is oportet utique summam maximi & minimi minorem ego quam Io in Quia vero, ut dimim est, ipse maximus maior est quam 8 multo magis summa maximi & mini ini, maior erit quam s Q. quate recte coneludit Diophantus . pro summa maximi &minimi suinendΛm esse quadratum minorem m Is maiorem quam 8 Q. puta s munde si auferatur maximus qui postus es 8Q. -- a. restat minimus I - 2. Tettio excessus quadrati maximi lupet quadratum medii ad evcessum medii supra minimum, datam rationem habere debet. put triplam. Quia vero maximus est binomium constans ex quadratis& unitatibus, puta 8 QP a. At minimus est residuum eiusdem hi nomis, puta 8 a. Quadratus
autem binomii excedit quadratum sui residui, quadruplo plani sub partibus comprehensi , ut constat ex genes quadrati per quartam secundi Euelidis, eum quadrati partium sint iidem tam in binimio quam in resduo, ideo sequitur interuallum quadiato tum maximi & medij esse quadruplum producti ex 8 n a. nimirum 64 in At interuallum medii di minimi est Q. cuius triplum et i inaequati deberet 6 Hoe ergo vi per ipsas positiones consequamur, quaere naus est numerus loeo ipsius a. qui quater ductus in 8. seu in 3et. semel , emeiat et r. hoc habetur diuidendo et t. per 3α .estque; . Hunc igitur sumentes loco ipsus I. erit maximus 3 -- medius 8 Q. - Minimus i α& se per iosas postiones tribus postulati partibus est satisfacium. Quartis rettit ut summa medij & minimi sit quadratus. Quare s f aequandus est quadrato, cuius latus ponitur a Diophanto N. - α non absque eauticine aliqua. Etenim talis inueniri debee ualor Numet uti it maior quam quia scilicet minimus numerus positus est I Q - l . At ira maior erit qu3m : l. si sit maior unitate, & si I in maior sit unitate, erit & x N. maior unitate. Ita que eum fiat ualor Numeri ex quodam quadrato adsciscente ... N. se diuiso per sextuplum sui lateris, ut autem fiat quotiens maior unitate , oportet diuisum numerum esse maiorem diuisore, quaerendua est numerus euius quadratus adscistensust maior sextuplo ipsius numeri. Porro tes s est 6. & omnis numerus supta 6. Quia enim quadratus ipsius K aequatur sextuplo sui lateris, & quadratus euiussi thumeti supra 6. est maior sextuplo sui latetis, patet addendo i. ad huiusmodi quadratum fieti sem- pet numetum maiorem sextuplo lateris. Ideo numeri s Q latus rite ponetur a N. - o. vel 3 N. - . vel 3 N. -8. & sie in intinitum. Caetetum eodem prorsus artiseio soluetur huIusmod; quaestio.
Inuenire tres numeros, ut excessus quadrati me dij supra quadratum minimi ad interuallum, quo maximus superat medium datam, habeat rationem. Sed & bini sumpti sectat quadratum. Sit data ratio tripla.
Ponatur summa minimi & medii 4 QA esto medius 2 α - - I. minimus et Q , I. Tum ponatur summa minimi & maximi quilibet quadratus maior quam 4 ut a s in erit ergo maximus τ I. Est porro interuallum quadratorum minorum 8 d. At interuallum maiorum s in cuius riplum is Q quari deberet 8 at autem 8 Q. ex a Q uater in unitatem. Itaque quaerendus est
numerus Ioeci unitatis, qui ductus in a. quater, seu qui ductus in 8. semel, essetatis. ithune e go sumentes to eo unitatis ponemus minimum 2 Qi v. medium et Q ς. maximum T P. superest ut summa medii & maximi aequetur quadrato, si ergo s aequalis quadrato , cuius latus ita fingendum est ut sal vator Numeri maior unitate, quia minimus postus est a Q. - V. Quare oportet ut I Qdit maior quam . q. quod aeeidit s sit maior unitate. Pore1 fiet valor numeri ex quodam quadrato multato numero & diuiso per sextuplum sui lateris. Quare ut hae diuisione prodeat quotiens maior unitate. Oportet I Q. - - maiorem esse quam 5 N. unde tandem fit I Q maior
quam 6 N. -- q. qua aequatione resoluta hi I N.maior quam .Igitur numeti s Q, -- I latus finge mus N. - quotlibet unitatibus quae superentet. Ponatur N. - Io. set i N. eruntque quaestἰ num ess l . 7t:. 'ta . qui satissaeiunt postulatis, nam bini Reiunt quadratos I, 3. . qu rum latera Q. N. . . interuallum vero quadratorum primi & secundi est . siti triplus
utique interualli seeundi & teriij quod est
303쪽
in geometrica proportiona litate, ut quiuis eorum detracto dato numero iaciat quadratum. Esto datus D. Est autem geometrica proportionalitas , cum numerus sub extremis contentus habet medium pro latere quadrato. Quaero primum quis quadratus, detractis ra. faciat quadratum,hoc autem facile fit Scelt 42 4. Pono ergo aluterum extremorum 42 l. alterum I Igitur medius erit 6 ζ N. Restat ut horum uterque demptis Ia. faciat quadratum. Proinde I Q Ιχ. arquatur quadrato, &quadrato, & 6 ἰ N. - Ia. arquatur quadrato horum interuallum est i - 6 et N. mensuratio. Metitur IN. per I N. - 6. .
horum interualli semissis in se , facit hoc aequatur minori, seu 6 : N. - Ω. & fit 1 N. Ad positiones. Erit primus Aa .
D V. Librum Diophanti commentari,
RE , et i et v et o textu, nihil hie superest dissicultatis. Quadratum qui detracto II. relinquae
quadratum , inuenit Diophantus per undeeimam seeundi, ut bene monet Xilandet, elim hoe nihil aliud sit qu m quaerere duos quadratos interuallo D. distentes. Caeterum cum ex duobus numeris quadrato aequandis I Q Ia. &6 I N. - ra. non constet quisnam sit maior altero, potest eorum interuallum statim I Q 6 e N. ut iacit Diophantus, uel etiam ε N. - i insupponendo scilieet 6 N. - ra. esse maiorem , & eadem nihilominus inuenietur solutio. Nam metientes erunt si IN.&I N. quorum summae semissis quadratus aequatur maiori, put 6 N. - Ιχ. ut prius. Hinc etiam facil/ Canonem fabrieabimus. Me pro primo quasitorum , quemlibet quadratum, qui detracto . to numero quadratum retin an Huius quadranti adde ae iam numeram , fra secundus. H e diuida pre latus primi, fricturiarώs teriit.
304쪽
sie ponendo primum εχ cum Diophanto, elim eius quadrans sit Io .dc addendo II. fiat eta. Glu tantus erit secundus. Quo diuiso per 5:. quod ematus primi, fit latus tertia '.' de ipse tertius. Diophantus loco It posuit secundum more suo mi ereprimens eum per partes a numero
IN v ε Ni Ra tres numeros in geome trica proportionalitate, ut quilibet ipsorum adsumens datum numerum, faciat quadratum. Esto datus 2o. Rursus quaero quis quadratus adscito sto. faciat quadratum , est autem i6. Pono ergo alterum extremorum i s. alterum vero I gitur medius erit N. Proinde ob ea quae in praecedente ducta sunt, restat ψ N. - ao. aequari quadrato, & I Q. - 2o. aequari quadrato, & est horum interuallum a Q. - N. Mensuratio metitur I N. per I N. - q. horum interualli semissis in se facit A. aequalem minori seu A. N. -- sto. Quod est absurdum. Oporteret enim 4 maiorem esse quam sto. sed unitates .sunt quadrans de t6. Porro I6. non est castu oblatus. Sed est quadratus qui adsciscens ro. facit quadratum. Eo igitur deuentuin est ut quaeratur quadratus, cuius quadrans sit maior quam 2 o. & adsumensao. faciat quadratum. Vtique quadratus hic maior erit quam 8o. At 8r.est quadratus maior quam 8o. Ergo si latus quadrati quem quaerimus statuimus 1 N. - 9. erit ipse quadratus rQ. - I 8 N. - 8I. hunc oportet additiseto. facere quadratum. Proinde I Q. - 18 N. - ΙΟΙ. aequantur quadrato. Esto quadraro a latere IN. II. Erit ergo quadratuSI in Ia I. - 22 N. Haec aequantur I I 8 N. -- ror.& fit I N. Erat autem quaesiti quadrati latus IN. - ρ. Erit ergo quadratus 9o ἰ- Recurro nunc ad id quod initio proponebatur, &statuo pri- 'mumqo b tertium t Q. medius ergo erit 9 N. & eo ventum est ut quaeram quo
tur quadrato. Interualli semissis in se facit w quod aequatur minori, hoc est y ' N. . sto. & fit I N. Ad positiones. Erit primus 9o l. secundus lis tertius et Lis
305쪽
IN AVAESTIONEM ILIN prima operatione oecurrunt quadrato aequandi N. - 2o. & I xo. sed mplieari non potest huiusmodi aequatio, quia horum interuallum est 3 4 N. quod fit ex IN. in I N. - quorum interualluin A. cuius semissis quadratus A. aequari debet minori, puta in N. - Io. quod est impossibile, quia 4. non est maior qu m 2o. Considerat ergo Diophantus unde . prouenem, est autem quadratus semissis numeri Numerorum 6. pro secundo positi. At secundus statuitur numerus Numetotum qui latus est quadrati pro primo positi, quia enim primus positus est 16. fit secundux - οἱ- a N.Quoniam erreo quadratus lemissis cuiusibet numeri, est quadrans quadrati totius numera,' eouuod quadrati sunt in ratione duplicata laterum, rectE concludit Diophantus quadratum 4. esse uuadrantem quadrati I 6. Quare eo deuentum est, ut loco I6. stacuamus pro primo aliquem alium quadratum, qui adscito Io. faciat quadratum, & cuius quadrans fit maior quam aci. Reliqua plava sunt , nec maiore explicatione indigent. Sed ex ipsa operatione talis Canon elici potest. Sume pro primo quemlibet quadratum, qui adsec to dato numero quadratum facιat, ct cuius quadrans excedat datum numerum. Ab huius quadramte aufer datum numerum, relinquetur secundus rquem diuide perlatus primi, orietur latus tertis.
ros, vi quilibet ipsorum , de qui a
binis producitur quibusvis datum adsumens numerum, faciat quadratum. Datuς esto s. Quoniam habemus in potismatibus; si duo sint numeri, quorum tam Vterque, quam productus eorum multiplicatione eodem dato numero adscito faciat quadratum , oriuntur a duobus quadraris continenter proximis. Expono duos huiusmodi quadratos , alterum a latere IN. - 3. alterum a latere I N. 4. dc fiunt quadrati, alter quidem 1 Q. - 6 N. -- 9. alter vero I -- 8 N)- 16. Aufero ab utroque s. & statuo
alterum I -- - 6 N. q. alterum rQ - - 8 N. - , M. tertium autem duinplum summae horum dempta unitate, hoc est '28 N. - - 29. Restat ergo vi& hic adsumpto s. faciat quadratum. Proinde -- 28 N. - 3 .a quantur quadrato, a latere scilicet a N. - . 6. & fit
R t s M A quod affumit Diophantus, uniuersalius propositum, demonstrauimus propositione dee ima tertia libri seeundi porismatum. Nam propositio illa hie saeile applieitur, si quod ibi
uniuersaliter demonstratur de quibuscumque quadratis, adaptetur quadratis continenter proximis. Etenim cum laterum interuallum fit unitas, quae numeros quos diuidit non immutat , patet quadratos multatos dato numero, una eum duplo summae illorum , unitate multato, praestare quod ait Dioph,ntus, & reliqua ' na sunt. . ε . - Porro usus erit huius porisinatis, quare demonstratum est Ioeo citato, si proponatur huiusmodiqiiaestio.
306쪽
Inuenire tres numeros, ut quem bini producunt adscito dato numero quadratum faciat, sed& quilibet in eundem aliquem numerum ductus, & assumens eundem da. tum numerum, fiat quadratus.
Datus esto s.& quilibet ductus in a.3e adsumens eundem y fiat quadratus.Exponamur duo quadrati, quotum interuallum sit a.fintque eorum latera I N. - 3. dii N. -- s. erunt ipsi quadrati I Q N. - 9. N a ION. -- 23. aufer ab utroque y. & residua diuide per interuallum laterum x. fient : - . 3N- a.& Q --s N. - . Io. primus & secundus quaesitorum , tertius autem erit duplum s urendae illorum multatum eodem interuallo laterum 2. puta et Io N. - aa. Restat ut & huius duplum adscito s. quadratum faciat. Igitur 4 -- 3I N. - 's. aequatur quadrato, esto latus eius a N. - Ih fiet I N. V. sunt ergo quaesiti numeri T. M. fr. qui satiaraciunt proposito.
EX bacprvψήione facile deducetursequens qaaestio. Inuenire q. numeros eέ conaditione , w quod sub banis prod. eitur, a cito dato numero faciat quadrarum.
Inmeniantur tres quaestionifatisfacientes ita visinguli dato numero auctι congcιant quadratos iuxta hane propo tionem. Ponatur quartus inueniendus esse I N. - Iorie rur triplicata aqualitas cuius solutio nostra methodi beneficio erit in promptu. Vide adnotata ad 24. quasionem lib. 6. siueιών itaque quasio quam proposuit Bachetus ad quasionem ia. lib. 3I. per hanc methodum qua cum muliost generalior , hoc pra-terea amplius habeι quam methodus Baeberi quod tres priores numeri auctι daxo nuis mero consecrant quadratos in nostrάsolatione. An vero ita solui possit quastio ut etiam quartus auctus dato numero conficiat quadratum, Hoc sane hactenus ignoramus. In gairatur itaque ulterius.
DAxo numero, innenire alios tres, ut quiuis ipsorum, & qui ex binisqivibusque fit, multatus dato numero faciat quadratum. Esto datus 6. Rursum similiter expono duos quadratos continenter proXimos, alterum I inalterum I- 2N. -- I. dc his adiicio datum numerum, &statuo primum I - 6. secundum I in - 2 N. - 7. tertium similiter duplum amborum dempta unitate, hoc est 4Q. - - N. - 23. Restatut&is detracto s. faciat quadratum. Proinde Q. AN. - I9. aequantur quadrato , esto latus eius a N. s. & fit quadratus 4--- 36 24 N. aequalis N. - 19. & fit IN. L Ad positiones. Etit primus Id'. se
Poa su A quoque quod hie assumitur, demonstratum est 3 nobis propositione dec; maquarta libri secundi potismatum, sed uniuersalius , cuius etiam usus ampliari potest, eodem prorsus modo, quo ad placedentem docuimus id fieti posse in simili potismate.
307쪽
ο μυ πωπς κε r. δὲ τρίτος ΙΝ v v N i R a tres quadratos, Ut quem bini faciunt planum, sive adsciscat amborum summam, siue reliquum , faciat quadratum. Habemus rursum in potita tibus. Quod duobus quibusque quadratis
continenter proximis adinveniri potest alius numerus, qui cum sit funamae illorum duplus, & binario amplior, tres facit uumeros, quorum bini quem producunt, siue adsciscat amborum summam, siue reliquum , faciat quadratum. Statuo igitur talum quaesitorum quadratorum,
mus quadrato, sed & huius quadrans fit Q Φ 3 N. - 3. aequalis quadrato. Formo quadratum ab I N. - 3. est ergo quadratus ipse I Q. -- 9- 6 N. aequalis I Q. -- 3N. -3. dc fiti N. t. Ad positiones. Erit primus V. secundus B tertius
proposivione decimasexta libri seeundi potismatum. Itaque nihil hie superest difficultatis.
e ἐαἰ τάξωμεν F - τιν&ύωνου de ιν IN v a s I R a tres numeros , ut quiuis eorum binario multatus faciat quadratum, &qui fit ex binorum mutuo ducis, siue amborum summam abiiciat, siue reliquum, fiat quadratus. Si cuiuis superiore quaestione intrentorum numerorun adiicio a. sic consecti satisfaciunt postulatis. Quod itaque dicitur tale est. Ponimus unum eorum qui quaeruntur I Q. a. Alterum I in F 2 N. - 3. tertium ψ - lε -- 6. Sc fit quod iubetur Restat Vt 'Φ qN. - . aequetur quadrato. Proinde 3c quadrans eius aequatur quadrato, nempe I Q. -i N. - I. Quod si latus quadrati ponamus a differentia, erit
308쪽
IN huius quaestionis propositione, habet eodex manuscriptus. a viri δυο οστρι γνοιν , εανε. οσλαζη σαυαμφοτερον , εαντε, ελον , τετράγων dis, pro quo reposuimus , ὲ νωιλ κ αααμφοτερον , - τε n. - , &c. Potris duplicem modum tangit Diophantus, soluendi quaestionem istam. Primus est addenso binarium tribus numeris praee edentem soluentibus, ubi nulla opus est operatione Algebrae. Secundus est per operationem Algebrae supponendo porisma quod ostendimus propos mone decima septima libri secundi. Nimirum. Si sumantur duo quadrati , itemque duplum lummae illorum S quadrati interualli laterum, fient tres numeri, quibus si addatur sigillatim duplum quadrati liuet ualli latetum, fient tres alii, quorum bini quem producent mutuo ductu, is, siue multetur ambolum summa , siue reliquo, fiet quadratus. Vnde sanὸ operatio Diophanti manifeste pendet. sed di primus modus hinc tuam mutuatur demonstrationem , ut luce clatius est. Hue pertinet quaestio quam tradidit Vieta Zetetico duodecimo libri quinti. Quam ut eam im persecte tractauerit, omittens alteram illius patiem , eo quod Porismatum quae demon sita iiimus propositione de cimaseesta .& decimaseptima libri seeundi petialiam eognitionem non habuit. Nos τniuersalissim E proponemus hoc pacto.
inueniantur tres quadrati, ut qui si e Y binorum mutuo ductu, additus ei qui si ex quadrato dato , siue in amborum summam, sue in reliquum, conficiat quadratum. Datus quadratus esto 9.
Ponatur primi latus IN. seeundi I N. - 3. erunt quadrati I Q& ε N. - o. N si ter itus duplum primi & secundi, & quadrati inlotu alli laterum , seu ipsius y puta q--- Ω N. - . 36. Constat ergo per decimam sextam secundi porismatum productum ex binorum mutuo ductu adstito producto ex quadrato p. siue in amborum summam, sue in reliquum , facere quadratum. Restat vi tertius sit quadratus. Ergo η II N. - . 36. aequandus est quadrato, cuius latus esto a N. - . fiet a N. s. Erunt ergo quaesiti quadrati et s. 64. I96. & satisfaciunt proposito.
Inueniantur tres numeri, ut quiuis eorum multatus duplo dati quadrati, sectat quadratum & productus ex binorum mutuo ductu, detracto eo qui fit ex dato quadrato, siue in summam amborum, siue in reliquum, relinquat qua diatum.. Datus quadratus esto 9.
Si itibus per praeeedentem inuentis quadratis addas duplum dati quadrati, puta 18. sent quasti numeri 43. 8a. 214. qui satisfaciunt postulatis, ut constat ex deeimaseptima se eundi potismatum. Itaquwnon satis selieiter qudistiones istas explieauit Franciscus Vieta loco citato, eum numerorum quos inuenit proprietates penitus perspectas non habuerit.
INV a N ia a duos numeros , Ut productus eorum multiplicatione addito utriusque quadrato, summam faciat quadratum. Esto primus i N. secundus unitatum qiiotlibet, puta r. & est productus eorum multiplicationet N. summa vero quadratorum est 1 - 1 adde t N. fit i Q. - IN. - I aequalis quadrato. Esto latus eius i N. . fit quadratus I Q - Φ.- 4N.
309쪽
aequalis 11 N. - i. & si et N. t. Ad positiones. erit primus '. secundus'. de abiecto denominatore, erit primus 3. secundus s. & postulatis respondent, nam productus eorum mulat plicatione cum summa quadratorum, facit quadratum. Quotiescunque autem voles ternarium & quinarium sumere, facient nu
meri qui nascuntur, id quod iuberis. IN AFAEsT I O N EM VII.
Hi e triplex varietas contingere potest. Primo enim posto altero i N. a Iter statui potest quotlibet unitatum. Deinde primus etiam poni potest quilibet Numerorum numerus. Denique latus numeri quadrato aequandi diuersimod/ fingi potest. Restat probandum quod ait Diophantus, nimirum . si dentur duci numeri quaestioni satisfacientes , duo alii quicunque in eadem ratione sumpti, soluent quaestionem. Sint A B propositum in1- n p . e ςntcs , sint videlicet eorum quadrati CD. N productus multiplicationi, E. &c ' sis ol . iiii lina CE D. sit F. quadratus numerus. Tum sumantur G H in rationei plorum H A B. & snt eoru in quadrati X M, & productus L. N ipsorum K LM. summa sit - χ iam M λχ N. Dico N. esse quadratum. Quia enim ut constat ex eo structione undeeimae
s s. sepii 4. Κ ad L & Lad M. N permutando erit C ad K. vi E ad L. S ut D ad M. Quare & antecedentium summa, puta F ad summam consequentium , puta ad N. est ut unus anteeegens C ad unum eonse-q uente in K. Sed uterque C & Κ quadratus est. Ergo F ad N. rationem habet quadrati ad quadratum.14. .ah. . Re proinde cuin F sit quadratus ' & N. quadratus erit. Quod demonstrandum erat. Eet ipsa autem operatione sermatur huiusmodi Canon. Diu, de quadratum quemIibes unit me miaratum, per duplum sui Dreris uni Λιe ausam, Ao numeriquιeumque an ratiane quotiensis au Dnitatem, satisfacιent proposito. Caeterum eadem arte soluetur hae quaestio.
Inuenire duos numeros , ut summa quadratorum , detracto producto relinquat
quadratum. Esto primus i N. seeundus i. st productus I N. summa quadratorum I Q -- i. unde auferendo rN. manet I - I N. :equandu quadrato. Esto latus I N. - . fit I N. est ergo primus' secundus & abiecto denominatore , fit primus 8. secundus I. & satisfaciunt postulatis. Hine etiam eliei et ut iste Canon. Diti de quadrarum ouemlibet unitate muti Iam, per durum sui Iateras vini ata multatum , quotiemata initaram habebir ratisnem quasi lorum numero m. Vbi hoe animaduersone dignum oce utrit si sumantur duo numeri huie quaesioni saetissae lentes, maloi quoque illorum de eorum interuallum quaestionem soluunt. At minor illorum di interuanti . soluunt quaestionem Diophanti. Contra , si duci numeri soluant quaestionem Diopbanti, summa ipsorum, & alteruter eo tundem , nostram hane quaestionem soluunt. Sic sumptis g. & s. no-- stram quaestionem soluentibus nam summa quadratorum detracto producto, facit quadratum 49. ) maior 8. & interuallum a. eandem soluunt quaestionem; nam rumis summa quadratorum d tracto producto ne it 49. At minor s. & interuallum 3. soluunt quaestionem Diophanti. eum summa quadratorum adsumpto producto, rursus faciat 4s. Huius rei demonstratio, ab huiusmodi theore
Si numerus secetur in duas partes, quadrati partium, una cum producto multiplicationis earundem, ete quantur quadratis a toto & a qualibet parte, multatis producto multiplicationis ex toto in eandem partem.
Α - e Sit numerus R C secius in A B B C. dico quadratos ex A B. B C. una eum producto ex Α B in B C. aequari quadratis ex A C. Α Β multatis producto G A Cin A B. Itemque quadratis ev A C. B C. multatis producto ex Α C in B C. Quia enim quadratus ex 4. s. isti . A C.' aequatur quadratis ipsorum A B. BC. & duplo producti ex A B. in BC. addito quadrato GA B. erit summa quadratorum ex A C. A B. aequalis quadrato ex A B. bis, ex B C serael, & duplo . producti G A B in B C. At quadratus ex Α Β eum producto ex A B in B C. ' aequatur producto exa AC iu A B. Quare auferendo a summa quadratorum ex Λ C.
310쪽
Α B. productum ex Α C in A B, seu quod idem est, quadratum ex Α Β & productum ex Α B in B C, temanent quadrati ex A B. B C, una cum plodutio ex Λ B in B Q Eadem prorsus ratione ostem demus auferendo a quadratis es A C. B C. productum ex Α C in B C. remanete quadratos ex A BB C. una cum producto ex A C. in B Q Igitur ex omni parte constat propositum.
INva, ias tria triangula rectangula,quoiarum areae sint aequales .primum Oportet quaerere duos numeros, ut productus eoruinultiplicatione cum summa quadratorum
faciat quadratu .Hoc autem supra oste sum est, & sunt 3. & 3. quorum mutuo ductu productus cum summa quadratorum facit quadratum, cuius latus est . Compono ergo tria triangula rectangula a duobus numbris,alterum a T. & 3. alteruma 7.& s. & praeterea alterum a r. & a summa inuentorum numerorum 3.3c s. hoc esta 8. Erunt igitur triangula 4o. 42. 38. &24.7 . Tq. & I3. Ita. III.& sunt triangula, quorum eadem est area 8 o.
AGMA hu verborum iactura facta erat in textu Diophanti, ut bene animaduertit Xilander, nos eam resarcire e nati sumus, verba reponentes quae vimulis inclusa vides. Itaque nil superest disse ultatis, nisi vi demonstret ut trium triangulorum rectangulorum, modo quem tradie Diophantus inuentorum, aequales esse areas, quod prastabimus more nostro, si ptius hoe veluti
Si duobus quadratis addatur sigillatim productus ex mutuo laterum ductu, erit
compositorum eadem ratio, quar& laterum ipsorum. Sint quadrati A B. quorum latera C D. ex quorum mutuo ductu fiat C. Dieo summam duorum di is , A G. ad summam duorum G B se habere, ut C ad D. etenim ut constat exundeci- Τὸ ri '' ma octaui, A G B sunt eontinuὸ proportionales in ratione C ad D. Quare elim sit A ad G ut G ad B. erit & componendo summa duorum A G ad G. si eut summa duorum G B. ad B. N permutando.etit summa duorum A G. ad summam duorum G B.sicut G ad Rhoe est se ut C ad D. Quod erat demonstrandum. Noe posito snt numeri A B placedenti quastioni satisfacientes, sint videlicet eorum quadrati E F. & productus mutuo illotum ductu C. & summa ipsorum E F G. sitrua diatus Id. cuius latus C. summa veto ipsorum A B. sit D. tutus qua- ratus X.Tum ut vult Diophantus tmetur triangulum 1 numelis C A. sit videlicet hypotenuia L. summa quadratorum H F. di sit basis M. interuallum eorundem. & sit eatheius N. duplum producti e2 C in A. similiter formetur triangulum a nummis CB. stque hypotenuia P. summa quadeatotum H F. At si basis-interuallum eorundem ae demum ea-ctetus R sit duplum producit ex C in B. Rursus sormetur triangulum a numeris C D. sitque hypo tenuia S. summa quadratorum H K. sit basis T. interuallum eorundem & si eat heius V duplum producti m C. in D. Dico tria triangula LM N. PQR. STV. praestare quod requiritur, hoc est areas eo tum aequales esse . seu productos ex M in N. ex Mn R. R ex T in V aequales esse, se enim sequitur areas squales esse', cum sint semistes huiusmodi productorum. Itaque quoniam idem Cductus his in ipsos A B D. producit ipsos N RV erit N ad R. ut A ad B. & rursus R ad V. ut B ad D. Quonjam vetA M est interuallum quadratorum HE.&H est summa ipsorum EFG. patet Maequari ipsa F G simul. Rursus quia Q est interuallum quadratorum H F. patet inaequari ipsis E G. Est autem summa duorum g G ad summam duorum C F. seut Α ad B oet Lemnia assumptu in . I . tur est Q ad M. sietit A ad B. Clim ergo ostensu in sit esse N ad R. ut A ad R. patet esse N ad R. ut Q ad M. Quale s planus sub eet tremis N M. aequatur plano sub mediis R in ac proinde triangulorum is . Diis L M N. PQR. aequales sunt aleae. Praeterea cum ostensum sit inaequari duobus E G. quadrato