장음표시 사용
311쪽
3 sec H. scilicet ipsius A. & producto ex A in B. aequabitur idem producto ex summa duorum Α B, hoe A est ex Din Α. Qxi'niam vero Κ est quadratus suminae ipsorum A B patet K aequari ipsis E R&du- i G. Qibale em K auferendo H qui continet ipsos E F G semel, patet reliquum T aequalem esse ipsi G. ac proinde fieti ex Λ in B. Itaque cum idem Aductus in B.& in D. producat T & Q. erit Τadin ut B ad D. Sed ut B ad D. sie ostentiam est esse R ad V. Igitur vi R ad U. sic Τ ut ' se ii λ- Quare ' rursus qui continetur sub extremis Ru aequatur contento sub mediiI U T. unde
sequitur triangulorum P QI. S T V aequales esse areas , ac per eonsequens tria exposita triangula eandem protius aream habere. Quod erat detnonstrandum.
N ero inueniri possunt A. aut etiam plura in infinitum triangula aqualis area nihiI videtur obstare quo minus quaestio sit possibilis. inquiratur itaqtie vltersus. Nos hoc problema eonstruximus imo or data qualibet triangula area in ita triangula eiusdem area exhibemus v. s. daia areά s. trianguli 3. q. s. en aliad triangulum eiusdem area naut si placet eadem denomiηatis V F. Perpetua se consans methodus hac est. Exponatur quodlibet triarati m euius hy- ροιhen a Z. basis B. perpendiculum D. ab eofformatur aliud triangulum dissimile eiusdem areae, nempe formetur abs z. quadrato ors in D. bis, splanoplana latexibus smilia applicentur Z in B. quadratum bir - Zm D. quadratum bis hoc novum trianis gulsi habebιt aream aequalem area praecedentis,ab hocsecundo eadem methodo formetur tertiam, a tertio quArtum, a quarto quinιum Orflent triangula in infinitum dis ilia eiusdem area se ne dubitesplura tribus dari posse inuentis tribas Diophanta o. qa. 38. 24. 7o. 7 1 . 1 . a 3. 3μartum adiungimus disimile eiusdem tamen area. Dihe. 'IIτ' basis. I. perpendie. Et omnibus in eundem denominatorem ductis flent 4 triangula in integris aqua iis area qua sequuntur. Primum. 736o. q9938. 68962. Seeundum. 2833s. 8323o. 87986. Tertium. I783S. I33i68. 13ἡῖ 7.
Eademque methosio inuenientur triangula eiusdem area in infinitam, o qua iοδε-quens vltra Dsophantaeos limites progredietur. En etiam alia methodo triangulum cuius area faciat sextuplum quadrati fut3. 4. F.
μοι se σαι τρία τριγωνα irra εγεντα ἐμαδά. IN v a s i Ra tres numeros, ut uniuscuiusque quadratus, summa trium siue addita, siue detracta, iaciat quadratum. Quoniam volumus ut quadratus primi, summa trium siue addita, siue dempta, faciat quadratum. In omni autem trianis gulo rectangulo, quadratus hypotenusiae, Due adiecto quadruplo arear, siue detracto,
facit quadratu. Erunt utique tres numeri, hypotenusae triangulorum, rectanguloruat summa trium erit qiuadruplii areae triangulorum, quorum hypotenuis stat ipsi
numeri. Eo itaque res redit, ut tria triangula in ueniantur, quorum eadem sit area.
312쪽
trianguli rectanguli, qui assumpto vel dempto quadruplo areae, quadratum facit,iam a nobis demonstratum est ad vigesimam secundam tertii, voi etiam ustilatur , Diophanto.
Id autem iam demonstratum est, &sunt triangula M. M. 8. & 24. 7o. 7ψ. & IS. Ha. Ii3. Nunc ad propositum ab initio rediens , statuo tres in numeris hypotenus arum triangulorum, & erit primus 38 N. secundus N. tertius III N. summam vero trium , pono in quadratis quadrupli areae. Proinde 336o Q aequantur a s N.&fiti N. ,.. Ad positiones. Erit primus v. secundus VA tertius v. Exsupradictis patet posse nos construere generaliter problema. inuenire quotcumiaque numeros ut et usus eum que quadratus summa omnium siue additάyine δε- tractά quadratum faciat. Hane quaestionem forte Baebetus ignorauit Diophantum
quippe promouisset ut supra 3I. quastione Iib. . o alus in locissi quastionis huius solutionem detexisset.
DAris tribus numeris quadratis,
possunt inueniri tres numeri, quorum bini quadratos istos producam alter in alterum ducitis. Nam ii sint dati quadrati q. s.& I6. dc ponamus unumqtuesitorum I N. erit reliquorum duorum alter x. alter ω Restat ut productus ex secundo in tertium faciat 26. atqui prbductus exsecundo in tertiu est l. . Hoc ergo aequaturis. & fit 1 N. r. . Ad positiones. Erit primus i I. secundus a M. tertius 6. sed ut hoc etiam methodo exponatur. Inueni mi. aequalia I s. & omnia peri multiplicando fiunt Ismaequales 36. & fit 1l:. cuius latus γ atqui 6. fit ex mutuo ductu laterum ipsorum 4. 3c s. hoc est primi& secundi. Denominator vero A. est latus alterius quadrati I 6. Quamobrem cum iussus fueris tres numeros inuenire, quorum bini mutuo ductu datos quadratos producant,ut q. 9. I 6. sume productum ex
313쪽
lateribus ipsorum ΑΔ ρ.fit 6. hunc diuide perlatus alterius quadratus I 6. fit i N. Rursus dioide quadratum 4. per . fiunt r.& tursum divide quadratum y.pera fiunto. erit igitur primus: secundus Faenius 6. IN die EST ION EM X.
OPx RATIO Diophanti saetiis est, & Canon quem tradit ab ea depromitur. Posset tamen breuius ει facilius explieari Canon iste, hoe pacto. Num/ros pina produc Ut dati m neri , dum inter se bini est bini multiplicantur , Huido pre res
suam , quotientumiatem anastos exhibent mreneros.
Ut in exempIo Diophanti producium ex 4. in s. put, 36. Diui de per reliquum I6. fiet l. euius litus taestvnus quaesitorum. Rursus productum ex Α- in s. puta 64. di de per reliquum 9. fit euius latus at . est secundus quaelitorum. Denique productum ex s. in I 6. puta I M. diuide per teliquum 4. fit 36. cuius latus, est tertius quaestorum. Porro uniuersalius etiam proponi potest ipsa quaestio in hune modum.
Datis tribus numeris , inuenire tres numeros, quorum bini inuicem ducti, datos producant numeros. Oportet autem selidum sub datis numeris contentum esse qua
Sint dati 6. 8. D. Ponatur primus I N. secundus .f. tertius m Restat ut ex secundo in temum fiat iti fit autem hoc ergo aequatur Ia. de fit I N. a. sunt igitur quaesiti numeri 2.3. .
ΙΝVa Ni Ra tres numeros , ut qui fit ex binorum mutuo ductu , omnium sumina siue detracta quadratum faciat. Rursum primo quaerantur tria triangula aequales areas habentia. Quibus inuentis sumemus quadratos hypotenusarum. Est autem primus 336 secundus 1476. tertius Ir769. Hos nacti, inueniemus, ut iam traditum est, tres numeros, ut producti ex binorum mutuo ductu taciant datos quadratos, qui sint ij quos exposuimus autem istos, quia quivis ipsorum siue.addas ei, siue ad imas 336 o. facit quadratum. At 336o. est quadruplum areae singulorum triangulorum. Ea propter nunc in numeris pono primum Vtc. N. secundum ras. N. ertium riss N. quorum bini inuicem ducti faciunt supradictos quadratos. Restat ut hi tres aequentur 336o α& omnia ut unius fiant denominationis , reducantur ad IaI2 9. erit primus ' me. N. secundus Ra 4ς. N. tertius ' ἰlli . N. & fit trium summa V. .QV N. aequalis 336o Q. & omnia in 12Iaqq. sunt 328a 8oe . N. aequales
314쪽
C ut bene monet Xilander, a duobus praecedelitibus pendet omnino, & opera. tici Diophanti plana est, sed tota minutiarum tractatio in textu Graeco scatet mendis. Quam Diem malui in mea versione rem subiieete per veros numeros modo nobis consueto , quam in verbisci in numeris Di hantais omni ex parte restituendis diutius animum torquere.
- . ν ,3'. ii D Ophanto ipsa nimirum quaestionis solutio ) sie a nobis supplebitur fit a M
na nimis in .. Ad positiones erit primus secundus tertius de . R . ut autem propolat satisfaciant huiuimodi numeri, tu si vacat experire, nos ad ea quae maioris lunt momenti interim progrediemur.
Ni τε τε xi diuidere in duas pariates, & utrique segmento datu in numerum adficere , & tacere quadratum. Oportet autem datum neque imparem esse, is neque duplum eius N. unitas maiorem habere quadrantem quam est numerus, quo ipsum metitur primus numerus. S Imperatum sit ut utrique portioni adiungamus s. itaque efficiamus quadratum. Quia ergo volumus vlaitatem secare,
de utrique segmento addere 6. & sacere quadratum: summa duorum qui sie fient quadratorum erit 13. Opportet igirur diuidere i3. in duos quadratos, ut uterque ipsorum maior sit senario. Ergo si 13. diuidam in duos quadratos , quorum intem uallum unitate sit minus, solvo quaestionem. Sumo semissem de ra. qui est 6 .&quaero quam partem possim ad 6 I. adiungere, ita ut quadratum conficiam. Multitiplico per A. & quaero postmodum partem quadratam , quae si ad 26. adiiciatur faciat quadratum. sit pars apponenda A.
fiunt 26. -- . Q. aequalia quadrato, & si
omnia per i et multiplicentur , fiunt asin P I. aequalia quadrato, estolatus eius 1 N. - a. & fit i N. Io. Quadratus ergo Ioo. Pars quadratica H.. Pro ride pars addenda ad 16. est m. Quare pars addenda ad sc est . . & facit quadratum a latere oportet igitur ita diuidere 13. in duos
quadratos ut utriusq; latus proxime accedat ad S Et quaero quo numero ternarius multatus, & quo binarius auctus faciat supradictum numerum Γ'. Statuo itaque duos quadratos, alterum a latere II N. a. alterum a latere 3 - N. &fit summa quadratorum ab his ortorum. 2oa in in
315쪽
ΡVt C Mast stilavia problema , sed misertim δ assectum, ita ut medicantis manum vix admittat,& eum in eo enodando multum desudauerit Xilander, id tamen quod potissimum est praetermisit,aeeuratam scilicet appositae conditionis explicationem. Quim enim sit necessaria conditionis huiu, cognitio, manifestum est eet eo quod in hypothesi Diophanti tota vis aequationis conssit in diuiden do numero I 3. in duos quadratos , quotum quilibet sit maior quam 6. minor qu in . Nullibi autem traditus est modus diuidendi numerum aliquem in duos quadratos. nis numerus ille fit quadra
tus , vel suaptὸ natura ex duobus quadratis compositus. Itaque cum euidens sit, ponendo latera quadratorum II. N. -- a. - s N. arquationem sue cedere non posse nisi quadrati ipsorum a.& a. simul efficiant 13. Necesse est utique xa. componi ex duobus quadratis. Atqui a 3. est duplum dati numeri 6. unitate auctum. Certum ergci est conditionem a Diophanto allatam requirere debere, ut dii. sum dati numeri unitate auctum , sit quadratus numerus , vel compositus ex duobus quo drati . . Quod etiam validὸ confirmat ut verbis illis. Oporter a rem datum neqMe imparem esse. Nam si datus numerus sit impar, nullo modo dupluin eius unitate auctum potest esse quadratus, vel compositus ex duobus quadratis, ut sicile est demonstrate. Sit eni in numerus impar A B. euius duplum esto
Α κ o A C. cui addita unitate C D. fiat A D. dico primo A D. non esse quadratum. si enim ponatur quadratus; cuin numero pati A C. addIta unitate C D, sat A D estat. r. pMU. AD impar. Ergo quadrato impari Α D, detracta unitate C D' reliquus A C est pariter par. Qua-8. t ρε is mobrem illius dimidium A g est numerus par, eontra hypothesim. Rursus dico numerum AD ,. - non componi ex duobus quadratis. Etenim elim Α D ostensus sit, impar, necesse est e duobis, qua l. - sis dratis ex quibus componi dicitur , alterum parum esse, alterum impatem. At omnis quadratuspat, est pariter par. Et ab omni quadrato impari auserendo unitatem relinquitur pati ter par. 3ς I. p.ris Igitur , toto Α D ablata unitate, reliquus A C eomponetur ex duobus pariter partibus,' ac pioin. . , pari . de A C. paritet par est. Quamobrem illius dimidium A B, par, est eomta hypothes m. Reliqua vero verba. Neqώ. Aplum eius, &e. adeo vitiata sunt, ut nullam commodὸ rec;pere possint eqplicationem. Non dubito quidem Diophantum respexisse ad aliquam numerorum non vulgatem proprietatem, qua definitur quis numerus par deligendus si, ut duplum eius unitate auia istum sit quadratus nuinetus, vel compositus ex duobus quadratis. sed quid sibi velit in tanta jer borum eati sine diuinare non possunt. Id oneris relinquam illi qui in codicem aliquem emendatiorem incidetit. sussiciat nobis appostissimam attulisse eonditionem, eum qua necesse est eonditionem Diophanti coincidere si rese prael clibatur. Sane quod ait Xilandet verba illa corrupta, vide. ri velle, debere eum qui dat ut esse duplum numeri primi, id utique sutile est, & nulli iandamento nixum, quodque ipsa statim eruperientia teselli potest , nam si datus sit 1 o. is est duplus numeri primis. & tamen quaestioni soluendae minime repetitur idoneus , nam oporteret diuidere in duos quadratos numerum et t. Quod quidem impossibile es, ut reor, cum is neque quadratus si, neque suapte natura compositus ex duobus quadratis.
N Vme νus ai. non potest diuidi in da os quadratos infractis. Hoe autem Deillime
demonBraνe possumus, is generalias omnis numerus caius ινiens non habet trientem non poteis diuidi in duos quadratos neque in integris neqvie in fractis. Aliquando mihi venit in mentem Diophanium voluisse duplum dati numeri patis unitate
auctum esse numerum primum , quandoquidem omnes se te huiusmodi numeri componuntur ex duobus quadratis, quales sunt s. 13. 1'. 2ς. I. aliique primi numeri qui sublata unitate relinquunt numerum pariter parem. Veruntamen neque hale explicatio sustineti potest. Nam primum hae ratione per huiusmodi conditionem exeluderentur omnes numeri, quorum duplum unitate auctum est quadratus numerus , quos tamen aptissimos esse soluendae quaestioni pa
tet , quia quilibet quadratus diuidi potes in duos quadratos per octauam secundi; sed & insta exemplo
316쪽
ditemplo id eomprobabimus. Deinde excluderentur etiam multi numeri, quotum duplum uni tate auctum componitur ex duobus quadratis, quales sunt 22. 18. Q. Ec alia innumerabiles. Nam dupli horum unitate aucti sunt que. Ir . ias. qnorum nullus est primus numerus, cum quilibet mulistos habeat metientes; unusquisque tamen e duobus quadratis c satur, primus icilicet ex quadratis 36. R s. se eundus ex quadratis gr.& 36. tertius ex quadratis I O. N 23. Itaque satius erit conditionem a nobis allatam amplecti, donee aliquis ex emendatiore codice restituat Dioehamum. Solum hoe
V Era limitatio hae es, generalis nempe o omnes numeros inutiles exeluaens.
Oporteι datum numerum non esse imparem, neque duplum eius musta ιe auctiam per maxιmam qώadratum ex quo mens aratur diuisum usurda a quo uis nώ mero primo unitate minora qua multiplex quaternar,f. porto quoniam operatio Diophanti subtilis est, & non vulgatis altiscit. placet eam explicate,
quoad potero breuiter & dilucide. Primum itaque eum 33. diuidendus sit in duos quadratos , quorum uterque maior sit senario , recte quaerit ut pars quadrati quae ad 6 addita faciat quadratum , si e enim diuidendo postmodum i 3.1ia duos quadratos, quorum quilibet proximὸ accedat ad inuentu ira quadratum , satisfactum erit propolito, nam quil bet illorum non multum distabit ii 5 . Reducit autem omnia ad integros more suo Diophantus, multiplicando 6 per 4. unde fit 26. Nam inuenta parte quadratica quae ad 26. addita quadratum faciat, illius utique quarta pars addita ad 6 :. Rei et quadratum. Ponit ut ergo pars huiusmodi in. quia scilicet pars quadratica fit diutisendo unitatemper aliquem quadratum; unde sequitur χε δε aequari quadrato a vi autem rursus ad integros satteductio , dueunt ut omnia in t sc si a 6 Q. -- I. aequandus quadrato a cuius latus ita fingendum est in valoe Numeri sit maior unitate,si enim lat unitate minor,patet et . re plersique maiorem unitate ae proinde non sole proprie partem quadraticu a, unde sequitur inuentum quadratum, tota unitate, vel etiam maiore interuallo superaturum numer si A L Verbi gratia si fingatur latus supradicti quadrati x N. - . r.etit quadratus I Qu. 2 N. - - I.aequalis ab Q - - I. & set i N. d. Quare etit'euius quadrans additus ad 6 et quadratum facit rii. qui excedit ipsum 6 , plus quam 39. unitatibus, ae proinde quaestioni sbluendae morsus est inutilis. Igitur ut arte certa, non fortuito fingatur huiusmoditatus , ita ut valor Numeti superet unitatem,cum fingi possit huiusmodi latus vel a -- tot numeris. quorum quadratus sit minor quom 26. vel x - tot numeris. quorum quadratus sit maior qu m 26. Primo modo set valor Numeri, auserendo quendam quadratum 1 26. & pet residuuin diuidendo du.plu latetis eiusdem quadrati.Vt ergo quotiens si maior unitate repetiedu; est quadratus quo det tactoa 26. relinquatur numerus minor duplo lateris eiusdem quadrati, ponatur is i ergo a N. maior est quam 15 - i tandem a Q, -- a N. maior in quam 26. Qua aequatione resoluta, si I N. non minor quam Fingetur ergo latus quadrati I - - tot numeris qui excedant dum eorum quadratus sit minor quam 26. sic Diophantus posuit hoc latus i - s N. N poni posset i l N. vel 1 - ἱN.&se aliis infinitis modis. Seeundo vero modo sngendo latus quadrati, set valor Nu- meti , a quodam quadrato auferendo et s. & per residuum diuidendo duplum latetis. Quate vi fiat .aloi Numeti maiot unitate, posito illo quadrato I Q rit a N. maior quam i*- 26. & tandem l in. maior etit quam a N. -- 26. Qua aequatione resoluta fit I N. minor quam fi fingetur ergo latus i - aliquot Numeris insta 6 dum eorum quadratus excedat 26. Verbi gratia fingatur I 6 N. seti N. pars quadratica ad 6 adiicienda erit P. fietque quatiatus fit. a latere m. Vnde collige partem quadraticam hic non sumi sttim prci stactione quadrata cuius numerator sit I. Sed tantum pro Eactione quadrata quae minoi sit unitate, id est cuius numetator si minor denominatote. Inuenta porro parte quadratica - -. quae ad εἰ addita saeti quadratum euius latus di tectε infert Diophantus numerum n. ita diuidendum esse in duos quadiatos, ut latus utriusque proximὸ ae-odat ad n se enim uterque quadratus proxime accedet ad ε , . Vt autem 13. diuidatur in duos quadratos pet operationem decimae secundi, debent sumi a. & 3. latera quadratorum , ex quibus Ia. suapte natura componitur, & steti addi oportet certum numerum Numerorum, ab altero detrahi. Vt ergo utriusque quadrati latus adaequetut numero necesse est ad a. addi de a 3. auferri g. Quale s i N. supponatur esse erit utique ii. N. -- a. aequalis '. Itemque 3 -s N. se autem uva.diati horum laterum aequari debetent 13 Riare si aequentur ipsi i . fiet utique I N. paulo minor quam ae proinde ii N. & s N. paulo minus erunt quam ': 3e di. unde sequetur utrumque latus non multum distare posse hae pet consequens utrumque quadratum fore proximum numero sia atque adeo proposto rite satissas utum. Hi ne satis colligitur, quod supt, diximus, in conditionis
317쪽
explicatione nimirum, suisse necessarium numerum Ia. componi ex duobus quadiatis. Qua de causa res etiam optime succedet si datus numetus talis sit, ut eius duplum unitate auctum sit quadratus numerus, quandoquidem ramnis quadratus in duos quadratos potest diuidi pet octauam secundi. Hoe autem ut manifestius fiat, oe sinul artificium Diophanti magis illustretur et talis quaestio ptoponatur. V mrasem se re in daas paries , meumque adciendo .fiat quadratur. Patet numerum s. di uidendum eise in duos Madia os, quorum interuallum sit unitate minus, hoe est tales vi vietque
superet 4. Quare sumendo semissein ipsius s. puta o quaero quae pars quadrati hule addita faciae quadratum , & ducendo i fi 4. st 18. Posiaque parte quadrati fit. I 8 - aequandus quadrato , di omnia ducendo in in fit Is Q - I. aequandus quadrato , esto latus 4 N. - I. fiet I N. q. Igitur est . . euius quadrans puta additus ad 4 F sacit quadratum et . euius latus V. Quare s. ita diuidcndus est l. duos quadratos , vi vitiusque latus adaequetur ipsi V. Diuiditur autem s. in duos quadratos per octauam secundi, puta in l. &'quorum laterat & π. Video ergo quid addendum si ad i.& quid detrahendum a . ut fiant P. & inuenio hinc
M. inde Quare sngo quadratotum latera - 3 N.&ς - Ii N. stque lunam a quadratorum Iso . 9 - 6 N. aequalis s. unde si I N. e. sumque latera quadratorum . . E. ipti quadrati Mura unde si auferas fgillatim 4. supersunt quaesitae partes unitatis ἰ:: de
Possem etiam in huiusmodi quaestione artifieium imitari decimae tertiae sequentis, hoe pacto. POnatur alter quadratorum I inerit alter ς - qui aequari debet quadrato, ita tamen ut inueniatur maior quam A. minor quam s. sumantur ergo duo quadrati inter η. & 1. quales sunt de quorum latera X de Qigare curandum ut valor numeri cadat inter A& fit autem varot Numeri, diuidendo sextuplum alicuius numeri per quadratum ipsius unitate audium. Oportet igitur maiorem esse quam minorem quam ' .. 3e tandem N. maiores sunt quam 2I - ar. minores qu3m 22 Q. - 22. Et utraque aequatione per applosiniationem resoluta, fit IN
maior quant di. minor quam l . ponatur ergo a f. & quadrati 9 - a Matus statuatur α-αl N. set et N. H. N erunt quadratorum latera ipsi quadrati m 8e 32, a quibus auferendo sigillatim 4.
remanent qua sitae partes unitatis , E N EO. ut supra. Animaduersione quoque dignum est, eodem prorsus arti scio Numerum quemlibet ita diuidi posse in duas partes, ut utrique adiiciendo eundem datum numerum, sat quadratus, dummodo duaplum addititis numeri ad umens numerum diuidendum, faciat quadratum, vel numerum E duobus quadratis compositum. Verbi gratia. Sit diuidendus a. in duas partes, ut utrique adii ei cndo A. fiat quadratus. Patet numerum is diuidenduin esse in duos quadratos, quorum quilibet si maior qti m. sumo ergo semissem de Io. puta s.& quaero quae pars quadrati huic addita faciat quadratum , ponatur-ergo 1 - aequatur quadrato, & Omnia per I multiplicando, si s Q - - I. aequandus quadrato. Esto latus illius x - a N. st a N. 4. est ergo pars quadrati l. qua addita ad s. fit quadratus: ἰ euius latus E. Diuidendus ergo est Io. in duos quadratos, quorum latera proxime accedunt ad Diuiditur autem io. suapth natura in quadiatos, quorum latera sunt I. & 3. Quare imitando alii ficium Diophanti fingemus latera quaesitotum quadratorum I - s N.& - N. set surrima qua in diatorum to - 8 N. aequalis Io. de net i N. Sunt igitur quadratorum latera e. Aequadrati . se a quibus si auseras A. fgillatim, restant quaestae binarii partes Ri&s . Denique, non dissi nautandum eadem alte solui quaestionem quam tradidit Vieta Zetetico s. lib.
Datum numerum ex duobus quadratis compositum, rursus diuidere in duos quadratos , quoru in alter consistat intra limites praestitillos.
Sit diuidendus s. in duos quadratos, quorum alter sit maior quam I. minor quana a. sumo medium in arithmetica medietate inter i. N a. puta I . di quaero quae pars quia sati illi addita, quadlatum saciat, inuenietur modo supra tradito n. fitque quadratus l. cuius latus t. Ita ergo fingendum erit latus praefiniti quadrati ut accedat ad Quoniam vero volumus ita diuidere f. in duos quadratos, ve alter pi xim, aceedat ad i p.&detractor , . ab ipso s. superest euidens est alterum quadratum ae eedere debere ad 3 Rursus ergo quaero quae pars quadrati ad 3 q. addita, faciat quadratum .ea inuenietur modo tradito ta fitque quadratus Dr. a latete Itaque diuidendus est s. 'in duos quadratos ita vehuius latus adaequetur . . seu alterius vero sunt autem latera quadratorum ex quibus s. suapte natu a eomponitur I. 3t et. Quare eum unitati desnt r. quominus aequet t. & binarius superest M. in teruallo fingo quadratorum latera I - N.&2 - ε N. estque quadratorum summas -- ps io N. aequalis s. & fit i N. suntque latera quadratorum la. & et . ips quadrati & '''. quorum summa f. & alter puta :: . maior est unitate, minor hinatio ut postulabatur. Rursus diuidendus esto a'. in duos quadratos quorum alter maior sit quam 6. minor qu3m ro. sumo medium arithmeticὸ inter 6. & Io. puta 8. de quaero partem quadrati quae illi addita quadiatum faciat. ea est 5. fitque quadratus ' P. 1 latere m. Quia vero detrahendo 8. ab ipso ao. superest ret. Quaero rursus partem quadrati quae ad ia. addita , saeiat quadratum ea est et . fitque 'Madratus euius latus b. Itaque diuidendus est 2o. in duos quadratos, ita ut unius latus accedat ad ra. alterius .erct latus adaeque tutoseu - . Componitur autem χα ex duobus quadratis suapte natura, quorum latet a
318쪽
2. & 4. Quare eum ipsi a.desnt . quominus aequet D di ipse . superet 2. interuallo .fingo quadra totum latera a. - s. N.& 4 - 7 N. inque summa quadratorum a -- I3oin -ao N. aequalis aci. A fit i N. n. sunt igitur quadratotum latera rn. & ipsi quadrati Ze M. quotum summaeto. N alter, puta maior est quam 'P seu quam 5. &. minor quam seu quim Io. ut posui abatur. Soluit hoe problema Franei leus Vieta loco citato, alia methodo, sibique peculiari: sed eum ea . oon sit ista melior, immo sit longe difficilior, non est cur eam explicandi laborem assumamus.
utrique segmento alium atque alii idatum numerum, itaque quadratum conficere. Imperatum sit ut unitas secetur, &adiiciatur alteri segmento a. alteri s. ut fiat utrimque quadratus. Exponatur unitas AB.&secetur in G. dc ipsi AG. adjiciatur binarius A D. At ipsi G B. addatur
senarius B E. uterque igitur ipsorum G D. G E. est quadratus. Et quia AB. est unitas. At summa duorum A D. BE. est 8.Τotus utique D E erit ρ. Et hunc oportet diuidere in duos quadratos, nempe in ipsos GD. GE. Sed quoniam quadratorum alter maior est binario A D.& minor ternario D B. eo res rediit ut datum quadratum ρ. diuidam in duos quadratos nempe ipsos GD. G E. ut alter ipsorum GD. cadat medius inter binarium, & ternarium. Nam inuento ipso G D. cum A D. binarius sit, dabitur etiam reliquus A G. Est autem AB. unitas. Quamobrem Sc reliquus B G. datus erit , sia Se dabitur G. In quo secanda est unitas. Iam descriptionis ductum sie exequamur. Esto alter quadratorum, is qui inter a. & 3. cadere debet imittet ergo erit 9. - I inaequandus quadrato. Et quidem hunc aequare quadrato. facile est, sed oportet talem inueniri r Q. ut cadat inter a. & 3. Summus duos qua
dratos, alterum maiorem quam a. alterum
minorem quam 3. sunt autem & la. Iam si i Qcita adornemus ut inter hos duos quadratos incidat, solvemus quaestionem.
Oportebit ergo Latus etiam r.Q.hoc est 1 N. maius esse quam minus Vero quam s. oportet igitur ' - I Q aequantes qua drato , inuenire I N. maiorem quam m
319쪽
drati latus a 3. cum defectu aliquot numerorum , & inueniemus I N. fieri ex aliquo
numero sexies sumpto , & diuise per qua
dratum ipsius unitate auctum. Eo itaque sum redactus ut inueniam aliquem numerum, qui sexies sumptus, 3c diuisus per
quadratum ipsius unitate audium quotientem faciat maiorem quam minorem quam. . Esto qui quaeritur iN Uolo erso ut 6 N. divis pco Q. - 1. quotientem taciant maiorem quam ζζ. minorem quam: Sed di i . diuisus per ra. quotientem sectiss. Oportet itaque6 N. ad I Q. - I. maiorem habere rationem quam quae est II. ad ia. producitis ergo ex fi N. in I a.
lioc est a N. maior esse debet producto ex I Q. - I. in I7. hoc est 17 in ΦI7. Numerorum semissis in se ducatur, fit Ia 96. aufer productum ex quadratis in vilitates, hoc est 289. relinquitur Ioo7. huius latus non maius 3 i. adde dimidium numerorum, fit non maiuε ε . diuide permultitudinem quadratorum fit 1 N. R Similiter quandoquidem oportet 6 N. ad I-- r. minorem rationem habere quam quae est 19. ad ia. Inveniemus i N. non minorem c. sed de non maior inuentus est '.
esto igitur 3 b sermo ergo quadratum a latere 3 - 3 f. N. & fit Ia b Q -
' - a I N. Haec aequantur 9-I R. unde fit i N. Quadratus vero I. r . & si hine auferamus binarium , erit alterum segmentum unitatis me. alterum et .. Et postulatis satisfit. M τὸ μίπιγων. O N EM X III.
SAT is accurat quaestionem hane explicauit Xilander, multa tamen praetermisit notatu digna, quae ut sigillatim pertequamur. Aduerte priino necessariam , Diophanto hie omissam esse conditionem. Certum ea enim numerum 9 - I aequati non potuille quadrato , nisi P. quadratus suisset. Quare cum ς. factus sit addita unitate ad K lummam adiiciendorum numacorum I. & 6. evbden, est huiusmodi conditionem praescribi debere. oportet autem Ammam a ciemiarum minerorum eonficere quadratum unitate auctam. Moneo tamen sic esse eoncipiendam eonditionem, si non aliter qu,m per operationem Diophanti soluenda st quaestio. Cum enim, ut insa eoin monstrabitnunquaestio aeque bene solui pollit, dum summa numerorum additiorum unitate aucta conficiat numerum ex dicibus quadrative inpositum , poterit uniuersalius proponi conditio , nimirum sie. '-
ter autem summ.3m ainiciendorum πι-erstrum unitate auctam conficere quadratum, vel merum ex ἀώοbus quadratis compositum.
Aduerte seeundo in e iee manu exarato deesse diagramma deseriptionis Diophantaeae quod nos restituimus, cum absque illo non possint intelligi Graeca authotis verba. Caeterum abique huiusmodi descriptione res facilius & breuius explicari potest, hoc modo. Cum ad a. addendo partem unitatis debeat fieri quadratus, di ad s. addendo residuum unitatis conficiendus sit aliter quadratus , patet
320쪽
lummam quadratorum fore s. Quare u .diuidendus est in duos quadratos,quotum alter eadat inter a. α 3. alter o.& 7.c sistat. Vnde duplici via perueniri potest ad aequationem . sicut enim Diophantus,
eum qui inter 2 3.cadere debet,posuit 1 saltuum s - mie ille qui inter s.& . consistere debet poni potest i inaltet s - i QI similis prorsus erit opetatio. Certum est autem hisce quadratis inuentis solui quastionem, nam si ab freto auseratur a. ab altero o. te manebunt quaesitae partes
Α ducite tertio ut inueniat Diophantus quadratum maiorem quam 2. minorem quihu 3, rectὸ Ω-anere duos quadratos qui cadant inter a. & et . quales sunt et & ei. si enim euremus ut 1 cadat inter hosce duos quadratos, est idens est eum fore maiorem quam a. minorem quam 3. est autem facile duos quadratos reperire qui eadant inter a. N a. id enim fiet, si sumatur quilibet quadratus, intereuius duplum S triplum cadant duo quadrati. Vt s sumas 36. cuius duplum 72. triplum IM. cum inter a. N ios. cadant duo quadrati gi. N ioci. his subseribendo denominatorem 36. fien. quadrati quasti N. N . Quare si per hos soluere velis quaestionem curandum erit, ut valor Numeri eadat
Denique aduerte ut fiat valor Numeri maior qu,m A minor quam it. Diophantum vii arti scio quo iam saepe in simili usus est. Quia enim s - i a quadrato aequandus est , set valor Numeri, si
gendo latus 3 aliquot numeris, quotum sextuplum diuidetur per eorum quadratum unitate auctum. Quaetcndus ergo Numerus cuius sextuplo per quadratum ipsus numeri diuiso fiat quotiens stator quam et: minor quam Posto ergo huiusmodi numero I N. set maior qu,m et, minor quam :& omnia per denominatores H. I. N ia. multiplicando. fient a N. maiores quain 17 - - - i' minores quam Is. Proinde utraque aequatione per approximationem resoluta. set i N. maior quim - minor quam f. . Quare sumetur numerus aliquis iniet medius, puta 3 di& fingetur nume ii 9 -I Q. latus 3-3 FN. & eaetera sunt manifesta. Porro Diophanti operatio eatenus loeum habet, quatenus adiiciendorum numerorum summa unitate aucti quadratum iacit. Sed si huiusmodi summa unitate aucta conficiat numerum ex ducibus quadratis compostum, aliter operandum erit, imitando scilicet artificium eius quam ad pracedentem attulimus ex Vieta. Verbi statia. Diuidenda st unitas iti duas partes, ut alteri addendo et . alteri . fiat utrimque quadratus. Euidens est numerum Io. diuidendum esse in duos quadratos, quorum alter cadat inter a. & 3. Alter veto inter .&8. Cum ergo addendo semissem unitatis utrique dato. rum numelorum sant a l. N 7 Quaetendi sunt quadrati qui ad hos numeros accedant. Quaero ergo quae pars quadrati addita ad 2Cfaciat quadratum , ea reperietur a b. fitque quadratus cuius latus Rursus quaero qua pars quadrati ad d adiecta, saeiat quadratum , ea reperitur & fit quadratus.. latete V. Quamobrem io, diuidendus est in duos quadratos, ita vi latus unius accedat ad : . Alterius vero ad V seu ad Η. Statuentur ergo per ad aequalitatem quadratorum latera I - 7 N. & 3- 3 N. fietque summa quadratorum Io - 38 - 4 N. aequalis I . unde fiet N. erunt quadratorum latera & 2 ipsi quadrati & i. . quorum summa Io. & si a primo auferas a. a secundo I. restant quaestae partes unitatis & .d. Haec autem quaestio extendetur quoque ad quemlibet numerum , di sic uniuersalius proponetur.
Datum numerum diuidere in duas partes, ut utrique addendo alterum atque alterum numerum , sat utrimque quadratus. Oportet autem compositum ex diuidendo numero, &utroque adiiciendorum, quadratum esse, vel compositum eκ duobus
quadratis Diuidendus esto 6. adiiciendi veto 3. & 7. Cum ergo horum trium summa sit i5. oportet diuidere 6. in duos quadratos, quorum alter fit maior qu ira 3. minor qu1m s. Alter vero si maior quam 7. minor quam 13. Ponatur primus i dueti t alter 16. - i ineuius latus ita sngendum est . ut i a. cadat inter y N p. sumantur duo quadrati cadentes inter a. & s. puta 4. N quorum latera a. & l. Oportet isitur fictili una latus ita ponere, ut I N. st maiorqu3ma. minor quam 3. Porro fiet valot Nu- meti ponendo fiet ilium latus aliquot numeris, quorum octuplum diuidetur per eorum quadra tum unitate auctuin. Quamobrem rea: maior est qu m et . minor qu in & tandem 8 N. maior est quam a Q. H. a. ti et . N. minor est quam 8 Q. H. s. & vitaque aequatione pet approxiinationem resoluta fit i N. maior quam I minor qu,m Ponatur 3. & numeri i6 I in latus statuatur 4-gN. fiet a N. M. erunt igitur latera quadratorum & .. ipsi quadrati II & T S a primo' aubrendo a. seeundo . remanent quaesitae senarii paries ::.&Pl.
Rursu numerus 8. diuidendus sit in duas partes, ut alteri addendo s. alteri . fiat vitumque quadratus. Cum ergo ipsorum 8 s. . summa sit et . Oportet diuidere ao. in duos quadratos quorum alter eadat inter s. Et II alter eo stat inter . & Is. sumo medium arithmetieὸ inter utrumque te minum . puta c. & H. N quaero quae pars quadrati ad utrumque addita faciat quadratum : inuenio
hiner'. inde ἱ. fiuntque quadrati Q & γ quorum lateta in eadem denominatione sunt Diui dendus ergo mihi est aci. in duos quadratos , ita ut unius latus aceedat ad '. . . Alterius latus si proxi-