장음표시 사용
321쪽
inuin ... erunt ergo per ad aequalitate suiusmodi latera a -- 2 N.& 4 - 6 N.estque sumnia quadi totumaci ----- ao N. unde fili N. & sunt quadratotum satera ipsi quadrati VIax V . . . in od si a priore ausetas 3. posteriore 7. remanent quaestae paries octonarii, ME & -
τα Im μγασι ι. εω α μαι - ὸ ι Ni τε ταμ diuidere intres numeros, & cuilibet addere datum eundem numerum, & ita quemlibet quadratum facere. oportet autem datum neque binarium esse, neque aliquem eorum qui fit addito binario ad octonarij multiplicem. Imperatum sit ut unitas diuidatur in tres numeros, & cuilibet addatur a. & sic sat quadratus. Rursus oportet diuidere Io. in tres quadratos, ut quilibet ipsorumst maior quam 3. Si ergo iterum diuidamus Io. in tres quadratos adaequalitatis ductu, erit quilibet ipsorum maior ternario , Sc poterimus ternario a quouis det tacto, eos habere in qdos unitas diuidenda est. Sumamus itaque trientem de io. hoc est 3 c. Et quaeramus quae pars quadrata possit adiici ad 3 l. ut fiat quadratus. Omnia novies. Iam ad 3o. oportet partem a quadrato denominatum addi,& neri quadratum. Esto pars adiicienda et . & omnia multiplicentur per i in fiunt 3o in ' I. aequalia quadrato a latere N. - i fitque quadratus as QPF Io N I. aequalis 3o I. unde fit I N. 2. & I in . Parsque quadratica Si ergo ad 3o. adiicimus .. ad 3 a. addemus D. &fit quadratus Oportet igitur diuidere io. in tres quadratos, ut uniuscuiusque quadrati latus sit adaequale unitatibus I. Atqui Io. componitur ex duobus quadratis s. & r. Diuidimus ergo r. in duos quadratos ita ut Io. constet ex nibus quadratis q. ἰ:. dc . f. oportet igitur horum cuiusuis lateri adae- qitalem facere V. Sed & latera eorum stat 3. l. & omnia per 3o. multiplicentur. Et fiunt Vo. et . &r8. Ipse vero M. fit 3s. oportet itaque unum quodque latus adaeia quare ipsi sue. fingamus unius latus 3-3s N. alterius autem n N. l. Alterius denique 37 N. -- I, fiunt ab his quadrati in unam summam redacti 3 Q. - ΙΟ. iis M. N. haec aequantur Io. unde inuenituri N. nis Ad positiones. Et fiunt la- - τας -ουἄσας. ηρ, γυονται αἱ πλd a
322쪽
tera quadratorum data, ipsique etiam danis et . et Doeήνω δολιο --τοὶ, τα Iur, ta reliqua sunt manifesta. λοιπα δηλα.
ρκταπι α δμυξαναίραν, perperam vertit Xilandit & ex eius versione commodum aliquem sensum recitere nequeunt. Itaque cum eorum vim non perciperet, nihil super huiusmodi limitati ne adnotauit. Certum est autem , ut quaestio solui possit oportete ut triplum dati numeri unitate auctum sit quadratus , vel ex duobus, aut ex tribus etiam quadratis suapte natura compositis. Quare . ut Diophanti limitatio si necessaria, distendendum est numeros a. ID. I8.M. 34. 42. N alios omnes qui fiunt addendo a. ad aliquem octonat ij multiplicem tales esse, ut eorum triplum unitate auctum non possit esse quadratus , neque numerus eu duobus aut tribus quadratis conlpos tui. Et de binario quidem, manifestum est eius triplum unitate auctum puta τ. nec quadratu da cile, nee e ductus vel tribus quadratis composiluin. De aliis autem sic demonstrabitur.
Esto A. quilibet octonarii multiplex, eui addito binario sat B. N sumatur C H triplum ipsus B. cui addita unitate H Κ. sat C X. dico C X nee quadratum esse , nec e duobus vel tribus qua diatis compositum: Quia enim B. continet Α & binarium , di C H triplus est ad B, patet C H continere triplum ipsus A, S triplum binarii, puta senarium. Sit ergo C F triplum ipsius A , erit reliquus F Η senarius, in quo frumendo binarium G H, telinquetur quaternarius F G. . 8 m in Primum itaque C Κ non esse quadratum, se pro-C-- C A κ batur. Quoniam A est multiplex octonarii, est
pat, addito binario fit rursus B par. Quamobremti C H multiplex ad A. par est, ae proinde C Κ est impar ex definitione. Si ergo E K. ponatur quadratus, ablata unitate, ' reliquus C H. erit patitet par. Quare quaternarius eum metietur. Sed 3 idem quaternarius metitur C F multiplicem octonarii, ergo idem quaternarius metietur teliquum ις' η'l' u F H. sed & quaternatius metiet ut seipsum, puta FG. ergo idem quaternatius metietur reliquam
hinatium G H. Quod est impossibile. Quare C Κ non est quadratus.
Deinde C Κ. non commui ex duobus quadratis sie ostendo. Etenim si componatur ex duobus quadratis, non erit uterque par, nee uterque impar, alioquin ipse CK esset par, eontia id quod ostensum est. Necesse est ergo alterum quadratorum parem esse , alterum imparem. ' At quadratus opat est pati ter par & a quadrato impare auferendo unitatem, relinquit ut pariter par. Igitur , nu- 1 i. i. s. i mero C Κ. auferendo unitatem, reliquus C H. componit ut ex duobus paritet paribus, ' ac proinde r. 3msC H. est pariter par. Quare ut plius sequit ut quaternarium metiti bi uarium. Quod est absurdum. Igitur C Κ. non componitur ex duobus quadratis. Denique si C Κ. ponat ut componi ex tribus quadratis; non erit quilibet illorum par; nee erunt duo impares di tertius par; sic enim seret ex illis ecim postus C Κ. pat , contra id quod ostensum est. Relinquitur ergo tres illos quadratos vel impates esse omnes; ut duos esse pates di tertium imparem. Atqui neutrum possbile est. Nam primo si ponantur duo pares & tertius impar, si a terso auferatur unitas, ' relinquetur pariter par, quo addito aliis duobus quadtatis itidem pati- xi. r. 3MI, ter patibus ' set totus C H. pariter pat. Quare rursus insetetur quaternatium metiri binarium. Quod 36. I. re fest impossibile. Deinde s quilibet trium quadratorum ex quibus CK. componi dicitur, ponatur impat tinti a quolibet ipsorum detracta unitate relinquatur multiples octonari j, ut ostensum est ad quadragesimam quartam quatit, & euidentiu demonstrabitue ad octauam de numeris multangulis rpatet si i eo posto es tribus, nempe a toto C Κ, auseratur ternatius G Κ, residuum C G, multipli. cem esse octonarii sed & C F. multiplex est octonarii eu constructione. Igitur octonarius metiens totum C C. N ablatum C F, metietur di reliquum quaternarium F G. Quod es impossibile. Non erit ergo C K. quadratus, nec compostus E duobus vel tribus quadratis. Quod demonstrandum erat. Ex his liquidh apparet eum esse sensum verborum Diophanti, quem explessimus versone nostia, nam ingeniosa est. N authote digna huiusmodi limitatio. Caeterum quamuis, ut Osensum est, haec
conditici si neeessaria, non est tamen suffciens, nam non solum numeri omnes hae limitatione comprehensi soluendae quaestioni sunt inutiles , sed praeterea numerus s. N. Omnes alii qui sunt additos. ad 3a. vel ad aliquem eius multiplicem, quales sunt 4r. 3. ros. Ne . nam horum triplum addita nitate, neque quadratus est, neque numerus E duobus vel tribus quadratis compositus. Et quidem de ipso s. patet experientia, nam eius triplum vnitate auctum , puta 28. nee quadratus est , nec Θduobus vel tribu quadratis compositus. De aliis autem se demonstratur. Esto A multiplex ad 32. cui addendo s. sat B. cuius triplum unitate auctum esto C E. Dico C E. nee quadratum esse . nee ἡ duobus vel tribus quadratis compos tu in . Quia enim B. continet A. R novenarium, ipse C E. con
tinti triplum ipsius A, di triplum ipsus s. di unitatem. Sit C D triplum ipsius Α, eiit ergo D E. tri
323쪽
plum novenarii & unitas, puta numerus 28. Quare cum C D. multiplex pariter paris si pariter patdi ipse etiam D E, seu 28. st pati ter par erit totus C E, A οε B 73 paritet paeae proinde metietur cum quaternatius, sit L illius quadrans F L, constans ex F G. quadrante ipsius C D, N ex GL seu septenario quadrante ipsius D rileu 18. in quo sumatur G H , quaternatius. H Κ binarius. Κ L unitas. Cum ergo C D st multipleae ad 32. & quadrans ipsius 3 a. sit 8. patet F G multiplicem esse ad 8. & toties continere 8. quoties C Dcontinet aa. Quare FG. est pariter par, & iltiplex octonatij. Primum itaque C E non esse quadratum sic probatur. Si enim C E quadratus si, eo per quadratum 4. diuiso, net &FL quadratus. Quare cum F L sit impat, constans scilicet ea pari FG. & ἐκ impati G L, ablata inde unitate, residuum F Κ, erit multiplex octonari j per ostensa ad quadragesimam . quartam quatit. Cum ergo L metiatur totum F Κ, & ablatum F G, ut Ostensum est , metietur di 8. reliquum senatium G Κ Quod est impossibile. Deinde C E, non eomponi ex duobus quadratis sic ostenditur. Non potest componi ex duobus quadratis, quotum alter sit par, alter impar, alioquin C E esset impar contra id quod ostensum est
. t. p. V. Non eoru ponetur etiam ex . duobus imparibus L nam ab utroque auterendo unitatem, relinquetentur duo numeri pariter pares , quorum summa esset pariter par ἔ ac proinde totus C E, eonstat et ex nu-ai. t. stari . mero parater pari, atque ex binario Quare C E. esset paritet impar tantum ecintra id quod demon- o. . paris stratum est. Restat ergo ut uterque quadratorum ex quibus CE componi dicitur, sit par ', uterque
ergo erit pariter par. Quare eorum quadrantes sumendo, sent duo quadrati aequales toti F L. Cum e go FL sit impar, necesse est alterum quadratorum ex quibus componitur, esse parem, alterum imparem ,& ab impari auserendo unitatem cum remaneat patitet par, patet F Κ eu duobus patitet . . paribus compos tum , esse pariter parem . Igitur metietur quaternarius totum F Κ, sed de metietur =ρ κ' p, itet pare in F G, de se ipsum puta G H. Ergo idem quaternatius metietur reliquum binatium H K. Quod est absurdum. Denique C E non potest componi ex tribus quadratis. Etenim non potest eomponi eκ tribus imparibus neque ex duobus paribus & tertio impati, alioquin ipse C E esset impar contra demonstrata. Non componetur etiam ex duobus imparibus, & tertio pari, sic enim a quadratis impatibus concipiendo auferri unitatem , concludetur totum C E eomponi ex tribus numeris pariter paribus, &exio. i. ps, 1 binario, 'ac proinde C E esse pariter imparem tantum, cum tra id quod ostensum est. Restat ero C E componi ex tribus quadtatis patibus , qui cum sint paritet pares, & eorum quadrantes sint qua-d ait numeli, erit F L compositus ex tribus quadratis. Non erunt autem tres hi quadrati pates,neque duo impates erunt & tertius par, alioquin totus F Lerit par contra demonstrata. Non erunt etiam duo pates, tertius impar, nam si a tertio impari auferatur unitas , relinquetur totus F Κ eompositu ex itibus pariter paribus, ac proinde pariter par. Quare ut prius inseretur quaternatium metiti bina rium. Demum non erunt tres quadrati impares, nam tune a quolibet auferendo unitatem, relinquentur ites numeri quos fgiliatim octonarius metiet ut per ostensa, ad quadragesimam quatiam quarti ae proinde a toto F L ausitendo ternatium , relinquetur F H multiplex octonat ij. Ctim ergo g. metiat ut totum FH, & ablatum FG ut ostensum est, metietur idem S teliquum quaternatium
G H. Quod est impollibile. Non .est eieci CE quadratus, nee componitnt ἡ duobus vel tribus
quadratis. Quod erat demonstrandum. Caeterum an hae duae limitationes simul susscientes sint, ita ut per utramque smul excludantur omnes omnino numeri quorum triplum unitate auctum non esto uadratus , nec e duobus vel tribus quadratis compostus, non ausim temetὰ asstinate. Equidem vix ad dueor ut aliter lentrum,cum in Omnibus numeris ab unitate usque ad ras. id sm expertus.
L Imitatio ipsa Racheli est insuffleiens, imo nec ipsius experientia fatis fuit aecu
rata, nam 37 numerus cadit in limitarianem, non autem in regulam.
Vera limitatio si e concipi debet. Exponantur duae progressiones quadrati altera ab I, altera ob octonario, es una alteri superponatur sic.
Et consi erando primo terminum primum secunda quies 8. oportet datam numerum non esse duplam υnitatis quia i superponitur νnitas, neque superare duplo vni
324쪽
Deinde eonsiderando seundum terminum secunda progressionis qui es arsa maior daptam numeri supevosii qai es 4. H 8. cuis addas omnes in eadem progressione
nus qui es 118 fama tar dapiam numeri saperpositi quies I 6. st 3a,cuis addas omnes
Reliqua operatio Diophanti ex dictis ad duodecimam pet Icua redditur.Inuento I latere quadrati cui adaequati oportet latera quadratorum in quos numerus Io. diuidendus est, tum it latera quadratoria ex quibus Io.suapte natura coponitur, puta 3. 3. dij. & omnia reducendo ad eandem denominationem. sunt haee tria latera - ipse veto Y fit Il. Posito ergo valore Numeri ep. patet latera quadratotum quaestorum pone la esse ut facit Diophantus 3 -3ς N. 31 N. - 37 N. - - q. & reliqua sunt inanifesta. Placuit autem πα-o di vertete cum X ilandio ad aequalitatem. Quia enim in huiusmodi qudisti o-mbus Diophantus,cuidam lateti adaquat proximὸ latera quadratorum quaestorum, non autem aequat propri/, voeat ille hane comparationem non autem Do G. Nos etiam non aequalutatem sed adaequalitatem appellamus , scut etiam πάμαν vertimus adaequale. Porro solutionem quastionis omisit Diophantus molestiae stactionum se subtrahens sed talis est, fiex N. per quem si resoluas hypostases, fiunt quadratorum latera 'U Te Wst. Ips quadrati Titi'. a quibus si auferas sigillatim ternarium, restant quaesitae partes vultatis, videlicet; tri: Hae autem quassio extendetur etiam ad quemlibet numerum, se eam proponendo.
Datum numerum secare in tres partes, & cuilibet addere eundem numerum, &sacere quadratum. Oportet autem, ut numerus diuidendus adsumens triplum addi liiij numeri , faciat quadratum, vel numerum e duobus aut tribus quadratis com
Diuidendus esto s. addititius numerus 3. 1 tur I . diuidendus est ἰώ ttes quadratos. quorum quislibet excedat 3. senio de M. puta V & quaero partem quadrati quae illi addita, faeiat quadratum ea inuenietur & fit quadratus a latere I. Diuidendus ergo est I . in tres quadiatos, ita ut cuiusti-bet latus adaequetur U. At 34. suapte natura componitur ex tribus quadratis, quorum latera 3. a. I. fingentur ergo per adaequalitatem Maesitorum quadratorum latera 3 - y N. a. I R. & I - eritque sinuria quadratorum 14 -- 7s Q in N. aequalis I . unde fiet I N. h. sunt ergo quadrat rum laterat . ipsi quadrati Set .., . a quibus sigillatim auferendo ternarium remanent quaesta quinatis partes-Rursus uniuersalius etiam proponetur quaestio, hoe pacto.
Datum numerum secare in quotlibet partes, ut cuilibet addendo eundem numetum, fiat quadratus.
Sit secandus 6. in quatuor partes ut euilibet addendo Φ sat quadratus, oportet ergo quadruplum;psius 4 adsumpto s. putasta. diuidete in quatuor quadratos, quorum quilibet excedat A. Porroeta. diuiditur in tres quadratos s. s. . quorum primus s. excedit 4. di duorum reliquorum summa II excedit triplum ipsius 4. Quare superest ut diuidamus 33. in tres qua/ratos quotum quilibet excedat . sumo trientem de I 3. puta et . & quaero quae ess quadrati huic additi quadratum faeiat, ea est& fit quadratus diri euius latus P. . Porro I3. diuiditur in tres quadratos quorum latera . a. r. Quare per adaqualitate in conssi tuentur quaestorum quadratorum latera I 7 N. a s N. - - I9 N. Aefit quadratorum summa I3 - - ε 3 in i N. aequalis 13. unde fit x M. - . sunt ergo latera quadratoiarum it net.' quadrati quibus si addatur quartus quadratus s. habemtur quatuor quaesiti quadrati, quibus auferendo si stillatim numerum 4. remanent quaestae partes senarii die . GPA . . H. & s. Hie nulla eonditio praestribitur, quia quilibet numerus in quatuor pluresve quadratos diuidi potest, ut abundὸ docuimus ad trigesimam primam quarti, ubi etiam quarundem
325쪽
quastionum explicationem in hune locum reiecimus, quas iam enodare libet. Sit ergo propositum i, Inuenire Quos quadratos, quorum summa cum summa laterum, datum 1aciat numerum. Oportet autem dati numeri quadruplum binario auctum diuidi posse in duos
quadratos. Datus esto s. Patet ex dictis ad trigesimam primam quarti, si ad s. addamus duos quadrantes unitatis, putat sititimam 6 aequati debere duobus quadratis, a quotum lateribus si auseratur sigillatim e testant quaesitorum quadratorum latera. Porro ad vitandas minutias ducto 6 in fit 16. diuidendus in duos quadratos. Quia veto 6 ita diuidendus est in duos quadratos, ut quilibet excedat patet eius quadruplum a6. ita diuidendum in duos quadratos, ut quilibet excedat i. id est ut quilis et sit maiotqu m t. minor quam 27. Sumpto ergo medio inter i. N as. puta I3. quatio quae pars quadrati huic addita saeiat quadratum ea est pntque quadratus a latere . . Ergo latera quadratorum adaequari deis hent Qua te sumptis lateribus quadratorum ex quibus 26. eomponitur a.& s. sngentur per adaequalit,teni quasi totum latera I -- 8 N.& s - 4 N. st summa quadratorum 26 - Q, - 24 N. qualis ais. unde fit I N. Az. sunt igitur latera quadratorum Quotum semisses puta lisunt latera quadratorum ex quibus 5 componitur. Quamobrem a quolibet auferendo: remanent quas totum quadratorum latera i l. nam horum summa cum summa quadratorum conscἱt 6.
MV sTIO SECUNDA.Inuenire tres quadratos, quorum summa cum summa laterum, datum consciat numerum. Oportet autem dati numeri quadruplum auctum temario , diuidi posse
in tres quadratos. . Datus esto A. A go l diuidendus est in tres quadratos quotum quilibet meedat omnia pet q. st Ip. divide
dus in tres quadratos , quotum quilibet excedat x. Diuiditur autem 19. in tres quadratos s. s. r. quorum primo retento, superest ut residuum de Is. puta io. diuidamus in duos quadratos, qvorum quilibet excedat I. Qia ero partem quadrati quae ad s. addita quadratum saeiat, ea est di fit quadratus latere . fingo ergo latera quadratorum per adaequalitatem I -- 3 N. S 3 - 3N. stque summa quadratorum io -- 34 Q. -8 N. aequalis Io. unde fit I N. R. sunt igitur latera l: N Eese totus is . Aiuisus est in tres quadratos, quotum latera . quorum semisses sunt latera quadratotum ex quibus 4 componitur. Proinde quolibet auferendo te manent quasitorum qu diatorum latera I. p. quorum summa cum sutuma quadratorum conficit η.s V. STIO TERTIA. Inuenire quotlibet quadratos, quorum summa cum summa laterum datum con
sciat numerum. Hie nulla eonditio praeseribitur , quia quilibet Numerus in quatuot vel plutes quo libet quadrato, diuidi potest sussicit ergo, si datus numerus tot quadrantibus unitatis auctus, quot quadrati postulantur, diuidat ut in totidem quadratos, quorum quilibet excedat '. seu quod idem est: si dati numera quadruplum auctum tot unitatibus quot quadrati postulantur, diuidatur in totidem quadratos, quorum quilibet excedat I. Quod perficietur eadem atte.
Sint inueniendi quatuor quadrati. quorum summa adscito triplo summae laterum, faciat 3. Quoaniam ut lemma uniuersaliter demonstratum ad decimam tertiam quarti,smnis quadratus audius triplo sui latetis ,& numero aisaeit quadratum, cuius latus detracto I et exhibet prioris quadrati latu . At quater a '. conficit 9. & volumus quatuor quadratos eum suis lateribus efficere 3. patet addito ad s. eo deuentum esse ut numerus ia. diuidatur in quatuor quadratos, quorum quilibet eris cedat et . . nam si a latete cuius ibet auferamus I restabunt quaesitorum quadratorum latera. Diuidiis tur autem Ia. in quatuor quadratos 4. . v quorum tres primi satis congruunt proposto, cum quilibet excedat 24. Quartus vero minor est. Quare oportet rursus diuidere ia. in quatuor alios qua dratos proposito satisfacientes. sumo . quadrantem ipsius Ia. de quaero partem quadrati quae illi addita quadratum iaciat, ea est .... sitque quadratus latere 44. Ita igitur fingam quadratorum latera, ut quotlibet per adaequalitatem proxime aecedat ad is Et quia inuentorum latera ad eane
326쪽
ilem redacta denominationem sunt l. P . sumo differentias numeratorum a 26. & fingo laterae quaesitorum quadratorum 2 - 4N.2- N.l- Σαε- 8 N. fitque quadratorum summa Ia - N. aequalis Ia. unde fit IN. seu . B. Quare latera quadratorum sunt et . Uz . E. . Proinde a quolibet auferendo I supersunt quaesitorum quadratorum latera I. insuntque
ipsi cluadrati ZE;- ζ... o . .. quorum summa cum triplo summae laterum quod est Iri . iacit .i: . seu 3.
VNi r A T E M diuidere in tres numeros , & addere cuilibet ipsorum alium atque alium datum numerum, &facere unumquemque quadratum. Sunto dati a. & 3. N q. Rursum eo res rediit ut diuidam io. in tres quadratos, ut primus ipsorum sit maior binario , secundus sit
maior ternario, tertius sit maior quaternario Si ergo unitatem bifariam secantes, cuilibet datorum adiiciamus oportebit quaerere unum quadratorum maiorem quam 2. minorem vero quam amicrum maiorem quam 3. mino rem quam 3 . tertium denique maiorem quam q. minorem quam 4 . EoquEomnia deducuntur ut Io. ex duobus conia
flatum quadratis, rursus diuidam in alios duos, ut unus eorum maior sit quam a. minor quam a Q. Et ab hoc si auseramus i. inueniemus unam partium unitatis. Rursus alterum quadratorum diuidemus in alios duos quadratos, ita ut unus ipsorumst maior quam 3. minor quam 3 a. A quo item si detraxero 3. inueniam alterum
quaesitorum. Eadem etiam ratione inueniemus tertium.
EX adnotatis ad duodecimam & decimam tertiam pendet quaessonis huius enodatio, & verba Diophanti fatis sunt perspicua, sed totam operationem, quam ipse praetermisit, in tyronum gratiam subiicere non grauabor. Quoniam Io. diuidendus est in tres quadratos, quorum primus sit maior quam a. secundus qu in I. tertius quam 4. Diuido primum io. in duos quadratos quorum at ter eadat inter a. & 3. id fiet per ea quae attulimus ad duodecimam, eruntque huiusmodi quadrati,ii' & abs quorum latera r, & 2. Habeoque iam unum ex tribus quadratis quaesitis, puta qui maior est quam a. minor quam 3. unde si auferatur a. remanet una ex quaesitis partibus unitatis, puta Restat ergo ut reliquum quadratum diuidamus in duos quadratos quotum alter eadat inter 3. & 4. Id net per ipsam operationem decimae tertiae. Qisero primum duos quadratos qui eadant i tet 3.&4. quales sunt ατ & re quorum latera ' Ae Tum posto altero quadratorum I altero. I inposterioris latus ita fingendum est. vi fiat 1 N. maior quM ς minor quam V . Nngs debet hoc latus 1 : minus aliquot Numetis quorum duplum ductum in D& diuisum per ipsorum numerorum quadratum unitate auctum fiet valor Numeri aiate posito numero Numerorum x N. fiet a N. diu stis per I Q. - I. maior quam P minor quam Et utraque aequatione per approximationem resoluta fiet I N. maior quam , mi nor quam . Ponatur ergo a l. & sngatur numeri . i Q. latus, X a 3 N. fiet i N. latus
scilicet primi quadrati, estque latus seeundi III. suntque ipsi quadrati & l: i a priore
327쪽
s auferas a. A posteriote 4. remanent reliquae partes unitatis . I: L & quibus si addas nimam iam inuentam seu ut idem sit denominator tuta erit quaestio. Posset etiam alitet institui opetatio, fingendo scilicet simul & semel itia latera quadratorum, e dem artifieio quo lain usi sumus ad decimam tertiam. moniam enim Ici. diuidendus est in tres quadratos quorum primus superet 2. secundus 3. tertius 4. Diuido unitatem in tres trientes, & euilibet datorum numerorum addo ἰ. suntque a 3.3 . . . Iam quaero partes quadrati quae sinpulis additae quadratum faciant, eae sunt risi is . . & sunt quadrati N a. quorum latera Id 2 M. ut omnium si idem denominator. Oportet igitur ita fingere Iatera quadratorum, ut primum adaequetur: . secundum adaequetur a. tertium adaequetur M. Porro numerus Io. diuiditur in tres quadratos , quorum lateta 3. quae ut reducamur ad eandem denominationem eum lateribus adaequalitatis . Gunt haec Ηἴ la' in. Illa veto A Itaque fingentur per adaequalitatem latera primum - . 16 N. secundum : -- 385 N. tertium 3 - I66 N. fitque summa quadratorum
Io-8 71o -- 4sa N. aequalis Io. unde si N. sunt igitur quasta latera, primum secundum DT. tertium 'EN. Ipsi veto quadrati lyM S E RES. Et s auferas a. a primo, 3. secundo, 4. 1 tertio, remanent quaesitae partes unitatis η irit a VCaeterum non est dubium, & h;e requiri huiusmodi conditionem.
Oportet autem darorum numerorum clummam umrata avictam conjicere numeram qui in iras γ dra.
ras ima, possit Patet etiam eodem artiscio quemlibet numerum diuidi posse in tres partes, ita ut euilibet addem
do alterum atque alterum numerum sat quadratus. Et rursus tam unitatem quam numerum quem
libet diuidi posse in partes quotlibet, quibus addendo datos quoscunque numeros, fiant quadrati. Quae omnia facilὸ mihi esset exemplis eommonstrate, sed huic labori, ne sim prolixior, supersedebo.
DAτvM numerum diuidere in tres
numeros , ut bini coniuncti quadratum conficiant. Datus esto Io. Quoniam de tribus sui quaeruntur numeris maior & medius limul faciunt quadratum, sed & medius cum tertio facit quadratum,& tertius cum primo. Ergo tres bis sumpti faciunt tres quadratos, quorum quilibet minor est quam io. Sed tre. bis sumpti sunt ro. Oportet ergo diuidere sto. in tres quadratos,quorum quiuis minor sit quamio. Atqui ro. componitur e duobus quadratis is. & . Et si de quaesitis unum ponamus 4. oportebit diuidere 16. in duos quadratos, quorum quiuis minor sit quam1o. Didicimus autem datum quadratum diuidere in duos quadratos , ut quiuis eo rum maior sit quam s. minor quam Io. sunto ambo simul 16. Itaque 2o. divisus erit in tres quadratos, quorum quilibet minor erit quam io. & si unumquemqueauseramus a denario, inueniemus reliquos, quorum bini coniuncti quadratum faciunt.
OP ast Aetio Diophanti facilis est, & ex dictis in praeeedentibus pendet. Certum est autem eum
tres numeri sumuntur bini & bini, unumquemque bis sumi, quare posita summa numerorum Io. necessc est summam quadratorum quos bini conficiunt esse M. Igitur oportet diuidere ao. in
328쪽
tres quadratos quorum quiIibet si minor quam Io. tum vero sngulos quadratos ab ipso Io. de trahendo, remanebunt tres quasiti numeri, ut constat ex Canone decimae-sexta primi: Quoniam vero aci. diuiditur suapte natura in duos quadratos A. & Issi quorum primus inanor est quam Io. ae proinde congruit proposito. Restat ut diuidamus Io. in duos quadratos, quorum quilibet sit minor quam Io. maior quam 5. quia scilicetio. & 6. conficiunt Io. Hoc autem set per Operationem de cimaei et tiae hac arte. Sunio duos quadratos inter S. & I . puta s. quorum latera 3. & Positoque altero quadratorum quaesitorum 1 in altero iε fingo huius latus 1 4 - tot numeris, ut fiat I N. maior quam ζ. minor quam 3. fiet autem valor numeri, si Octuplum numeri Numerorum diuidatur per ipsorum quadratum unitate auctu in . Quare posito numero Numerorum I fiet maior qu m . minor quam 3. unde utraque hac aequatione resoluta, inuenictur IN. maior quam minor quam L. ponat ut 'P. Igitur quadrati Is - I QIatus statuetur 4 -'. N. de fiet i N. q... latus scilicet unius quaestorum quadratorum , estque alterum E . Quamobrem tres quaesiti qua drati sunt . quos si auferas fgillatim a denatio, restant tres denari, quaesitae parte, o Hine eollige huie quoque quaestioni praest tibi debete huiusmodi eonditionem. Oportet da . ntimeri duplum H id. posse in tres quadratos. Potest etiam alitet institui operatio, fingendo simul & semel trium latera quadratorum, di imi tando artificium decimaequatiae hoc paelo. Quoniam et . diuidi debet in tres quadratos, quorum quilibet si minor qu in Io. sumo trientem de et . puta 6 . N quaero partem quadrati quae huie addita quadratum faciat, haee est fitque quadratus et:. Iatera R. ῆngenda ergo sunt latera qua dratorum, ut unumquodque adaequet Potio numerus et . diuiditur in tres quadratos, quorum latera q. t. t. quae redacta ad eandem denominationem eum numero adaequalitatis, fiunt et O. ti. Ipse vero adaequalitatis numeras fit G. Quamobrem fingentur aptὸ latera quadratorum 4 8s N. D N. ρ - ' N. estque senim a quadratorum Io - - 17vs Q - 292 N. aequalis et . unde
fit I N. sunt ergo latera quadratorum m& Tl. Ipsi quadrati & R . quos si auferas fgillatim a denario, remanent utique quaesitae denarij partea M.ta:. si iii.
DArvM numerum diuidere in quatuor numeros , ut terni coniuncti
quadratum faciant. Datus esto io. Quoniam qui a primo deinceps tres iuncti faciunt quadratum, itemque tres a secundo ,& tres a tertio, & tres a quarto dein ceps idem praestant. Ergo quatuor numeri tersumpti faciunt quatuor quadrato S. At quatuor numeri ter sumpti faciunt 3o. Ergo 3 o. diuidendus est in quatuor quadratos, quorum quilibet minor sit quam Io. Hoc autem sic inuenietur. Si per adaequalitatem statuamus quemlibet de unumquemque quadratorum auferamus de io. inueniemus quaesitos. Sin autem animaduerto 3o. componi ex I6. 9. q. &r. ponam 4. & 9. quandoquidem uterque minor sit quam Io . si ergo I7. diuidamus in duos quadratos ut didicimus, quorum alter maior sit quam 8 . minor quim Io. erit uterque ipsorum minor quam Io. Proinde si utrumque eorum de Io. auferamus , inueniemus reliquos de quaesitis. Nam duo iam sunt inuenti, nempe ε. de
329쪽
DVpLIellu operandi modum tangit Diophamus in proposito exemplo. Primus talis est. Quo
niam so . diuidendus est in quatuor quadratos , quorum quilibet sit minor quam Io. sumo qua.drantem de 3 o. puta . & quaeio partem quadrati quae huie addita quadratum faciat, ea est fit que quadratus a latere Curandum ergo ut diuidatur 3α in quatuor quadratos, ita ut cuiuslibet latus adaequatur Atqui 3o. suaptε natura diuiditur in quatuor quadratos , quorum latera sunt 4.3. a. i. Quare per adaequalitate in statuentur quaestorum quadratorum latera Α - 3 N.3 - I N. a N. I - N. eritque summa quadratorum 3ο -- 84 Q. - 2o N. aequalis 3o. unde fici i N. Etunt igitur latera quadratorum Η. E. Ips vero quadrati V. i. quibus sauferatur scillatim numerus io. remanent quaestae dena ij partes '. 'a:. Secundus operandi modus talis est. Quoniam 3o. suapte natura diuiditur in quatuor quadratos 15. s. . a quorum duci s. & 4. proposito congruunt eum sint minores denario restat ut reliquotu lum main puta 1 . diuidamu in duos alios quadratos , quorum quilibet si minor quam Io. maior quam 'quod si fiet, sumo semissem de i . puta 3ὁ de quaero partem quadrati quae illi addita quadratum se ei at , ea est & fit quadratus a latere l . Quare per adaequalitatim snsentur lateta
quadratotum 4 - I3 N. & I -- 23 N. est summa quadratorum I - 698 Q - 38 N. aequalis I . vnde se x N. Quare latera quadratorum sunt Ips quadratis quibus ad dendo tertium & quartum 4. & s. habemus totum 3o. diuisum in quatuor quadraios , quos sollatim auferendo a denatio, remanent quaesitae denarii partes, puta : T: .. 6. N I. terum intextu Graeco verba illa mendo non carent, aαν otia ' τὸν Me
nam si numerus α. α ψ. hoc est 3 ἱ retinendus est, procul dubio non sed aet e ν legenduin est, nam impossibile est numerum II. diuidi in duos quadratos quorum uterque si maloe quὶm g ut euidens est. Quod si vocem a orasm retinere libet, numerus p. α ς mutandu, est in seu in vere enim numerus i7. diuidendus est in duos quadratos quorum uterque sit maior qutin . minor quam Io. sed & postrema verba mutila erant, ut ex iis quae adiecimus manifestum est. Demum moneo eodem prorsus artificio datum numerum diuidi posse in quinque partes , ut quaternae quadratum conficiant, vel in sex partes, ut quinae quadratum faciant, & se in insultum. Restat vi quaestionem explicemus, quam in hunc locum reiecimus in adnotatione ad sextam tertii
Inuenire quinque numeros quadrato aequales , ut quaterni reliquum superent
Ρonatur summa eorum quilibec quadratus , puta r. Quia ergo ut ostensum est ad visesimam primi summa excessuum tripla est summae numerorum , est summa excessuum . Oportet igitur diuidete g. in quinque quadratos, quorum quilibet sit minor quilin I. Et quidem diuidendo bis vilitatem in duos quadratos, totus 3. diuisus etit in quinque quadratos, puta in R. . r. H. I. Sed quia quintus non est in inor unitate, adii eio eum vni priorum, puta I.. &fitIψλ. diuidendus rursus in duo, alios quadratos, quorum quilibet sit minor qu in I. lemissis summae est cui proximua est quadra tu, Aj. latete T. Ita ergo diuidendus I in duos quadratos ut eui usibet latus adaequetur Qua re fingentur latera quadratorum I - 2 N.&ρ - N. fitque summa quadratorum I - . 33 Q. N. aequales i unde fit I N m sunt ergo lateta quadratorum N II: ips quadrati ' &Quamobrem quinque excessus sunt T. quos si auferas stillatim ab vi,ita ie , & tesduorum semisses sumas, fient quaesti numeri i . . anu. Ita si quaerantur sex numeri quadrat ci aequales, quotum quini reliquum superent quadrato nia meto, ponetur summa numerorum quilibet quadratus, puta l. Et quia excessuum summa est quadrua pia summae numerorum . diuidetur 4. in sex quadratos, quorum quilibet sit minor quam r. quod fiet eodem plot sus attifieio. Et sic ad quotlibet numeros quaestio extendetur. ,Immo res extenditur, etiam s proponatur quilibet datus numerus diuidendus in quotlibet pat- te; . ut cimnium una dempta super reliquam excessus si quadratus numerus. sed si tres tantum patres postulentur, oportebit datum numerum diuidi posse in ites quadratos.
330쪽
ipsorum, faciat cubum. Statuatur sumis intriuini N. Quaesitorum autem alter 7 C. alter 16 C. tertius C. & conitat cuia bum summae adscito quolibet ipsorum facere cubum.Reliquum est ut tres isti coniuncti faciant i N. sed tres conlucti faciunt q6 C. Hoc ergo aequatur I N. & omnia per numerum dividantur, fiunt ρε Q. aequales i. dc vilitas quidem quadratus est, ac si ρε. item quadratus esset, soluta suisset quaestio. Proinde quaero unde 96. ortus sit, est nimirum summa trium numerorum, quorum quilibet unitate audius cubum fac it. Itaque eo res rediit ut inueniantur tres numeri, quorum quilibet unitate adscita cubus fiat, sed & summa trium sit quadratus. Ponatur primi latus IN. . secundi vero χ-I N. terti j a. cubi fient, primus quidem s N. - I. secundus 6 8 - I C. - IaN. tertius 8. Ausero ab unoquoque unitatem, de statuo primum I C. 3 R. 3 N. secundum 6 QUΦ 7. - I C. - Ia N. tertium 7. Reliquum est ut summa eorum sit quadratus, fit autem y FIε -9 N. aequalis quadrato a latere 3 N. - . &fit I N. G. erit igitur quaesitorum primus ἰ:ll. secundus τοῦ. tertius 7. Venio ad id quod initio propositum erat, & pono primum secundum τοῦτ C. tertium 7 C.&rursus statuo trium summam 1 N. & fiunt C. aequales i N. dc omnium decima- quinta pars sumatur, de omnia per numerum dividantur, fiunt aqI6 aequales dirue. de fit i N. 8. Ad positiones, dc constat
cubi unitate multati, quorum iumma sit quadtatus numerus. Et ponit Diophantus latus pridiii N - r. latus seeundi 2 - I N. ubi numeri eontrario signo assiciuntur , ut etiam in tubis, numeri cuborum contrario signo reperiantur assecti, cum hine reperiatur I Q inde vero - a C. unde fit ut in summa eus rum eubis se mutuo elidentibus, remaneant solum Quadrati. Numeri, & Vnitates et cum autem tertii eabi latus ponatur quilibet unitatum numerus. puta a. eius cubus ψnitate multatus, puta 7. est certus unitatum numerus. cui additus summae priorum cuborum unitate mulis talorum , non eonstituit diuersam speeiem , quia in illa summa, ut dictum est, repetiuntur unitates; se fit summa trium ei, tum unitate multatorum s QL- ΙΑ. - N. quae quadrato aequari debet Hoe vero seti non posset, si numerus quadratotum ς. non esset quadratus, ut euidens est, quod ta men non animaduertit Xilander. Vt ergo positiones arte certa, non easu instituantur, videndum unde in summa cuborum contentus numerus quadratorum prouenerit. Atqui est triplum iam maeviatatum quae ponuntur in primo & secundo latere , quia videlicet is psimo latere ponitul It