장음표시 사용
331쪽
in seeundo r. quotum summa 3. cuius triplum s. Idcirco se in repet untur in sumnis eu-borum. Igitur eum in primo latere ponatur I. cuius triplum 3. Oportebit in secundo latere constituere tot unitates , quarum triplum adsumpto 3 faciat quadratum , id autem facillime fiet, infinitisque modis si quolibet quadrato auseratur 3. & residui triens lumatur , ut si , mauseras . residui triens a. poni poterit in secundo latere, ut secit Diophantus. Rursus si 1 W.auferas g. residui triens II. congruet proposito, Ec poni poterit secundum latus Π -IN. ερ sic in infinitum. Tertius quoque cubus poni potest quilibet unitatum numerus cubicus; ita si loco 8. quem posuit Diophantus, sumas et . erit summa trium cuborum unitate multatorum 9 α - 33 - 9 N. aequalis quadrato, euius latus si fingas 3 N - 6. fiet IN Ze diuersa omnino continget solutio xb ea uuam tradit Diophantus, quam sane in salsis numeris affSnauit Xilander, in eo allucinatus quod putatuit i N. fieri eum fiat . . Quare tres quaesiti numeri sunt Min. Mia. Quorum summa est M. cuius eubus qua addit ad singulos numeros, fiunt cubi vii R. quorum I Αi imadu isione praeterea dignum est numeri s Q - t - s N. latus caut E fingendum esse. Quia enim latus seeundi cubi positum est 2 -I N. necesse est I N. minorem esse quam a. fiet autem valor numeri fingendo latus quadrati 3 N - tot unitatibus,quarum quadratus superet I . diuidendo liarum
unitatum quadratum multatum numero l . per sextuplum earundem unitatum multatum numerodratus excedat I .POm Diophamus a N- . unde fit I N, iri.
Caeterum ex ipsius operationis ductu manifestum est; quaestionem ad quotlibet numeros extendi posse. Nam verbi gratia propositum sit inuenire quatuor numeros, ut cubus sumina: eorum, quouis adsumpto eubum liciat. Sanὸ quaerendi erunt quatuor cubi, quorum unitate multatorum summa sit quadratus numerus. Ponatur primi latus IN. I. secundia- IN. terti j X. quarti 3. Erit summa euhorum unitate multatorum 9 -- 4o- 9N. aequalis quadrato. Quod si Numeri determinati nem quaeras inuenies fingendum latus 3 N. - tot mutatibus quae simi minores quam I3 l. ita ut earum Quadratus excedat M. Ponantur ergo 7. Et sit latus fictitium 3 N. - . fiet I N. Erunt igitur uuatuor cubi-: ἰζ. 8. 27. de a singulis si auferas unitatem, Zc apponas Ignum cuborum residuis, erunt quatuor qilaesiti numeri 1E C. 7 C. 26 C. Quorum summam minimis Est. C. multui I N. unde fit I N. . . Ad Posiuiones,erunt quaesiti numeri . . I. . . l, l ... prin. 9..uuotum summa utique est euius cubus . . . adscito quolibet ipsorum, cubos facit, , . . quorum latera H. ida. ni.
INVEN1R a tres numeros , ut cubus sumniae eorum , quouis ipsorum detracto , faciat cubum. Ponatur rursus
superest vi tres coniuncti aequentur I Ν. fit ergo E C. aequale i N. & omnia per numerum dividantur, fit ηn Q quale I. est autem I. quadratus . oportebat ergo& numerum quadratorum esse quadratum : unde autem is natus est Θ Quod a ternario subducti sunt tres cubi, quorum quilibet minor est unitate. Eo itaque res
redit, ut Inueniantur tres cubi, quorum quilibet sit minor unitate, summa autem ipsorum a ternario oblata, faciat quadratum. Et quia volumus cuborum quemque minorem esse unitate, si statuamus tres numeros simul unitate minores, multo minores singuli erunt unitate. Sic autem quadratum qui relinquetur, oportebit maiorem esse binario. Statuatur quadratus
332쪽
quouis ipsorum detracto cubum faciat. θ .; ' Di, Restat ut tres simul aequentur I N. sit au- sisis 1 i. in is
tem ttium summa a - C. Hoc ergo aequatur
x N. unde fit i N. , Ad positiones
Solutionis modum Diophantus non exprimit, aut graca eorrupta funt. Fachetus ea adiutum Diophantam arbitratur, quod tamen non a sitimus,cum Diophantaeam methodam non diuellem inuentu existimemus, ιnaeniendus quadra us binario maior ternario minor quia xernario subιractas rel/nquat numerum in tres eubos diuidendum. Ponatur qωasiti quadrati latus esse quemlibeι numerorum numerum - unitate v. g. et iv - r. Vsius quadratus a ternario subtractus relinquit a - I ue -- a N. cui
inaeniendi tres cabi aquatis qui se efflueudi ut aequalitas tandem eo flat inter duas tantum species proximas , id quidem innumeris modis conserui potest. Sit ius ax cubis latus I N. alterius ut numerus numerorum in ambobus cubis eoninsciae a N. λ μ r -- i N. tertii latus in numeris, dantaxat fingendum , qui etiam ne viator I M. quaestos terminos e adat, debent notari signo defectus, nee es operosum eum numerum numerorumsumere cuius valor aquationem ad prastitatos redigat terminos , hoc peracto patet primum ex cu bis esse minorem unitate ut qua rebamas , eum igitur seundus sit maior se tertius signo defectus notetur , patet disseremtiam seundi , rerib aquandam esse duobus cubis quam ob rationem ad secundam operationem se Diophantus ese nos deaoIuimur. Habemus autem,inquit,in orismatibus omnium duorum cuborum interuallum comis poni ex d bus cabis. Haret iterum Baehetus se destitutus orismatibus Diophantais , hanc quasionem
feeundam determinatione indigere contendit, oram quιne cuborum interuallum ea tantum conditione in duos cubos diuidere doeet dummodo maior datorum euboram excedat duplam minoris. Nam quomodo omnium duorum eaborum interuallam diis
sidatur in duos eabos ignotismsibi ingenue profitetur. Nos sapra ad quaestionem libri . fecundam, se hane se reliquas huius materia quaestiones generaliter eonstraendi modum saliciter deteximus.
HEC propositio est de numero earum, quas ut ad nos peruenerunt, fateor me non satis assequi. Quamuis enim de illius solutione satis mihi constet, ut insti patebit , duo tamen sunt quae
333쪽
totam eius traetitionem valde impetiactain mihi videri faciunt. Primum enim licet ingenI ἡ ἱnserat Diophantus inueuiendos esse tres cubos, quorum quilibet sit unitate minor, ita. ut summa eorum a ternario sublata telinquat quadratum , unde eoncludit curandum esse ut tres cubi sinui sint unitate minores, sic enim quilibet multo magis et it unitate minor, quare sequitur quadratum qui relinquitur , summam cubo tum auferendo ternatio , debere esse maiorem quam a. minorem quam a. lieet inquam haec subtiliter ediscerat Diophantus, non docet tamen quomodo talis uiue. niendus sit quadratus, & cut et . sumat potius qu m alium quem libit ex infinitis qui ea3unt inter I. & 3. Cette, ut ex processu apparet, talis deligendus est quadratus , quo ternario sublato , relinquatur numerus ex tribus eu bis eompostus. Id ergo qui neri possit arte certa, doeere debuit Diophantus , neque enim in promptu est si loeo uuadiati et . sumatur quadratus a l. quom o residuum de 3. puta . di nidi possit in tres cubos , eademque de aliis ratio. Quamobrem ea tu factum videtur, ut sumpserit author a V. quo de a. sublato relinquitur ex tribus euhis compostus. Deinde potisma, quod hse assumit ut, quale sit non est faeile diυ inare, cum Gneca Diophanti hoe loeo mutila sint. Si vero libeat ampletii quod nostra versione exhibemus, san docuimus ad se indam quarti. Duorum cuborum interealtu diuidi posse in duos cubm,dummodo maior datorum cuborum excedat duplum minoris. Sed quomodo omnium duorum cuborum interuallum dies idattit in duos cubos, ignotum mihi adhue. Nam nee operationes loco eitato allatae . nec eanon ibidem traditus loca , habent, eum duplum minoris euhi excedit maiorem. Itaque penes eruditos iudicium esto, utrum ex propositionis huius deprauatione huiusmodi disseultates Ortum habeant, an vero ipsi Diophanto imputandae sint, qui eum sortὸ quadratum et . inuenisset quo de a. sublato superest . compositus ex tribus cubis , arduum problema ut eumque pritu; t. explicauit, melioribus desi- tutus auxiliis. Nos quod superest, illius soluti nem asseremus a Diophanto praetermissam. Quoniam diuidete oportet in tres cubos . reducatur ad denominatiom cubicam , puta ad Itaque cum dea nominatot sit cubus, superest ut numeratorem Isa. diuidam is in tres cubos. Porro Ioa. componi tur ex eubo Ias. R exa . ifileruallo euhorum et . & 64. Quare ciam duplum minoris non superet motorem , poterit diuidi in duos eu bos per Canonem primae earum quas ad secundam quarti attulimus. Quod fiet hoe pacto. Ducito ter vitumque datorum cuborum in latus alterius, fient 3a . & ue s. quos diuide per summam euborum, fiunt V . Tum auser priorem a maiore latere . N aufer minus latus 3. a posteriore, remanent quaestorum cubolum .latera sunt ergo cubi P. quorum summa a . his ergo adnumerando ras. fit trium cuborum summa 161. ut ergo T. . diuidatur in tres cubo, , diuidemus fgillatim tres inuentos cubos per denomina torem 236. & fient quaesti e ubi Π. - lateribus I. T. & unumquemque cubum auferendo ab unitate, relinquuntur & z. ., statuamus igitur quaesitorum numero.
rum summam I N. ipsos autem -- C vidi. - C. : a r C. nam horum unoquoque ah x C. de tracto, relinquitur cubus, unus se ilicet ex tribus eu bis supt, allatis. Superest ut horum. summa sex N. est autem a - C. Igitur si i N. :. euius euhus suntque quaesti numeri ad eandem denomi nationem redacti . . . . it. Q, Hi nes,. quorum summa est utique ἰ. & auserendo unum, quemque a eubo seminae hoe est , d. eu , relinquuntur cubi ilantia. ΠνΠΛ,24.
IN v a N i R a tres numeros, ut cubus summae eorum , a quolibet ipsorum detractus , cubum faciat. Ponatur rursus trium summa i N. ipsi autem a C. ρ C. 28 C. Reliquum est hos tres simul aequari 1
N. sed hi tres simul sunt 39 C. Igitur 3ρ
C. aequantur I N. Omnia per numerum
dividantur. Igitur 39 equantur i. &si quadratorum numerus laret quadratus, soluta esset quaestio. Est autem 3 q. summa trium cuborum adiecto ternario. Oportet ergo inuenire tres cubos, quorum summa adiecto ternario faciat quadratum. Saluatur primi cubi latus rN. s cundi 3-i N. t. ij quo libet unitatum,
334쪽
ae sit r. Itaque fit summa trium cuborum 9 a8 - 27 N. cui addendo 3. fit 9
3ι - 27 N. aequale quadrato a latere 3 N. - 7.&fitIN. . Tantum est latus primi cubi, alterius vero latus est reliqui I. Porro cuilibra cuborum ab his ortorum addos I.& venio ad propositum initio, statuo quemlibet totidem cuborum. Restat ut trium summa aequetur I N. fit autem summa trium H ct C. Hoc aequatur I N.
MALs' assignat Xilander valorem Numeri et . eum is si nam a Iaν ribus i. ' & r. suae ubi Σέ I. & i. quorum euilibet si addatur unitas, & praefigatur nL a C. statuemus pro quaesitis numeris diu C. H C. & et C. quorum summa fit C. aequalis I N. ae proinde aequat ut
unitati, unde si I N. summa trium quaesitorum numerorum, suntque ipsi numeri res. . . a. Nam s ab unoquoque auferatur cubus summae, puta remanent cubi osi, M. di quorum latera A. ,.
Praeterea in soluendo lemmate quo quaeruntur tres cubi , quorum summa adsumpto a saeiat quadratum , non bene doe et Xilandet eur secundi cubi latus ponatur 3 - I N. ait enim suspectum esse binatium, eo quod in sequente propositione , ubi lemma propositum infinitὸ soluitur, ne eesse est valotem Numeti poni maiorem binario. Hoc vero ad praesentem quaestionem nil facit. vi ex iis quae ad sequentem dieturi sumus appatebit. Et hie non minus suspecti sunt ε. s. 6. aliique infiniti, uatit a. Talis enim ponendus est in latere secundi cubi unitatum numerus, euius triplum sit qua. ratus numerus. Patet enim ex iis quae saepE diximus de eubi efformatione, nummum quadtato. rum qui in hoe cubo repetiet ut gigni ex I quadrato ex I N. in triplum unitatum adiunctarum. Necesse est autem hune quadratorum numerum esse quadratum, alioquin quomodo fingi posset latus numeri ς -- - 3I-27 N. si s. quadratorum numerus non esset quadratus oportet igit ut unitatum numerum qui statuitur in latere secundi κubi esse trientem alicuius quadrati, puta 3. vel Ia. vel a . di se poterat hoc latus poni non solum 3 - I N. sed etiam Ia - I N. vel et . - x N. di sie aliis stodi, infinitis. Sed & in fingendo latere quadrati s Q - - 3I - 27 N. magna eautio est adhibenda. eum enim secundi cubi latus positum fit a -x N.euidens est I N. minorem esse debete ternatio. Fiet autem valor Numeti stigendo latus quadrati 3 N. - tot unitatibus, quatum quadratus superet a I. dia uidendo sellicet harum vnitatum quadratum multatum numero 3I. per sextuplum earundem mestatum numero a . Quare oportet minorem esse ternario , unde si i Q - I. minoi quam 8 N. - 8L & tandem I QU- so. minor quam I8 N. Qua aequatione resoluta fit 1 N. minor quam M L. Ponentur ergo in latere fictitio tot unitates , ut minores snt quam 4 ldum earum quadratus ex eedat 3 . se positit Diophantus 7. & finxit quadratum a latete 3 N. - . Itaque triplicitet variati Iossunt postiones. Primo enim in latere secundi e tibi poni potest quili-h et unitatum numerus qui sit triens alicuius quadrati, vi doeuimus. Seeundo pro latete tertij e ubi poni potest quilibet unitatum numerus. Denique quadrati qui fit ex summa cubotum ternario aucta , latus diueis modὸ fingi potest , ut in hypotheli Diophantaea statui poterit 3 N. - quotlibet unitatibus quae non sint minores quam d.
Caeteriim euidens est eodem prorsus artificio quaestionem ad quotlibet numeros extendi posse. Etenim propositum sit inuenire quatuor numeros , ut cubus summae, a quotlibet detractus, cubum 'relinquat. Prius ergo inuenientur quatuor cubi quorum summa quaternatio aucta cubum faciat,estoptimi latus 1 N. se eundi 3 - 1 N. tertiit. quarti a. fiet summa cuborum quaternario aucta s Q. - - a N. aequalis quadrato. Quod si Numeti quaeras determinationem, inuenies quadrati latus fingendum 3 N. - tot unitatibus quae sint minores qu1m Is 4 dum earum quadratus .excedat o. Fingatur ergo N. - . fiet I N. I primi scilicet cubi latus , seeundi veto latus erit V. V. terti j I. quarta a. Porro cuilibet cuborum ab his ortorum adiicio a. di praefigo notam C. &flaismo quaesitos numeros l: C. - C. et C. 9 C. Restat ut trium summa aequetut I N. Igitur U C.
aequatui I N.&fit et N. Ad positiones. Erunt quaesiti numeri nil, Ris. GR. quomia
335쪽
summa θ. euius cubum si ausetas 1 quolibet ipsoriun numerorum, remanent cubi M. . , a. a lateribus L. D. z.
Ponatur summa trium, ut si quadratus r& eorum qui quaeruntur primus 3 CC. secundus 8 CC. tertius 13 CC: contingit cubum summae trium quolibet ipsorum adsumpto , sacere quadratum. Restat ut tres simul aequentur I Q. sed tres simul conficiunt dis C C. Igitur 26 C C. aequantur I Q. & omnia peri Q. dividantur, fiunt 26 Q in aequales i. Et unitas quidem quadratus est latus habens quadratum , ergo & 26 QQ. quadratum esse oportet latus habentem quadratum. Atqui multitudo ista quadratoquadratorum e tribus conflata est numeris , quorum quiuis adiecta unitate facit quadratum. Ergo inueniendi sunt tres numeri quΟ-rum quiuis adiecta unitate faciat quadratum . porro summa trium quadratus sit latus habens quadratum. Ponatur Vnus quaesitorum I QR- a inalter I Q, - 2N. reliquus I Q. - 2 N. dc quiuis horum adscita unitate facit quadratum. Ac praeterea trium summa est quadratus latus habens quadratum. Ita in numeris indefinitis soluta est quaestio. Ponatur ergo I N. 3. Erit igitur unus quaestorum 63. secvndus u tertius 3. Recurramus ad initio propositum, & ponamus rursus trium summami in Quaestorum autem primus erit
63 CC. secundus is C C. tertius 3 C C. Restat ut trium summa aequetur I αδ fiunt 81 C C. aequales Im&fiti N. V Reliqua patent.
NolutosissIME' Diophantus soluti infinit - . I drati unitate demi Ruxi,Maii nitate sumit I Q. ' a in propri
336쪽
quia enim tertius positus est I Q a N. patet i inmaiorem esse debere quam a N. seu quod idem est I N. maiorem esse debere quam a. Hinc porro iiquet quaestionem infinitas recipere solutiones. Possunt etiam ipsae lemmatis positiones varias vi libet, dum sormetur quadratus a quolibet Quadraeorum numero quadrato- 3. Verbi gratia, Armetur a 4m-r. erit quadratus Io Q j gQ, - I. unde ablata unitate statuetur primus i6 R. - 8 Q ac proinde secundus 4 Q. - N. tertius 4 -- N. ut si trium summa ro Restat ut solutionem quaestionis proferamus quam omist Diophantus. Inuentis numeris Q. Is. 3. luentibus lemma propositum. Reeutro ad initium ti pono trium quaestorum numerorum summa si ipsos veroMC C. is CC. 3 C C. quo tum summa fit 8I C C. aequalis I in vo de fit 1 M: . sunt ergo quaesti numeti 'H. quorum summa ἱ quadratus ut postulabatut . cuius cubus M, quem addendo singulis numeris, fiunt quadrati R. a lateribus ei. d.
IN vε Ni Ra tres numeros dato numero aequales , ut cubus summae eorum,
quolibet sigillatim detracto , quadratum faciat. Rurius diuidendus est hinatius vi prius. Porto binari j cubus est 8. Proinde
Oportet a 8. unumquemque detrahere, &sacere quadratum. Oportet igitur et r. diuidere in tres quadratos, quorum quilibet maior sit quana 6. Et si abs 8. quem, libet detrahamus, inueniemus tres quaestos numeros. Est autem iam ostensum quomodo oporteat diuidere a a. in tres
quadratos , quorum quilibet sit maior
QV u malὸ assectus ait hoc loeo Diophantus, aequo lectori aestimandum relinquo, ubi nee so lutio ponitur, nec operatio propolitioni respondet, & quaestiones aliquot integras desiderati sati, indicant vel ba illa. Rarsas a Miatiniuia es bιnarius Oenim. in qua enim superiorum quaestionum loeutus est Diophantus de huiusmodi binarii diuisione ξ Itaque quantum certissimis coniecturis assequi possum, existimo hie tres omnino quaestiones. intercidisse, in quibus binarii diuiso utendum fuit, di quarum eum ista magna erat a nitas, ut facilὸ hinc erroris ansam nactus sit impetitus librarius. Age igit ut immerito solum vertere iussas quaestiones, ab exilio reuocemus.
STI' RIM A. . Inueniantur tres numeri quadrato aequales, ut cubus summae eorum singulis stotcsm detractis, quadratum relinquat.
Statuatur summa numerorum i Q ut sit quadratus. Ipsi vero numeti sint i CC. CC E CC. se enim quolibet a cubo summae detracto, relinquitur quadratus. Superest ut itium summa, puta C C. aequetur unde tandem fit Q. aequalis viaitati. Oporteret ergo numerum QRadrato quadiatorum esse quadratum. At quadratoquadratorum numerus est summa trium numerorum , quotum quilibet ab unitate detra mis relinquit quadratum. Eo itaque tedacti sumus ut inueniamus tres numeros, quorum singuli unitate sint minores, & quorum summa sit numerus quadrat quadratus, quaque a ternatio sublata relinquantur tres quadrati minores singuli unitate. Vt ergo singuli t tum nume totum sint minores unitate, Ac eorum summa si numerus Quadrato- quadratus , ponatur eorum summa I. Igitur reliquorum trium quadratorum summa erit a. Quare superest ut diuidamus a. in tres quadratos, quorum quilibet si unitate minor. Id autem facilὸ fit
per ea quae ostensa sunt ae decimam quartam huius, suntque huiusmodi quadrati sita, I in . &quolibet ab .nitate sublato, supersunt quaesiti numeri didit . posit ergo summa n merorum I inponantur ipsi numeri C C. C C. C C. Superest ut horum summa putar C C. aequetut x inde fit I N. i. suntque quaesti numeri ipsi L.
337쪽
QS ESTIO SECU N S A. Inuenire tres numeros quadrato aequales , ut cubus summae illorum a quolibet
detractus quadratum relinquat. Esto lumina trium numerotum Q Ipsi vero sint et C C. s C C. Io C C. ut auferendo a singuliscubum summae, remaneant quadrati. Restat ut trium summa sit I inest autem I C C. ergo tandem I quantur i. Oporteret igitur 17. esse quadratoquadratu ira. Atqui I 7. est lumina trium suadratorum unitate auctorum. Eo itaque redacti sumus ut inueniamus tres quadratos, quorum sumina ternatio aucta , conficiat quadiatoquadratum. Id ver5 nil aliud est quam a quouis quadratoquadrato auferte ternatium ,& residuum diuidere in tres quadratos. Sumatur ergo quadrato qua-diatus 16. etim is ternarici detracto relinquat I3. Oportet diuidere 13. in tres quadratos. Sunt autem s. n. quibus sigillatim addendo I. statuemus eos in cubo euhis, eritque primus quaeli totum ioC C. se eundus 3 CC. tertius et . C C. Quorum summa is C C. aequat ut i Q de ni i N Adpositiones. Erunt quaesiti numeri sub eadem denominatione ελ. a... quorum summai. quadraistus est, & eius cubus Δ. detractus a quolibet numerorum , relinquit quadratos U' MV. ESTIO TER A. Inueiate tres numeros dato numero aequales , ut cubus summae eorum, quolibet adiecto, fiat quadratus. Sit datus numerus a.
Oportet igitur diuidere a. In tres partes, ut cuilibet addendo g. fiat quadratus. Quamobrem eo te, rediit , t diuidamus 26. qui fit ex triplo ipsius 8. adsumente binatium , in tres qu adratos, quorum quilibet sit maior qu,m 8. Hoc autem qui fieri possit iam ostensum est. Suntque tres quadratis. P. . . VNT. 1 quibus sigillatim auferendo g. restant quaesitae binatii partes. 1. 1 3 . . Sin post hane quaestionem, tectὸ subiici vigesimam secundam Diophanti, ut tam versione nostra expressimus, res ipsa et amat, cum in ea binarius simili ratione diuidendus proponat ut , additione in subtractionem mutata. sed & numerus 22. in textu Graeco manifeste habetur, quamuis deinde itieuria librarii mutetur inas. Nam Graeca Diophanti verba ut habentur in eodice Regio ex hibuimus , quo coniectura nostra Omnibus euidentior appareat, eum ex nostra versone mendas omnes tollere facile sit. Caeterum operatio Diophanti satis est perspicua, quia enim a cubo 8. auferendae sunt sigillatim tres binacii partes, ita ut semper remaneat quadratus , eum hoc idem sit atque triplo ipsius 8. puta , et . auferre binarium , rectὸ insertur numerum eta. esse diuidendum in tres quaiadiatos , quotum quilibet si maior quam s. minor autem quam 8. Hoc ut prestem sumo trientem de stet . puta 7pti quaero partem quadrati quae huic addita quadratum iaciat, ea est & st quadra diatus a latere v.. oportet ergo ita diuidere eta. in tres quadratos, ut cuius ibet latus adaeque hue 2.. Diuiditur autem suapia natura in tres quadratos, quorum latera 3. 3. I. Quare per adaequa. Iitatem fingentur quaestorum quadratocum latera 3 - 7 N. 3 - N. I - - I7 N. estque summa quadratorum eta. H. 38 QII 6 N. aequalis 2a. unde fit a N. M. sunt erso quadratorum latera Q
πρ. dolo ipsi quadrati . et C. UTE. quos si auferas sigillatim a 2 supersunt quasitae binarii
γ ωοκ. zm τῆ, ραδον. D Ar, M partem diuidere in tres pariates , ut quaelibet detracto cubo summae ipsarum , faciat quadratum. Esto data pars & opus sit diuidere : in tres
partes, ut imperatum est. Oportet igitur quamlibet ipsarum , detracta ni facere quadratum. Proinde tres simul detractis faciunt tres quadratos. Et si cuiuis trium quadratorum addamus is inueniemus singulos quaesitorum. Hoc autem facile est. Eo enim res rediit ut a diuidamus in tres
quadratos, quod est iactu facile.
338쪽
HS c quaestio non parum confirmat sententiam nostram de praecedente. Nam clim in illa picia positum sit datum numerum diuidere in tres partes, quarum quaelibet a cubo summae detracta quadratum relinqvxt. Hic e conuerso postulatur, ut datus numerus sic diuidatur in tres partes, ut aqualibet auferendo cubum summae remaneat quadratus. Quia vero non potest cubus tum esse minor qualibet partium, nisi infractis tales numeri exhibeantur eum in integris quilibet euhua suci latete sit maior. Idcirco propolim Diophantus datam partem diuidere , non autem datum nu mecum. Est autem operatio facilis, & quae ex dictis ad praecedentes nullo negotio intelli reatur. Cum enim tres partes quaesitae simul faeiam ἰ. Et a singulis auferri debeat'patet hoe idem esse atque si ab t. seu , auserantur unde restat I: . diuidendus in tres quadratos, quod ficilὸ fit quia componitur ex duobus & n. quorum altero puta 4. diuiso in duos quadratos .L. N om habemus totum:; . diuitum intres quadratos, qui sub eadem denominatione sunt iab. .m α.. di si addatur singulis h. seu m. sunt quaesiti numeri ia . ita. . . quorum summa l. & si a quolibet auferatur M. remanent prius iuuenti quadrati. Porro de hae e fle precedent, aliaeque quas ad praecedentem attulimus ad quotlibet numeros extendi possunt, de omnes sub tribus uniuersalissimis propositionibus comprehendentur, nimirum.
V STIO PRIMA. Datum numerum diuidere in quotlibet partes quarum quaelibet adsumpto dato
numero, quadratum faciat. Explicata est 1 nobis ad decimam quartam huius.
S ESTIO SECUNDA. Datum numerum diuidere in quotlibet partes, ut auferendo quamlibet a dato numero , supersit quadratus. Oportet autem numerum a quo fit subtractio maiorem esse ea parte diuidendi numeri, quae denominatur a numero multitudinis partium
postulatarum. Diuidendus esto ra. in quatuor partes, quatum quaelibet detracta de s. relinquat quadr tum Cum ergo auserendo Ia. quadruplo ipsius s. puta ao. supersit 8. patet 8. diuidendum esse iaquatuor quadratos, quorum quilibet sic minor quis F. Diuiditur autem L in duos quadratos 4. 4. quare diuiso . bis in duos quiaratos, res expedietur. Erunt ergo quaesiti quadrati μ. M. Η quos si auferas sigillatim a quinario, remanent numeri Ia. partes quatuor quaesitae et L E
V ESTIO TERTIA. Datum numerum diuidere in quotlibet partes, ut a qualibet auferendo datum
numerum supersit quadratus. Oportet autem ablatilium numerum minorem esse ea parte diuidendi numeri, quam exprimit numerus multitudinis partium postulatatum
Diuidendus esto 2o. in quatuor partes , ut a qualibet auferendo 3. supersit quadratus. Quia qua.druplum ipsius 3. puta Ia. ablatum de ao. relinquit 8. patet 8. diuidendum esse in quatuor quadratos quo seuoque . cuilibet addendo fient quaesitae partes numeri 2o. Sumantur ergo quadrati ad praeis cedentem allati, & cuilibet addatur 3. fient numeri ao. quaesitae partes l. il .
IN vs Ni Ra tres quadratos, ut solidus sub ipss contentus , quouis ipsorum adscito quadratum faciat. Ponatur solidus ille r & quaerantur tres quadrati, quorum quilibet adscita unitate faciat quadratum. Hoc autem peti potest a quouis triangulo rectangulo. Expono tria triangula rectangula , de accipiens quadratum unius laterum circa rectum,divido ET PE IN =ρ- τι in totou smeo F
339쪽
eum per quadratum alterius laterum circa rectum, & inuenio quadratos, unum
alterum intertium Q k quilibet ipsorum cum a inlacit quadratum. Restat ut solidus sub tribus contentus aeqtietur i in Est autem solidus ille ἰ zzC C. hoc aequatur I sc omnia ad eundem denominatorem reducendo, & diuidendo per i infunt G Qinaequalia 1. & latus lateri aequatur , fitque R. inaequale I. Est autona unitas quadratus I Quod si etiam EV Q. quadratus esset, soluta fuisset quislio. Non eis autem. Eo igitur redactus sum , ut inueniatia tria triangula rectangula, vi solidus sub perpendiculis ductus in solidum sub basiabus faciat quadratum, S cuius latus sit
numerus multiplicatione ortus lateria in circa remina unius triangulorum. Et si omnia diuiserimus per productum ex lateribus circa rectiim inuenti rectanguli, orietur qui sit ex producto laterum circa rectum secundi, in productum laterum circa rectum alterius triangulorum. Et si unum ipsorum statuamus 3. q. s. Eo deuentum est ut inueniantur duo triangula rectangula, ut productus ex lateribus circa rectum producti ex lateribus circa rectum sit 1 a N. Proinde & area areae Ιχ. si autem II. & 3. Hoc autem facile est, & est simile huicy.qo. I. Alterum s . D. II. Habentes ergo tria triangula rectangula, reuertamur ad initio propositum. Et statuamus trium quaesitorum quadratorum, alia te tum V. alterum 23. tertium 81. dc si solidum eae his aequiemus I infiet 1 N. rationalis. Ad positiones.s .
VI x seio an elegantiora & subtiliora problemata, tribus quae sequuntur, excogitari possint, ea tamen tam milese corrupta sunt, ut hie omni ex parte restituere Diophantum , humani, ut aris bittor , vires superet ingenij, nisi quis emendatiorem proserat codicem. Equidem satis apparet ad huius quaestionis solutionem requiri ut inueniantur tria trianguIa rectangula, ut solidus sub perpendieulis ad solidum sub hasibus habeat rationem quadrati ad quadratum. At in duabus sequentibus inuenienda esse tria triangula rectangula, ut solidus sub hypotemisis ad solidum sub basibus habeat rationem quadrati ad quadratum. Quomodo autem ha e Iemmata expediat Diophantus pereipere minimὰ potui. Moniam vero nos ea perfectὰ demonstrauimus libro tertio porismatum, di reliqua Diophanti operatio perspicua est, verba illius quae sanitati restitui poterant, reposuimus, reliqua vietant relinquere malui, quam in iis corrigendis diutius animum torquere. Moneo tantlim verba illa, s εον ο κριον M . M .μα . in Vaticano eodice sic haberi,e esu ροιο τύ Θ . u. - . Quam lectionem ut pote probabiliorem, sequutus sum in mea versione, verὸ enim numeri s. ΑΟ.6I. constituunt triangulum rectangulum, quod non accidit ipsas 79. o. I. Porto multa sunt hie obseruatione digna. Primo, ut inueniat quadratum qui adscita unitate fi
Hat quadratum, sumit Diophantus latera triansuli rectanguli, di quadratum baseos diuidit me quadratum perpendiculi. Vt expositis 3. q. s. diuidendo s. per I6. fit quadratus quaesitus,nam
340쪽
Ari addendo I. st V item quaestatus. Cuius rei eausa satis est euidens Nam quolibet numero per
seipsum diuiso, quotiens cst unitas. Quare propositis quadratis orti Is. quorum summa quadratum ficit, puta a s. s alter per alterum diuidatur vi 16. per s. fit A. cui addendo seu viaitatem, qua dratum seri necesse est. Cum enim stactiones sint eiusdem denominationis, suffeit addere numeratores, denominatote communi retento. At numeratotes ex hypothesi faciunt quadratum. Quare eum di denominator fit quadratus et it tota fractio quadratus, vi patet. Aduelle autem si velis tres diuertos quadratos, quorum singuli adscita unitate, saetant quadratum; sumenda esse tria
triangula rectangula non s milia, qualia reposuimus intextu Diophanti; nam si sumamur similia triangula . & qua diati laterum homologorum dividantur per quadratos homologorum laterum, fiet idem quotiens , ut sumptis triangulis 3. 4. 3. N 6.8. IO. diuiso s. per I 6. & 36. per 54- aequales fiunt quotientes φ. Quod accidIt ob similitudinem proportionum. Secundo expositis tribus triangulis 3. 4. s. s. ra. 33. & s. 13. I diuiduntur basium quadrati petquadratos perpendiculorum, fiuntque quadrati R. H. Bo qui nota Q. ivsgniti statuuntur pro tria hus quastis numeris, quia se quilibet adsumens x Q. Reit quadratum. Potio solidus sub iis eo
tentus, factio est, cuius numerator I 4 Oo. fit ex mutua multiplicatione numeratorum s. 23. 64. At denominatorsis oci fit ex denomina totum io. Ias mutuo dum. Est ergo huiusmodi sci- lidus . Quia vero numeri ex mutua quadratorum multiplicatione orti, quadrati sunt, quo rum latera fiunt ex mutuo ductu, laterum quadratorum eorundem , patet I qci . esse quadratumnum et i lao. qui fit ex mutuo ductu bastim trium triangulorum expositorum , nempὸ 3. s. 8. simili. ter sig oo. est quadratus numeri rao. qui eontinetur sub perpendiculis 4. II. a 3. unde cum tandem - aequentur unitati, & euidens si ut solutio contingat rationalis oportere ipsum ἔζ'. esse quadratum , hoe est D . ad 7ao. rationem esse debete quae quadrati ad quadratum: Recte insert Diophantus rem eo deductam esse, ut inueniantur tria trian Ia rectangula, ut solidus sub basibus ad solidum sub perpendie ulis sit in ratione quadrati ad quadratum. Tettio Iemina propositum se absoluimus propositione undecima libri tertii potismatum. Expo. natur quodlibet triangulum rectangulum 3. q. s.& e sngantur alia duo triangula ab hypotenuia ex politi trianguli, & a quolibet laterum circa rectum modo quem tradidimus quinta teriis potita tum, fiet a s. & 4. triangulum s. o. 4 . At vero S. & . formabitur triangulum Io. 3o. 3ε. Ttia eteo haee triangula satisfacient proposito. nam solidus sub perpendiculis 3. s. I 6. puta 432. ad 48oci. solidum sub basibus rationem habet qu1m s. ad I . Licesque ut monuimus in te holio undecimae terti j potismatum, loco cuiussibet inuentorum triangulorum, sumere aliud smile: ut loco ipsus
Io. o. q. sumi potest8. s. II. quod sanὸ cum aliis duobus propositum absoluit Denique hi, inuentis triangulis se empli eatur quaestio Diophanti, diuido quadratos basium perquadratos perpendiculorum , de quotientibus addo notam vitant quaesti numeri Δ.& . i. solidus sub iis contentus, puta o. C C. aequatur I di tandem-Q aequatur i. ac proinde N latus lateri aequale est , hoc est Q seu in minimis . . . aequatur vestati. Quare fili N. sunt ergo quaesti quadrati - . A. Q quotum mutuo ductu fit solidus eui si addant ut sigillatim ipsi quadtati, fiunt tutias quadrati ' . . . quo tum latera H .
niam primam ινι angulam est 3. . q. 3 . orectangulum fab Iaueribus 1 a. eo de seniam es, inqait Diophantus , ut inueniantur duo tria utila vi prodactas ex lateribas eirea retram , produm ex tiseribus circa rectum sis duode aptas o r. i. squia sane pro duertim ex titeribus unias in prodactum ex Ialeribus alterias pro dueetnamertim qai erit planus similis ta atque ideo eorum mulua martiplicatione fet qa.
Maias , quod vali propositio ) sequitur Diophantus , pro/nde o area area II.
fias. 6 sempeν in maltiplicatione oritur qώadratam , nam quadratum ditiis,mρεν quadratiam facit quadratum. Reliqua D ophanti non proast propositum , sed is
.estra emus. In hoe casa fingatur triangulum abs 7.s a. a Derum vero abs s. o. a.
o primum tria valorum eris tripiam ad secundum, o duo proposto satisfacient. Regula a atem generalis in aeniendi ἁtio triangula recta gula in ratione data sae s. sis data ratio R. ad s. maioris a 2 minus , maius triangalam formabita ν abs R bis . a se R. - S. --us veνo abs R. - S. bis se R. - S. aliter. FormeIων primu ... trianis