장음표시 사용
341쪽
primam triangulum abs R sexies Et R bis S fecundam abs R quater Se R quate - S. bis, alιter formetur primum triangulum abs R -- S. qaater se R bis -S quater,seundam abs S. sexies or R -S bis,Ex iam dictis deduci potest methodas inaeniendi ιrra triangula rectangula in proportione triam datorum numerorum modo duo dati numeri reliqui sint quadrupli, sint v. s. dari tres numeri R S. T O Ant Vsi R. T. simul quadrupli S. formabuntur sis tria triangula. Primum abs R -- S. quater or R bis - S quater, secundum abs s. sexies cse R - sbis,tertrum abs S quater -- T s S quater- T bis sumpsimas autem Resse masorem T.
Hinc etiam elicietur modus inueniendi tria triangula rectangula numero quorum area constituant triangulum rectangulum, eὸ enim deducetur quastis vr inueniatur
triangulam euius basis O b poten a sint quadrupla perpendiculi. Hoc autem est faeιle erit triangulum simile huic i7. I s. 8 tria vero triangula se formabuntur, primum abs 49. or 2. fecundum abs 47. ora. tertium abs 48 s r.
Hine etiam elicietur modus inueniendi tria triangula quorum area sint in ratione trium quadratorum datorum quorum duo sint quadruplι reliqui ac proande poterunt eίdem via inuen/ri tria triangula eiusdem area. Imo se se itis modis posumus construere duo triangula rectangula in data ratione dueendo unum ex terminis aut utrumque in quadrata data cte.
io μεδον, ις τὸ, μο νε . G. Mγ.IN v a N i R a tres quadratos, ut solidus sub ipsis contentus, quolibet ipsorum detracto, faciat quadratum. Ponatur so I idus sub ipsis contentus I R& rursus quadrati qui quaeruntur , sumantur ex triangulis rectangulis , unus a n. alter ain. tertius a statuo eos in quadratis, de manet i Q. quolibet ipsorum detracto, faciens quia ratum. Superest ut solidus sub tribus contentus aequetur I est auistem solidus illeC C.hoc ergo aequatur i in& omnia per I a dividantur, hunt απτῆ. RG aequalia r. Est autem unitas quadratus alus habens quadratum. Ergo oportebat etiam Q Uesse quadratum latus habentem quadratum. Rursus itaque res eo est reducta ut inueniantur tria triangula rectangula , ut solidus
sub perpendiculis ductus in solidum sub
hypotenusis faciat quadratum, qui latus habeat quadratum s. Et si omnia diuidamus per productum ex hypotenuia in perpendiculum unius rectangulorum, opor te toriatur qui fit ex producto hypotenu-sar in perpenssiculum, alicuius rectanguli,in productum ex hypotenuia in perpendiculum alterius, esto unum rectangulorum I. q. s. Eo itaque deuentum est , ut inueniantur duo triangula rectangula, ut
numerus hypotenuia & perpendiculi,
342쪽
Arithmeticorum Liber V. as Inumeri hypotenuis de perpendiculi sit
ao. si autem eto. Ec s. de est facile, quippe m/lus est 3. 12. II. minus 3. q. s. Ab liis ergo quaerenda sunt alla duo, ut numerus hypotenus e dc perpendiculi sit 6. est autem maioris hypotenuia 6 . perpendicu- Ium σο. Minoris autem hypotentisa a . qui vero in uno rectangulorum ra. 3c accipientes minima similium , recurrimus
ad propositum initio, dc ponimus solidum sub tribus contentum ijipsorum autem quadratorum alterum I 6 alte
in I atusque lateri aequetur, de inuenietvr IN. 61. Ad positiones. RIN R EST IO N E M XXV.
ΕΟ o su iste logismo utitur hic Diophantus, ac in praecedente. Nam Vt inueniat tres quadratos qui ab unitate sigillatim detracii quadratum relinquant, sumit tria triangula rectangulavi prius , & diuidit quadratum perpendiculi cuiustibet trianguli per quadratum hypotentiis. Verbi gratia sumpro triangulo 3. q. s. diuidit I s. per as. Vnde fit quadratus qui ab unitate hoe est a M. detractus relinquit quadratum I. cuius rei ratio ex adnotatis ad praecedentem satis innotescit. Hi e ergo patet solidum sub tribus huiusmodi quadratis contentum, fieri ex solido sub quadratis a tribus perpendiculis, diuisori solidum sub quadratis a tribus hypo tenusis. Quamobrem latus quadratum huiusmodi solidi eonstat ex solido sub ipsis perpendiculis diuiso per solidum subhypo tenusis; ut et pci latus hoe sit quadratus numerus ut requiritur, necesse est inueniri tria triangula rectangula, ut solidus sub perpendiculis ad solidum sub bypotenusis sit in ratione quadrati ad quadratum. Quomodo autem inueniantur tria huiusmodi triansula, non satis mihi eonstat ex eorruptissimi Diophanti verbis; sed illorum iacturam aequo animo ferre possiimus, quandoquidem problema istu perfecte 1 nobis demonstratum est propositione decimaquarta libri tertij potismatum . ubi tradidimus illius constructionem hoe pacto. Exposito quolibet triangulo s. q. 3. Ita ut 8. duplum baseos Cuius hypotenusari fiet ex mutuo ductu hypotenusarum 13. & y. Basis autem 53. erit Tumma pro ductorum ex basi cuiustibet trianguli in perpendiculum alterius. Denique perpendiculum a s. etie differentia productorum ex basi in basim , & ex perpendiculo in perpendiculum. Sie habebimus tria triangulat quaesita puta s. q. 3. 13. . In 6y. 63.16. Nam planus sub perpendiculis est 1 6. planus sub hypotenusis 422s. quorum Uterque quadratus cum sit, eorum utique ratio est quaequa.drati ad quadratum.
Hoe expedito lemmate facilὸ soluitur quaestio Diophanti. Sit enim solidus sub quaesitis quadrati, eontentus i QIpsi vero quadrati statuantur ij qui fiunt diuidendo quadratum perpendieuli cuiusl-het inuentorum triangulorum per quadratum hypotenusae, puta in xl: incta infitque solidus sub ipsis contentus illi stria CC. aequalis I Oeu τη olii Q equatur I. Quare& latus lateri. hoe est me aequatur i.& sti N. a. Ad positiones. Erunt quaesiti quadrati j . F. solidus sub ii,
eontentus est x . a quo si quilibet eorum auferatur, remanent quadrati V . T. quorum Iaiaxeta I. a. -
AD eluridationem se estieationem questionis a s. iuxta methodum Diophan ii quam Bachetus similiter praetermisit quaerenda sunt duo triangula ν cIanguia ut productam ob h poten a sperpendiculo unius ad productam sub ἔγ-
poten a s perpendiculo alterius habeat rationem datam. .
Eua sane quastio diu nos torsit se vero dissicillimam quilibet tentando experie. tur, sed tandem patuit generalis ad Vsius solutionem methodus.
343쪽
autem ad omnes rationes extendetur si loco Uniu eM qu rendis numerιs ponatur A-- exeesus maioris ratιonis termini supra minorem, O toto alterius ille iue ex V stis ιι iam a nobis in ratione dupla effactum. HAEc μ ne ratrone Iempeν ita iam numerus euadet quadratas ct aquarro erit procli l . Hoc peracto inuenientur duo
Wisia abductio ad problema quod perfecimus non ς πης i3 quo oni nostra. qaia tamen uastionem aliam ad quam malὸ praesens tr blema addo Xeramus recte constra xιmas, non tam operam perdidimus, quam male colu βsimuJ, ct ideo maneat scriptara mar-
Δ, iuisem usam Diophantaam nouo iterum examini subiicientes s methodam, ram sedulo consulentes tandem generat rer soluimu . Exemplum tanttim is bilia raemus eonsist numeros, ipsos satis sndicaturoi non forti, sed arti stationem ribe,i. in propositione Diophanti quaerenda duo tri mula rect/ngula ea conditione γρ ρυ-daiIam sub 'potentisa Imus es perpendiculo ad prρή crum sub hypotenso e=ρὸ νεηditulo alterius habeat rationem quam 1 ad 1. En duo illa triangula, primam euia,
I in ipsi autem a quibusvis rectangulis
petantur. Et rursus hic res deuoluitur alea quae in praecedente suerunt quaesita. Si igitur in hac iisdem utamur rectangulis,& ponamus eorum qui quaeruntur quadratorum S unum 2s Q. alterum sas Q. tertium t 78 Q. Et rursus solidus sub tribus contentus cetractus a quolibet, facit quadratum. Superest ut solidus ille aequeturr in unde inuenitur I N. maior quam S. Sc constat. R
344쪽
SATIs apparet ex lemmate ad pidicedentem explicato pendete quaestionis huius solutionem. nam ut prius inuenienda sunt tria triangula rectangula i ut solidus sub hypotenusis ad solidum sub perpendiculis habeat talionein quadiati ad quadratum. Et sicut ibi ponebantur quaesiti quadtati mi in ita ut ausetendo quemlibet ab I remanerent quadrati, putar est: Q. tia hic numeratoribus in denominatores mutatis, S E conuerso, statuuntur quaesiti quadratiui: in ut 1 quotlibet auferendo i Q. remaneant quadrati in I. Q TI infitque soli. dus sub tribus quaesitis eontentus ' '' 3 C c. aequales I Q. & tandem aequatur unitati. Vnde fit x N. I. Sunt ergo quaesiti numeri. l. Nam solidus sub iis contentus est. R. quem aufetendo sigillatim a quolibet ipsorum , temanent quadrati in Q. quorum latera : . 'I:.
IN v a N i a s tres quadratos, ut produ- Υ p E I N Ra τετρο υναμ, o timctus ex binorum multiplicatione ads- ' δύο oam in m n λαζων α.. mιηcita unitate faciat quadratum. Et quo- - άγωνον. ol ama orta σοι - ωλ, niam quaero productu in ex primo in se- et τράγα- cundum addita unitate facere quadratum, νον. τὸν τμ ν δ - τετράγωρν. omnia ducantur in tertium qui est qua--ωδ, ύiuro eis .cti, υἰ δατι oudratus. Itaque oportebit productum ex stymos, vetistam et δι- et τειῶν ς εὶν primo in secundum , ductum in tertium, si ΦμIυ nro. ν et ράγωνον. iae N QUO thoe est solidum sub tribus contentum, Φου as διγιρου , ἀτο μ απιώ-ε cum tertio facere quadratum, sicut etiam ,κ ,οι ά άειθ usa momme τωΦρ τὸ γημώ. cum primo & secundo. Id autem ante deo
monstrauimus. Igitur illi numeri hanc quoque soluunt quaestionem. IN EAE AEsτ Io NEM XXVII.
REνε arva haee propositio ad vigesmam quartam , & iidem prorsus numeri utramque quaeis monem soluunt, ut rectἡ infert Diophantus, quod tamen ut euidentius fiat, se demonstro. ,, A. C m ircs quadrati A BC. soluentes vigesimam quartam, ita ut solidus sub ips, ' o o ..' contentus quolibet adiecto quadratum iaciat; dico eum qui fit duobus quibus. ' uis addita unitate fore quadratum. Ducto enim A in Esai D. cui addita unitate sat G. probandum est C esse quadratum. Itaque quia eκ hypothesi ducto D in C. N producto addendo ipstim C. fit quadratus. At ducere D in C& producio addere C. idem est atque dueere Cin numerum unitate maiorem ipsis D, hoc est in ipsum G, sequitur ex C in G. fieri quadratum. Ergo . . C &G sunt plani similes. ' Quare eum C. sit quadratus ex hypothesi, oportet εc ipsum G quadra- 1 . .a I.
tum esse. Quod demonstrandum erat.
Sunt ergo quaesti quadrati ut . Nam ex binorum mutuo ductu fiunt numeri T. . . quibus addendo sgillatiin unitatem, fiunt quadrati V. 'm. quotum lateta sunt V. s. I.
ctus ex binorum multiplicatione detra- ita, δυο ὁποιωδε λωιζ μ' α . πωκ Φετρά-cta unitate , faciat quadratum. Omnia in Moes indis m 4 Φωσρμον. - ου τὸ π ψώ- tertium. Itaque productus ex primo in se- ρου- εδν τμον σοι τεΩ Ο eundum duetus in tertium, hoc est solidus p Φρυῶ ς ιριοι λειμι σμras πριμ τε sub tribus contentus, detracto tertio qua- μγων ,. G. ψ εν υτ σὸν τι πυusior est. dratum facit , sicut & idem solidus sub δdHωλ -ό iam Φειδι ςιρioe ureaia tribus contentus, facit quadratum detra- Φιγιάγω, s. mkra I aδεικτα. ἐκ-
cto secundo & tertio. Hoc autem sapra . di ἀειθώ, ποιοῦ, edemonstratum est. Igitur illi numeri hoc quoque praestant.
345쪽
HAEc etiam resetiui ad vigesimam quintam & iidem numeri utramque soluunt quaestionem. Nam a solido sub tribus quadratis eontento auferte, verbi gratia, tertium idem est atque duce te planum sub primo & seeundo unitate multatum, in ipsum tritium.Quare eum solidus sub tribus co tentus, detracto tertio sit quadratus, necesse est & planum sub primo & secundo detracta unitate esse quadratum, alioquin eo ducto in tertium qui quadratus est, non posset fieri quadratus. Soluitve ergo haec quaestio pet quadratos inuentos per vigesimam quintam , nempe per quadratos l. Etenim plani sub bini, contenti sunt .. A quibus auferendo sigillatim unitatem, rema nent quadrati in pt. V. quorum latera recl. A.
IN vs Ni κη tres quadraros, ut productus ex bino tum multiplicatione detractus ab unitate,saciat quadratum. Ruriasus quaerentes eum qui a duobus quibus. ut, sit sublatum ab unitate, sacere quadratum , si omnia ducamus in tertium s rursum eo deducimur ut inueniamus tres numeros, E quibus consectus solidus s tot
latur a quouis, relinquat quadratum. Hoc autem supra est demonstratum.
PE ut x et tuisus hae propositio a vegesima sexta , & iidem quadrati utrique quastioni satissa eiunt. Ratio est, quia solidus sub tribus contentus detractus, verbi gratia, a tertio relinquit quadratum per vegesianam sextam. At idem quadratus fit si ilanus sub primo & seeundo detrahattit ab unitate , & res illium ducatur in tertium. Ergo necesse est planum ex primo in secundum detractum unitate relinquere quadratum, ut scilicet eo in tertium qui quadratus est, ducto, fiat quadratus Quod autem si planus ex ptimo in secundum detrahatur ab unitate, di residuum dueatur in tertium, idem fiat numerus, atque s solidus sub tribus auseratur a tertio, ne quis serupulus maneat, se deati monsto. Sint tres quicunque numeri A B C. & solidus sub ipsa D. quem ausetem . . s. . do a tertio C. remaneat Κ. Tum ducto A in B fiat G quo detracto ab unitate re in V i' linquatur H. Dico si H. ducatur in C fieri X. Quia enim D. est solidus sub tribu, ' eontentus, de G planus, sub duobus A B. patet ducto C in G. seri solidum D. At duo G H aequantur unitati ex constructione. Quare cum ducendo C in unitatem, fiat ipse C. producti e , C in ipso, G H. puta D Κ si in ut aequant ut ipsi C. At ex C in C fit D ut ostensum est. Ergo e2 C in H set Κ. Quod erat ostendendum. Itaque sumptis quadratis 37 . t. a per viges mam sextam inuentis, ex binorum mutuo ducta fient E. quos auferendo sgillatim ab unitate, temanent quadrati M. l. v. quorum latera I. q. ri Catterum hae tres quaestiones paulo uniuersalius proponi possunt, quod exemplo vigesimae septi inmae docuisse meiat.
Inuenire tres quadratos, ut qui fit ex binorum mutuo ductu, addito quouis quadrato quadrato, faciat quadratum. Datus quadrato quadratus esto I 6.
Sumo quadratos soluentes vigesimam septimam, puta V. 5 π. quos sigillatim multiplico perlatus quadratum ipsus Is puta per η. Ac fiunt quaesti quadrati et s. . quos satisfacere prominsito petspieuuin est. Nam primo quadiatos eos esse eonstat, quia fiunt ex quadraducto, idemque semper eueniet, quia latus quadratum cuius ῆ est. De nde eum snt quadrupli priorum quadratorum at ex qua quadruplum alterius, fiat sedeeuplum producti ex numero in numerum, patet productos ex bin tum multiplicatione esse se deeuplos priorum productorum. Quare si his addatur Icl. puta sedeeu-plum unitatis, fient numeri sedeeupli ad quadratos qui sunt s numeri per vigesimam septimam inuenti bini inter se multiplicentur,& productis addatur unitas Ae proinde cum ex eo quadrato in qua dia sum fiat quadratus, Patet propositum. diatos sigillatim drati. quadratu
bet quadrat quadruplo numeri in
346쪽
D Aro numero tres ad inuenire quadratos, quorum bini sumpti, adscitoque dato numero, faciant quadratum. Esto datus 11. & sit unus quaesitorum 9. Quaerendi sunt ergo alij duo , ut quilibet illorum cum et . iaciat quadratum , &ambo simul cum is . faciant quadratum.
Oportet ergo quaerere duos quadratos, quorum uterque cum et . faciat quadratum. Sumamus numeros qui metiantura . Ac sint latera circa rectum trianguli rectanguli. Esto secundum A, oppositus, erit 6 N. utriusque horum semissis est etis. N. Rursus esto secundum A. oppositus erit 8 N. utriusque semissis est et & N. Sit ergo unius quadratorum latus ab interuallo ; . dc 3 N. alterius vcro latus ab interuallo & N. sic enim uterque quadratorum cum et . faciet quadratum. Restat ut & ambo iuncti cum 13. faciant quadratum. Fit autem - a3 Qin y. Igitur a Q - -- g. aequantur quadrato. Esto quadrato as in& fit 1 N. b Adpositiones.
Η ius quastionis brareficio, sequentis quasioni olationem dabimas qua aliosvis Gracillima fani videretur. δDos numero , quatuor inuenire numeros quorum bini sumpti adsitoque datona mero faciant quadratum. Sit datus numerus Is or primum per hane quaestionem resteriantur tres quadrata quorum bini sumpti a citoque dato numero faeιant quadratum. Et sint illi tres quadrati a s. n. m. 'Ponatur primus quatuor numerorum quaesitorum I Is. Secundas Io N - 23. quia as. est unus ex quadratis, Io N autem es duplum late
Tertius eadem ratione ponatur; N -- , quartas denique e N -- Ita quippe insitutis positionibus tribus propositis partibus fatis', quilibet enim 'namerum unae. m prιmo adscito is facit quadratum. Superes ut fecundus ct tertius addito Is, stem tertius er quartas addito Is, denique secundus se quartus , eodem addito Is faciant quadrarum , oritur triplicata aqualitas euius solutio in prompta cum ex constractione eulas artificium ab hae suaestione defampsimus in quolibet termino
aquando reperiantur unita es tantum quadrata se numeri. Recurrendum igitur ad
ea sua diximus ad quastionem vigesimamquartam libri sexti.
347쪽
SV aTILI et a R Diophantus posito uno quadratorum ad placitum , puta s. inuestigat reliqucis.
Cum enim ς. additus dato numero is . iaciat a . certum est reliquorum quemlibet adsumpto et dehete conficere quadratum, quia quilibet ipsorum addito s. & Is. debet este quadratus. Sed devietque simul ad se ito Is. debet facere quadratum. Reliquum ergo est ut duo quadrati repetiantur, quorum quilibet cum 24. faciat quadratum, & eorum summa adsumens Is. sit quadratus. Hic sane
mirabili artificio ponit latera quadratorum 3 N. - Α &4 N. unde fiant quadrati s Q. - Ia - .H & xε Ia -- quorum uterque adsumens et . quadratum iacit, puta s Q - ra Ee 16 αμ. 12 - . lateribus 3 N. -- ω& N. - Equidem certum est si quadrati duo fingatur ab aliquo binomio, & a residuo quod ei respondet, interuallum quadratorum sole quad tu
pluiti plani sub partibus comprehens, ut quadratorum a lateribus I N. - 3. &i N. - 3. interual- Ium est ia M. quadruplum producti ex I N. in 3. Quare Diophantus quarens quadratum cui adden do a . fiat quadratus , ponit pro latere residuum tale, ut planus sub partibus si quadrans de et . puta 6. Id ut consequatur sumit duos numeros quorum mutuo ductu fiat et . puta o. & . di utrius que lemissem capit, puta 3. N a. nam ex semissi in semissem fit quadrans producti ex toto numero in totum numerum. Formandum ergo est residuum a. ponendo scilicet alterum eum signo N. puta 3 N. ex alterci vero formando stactionem numericam , puta tr. & fit res duum 3 N. - n. in quo patet planum sub partibus esse - 6. atque adeo duplum illius esse - a. cui addendo a fitia. sola signomin mutatione facta. Eadem arte fingit latus tertia quadrati, sumendo S. & 3. quorum diu tuo ductu st et . N eapiendo semisses eorum, puta η. & I P. unde formatur residuum 4 N. 1 ', ubi etiam contingit planum subpartibus esse - 6. eadem de causa. Porro non temetὸ sumendi sunt duo euicunque numeri mutuo ductu producentes et . quale sumpsit author 6. & 4. N rursus 8. N 3. sed tales esse debent, ut duo 6. & 8. Itemque 4. & 3. eonstituant latera circa tecium trianguli rectanguli, ut insa docebimus. Ideo sumit Diophantu 1 duo, ' quoleunque numeros 3. & 4. qui sint latera eirca rectum trianguli rectanguli, & per eos diuidendor. 3. paris M. nascitur alios ducis 8.&6. qui sunt etiam latera circa recium trianguli rectanguli quia eciarum eadem est proportio, quae ipsolum a. de 4. vi consat per decimam nonam septimi. Unde etiam sequit ut & horum semisses, putare.&2. Itemque .&3. constituere latera circa rectum itianguliticianguli ob identitatem rursus proportionis. Necesse est autem huiusmodi numeros coussi tuere latera citca rectum trianguli rectanguli, ut summa quadratorum ab ipsis oriorum si quadratus numerus , quia oportet summam quadratorum fictitimum adscito Is. puta as Q. - 9 - - ἱ- esse trinomium cuius quaelibet pars constet quadratonum eis. At as est summa quadratotum a lateribas 3 N.&4N.& rursus est summa quadrato
tum , late ibu, l . & Λ. vnde patet op xtere ut 3 N. & 4 N. Itemque ἡ& n. sint latera ei rea te ctum trianguli rectanguli. Vnitates vero se s. aequantur quadrato qui postus est pro primo quaes
Ingeniosa itaque laterum sctione assequutus est Diophantus, ut quaelibet pars tr;nomia qua deato quandi, eousset quadrato numero, quod ni foret, qua quaeso ratione aequaletur quadrato in s -- IJ Sanὸ si velis fingete illius latus N. - vel - certo unitatum numero, nil esse levinoque si ponas latus illud I, plus vel minus certo Numerorum numero, nam utroque modo vel incides in absurdum . vel in complexam aequationem . talemve ex qua non prodeat solutio ratio nati . Itaque huiusmodi aequatio tith nequit explicari, nisi aequando propositum numerum, vel eum et sin vel eum γ sic enim ablatis utrimque aqualibus remanebunt s. aequales vel vel distes optimὸ succedet, quia utrumque extremum aequationis repetitur quadratus. Posuit Dio
ciuile, M. Quare a N. est Ad positiones sunt latera quadratorum Sunt ergo tres quaesiti quadrati s. m. Ti. nam bini adsumpto II. faciunt quadratos IS. VL: t. quotum latera n I.
od si ponti is y - aequari 2 Mnx s. aequalis 2I Q. 8c erit IN. ζ. eadem tamen quae
prius continget solutio , quia tunc concipiendum erit latera quadratorum suisse-- 3 N. de N. quae per valorem Numeri resoluta , erunt ut supra A &
348쪽
D Aro numero tres ad inuenire quadratos, quorum bini sumpti detracto dato numero , faciant quadratum. Esto datus 13. Ponatur rursusqllaestorum quadratorum unus a . Quaerendi erso alij duo , ut uterque sigillatim cum Ir. iaciant quadratum, ambo vero simul detractis ra. faciant quadratum. Rursum semiinus dimensionem secundum numeros 3. & 4. fitque prioris quadrati Iatus ab interuallo interie N. de as. alterius vero ab interuallo inter x N. & 11. Sic enim utriusque quadratus adscito 12. facit quadratum. Superest ut ambo simul detracto v. faciant quadratum. Fit autem xii -- 6 Q. - 23. Hoc ergo aequatur quadrato. Esto
ipsis 68efiti N. a. Ad politionc .
confiant quadratum. Ponendus enim primus I numero dato. Seeandas quadraia
rus primas ex inaentis in hae quasione una eam duplo ab ipsius latere in A. ore, liqua patent. IN ILVAE sT IONEM XXXI.
EX dictIs ad preteedentem satis intelligit ut haee qumstio. ponit primum quadratum as. unde
eum auserendo I3. a 2s. supersit II. patet quaerendos duos quadratos , quorum uterque adscito a. saeiat quadratum, ita ut amborum lumina detracto II. faciat etiam quadratum. Inuenit autem duos quadratos . quorum uterque adscito ra. faciat quadratum eodem artificio quo usus est in prae-eedente , & fingit eorum latera a lateribus citca rectum trianguli rectanguli, quotum mutuo ductu fiat 3. quadrans ipsius Ia. Et ponit unum latus a N. alterum 2 N. unde quadratorum sum,
madetractis i3. st V Q. - Π - aequanda quadrato, putaῖQuare tandem V Q. aequantur as& si N. a. sunt erao latera quadratorum quaesitorum 2. & P. & fiunt tres quadrata A. duorum bini detracto n. relinquunt quadratos Is. . . '' Caeterum moneo&hane & praeeedentem infinitas recipere solutiones ex duplici capite. Primo enim primus quedratus poni potest quilibet unitatum numerus quadratus. Deinde latera seeundi & tertii varie fingi possunt , a diuetius scilicet numeris qui sint latera circa reetum diuersorum triangulorum rectangulorum non similium. Verbi gratia loco aptorum 3. N sumi poterant s. & is. vel s. & Ia. & alii infiniti , ut in hae quaestione si libeat vii numeris, fle tet. sumo numeros oppositios qui selliret in hos ducti producunt ra hi sunt ex. & omnium capio semio, , puta - . 6. . fingo ergo latera quadratorum N. - ι - , 6 N. - ' .& patet quemlibet quadratorum adscito Ia. facere quadratum. Restat vi eorum uim
ma detractis q. satiat quadratum, faciet autem Q -as -- rc hoc ergo Mqvςxxi aequalis U. unde fit x N. suntque quadratorum latera Ut. & - Itaque tres quaesiti quadrata sunt
349쪽
Π. . ', quorum bini de n e '. videtur autem MoInuenire treb quadratos, dratum. Sed hane ut nimis faeilem praetermisit Diophantus. Sit enim datus ar. patet nil aliud postulari quis utar. diuidatur in tres quadratos, quales sunt Ict 4. I. euidens quippe est si bini auferant , II. relinqui tertium.
quotum bini detracti a dato numero relinquant qua-
γωγω τώ -δ' α. λειψει in κε . 3Θεν oIN v s N i R a tres quadratos , ut comis positus ex ipsorum quadratis , faciat quadratum. Statuatur quaesitorum unus raltera. alter ρ. & fit compositus ex eorum quadratis I Q - - 97. aequalis quadrato a latere I - Io. & fiunt reliquieto Q. aequales 3. & si horum multiplic tione quadratus fieret, soluta esset quaestio. Eo itaque res rediit, ut inueniantur duo quadrati, & numerus quidam, ut qui ab eo fit quadratus , detractis quadratis duorum quaesitorum quadratorum , numerum faciat, qui ad duplum numeri ab initio sumpti rationem habeat quae est quadrati ad quadratum. Ponantur quaesiti quadrati unus i Q, alter . & arbitrarius numerus sit I - - 4. & huius quadratus detractis illorum quadratis , relinquit 8 Q. Hoc volumus ad duplum a Q. - . hoc est ad a Q. - 8. rationem habere quadrati ad quadratum. Omnium semistis sumatur. Igitur & in ad I Q, -- q. rationem habebit quadrati ad quadratum. Sunt autem qWquadratus. Proinde & I Q - . aequantur quadrato a I tere rN. I. Unde fit IN. I . erit ergo quaestorum quadratorum , alter a b alter . oblatus numerus bde omnia quater. Erit alter 9. alter 16. arbitrarius as. Recurramus ad propositum initio, & statuamus trium quadratorum unum I Q alterum 9. tertium 16. de fit compositus
ex ipsorum quadratis I Q -- 337. Haec
aequantur quadrato a latere I Q. - 2 . Vn
or autem non quaerat duo quadraroquadrata. quorum summa sit quadratus Sane hae quastio est impossibilis, is nostra demostrandi meιhodus potest haud
350쪽
Mari LITER Diophantus soluit propositum lemma quo quaerit duos quadratos', di praterea numerum a cuius quadrato auferendo quadratos duorum quaesitorum quadratorum , residuum ad duplum eiusdem numeri sit in ratione quadrati ad quadratum. Etenim ponit quaesitum numerum ι -- - 4. At quaestos quadratos Se 4. sic enim auferendo horum quadratos, a quadrato illius numeri superest 8 inqui ad a -- ου. debet esse in ratione qua stati ad quadratum ; quare echorum semissis , puta 4 Q At I-- erunt rursus in ratione quadrati ad quadratum, cum noumutetur proportio. 4e proinde cima 4 Q. sit quadratus, oportet & I Q. - q. esse quadratum,cuius Iatus esto IN. - a. st i N. .. Sunt ergo quaesiti quadrati' . at quaestus numerus V. & ad vitandas s actiones, omnia per . multiplieantur, fiuntque quaesiti quadrati s. & I6. quaesiius numerus as. Statuentes ergo alterum quadratorum I Q alterum s. tertium I 6. fit sunt a compositi ex eorum quadratis a QM, -- 337. aequalis quadrato a latere I dis.& fit i N. π. Sunt itaque quaesti quadrati 'I. s. is. summa quadratorum ab ipsis ottorum est quadratus utique a la
Potto animaduersione dignum est quadratos qui per assumptum lemma quaruntur esse semis per quadratos latetum ei rea tectuna trianguli recianguli ,& numerum quaesitum esse semper quadratum hypotenulae , seu summant eorundem quadratorum, ut vides in hypothes Diophantaea quadratos reperiri y. & I6. At quaesitum numerum esse as. Et tres buiusmodi quadratos semper soluere lemma propositum sie demonstrabitur. Sint quadrati Α B. quotum summa C. st etiam qua-G ,ga Mob dratus. Et a quadrδto ipsius C. ausetantur quadrati ipsetum A B. di sis A a i8 C , ' perst G. sumaturque Η. duplus ipsius C. dien G. ad H. habete latio nem quadrati ad quadratum. sit enim D. productus ex A. in B. eritque D. quadratus cum fiat ex quadrato in quadratum. Itaque quia C. aequatur ipsis A B. smul, erit quadratus ipsius C. aequalis quadratis ipsorum A B. & duplo ipsiua D. Quare cum auferendo quadratos ipsorum A B. quadrato ipsius C. supersit G. erit G. duplus. ipsiu, D. Ergo etim & H. st duplus ad C. erit G. ad Id. scut D. ad C. sed D. & C. sunt quadiati. Igitur ratio G. adH. est iratio quadrati ad quadratum. Quod ostendendum erat. Hine elieitui Canon facillimus ad soluendum propositam quaestionem. Same pra ἁ-bus quasitorum quia forum, quadraιοs larerum et ea resiam ιν auia. νesangkK. T- δαιά. proaME iam matus ductu eorund/m , per quadratiam h parentis ; arietur remas. Verbi gratia , exposito triangulo tectangulo I. II. 43. Erunt duo ex quaestis quadratis as Ae IM. t quia ducto dis in I4 fit 36 . diuiso eo per quadratum hypotenuis, puta per 369. st tertiua quaesitorum & soluta est quaestio. Nam trium quadratorum quadrati smui iaciunt et . quadratum a latere 'Vis
DRAcHMAR M quinque, Sc drachmarum miscuit oesto Quis choeas , famulis vina bibenda suis.
Pro cunctis pretium, numerum praebens tetragonum, Qui praefinitas suscipiens monadas Diuersum dat quadratum. Sed summa choatum Illius exaequat constituitque latus. Dic age quot choeas drachmarum comparat octo, Drachmarum choeas, dic age, quinque, Puς .