장음표시 사용
371쪽
Vna cum mulo vinum portabat asella, Atque suo grauiter ceu pondere pressa gemebat Talibus at dictis mox increpat ille gementem. Mater quid luges tenerae de more puellae λDupla tuis, si des mensuram , pondera gesto, At si mensiuram capias, aequalia porto. Optime mensuras distingue Geometer istas.
Ilaee etiam quaestio soluitiir per decimam quintam primi. Nam quaeruntur duo numeri, riptunus aecipiens a. 1 secundo sit duplus ad residuitin secundi; at Geundus accipiens t. h primo sit aequalis residuo primi. Esto primus IN. O. Ergo dando I. seeundo, remanebit primus a N.& tune secundus etii I N. Quare auferendo ab eo unitatem quam aecepit a primo , fit secundus, ut etat ab initio i N. - , Iam si ab eo primus accipiat I. fiet primus i N. -- a. & residuum feeundi et it N. - a. Itaque t N. - - a. duplus est ad 1 N. - dc tandem I N. - a aequatura N. - . Vnde fit i N. o. Sunt ergo quaesita numςri T.
372쪽
. N U E NIR E triangulum: rectangulum, Vt hypotenus se subtracto alterutro late ' rum circa rectum, faciat cubum. Esto quaesitum triangulum erictum a duobus numeris, & sit alteri N. altera. fit igitur hypotenuia I. Qi-- 9. Per pendiculum 6 N. Basis i - ρ. Et hypo- tenuia dempto uno laterum circa rectuin, hoc est 1 Q πρ. facit I8. qui non est cubus. Unde autem prouenit 18 ὸ Quadratus est de 3. bis sumptus. Oportet igitur inuenire numerum aliquem, ut illius quadratus bis sumptus faciat cubum. Esto quaesitus numerus I N.& fiunt et inaequales cubo. Esto I C. & fit i N. a. Rursus sermo triangulum ab i N. & non a 3. seda 1. & fit hypotenuia I Q. - . Perperi diculum 4 N. Basis I 4 - . & manet hypotenuia detracta basi iaciens cubum.
Superest ut& perpendiculum quod est
N. detractum ab hypotenuia faciat cu-hum. Fit autem I. - Α -ΑN. aequale cubo. Est autem quadratus a laterer Ν.- 2. si ergo aequemuS cubo IN. - a. sol αuemus quaestionem. Esto aequale 8. fit tN. io. Itaque sermabitur triangulum a Io
373쪽
In VI. Librum Diophanti Commentari,
OPERATIO Diophanti facilis est , in qua tamen nonnulla Decurrunt animaduer
fione digna. Quare primo aduerte a duobus nummis formari triangulum rectangulum. modo quem demonstrauimus propositione quinta tertii potismatum. Et fit hr potenuia summa quadratorum, basis interuallum eorundem , perpendie ulum vero duplum millistἰplicationis laterum. Hine apparet cur ab hypotenuia detracto perpendiculo , relinquatur qua oris dratus. Etenim a summa quadratorum auferendo duplum producti laterum, remanet quadratus interualli latetum. sic in priore positione detractis o N. ab I Q -- s. st quadratus I - s - sq. a latere a N. - 3. quod est interuallum numerorum I N. & 3. a quibus Armatur triangulum. Atm seeunda positione detratas N. ab I fit quadratus I. 4. - N. a latere I N. ma. quod est interuallum ipsorum quibus effictum est triangulum. Seeundo aduerte lemma quo quatitur cubus quadrati duplus infinitas recipere solutiones, & tur pitet allucinati Xilandiu in , qui ad sequentem quaestionem asserit nullum alium cubum prater 8. assignari posse quadrati duplum, neque in stactis, eum infiniti tales e ubi assignari possint & in integris , de in fidis. Nam ut patet et inaequari possunt cuilibet cuborum numero cubico. Verbi gratia ponantur a. inaequales ἰ C. fiet IN. I6. eritque cubus II a. duplus quadrati ass. Rursus ponantur a Q. aequales 8 C. fiet I N. Et inuenietur eubusG. duplus quadrati A. & se de alitia. I mmo eodem pro Rus artificio inuenies eu bos infinitos qui ad aliquos quadratos datam habeant rationem,
de hine scit matur Cauon uniuersalis. ADt a. d.nominatorem νationis diata, pre caum ala quem , artemν lama quariati qώ siri
Vt si velis cubum qui si quadrati triplus, diuide 3. per eubum aliquem, puta per I. vel per s. vel pera7. fient 3. I. r. quorum quadratis. 6 9 quorum tripli, puta 27. a. c. sunt cubi, ut requiritur. Tertio aduerte eum quadratus n. - N. st aequandus eu bo, Diophantum aequare cubo latus illius, puta i N. - a. Conllat enim si latus quadrati sit eu bus, & ipsum quadratum iste cubum, quia ex cubo in euhum produeitue cubus per tertiam & quartam noni Euclidis. Poticiliae etiam ex parte infinitas solutiones quaestio reeipit, nam I N. - 2. cuilibet unitatum numero cubico aequari potest, aequauit Diophantus cubo 8. sed si aequasset euho I. suisset I N. 3 di fingendo triangulum 1 a. 8e a. facta essem lateta 13. 1a. s. quae soluunt quaestionem . nam au serendo sigillatim utramque laterum ei rea tectum ab hypotenuia, supeliante i I.& 3. Hine etiam eliciis tui huiusmodi Canon. Euma inmerum alaquem, ira va quadrarias .iatas plasmusa eas. ἔ sum ιε numero adis erubum εὐ- 5bet. tum ab laesumma, ct a sumpta numeras Me frianraiam.
Verbi gratia sume ἰ euius qu1dratus A. est semissis e ubi t. Adde cubum L ade fiet M tum fingeis ansulum ab ἰ & M. fient latera trianguli m Rr. quae soluunt quaestionem , nam sublattiverouis laterum elica rectum ab hypotenuia, supersunt cubi 8. & I. Caterum inuento triangulo quaestionem soluente, si singula illius lateta diuidas vel multipli em per aliquem eundem euisum, fiet aliud triangulum aeque proposito satisfaciens. Vt si triangu- Ium a Diophanto Inuentum ro . si das pet 8. fiet aliud triangulum 13. s. & II. aequ/ henὰ proposto congruens, & ratio est euidens, nam interualla quibus hypotenuia I3. superat latera s. N ia. fiunt diuidendo per 8. Interualla quibus hypotenuia Io . superat latera ηα & M. Quare cum haec interualla sint euhi ex hypothesi, di cubo per cubum diuiso, oriatur cubus, patet Milia latet ualla quibus Ia. superat s. di I a. fore cubos, quod est propositum.
ut hypotenuia adsumens alterutrum laterum circa rectum , faciat cubum. Si formemus quaesitum triangulum a duobus numeris ut in praecedente, quaerendus erit quadratus cuius duplum sit cubus , est autem is a latere a. Fingemus eris
374쪽
militer hypotenuia i q. unum autem laterum circa rectum N. alterum
denique in Superest ut hypotenuia adscito priore latere faciat cubum sed& nee esse est ut eum ad positiones veniemus I Q. inueniatur minor quam 4. Proinde I N. minor est quam a. Eo itaque redacti sumus in inueniamus cubum minorem quam 4. maiorem qui in a. Est autem I. Qua inobre in i N. - a. aequalis esto & fit 1 N. z. Erit ergo hypotenuia
Eς. laterum circa rectum alterum π. al
HIc multa in seliciter adnotauit Xilandet. primo enim asserit cubum quadrati duplum nullum esse praeter 8. di nullum quadrati triplum praeter et . die. quod ad praecedentem abunde confutauimus. Deinde phtat alterum laterum cito rectum poni debere, ut in praeede me 4. quod est absurdum , nam ob talem politicinem cogitur simul di semel aequare cubo, tum a Q tuni I N. - 2. Quare deueniendum ei ad duplicatam aequalitatem, quae quomodo resolui pol sit . eum se ilicet duci numeri sunt simul aequandi cubo , nee ipse docete potuit, nec usquam do cuit Diophantus. Denique non satis aperit causam eur I N. - 2. aequari debeant cubo alleui maiori quam a. minori quam q. Quamobrem vi omnia sigillatim elucidemus. Aduerte primo evr sumatur numerus euius quadratus sit semissis cubi, & ponatur basis trian suli 4 - I Q quae in praei edente ponebatur iin η. causam esse, quia vult Diophantus per huiusmodi positionem satisfieri uni parti postulati, nam hypotentiis i Q - 4. addendo has m r. Q. fit utique cubus 8. Posse autem basim poni I aequὸ bene ac I Q - . patet, quia balis debet esse interualluin quadratorum a Q. N 4. Quare cum ignoretur uter eorum maior sit, potest eo tum interuallum esse I QU- 4. vel 4 - I Q. Aduerte secundo hypotenuis A. addendo perpendiculum 4 N. fieti quadratum I Q φη N -- . Quia hypotenuia est summa quadratorum , at perpendiculum. est duplum plani 1 utilatet bus, unde patet hypotenuis & perpendiculi summam squali quadrato summae latetum IN. - 2. Quare sicut in praecedente restat ut aequemus eu bo x N. - a. quia si latus hoe sit cubus, alit& quadratus illius ei bus: A quandoquidem excubo in seipsum plodueitur elibus. a Aduerte tertio IN- a. aequari debere cubo qui sit maior quam a. ininoi quam 4. primum patet, nam cubo illo auserendo a. residuum aequari debet i N. secundum sic probatur. Quia basis posita est. 4 - I Q portet q. maiorem esse quam i in Ergo a. maloi esse debet qu m I N. fit autem I N. ut dictum est, ab aliquo cubo auferendo a. Oportet ergo talem esse cubum illum, ut ab eo auferendm a. residuum si minus quam a. ae proinde oportet cubum huius nodi, minorem esse quam Porro qua ratione inueniendus sit cubus maior quam a. minor quani q. non docet hic Diophantus, sed id facile eonsequem ut eodem arti scio quo ad decimam tertiana quinii repetit author quadratum maiorem qu m a. minorem qu3m3. Reducant ut enim a. & 4. ad fractionem cuisbi eam eiusdem denominationis , puta ad octauas, seni Q & Inter quot cadit cubus i. propo. sto satisfaciens. sic infinitos huiusmodi cubos reperies, & quo maior et it denominator ad quem si reductio, eo plures cubi cadent inter numetos propositos, ut si redueas a. & q. ad milles mari fient : . i. & inter quos eadunt tres cubi proponto apti, puta i Ee. N se de alii . Aduet te denique hse eontingere ut multiplicando vel diuidendo latera inuenti trianguli, per eundem cubum, sat aliud triangulum soluens quaestionem. Si e loco laterum quae inuenit Diophantus, puta T. V . . '. ducendo omnia in 6 . sumi possunt 377. 131. 3ueet . quod facile est demonstrate. Caeterum ratio diuerstatis in solutione & operatione, ex duplici capite ortum habet Primo enim ut doeuimus i N. - o. aequati potest infinitis tubis maioribus quam a. minoribus quam aquatis sunt. . . . t A. &e. De inda triangulum ipsum ab initici fingi potest ab I N. di quotlibe evnitatibus, quarum quadratus sit semiliis cubi, quales infinitos numeros dati, quicquid dicat Xi lander , ad praecedentem Ostendi inus. Verbi gratia fingat ut ab I N. N erit hypotentisi i Q - . . Basis PN. perpendiculum in hocque addito ad hypotenusam , fit cubus At basi addita eidem hypotenuia si quadratus I Q - - l N. cuius latus I N. - aequandum est cuba
375쪽
maiori quam . mἱnoti quam quales sunt aliique infiniti. Et uniuersaliter. Cusus quo eumst ultima aequatio debet esse maior unitatibus, 1 quibus cum I N. . formatum est triangulum, de minor dupiti eat undem. Quamobrem hinc facile est elicere Canonem. Sume queml bee mι erum, casus quadratus sis semissis cubi, quem aufer ab aliquo cias qsi siemaior iis, En minor duplo rausem; A res, avia sir a supro numero formabis quastium
triangulum. 'Verbi gratia sume a. quem ausit 1 eubo l. remanet n. a quo & a. forma triangulum, vel reducendo ad integros, forma triangulum a 93.& aas . fient latera III 49. 383 . q6sco. &hypo tenuia ad lumens basim , tum perpendiculum , facit cubos Iasoco. & ii 76 9. quorum lateraso. α 4s. Quoniam veth in mentem alleui venire posset cur non proposuerit Diophantus inuenire trianguis tum temngulum euius hypotentisi adsumens utrumlibet laterum circa re esum, faciat quadratum. vel cuius hypotenuia detracto quolibet late tum circa rectum relinquat quadratum, non abs re suerit monere, oinissas esse huiusmodi quaestiones, quod sint impossibiles. Id autem, nequis temeta
dietum putet, se demonstrabitur. Esto triangulum rectangui uni ABC. diecisue hypotenusae Λ addantur stillatim lateta B. C. sue adimantur , non posse
simul fieri duos quadratos. Etenim cum hypotenusa A eomponatur ex duobus planis similibus, sint ii D major, & E minor ; erit erso B duplum medii proporticinalis inter D N E cadenti . At Cerit interuallum ipsorum DE. Potio ipsi DE vel quadrati sunt , vel quadratotum smiles. Ponantur primo quadrati. Cum ergo A sit summa duorum quadratorum D E. M C sit eorundem interuallum, ' patet compositum ex duobus A C. esse duplum maioris quadrati D. Ergo si compostus ea AC mi atur quadratus, sequitur ex binatio in quadlatum D. produci quadratum. Quod est impossibile, eum binarius non si quadratus , ut ostendit clauius ad secundam noni. Rutias si ab A qui est summa quadratotum D E au seratur C eorundem interuallum, i tes duum duplum erit minoris quadrati E. Quare si hoetes duum ponatur quadratus, sequitur rursus ex hinatio in quadratum E. produci quadratum. Quod eadein de causa est impossibile. Quare in hoc ea su patet propositum. Iam vero esto triangulum rectanguluin FG H. N plani similes XL ex quibus hypotentisa P componitur non sint quadrati; dico nihilominus sequi propositum. Nam X L. cum snt plani similes.' habent rationem quadrati ad quadratum;habeant ergo rationem quam quadratus D ad quadratum E. Igitur cum sint ptoportionale, D. E. K. L. & ab ipssD E formetur triangulum A B C. ab ipsa Κ Lformetur triangulum F G H. erunt lia e trian uilla similia. Itaque cum sit A ad F. ut B. ad G erie summa duorum A Bad summam ipsorum FG. vi A ad F. Quia vero A est summa quadratorum
D E N B est duplum plani sub lateiibu 1, patet summam ipsorum Λ Besse quadratum , ae proinde si & summa ipsorum i G ponat ut quadratus , erit A ad F vi quadratus ad quadratum sed ut A ad F sc est C ad H ob siniti itidinem ii iangulorum, ae proinde ut A ad F, ' se est summa antecedentium A C. ad summam eonsequentium s H. Igitur s summa ipsorum F H sit quadratus , oportee& summam ipsorum A C esse quadratum. Quod impossibile es, ut supra ostendimus. Deinde quia
est A ad n ut F ad G. & rursus B ad C ut G ad H. patet argumentando per conuersonem rationis, tum per rationem permutatam esse interuallum ipso tum A B ad interuallum ipsorum F G. iteinque interuallum ipsorum A. C. ad interuallum ipsorum FH. sicut A ad F. Cum igitur interuallum quo A summa quadratorum supelat B duplum plani sub Ialetibus, sit quadratus, si di interuallum ipsorum F G ponat ut quadratus, erit utrumque interuallum quadratus. Quare & litteruallum ipso tum A C. ad interuallum ipsorum I; H erit in ratione quadrati ad quadratum, ac proinde si interuallum ipsorum F H ponat ut quadratus ' erit & interuallum ipsorum A C quadratus. Quod ostensum est: esse impossibile. Quamobrem eου omni parte constat propositum. Eadem quoque ratio est de ea teris omnibus potestatibus quadratis, ut pote quadrat quadratis, euhoeuhis, Ne . Etenim inueniti non potest iii angulum rectangulum, cuius hypotenusat addendo vel adimendo utrumlibet latus fiat quadratoquadratus, vel cubocubus. Hoc enim si daretur seque
telut dati quadratum duplum quadrati. Quod est impossibile; Alijs autem potestatibus omnibus
quae quadratae non sunt, quales sunt euhi, quadratoc ubi, quadratoquadrat ubi, die. rite applicabitur quaestio, ut exemplo quadrato cubotuin ficile est detrionstrare. sit ergo propositum inuenire triangulum tectangulum, cuius hypotenuia Usumens utrumlibet laterum ci rea teolum . saeiat quadratocubum. Patet si sequamur ductum operationis Diophanti. ed nos adigi, ut inueniamus quadratocubum duplum quadrati, & quia omnis quadratoquadratus est quadratus, soluet ut lemma si inueniamus quadratoeubum duplum quadratoquadrati. Esto quadrato quadratus a Q in ergo a QMes aequantur quadrat cubo, esto I QC. st I N. a. estque quadrato at adratus I s. quadratocubus 32. sumentes igitur latus quadratum ipsius is . puta . e singamus triangulum ab i N.& a 4. erit hypotentia i Q. - is. Basis is I in Perpendiculum 8 N. & eonstat
addendo basim tirpo tenuia fieti quadratoeubum aa. Restat ut eidem hypotenuis addendo petis
376쪽
Arithmeticorum Liber VI. 18 ue
rendieulum fiat quoque quadratocubus. Fit ergo i - . 36. - 8 N. aequalis quadratocubo. Ergo latus quadratum ipsus I Q - Is -- 8 N. puta IN. - - 4. aequabimus quadrat cubo, sic enim consequemur intentum, quia ex quadratoeubo in quadratocubum fit quadratocubus, ut demonstrauimus in Elementis. Porro IN. - - 4. se aequari debet quadratocubo, ut is sit maior quis minor quam 8. Ob causas supra ea plicatas. Quare cum reducendo .de 8. ad fractionem quOdrato cubicam, siani V . & 'i'. Eil inter eos cadat quadratocubus huic aequabimus I N. - - fietque x N. Igitur effingemus quaesitum triangulum a 4. N a vel utroque ad eandem denominationem redacio de communi abieet denominatore a ia8. I s. fietque triangulum et os. 2s o.
3rss. quod soluit quaestionem: nam hypotenuis addendo sigillatim litem, sent quadratocubisso s. & 32768. quorum latera 9. & 8. Eadem alte de quaestio praecedens extendetur ad huiusmodi potestates. Nam sit propositum inuenite triangulum rectangulum, cuius hypotenula multata quolibet laterum circa rectum, relinquat quadratoeubum. Efingemus ut prius triangulum ab I N. N a 4. N erit hypotenua 1 -- 16. hassi Q. - 16. Perpendiculum 8 N. sic enim satis si uni parti propostionis. Restat vi I - . Is -8 N. aequetur quadratocubo. Quare latus I N. - q. aequandum est quadratocubo , esto is 32. fiet I N. 35. Armetur ergo triangulum a g. 36. erunt latera 33ia. 3 o. 288. & soluta est quaestio. Nam hypotenuia multata quolibet laterum, relinquit quadratocubos 32. & Ioa . a lateribus a. dc q.
IN vanilla triangulum rectangillum,
ut areae eius numerus adsumens datum
numerum, faciat quadratum. Esto datus 3. N ponatur triangulum datum specie 3 N. q. N. 3 N. & fit area adscito s. 6Q. -- s. aequalis quadrato. Esto ipsi ρ. &auserantur a similibus similia, relinquuntur 3 quales 3. & oportet speciem ad speciem, rationem habere quae est quadrati numeri ad quadratum numerum sed& multitudinem ad multitudinem. Itaque eo deuentum est, ut oporteat inue. ni re triangulum rectangulum , & quadratum numerum, ut quadratus area trianaguli multatus , saciat quintam partem quadrati,quia datus est 3. Formetur trian gulum ab 1 N. & . . & si area i in Esto quadrati latus i N. & stacitio
numerica tot unitatum, quantus est duplus dati numeri, hoc est o . & fit quadratus 1 Q. - ao. & si ab eo detra
hamus aream, hoc est I in relin. quitur ni . eto. Haec quinquies, fit Ibroo. aequale quadrato. Et omnia mulatiplicentur peti insunt Ioo Q. -- 3Os. aequales quadrato. Esto latus eius io N. -- 3. Inuenitur I N. et, Ad postiones. Formabitur ergo triangulum a I &ιErit autem quadrati latus et . si ergo triangulum saluamus in numeris, & aream ipsus adscito s. aequalem iaciamus 'is Q. reliqua fient manifesta. ιαι 'Atν δαια om . pM. 'ue . ET PEIN Wbανιν ὀρθογωxus, onrsc o
377쪽
AD quaestiones omnes huius libri reliquas nihil adnotauit Xilander . earum tum disseultate, tum insigni deprauatione deterritus. Sed Ae summi vir ingenii Franciscus vieta cum hane ipsa, quaestionem pertractandam suscepisset, Zetetico nono libri quinti parum felicitet eam explicauit;
etenim methodum Diophanti minime percipiens, aliainque viam inire eoactus, quod ille uniuersalis sine propositerat de quolibet numero ad aream trianguli addendo, ipse ad solos numeros ἡducibus quadratis compositos , restrinxit. Itaque nobis ob integiam tot pulcher timorum subtiliss-m rumque problematum encidationem, solida relicta est gloria. Quam ut non immerito eonsequamur, circa hane quaestionein. Aduet te primo triangulum datum specie voeari Diophanto, illud cuius laterum proportio data est tantum, ipsorum laterum quantitate indesinita manente, quod a tertia definitione datorum Euelidis depromptum est. Vetὰ enim triangula omnia quae latera habent proportionalia eiusdem speciei eenseti possunt, tum ob laterum similitudinem , tum Ob angulorum aequalitatem, unde & si is
milia voeantur ab Euclide. Ideirco Diophantus huiuimodi triangula non exhibet in unitatibus, quia vel bi gratia si exponat ut triangulum a. q. s. Id iam non in speeie, sed in indiuiduo exhibitum et it. Cum autem proportio laterum dabitur, sed ipsa laterum quantitas manebit indefinita , exhibendo se ilieet triangulum in Numeris, ut iacit Diophantus sicut 3 N. N.s N. vetὸ & propriὸ exhibitumetit triangulum in specie, eum hae positiones, ob numeri in determinationem , applicati possint la. teti bus euiuslibet trianguli huius speeiei.
Aduerte secundo. Cum pee primam operationem reperiatur 6 Q. s. aequalis quadrato, a qua dum eum esse euilibet qua diatorum numero quadrato maiori quam s. puta s inas in&e. Quare oportet talem deligi quadratorum numerum ut ab eo auferendo cl. residuum ad s. habeat rationem quadrati ad quadratum. Proinde eum 6. sit numerus areae exposti trianguli, patet quaerendum aliud triangulum, cuius area si auferatur ab aliquo quadrato , residuum ad s. habeat rationem quadrati ad quia talum. Vnde apparet necessitas secundae operationis , qua Diophantus huiusmodi trianguium de quadratum inue stigat. .
Adueite tertio subi li ter fingi triangulum ab I N. & unde si hypotenuia i Q. - perpen-Aieulum i Basa veto a. Qua te ducto dimidio bius in perpendieulum fit area i Q.
Quadrati vero latus sinsitur a N. - Et primo pars illius ponitur I N. ut eius quadratus puta r elidatut ab t Q sua est in area, eum area subtrahetur a quadrato. Deinde pars altera ponitur: ut eius quadratus : C. sit eiusdem denominationis cum e . qui repetitur in area, unde eomia modissimo hie ab illo subtrahetur pet solam additionem r. ad iovi ob signi diuerstatem, eommuni retento denominatore, & telinquetur Mod si diuers essent harum stactionum denominatores saeta subtractione, relinquerentur utique e ubi , vel quadrato quadrati, vel aliae potestates, 1 quibus sese expedite disseillimum esset. Tettio in hae secunda lateris parte ponuntur unitates Io. duplum scilicit dati numeri s. ut in quadrato repetiant ut Io. unitates duplum scilicet ipsius Io. ae proinde quadruplum ad s. Quare cum -- ao. debeat ad s. habere rationem quadrati ad quadratum, ae proinde uno in alte tum ducto oporteat gigni quadratum, patet productum ex 2o. in s. esse quadratum quia ob rationem quadruplam 2o. de s. sunt plani similes. Ρorrλ - 1 . seu omnia duiscendo in i Q. ut tollatur stactio ) 3os -- Ioo Q. nulla ratione posset aequati quadrato nisi io . esset quadratus. Vnde colIisas in hac secunda lateris parte loco ro. poni posse quemlibet numerum qui sit semissis alterius qui ad s. habeat rationem quadrati ad quadratum. Ae proinde ex hoe eapite quaestionem vatias te citate solutiones. Verbi gratia ponatur latus quadrati I N. - A. fiet quadratus
a Q. - c. - D. unde auserendo aleam puta IQL- remanet -- go. qui ad s. debet habere rationem quadrati ad quadratum. Quare altero in alterum ducto fit - 4 . aequalis
quadrato, & omnia in I infit 8oos - 4oo inaequandus quadrato. Quod Aetlὸ fiet, quia 4 .es quadratus. Denique omissam i Diophanto solutionem quaestionis afferre non pigebit. Cum sti N. i. formatur triangulum fitque hypotenuia l. perpendie illum V. V. basis et .
latus autem quadrati est . quadratus V. . . vel in eadem denominatioue I. . Itaque ponantur latera qua siti trianguli N. v C. .'. N. IN. area adsuinens F. fit -- s. aequalis qua-d atri se auserendo utrimque aequalia. manent aequalia 3. fitque I in T. At i N. ἰ'. Erant ergo latera quaesiti trianguli 2.2.. D.. . in . fitque area IGN. cui addendo s. fit quadratus cuius latus Quoniam vetb hine sorte venit in mentem Franeisco Vietae quaestionem applicari posse solis numeris, qui e duobus quadratis componuntur, quia Diophantus in sua hypothes sumpserat s. ὰ duobus quadratis compositum; quamuis ex ipso duictu analysios Diophantaeae satis eonstet, ad quemlibet numerum extendi problema, ne quis tamen supersit dubitandi locus, placet id ei iam expetientia cumitobare. Sit ergo inuenienduin triangulum, cuius area adsumens o. qui minime
378쪽
tompositusaest E duobus quadratis, faciat quadratum. Itaque prius quaerendum est triangulum. itemque quadratus, ut area trianguli de quadrato lublata, supersit numerus qui ad 6. habeat rati nem quadrati ad quadratum. Fingatur triangulum ab i N. di erit ut Prius area I Q. - sit auistem latus quadrati i N. - o. erit quadratus I Q e. - 2 . 1 quo auferendo aream supradictam. supetest :ς - - 24. quo ducto in s. 8c omnia dueendo in I Q fit tandem I --9 8 o. aequalis quadrato. Fingat ut latus iniusta N. - - Io.fiet I N. Ac latus quadrati VH .Formetur igitur trianguintum abs A. de ': de constituatur in Numeris, erunt latera illius N. MA, P. N. 2 N. fiet area adsumens 6. Q - 6, aequalis quadrato a latere suprapolito, hoc est quadrato unde tandem fit valor quadrati raram. vel in minimis . ac proinde N. est per quam re soluendo hypostases, inueniuntur latera quaesiti trianguli, nimirum III. A l. ix . ,,. fitque
Est νιν rieta inde haud dubiὲ Orisur. Supposuit vir clari imus differentiam duorum quadratoquadratorum vi I qq. - r. aquari area cui ase ciendo quintuplum quadrati stat tuadratus , si s. numerus datus diuidatur in duos quadratos poterit inis Aeniri quintupiam quadrati a quo dempti uniιate supersit quadratus. Ponasar igitur iatus quadrati quintuplicandi esse I. N. - I. aut alius quia is numerorum numerus in I. quintuplum quadrati illius erit 3 Io. N. - s ea is adi eias aream Ister I Io. N - - q. qua summa debet aquari quadrato, hoc autem non est opero-m. Cum nomerus unitaJum ex bnothesi ad ecti
problemati sit qaadratus. Non vidit Vieta quastionem perinde resolui posse si Deor υ - i sumpsisset pro areι r - r . L. Leo enim deducenda statim quasio ut datus
numeras s vel s. vel alius quilibet in quadratum ductus ad ecta ,nitate consciae quadratam quod generaliter est facillimum cum Mitas sit quadratus. Nos peculιari methodo quotionem hane or duas proximas resoluimus, cuius beneficio dam quaerimus triangulum cuius area una eum s v. g. eonfiar quadratum triangulum in minimis exhibemus IV I caias area zo addito 3 facit quadratum a s fed de ratione or Uu nostra huius methodi non est huius loci plura addere, non sufferet sanὶ marginis exiguitas, multa enim habemus huc reserenda.
IN v a N ra a triangulum rectangulurn,
ut areae numerus multatus dato nume
ro faciat quadratum. Datus esto s. & ponatur triangulum datum specie 3 N. q. N. 3 N. N ob hypothesin ε Q 6.a quantur quadrato. Esto ipsi Et rursus
res eo deducitur,ut inueniendum sit triangulum rectangulum , & quadratus numerus, quo de area trianguli sublato, si reliquum sexies sumatur, fiat quagratus. Formetur rursus triangulum ab r N. &in. At latus quadrati sit I N. cum defectu
fractionis numericae tot viaitatum, quantus est semissis dati numeri. Hoc est et . &fit quadratus 1 6. Hunc si ab area detrahamus, hoc est ab I -- . c. relinquitur 6- . . & omnia sexies, di in
379쪽
quadrato. Esto latus eius sN. - I. inue nietur N. V Formabitur ergo triangulum a & q. Eritque quadrati latus let. &eum inuenero triangulum, statuam illud in numeris , secutusque propositionem, inueniam numerum rationalem. Et con stat.
EX die is ad praecedentem, omnia quae hie peraguntur fiunt perspicua. Apparet sanὸ fingi quadratum 1 latete i N. - . s. Vt in quadrato reperiantur unitates - 6. unde opinia pet 6. multi ptieando, fiat quadratus 36. Alioquin enim numerus in Q. - . quadrato aeqirari non posset si 36. non esset quadratus. Quamobrem etiam patet, loco-ipsius 3. inratere poni potuisse quemlibet alium Vnitatum numeram, cuius duplum ad s. habeat rationem quadrati ad quadratum. Vetbi gratiata. fieretque latus I N. &sie de alij,. Ρ, ici non in pigebit tyronum gratiam integra apponere quaestionis solutionem quam pretermi-st Diopliantus. Cum riat I N. & latus quadrati C. formetur triangulum ab L & ἴ & latera sta iiiiiiive in numeriέ, fient Ire N. I J. N. 2 N. Est ergo area multata numero 6.ψQi - o. aequa. ii, quid aio a latete N. puta quadrato M Vnde fit valor quadrati R. ae proinde vescit numeri per qiem re olitanao hyposta es, fiunt ouaesiti trianguli latera T. Estque area I. . unde anserendo datum numerum 6. superest quadtatus a latete
. ii HI e fingens tr;angulum Diophantus ab I N. & Ai. ponit hypotenusam I . . At per pendieulum i Q - Δ. basim a. unde fit area I - - . tuna fingit quadratum a latere τε. - -s N. fitque quadratus -- 2s Q -- Io. eiii addendo aream, fit 26 4- o. quo ducto In o. staso - . Icio. aequandus quadrato. Vnde patet eur in quadrati latere posuerit s. ut scilicet in quadrato repetiatur Io. qui ad datum numerum io. st in ratione quadrati ad quadratum. Fecie autem idem latus A. - 1 N. non seut in praecedentibus I N. - ut latera & aream isanis guli retineret eadem quae prius. Nam si posuisset latus quadrati IN. - . u. ponendum fuisset perpendiculum
IN v a N a R a triangulum rectangulum,
ut numerus areae detraeius a dato numero iaciat quadratum. Esto datus ro. 8e rursum statuatur triangulum abs 3 N. 4
to , & si aequales faciamus numero quadratorum quadrato, eo rursiis deuentum es , ut inueniatur triangulum rectangulum d uadratus numerus, ita ut quadratus adsumpto areae numero iaciat decimam partem quadrati. Formetur trian gulum abs .u. & i N. At quadrati latus esto di. -- s N. & fit compositus ex area,& ex quadrato 26w-- io. Haec decies, fiunt aso Q. - Ioo. aequalia quadrato,& quadrans horum'ue -- as. aequatur quadrato. Cujus latus esto 3 - 8 N. unde inuenituri N. 8o. Ad positiones. Et iuueniemus ut in praecedentibus.
380쪽
T .T -- '' T ' ς - , quo formari debet triangulum , cum petoterationem Da phanti alter reperiatur pura So. omisit autem hic etiam Diophamus intemtam o stionis solutionem labori se lubtrahens, ob molestas stactiones; sed hune ζborem sus diere cius . .: μ' - - , se metur triangulum abs M. Ee di statuant ue
x fit PQ qualis quadrato, esto quadrato latere in re hui' 'fidit tandem IO. aequales '' et O. unde fit valor ouade, i R N. est A. Ad positiones erunt latera qua iti trianguli. Traditu est ut eta de ro. remanet quadratus Urie et . a lathie. U . qu Non adeo molestos numeros habebimus si numeri Q. -as latus statuamus e M. e N Nam& q. eruntque' late in Numetia
IN v v v ta a triangulum rectangulum,
ut numerus areae adsumens unum laterum circa rectum , faciat datum numerum. Esto datus . statuatur rursus trianis
unt 6 - 3 N. aequales 7. & oportet semissem numerorum in se ductum ad iamete quadratos per 7. multiplicatos, de facere quadratum. Non facit autem. Oportet igitur inuenire triangulum rectangulum, ut quadratus semissis unius laterum circa rectum adsumens septuplum areae, faciat quadratum. Esto unum laterum circa rectum t N. alterum r. &fiunt; ψ N. - . & omnia quater, fiunt I N. - I. aequalia quadrato. Vt autem
etiam triangulum rectangulum rationale constituamus, portet,& I I. aequa
Haec propositio se sequenter aliter fieri ρusant fingatur trianguum in hae proi
positione abs dato numrro unitate se plana lateribar similia anticentur adfammam mnitati, O numeri vati, orietar ga situs triangulus. o.