장음표시 사용
401쪽
erit Interuallum quadratotum ab ipsis B D. D C. aequale interuallo quadratorum ab ipsa AB. A Q3. i. p g. Porto interuallum quadratotum ab ipsis BD. CD. aequatur rectangulo sub tota B C. N i uteruallo ipsorum B D. C D. Igitur & interuallum quadratorum ab ipsas AB. A C. aequatur tectangulo sub tota B C. N sub intei uallo ipsatum B D. C D. Quod erat propositum. Deinde cadat perpendicularis A D. extra triangulum. Dieci interuallum quadratorum ab ipsi Α B. Α C. aequati rectangulo sub basii B C. & sub aggregato segmentorum B D. C D. Nam ut prius, . quia ' quadratus Α B. atquatur quadratis ipsarum B D. A D. de quadratus A C. aequatur quadratis
Dini. ipsa tum A D. C D. ablato vitimque eontiniani quadrato ipsius
A D. interuallum quadratorum ab ipsis AB. AC. atquale est interitatio quadratorum ab ipsis B D. C D. At interuallum quadratorum ab ipsis B D. C D. aequatur tectangulo sub B C. interuallo ipsitu in BD. C D. de sub antegato earundem B D. C D. Igit ut interuallum quadratorum ab ipss A B. A C. aequatur tectangulo sub hasi A C. & aggregato segmentorum BD. C D. Quod demonstandum erat.
s D. C D. IV ausem operatio pulchre docet an perpendicuiaris eadae iniνa trianguia, uri extra. N ms a videndo intertiatiam quadratorum ter baim , far quotiens minis basi, perpendi laris casia intra tria alam. Sed si fiat quotiens minor basi, prepend. cularis cassis extra trianguiam.
COROLLARIVM. Hinc manifeste sequitur si omnia latera trianguli sint rationalia , & segmenta quoque basis a perpendiculari secta , esse rationalia.
Nam cum latera angulum comprehendentia erum rationalia, erit & interuallum quadratorum ab ipsis, rationalis numetus, quo diuiso per basim rationalem, prodibit vel interuallum , vel ante-gatnm segmentorum bass rationale. Quare & ipsa segmenta rationalia erunt.
LEMMA TERTIUM. Si ab angulo acuto demittatur intra triangulum perpendicularis in basim, erit m in orptoportio cujussi bet segmenti baseos ad perpendicularem, quam perpendicularis ad aliud segmentum. Sed si ab angulo obtuso demittatur perpendicularis , erit maior proportio cujussib et segmenti ad perpendicularem, quam perpendicularis ad aliud
segmentum. Esto triangulum A BC. & angulo acuto BAC. demittatur intra trian tum perpendieularis A D. dieo minorem esse proportionem B D. ad D A. quam D A. ad D C. & e conuerso minorem quoque esse proportionem D C. ad D Α. quam D A ad DB. Ducatur enim ad B A. perpendietilatis A G.
quae sanὸ eadet extra trianstulum , quia angulus B AC. ponitur accitus. Tum ob triangulum reciangulum . ' mit B D. ad D A. se ut D A. ad DC. sed eadem D A. adi maiorem DC. habet minorem proportionem , quam ad minorem D C. Igitur & B D. ad D A. minorem habet rationem qu m D A. ad D C. similiter quia est D C. ad D A. ut D A. ad D B. & D C. minoris, ad D A. minor est proportio, quam DG. maioris ad eandem D A. erit de minor proportio DC. ad
D A quam DA ad D B. Quod est propositum.
402쪽
sit autem angulus B A C. obtusus, dico maiorem esse rationem B D. ad D A. quis D. A ad D C. Α & e conuet . Nam ducta ad B A. perpendiculari A G. ea quidem
cadet inita triangulum ob angulum tectum B AC. minorem obtuso B A Q sed tamen cadet inter re & C. quia sei licet angulus --- Β Α D. acutus est, ac proinde mi ecto BAG. Hoe autem
D D G C posio eadem est proiias demonstitas ratio. Quia enim est
ad D A. ut D A. ad D G. sed D A. ad D G. ' maior est proportio, qu m D A ad D C. erit & B D. ad ''DA. maior proportio quam D A. ad D C. similitet ouia est & DG ad D A. se D A. ad D B. sed D C. ad D A. maior est proportio, quam D G. ad D A. etit quoque D Q ad D Λ. maloiptoportio, quam D A. ad BD. Quod demonstrandum erat.
LEMMA QV ARTV M. Si ab angulo acuto vel obtuso demittatur intra triangulum perpendicularis in ba-sm , itemque linea secans angulunt bifariam interuallum laterum angulum comprehendentium, est medium proportionale, inter interuallum segmentorum bass a perpendiculari iactorum, Ae inter interuallum segmentorum quae fiunt ab angulum lecante linea.
Sit triangulum A B Q α in eo angulus B A C. acutus vel obtusus , a quo demittatur perpen- Λ dicularis A D. itemque linea Α E. serans angulum bifariam. Et in maiore latere A B. sumat ut A C. aequalis minoti lateri A C. ita veB si interuallum laterum , sumatur etiam in legmento B D, linea Κ D. aequali, ipsi D C, ita vi ΒΚ. st intectualium segmentorum perpendiculari factorum. Denique sumatur in B E. linea H E. aequali, ipsi F Qitari ΒΗ fit interuallum segmentorum a secante angulum factorum . dieo BG esse mediam proportionalem inter
B M κ E D C tetuallum quadratorum 1 lateribus A B. A C. aequatur rectangulo L .mriari tib BC. ΒΚ. At idem inteluallum quadratorum ' aequatur rectangula sub aggregato laterum 3. a. paris A B. Α Q ae interuallo eorundem B G. etit remngulum lub aggregato AB A sub B G. aequale ιε. mi
rectangulo sub B Q N B Κ. I git ut est argregatum ipsaeuiti AB. Α Q ad B C. sicut B c ad B G. 3- θαι. Quoniam vero est AB. ad B E. sicut A C. ad C E, erunt & antecedentes simul ad consequentes, μ' P 'hoe est aggregatum ipsarum A B. Α Q ad totam B C. sicut A B.ad B E. vel seut A Q ad C E. Igitur Vt A B ad B E. vel A C. ad C E se est B Κ. ad B G. Cum ergo A G. sit aequalis ipsi A C. & H E. ipsi E C.eiit & AG. ad H E. seut Α R ad B E. di sietit B X. ad B G. Cum igitur si vi tota A B. adto. . . tam B E, se ablata A G. ad ablatam H E. erit & reliqua B G. ad reliquam fetit A B. ad BE.' Vel BI ad B G. Quainobren, est B X.ad B G. sicut B G ad B H. Quod demonstrandum erat. co RG LLARIU M. Mine sequitur primo interuallum segmentorum a perpendiculari Morum, maius esse interuallo eorum quae fiunt a linea lecante angulum, nempe B Κ maiorem esse quam B H. Quia est B Κ ad B G a. rho ut A B. A C simul ad B C sed A B. A ta simul sunt maiotes qu m B C. ergo & B Κ mesol est quam BG. ae proinde la BG maior est quim B H. Quamobrem multo magis B Κ maior est quam B H. Secundo sequitur maius segmentum eorum quae sunt a linea secante angulum, puta Briminus esse maiore eorum quae hunt , perpendieulati, puta ipso B D. N contra E C maius esse quam D C. Quia enim B Κ maloi est qu1m B H. erit reliqua κ C. minor qu in reliqua H C. quare di horum semisses sumen to ,εtit D C. minor quam E C. Igitur E eadit intet B& D. ae proinde B E minor est quam BD.
Tettio, sequitur interuallum Ε D quo B D. superat B E. vel quo E C. superat DC) esse dimidium ipsius Η Κ interualli interuallorum. Quia enim ut est H C. ad E C. sie ablatus x C. ad ablatum . D C. nam utrobique est rat;o dupla , ' erit & reliquus ΗΚ. ad reliquum ED. in eadem ratione 38'dupla. LEMMA QUINTUM. In triangulo rectangulo , s ab angulo tecto ducatur linea diuidens hypotentiam bi. fariam, erit ducta linea aequalis dimidio hypotenuis
A In triangulo tectangulo A B c. ab angulo tecto B A C sit ducta linea A Ddiuidens B C. bisatiam. Dieo A D aqualem esse ipsi BD vel DC. Nam sint
primo A B. A C aequales. Ergo 8t anguli ABC. A C B aequales erunt, & s. 'is'. ' quilibet eorum Aimidium erit tecti, cum B Α C sit tectus. Sed & angulus B A D. est dimidium tecti eadem de causa. Igitur eum in triangulo B A D. B D C anguli BA D. Λ BD. sint aequales, i erunt di latera BD. Λα aequalia. . . Quod erat propositum. s tri M
403쪽
Deinde Α B. A Caint inaequales, si A C. maior qu m A B. Quia ergo latera ΑD. D C. trianguli AD C. aequalia sunt lateribus A D. DB trianguli A B D. & basis A C. basi Α Β maior est, . etit angulus ADQangulo A D B maior. Quate Α D Cobtusus est, ae proinde perpendi-rcularis A G. cadit intet B & D. ne in eodem triangulo altet angulus sit B G D lectus . altet obtusus & ttes anguli trianguli sint duOhus reciis maiores. Itaque quia B CDiuisa est hi satiam in D. & inaequaliter in G. 3 quadratus semissis D C. qualis est rectangulo sub BG. G C. di quadrato ipsius G D. At quoniam ' A G. est media peoportionalis inter BG. G C. rectangulum sub B G. G C aequatur quadrato ipsius A G. Igitur quadratus iplius D C. aequatur quadratia ipsarum A G. G D. sed eisdem quadratis aequatur quadratus ipsius A D. ergo quadrati ipsorum A D. D C. aequales sunt inter se, ae per consequens A D. aequatur ipsi DC Quod erat demonstrandum
LEMMA SEXTUM. In oxygonio triangulo, linea quae ducitur ab angulo acuto diuidens basim bifariam maior est dimidio bass.
Α In triangulo oxygonio AB C. ab angulo acuto B A C. ducta sit A D diuidens has m B C. hisariam .di eo A D maiorem esse ipsa B D. vel D C. Nam primo sint AB. AC. aequales, ' erunt igitur & anguli B et aequales. Quare eum A C. C D. vales sint ipsis AB. B D. N anguli BC. aequales erunt di reliqui anguli triangulorum A B D. AD C. aequales, & anguli ad D .recti. Itaque si A D. non est maior quam BD. est utique vel aequalis, vel minor: si aequalis, erunt &B D C anguli DB A. D AB. aequales, di eadem ratione angulus D AC. aequalis erita gulo C. Quare totus angulus B A C. aequabitur duobus angulis B Q ae proinde ' cum tres ansuli trianguli ABC. aequent ut duobus rectis , erit angulus B Α C. etectus contra hypotheum. Si autem A D. ponatur minor quam B D. V erit angulus B minor angulo B A D. & eadem de caula angulus C. minor angulo DAC Quare totus B A C. maior erit vltoque n. C. simul, ae proinde angulus idem B AC maior erit tecto. conit, hypothes m. Quate ΑD. non est aequalis ipsi BD.
nee ni inor. I tui maior est. Quod erat propositum.
Deinde sit Λ C. maior quam Α B. Clim ergo A D. DC. sint aequales ipss A D. DRA N hasia AC. st maior basi AB. .etit angulus ADC. maior angulo A BG. ac per eonsequens angulus A D Q obtusus est. Quare perpendicularis A G. eadit inter B, D. Itaque quoniam BC. secta est aequaliter in D. & inaequaliter in G. 3 erit quadratus ipsius DC. aequalia rectangulo sub B G. G C. N quadrato G D. sed ob angulum acutum B Α C. minor est ratio B G. ad A G. quam ipsus A G. B G D C ad G C. ae proinde quadratus ipsius A G. maior est rectangulo sub BG. G C. vi ostendit Clauius ad visesimam septimi demonstratione, quae non minus lineis competit quim numeris. Igitur quadrati ipsarum A G. G D. maiores sunt quadrato ipsius D C. A qui quadrati ipsarum A C. G D. aequantur quadrato ipsus A D. Ergo quadratus ipsus Λ D. maior est quadrato ipsus D C. ac proinde A D. maior est quam D C. Quod demonstrandum erat.
LEMMA SEPTIMUM In amb)gonio triangulo , linea quae ducitur ab angulo obtuso diuidens basim bisariam, minor est dimidio has s.
In amblygonio triangulo ABC. Aucta sit ab obtuso angulo linea A D diuidens B C. bifariam. Α Die o A D. minorem esse quam B D. vel D C. Nam primo A B. A C. ρο- Nantur aequales, in erunt ergo anguli B. C aquales, S ut supra ostendeturl ansulos ad D. este tectos. Itaque si A D. non est minor qti m B D. erit l utique vel aequalis, vel maior. Quod si ponatur, ergo angulus B aequa-B G C lis erit angulo B A D. vel maior & angulus C. angulo DA C. Quare uterque BC smul aequabitur toti BAC. vel maior erit qu3m g AC. Quale eum B A C. st obtusus. etunt tres anguli trianguli ABC. aequales duobus obtusi , ae proinde maiores duobus res is . 'Quod est impossibile. Igitur AD non est aequalis ipsi B D. neque maior. Quamobrem relinqui e ut visit minot. Quod est prepositum. Deinde
404쪽
Deinde si A C m iis qum A B. Imur ut prius ostendetur angulum A D C. Obtusum esse, ac Α proinde perpeno te latis A G. cadet inter BA D. Quoniam itaque L C. sectatu aequaliter in D. S inat qualicet in C. erat qMaerari p
ιius D C aequalis tectangulti sub BG. CC α quadrato ipsius G D. At quia ' maior est Hoputtio Bia ad A C. quam AC. ad C C. quadratus ipsius A G minor cii tectangulo sub BG. G C. ut osse idit Clauius ad vissimam septimi , demonstratione cuilibet quantitati conueniente. Igitur quadrati ipsarum ΑG. G D. minores sunt quadrato iplius D C. sed quadrati ipsarum A G. G D. quantur quadrato ipsius A D. ergo di quadratus ipsius A D. minor est quadrato ipsius D C. ae proinde A D. minot est quam DC. Quod demonsitandum fuit.
LEMMA OCTAVUM. . Si a quolibet angulo trianguli ducatur linea diuidens basim bifariam, erunt qua diati laterum dictum angulum comprehendentium, simul dupli quadratorum, tamis dimidia basi quam ex ducta linea ortorum.
Α In triangulo A B C. . quolibet angulo A. ducatur A D. di dem BC. bitariam, diso quadratos si inul ipsarum AR A C. dii. Hos esse quadratotum ab ipsis ΑΠ BD. Nam diicta perpendictitari A E erunt quadrati aptatum ΑΒ. Α C. aequales quadratis segmentorum B E. EC una cum duplo quadrati Λ E. sed q1 viati B E. E C. inaequalium segmentorum, ' dusti sunt quadratorum a dimidia BD. de ab intermedia DE. Igitur quadrati imsitum A B. A C. dupli sum quadratorum ab ipsis B D. D E. A E. --- Atqui duplum quadiatorum ab ipsis DR Λ E aequat, duplo B DE C Misadiati ipsius A D. Igitur quadrati ipsarum AB. Λ C. aequaniatur durici quadratorum ab ipsM B D. A D. Quod demonstiandum etat.
PROBLEMA PRIMUM. Triangulum Isiosceles constituere in rationalibus, siue Oxygonium, siue amblygonium, ut perpendicularis ab angulo a lateribus aequalibus contento ducta in tertium latus,naequale, sit rationalis.
Λ. Sit primo eonstituendum triangulum I sceles oxygonium AB C. euius omnia latera fini rationalia, de perpendiculatis quoque Λ D. sit rationalis. Ponatui quodlibet aeqtialium latrium AB. AC. quilibet numerus, puta s. 8c ipsius 3. quadratus ety. diuidatur per Octauam seeundi Diophanti in duos quadratos, Pma x6 8t 9. quorum latera 4. Ac 3. Et quoniam ut constat exprima parte demonstrationis lemmatis strati A D. maior est dimidio bius, ponatur A D. q. D C. 3. erit ergo tota basis B C o. ec tactum est quod proponeba r , ut mani stum est.
405쪽
Deinde sit eonstituendum triangulum amblygon; um I sceles ABC. cuius omnia latera sint rationalia , & perpendi eularis A D. sit lationalis. Ponatur ut pratis A B. uel A C. quilibet numerus, puta s. di ipsus s. quadratus a s. olui datur in duos quaoratos I 6. S s. quorum latera A. & 3. I unc quia per primam partem demonstratio tu, lemmatis septimi Λ D. minotest dimidici basis, ponetur AD 3. D C 4. N etit tota basi, B C. 8. & iactum erit quod requitebatur. o. seat
406쪽
pROBLEMA SECUNDUM. Triangulum oxygonium scalenum constituere in rationalibus, ut perpendicula. culatis ab angulo acuto demissa sit rationali,
Ponatur latus A C. quilibet numerus , ut pote Io. cuius quadra tus Ioo. diuidatur in duos quadratos , ut pote in 64. & 36. quorum latera 8 &ε.& ponatur Α D maius horum laterum , puta 8. N D C minus puta 6. N esto B D. i N. quadrati ergo ipsarum B D. Α D. puta I ---- 64. aequantur quadrato ipsus A B. Quare ut A B. st ration sis, Oportet I Q -- ε . aequari quadrato. Quoniam vero angulus Aponit ut aeutus ' est ratio D C ad A D minor ratione A D. ad B D. M proinde productus ex BD. in D C. puta ore minor est quadrato ip. sus A D. qui est 6 . ut ostendit Clauius ad vigesimam septimi. Ergo cum diuidendo ε . pers fiat io. patet I N. minorem esse debere quam Aliter reperietur Numeri determinatio, hae arte se ilicet. Quia ut trianguli omnes anguli sitit aevii, 3 oportet quadratum euiussitat lateris minorem esse aggregato quadratorum ab aliis latetibus. Noe autem ut sit, oportet quadratum cuiuilibet latetis minorem esse seinisse aggregati quadratorum a singulis lateribus, sumo aggregatu quadratoru a singulis latetibus, est autem quadratus Α C. Ioci. quadratus Rct in ra N.quadratus Α BI Q. -- 64. quorum lumina et in--ο -- Ia N. cuius semissis i Q oo. - 6 N. quem euidens est maiorem esse tum quadrato ipsus A C. io . tum quadrato ipsius A B i Q. - 64. Restat ut etiam I Q -- Ioo - . O N. sit maior quam Q. - 36 μμ Ia N. Quare ablatis utrimque aequalibus, oportet ut 6 . sit maior quan3 6 N. Quare diuiso 64. pet 6. st I N. m nor quam Io. 4. ut prius. Itaque quoniam fingentes latus quadrati I α- 6 . ponemus illud 8. - tot numeris, 1 quotum quadrato auserendo I. pet residuum diuidatur sedecuplum ipsorum numerorum, oportebit hunc quotientem minorem esse quam ro '. Ponatu tergo numerus Numerorum i N. fiet minor quam Io & omnia ducendo in I i. N rutissus in .sent tandem 48 N. - a. minores quam 3 a QVeu 3 N. - a. minores quam a Q. qua aequatione resoluta cum fiati N. I. patet fingendum latus quadrati g. - tot Numeris qui ex eedanea. Ponat ut 8. - s N. fiet i N. 3 ό. tanta erit BD. Quare ΑΒ est g Α Cio. B C. sa. A D. L
407쪽
PROBLEMA TERTIVM. Triangulum amblygonium scalenum constituere in rationalibus, ut perpendicu latis ab angulo obtilio demissa sit rationalis.
Ponatur Λ C. ut supra quilibet numerus io. Cuius quadrato in duos quadratoa diuiso, ponatur D C. alietum latus o. & Λ D. alterum S. di sit B D i N. fiet ergo ut prius I o. aequandus A quadrato. Sed quia ob angulum obtusum ' maior est ratio BD ad A D. quam A D. ad D C. productus ex B D. in D C. puta 6 N. maior esse debet quadrato ipsius A D. 64. Quare i N. debet esseniator quem io l. si ergo quatras ut supra determinationem numeri Numetotum in latere fictilio ponendorum, inuenies fingendum B D C esse latus illud 8. - tot Numeris qui snt minus qu3m a. sed oportet etiam ut si ni plus quam a. ut videlicet eorum quadratus excedat I Q Pone ergo 8. - l N. fieti N. Is . . tanta erit B D. ergo tota B C. 21 - . A B. 2o '. A C. io. A D. 8. Vel ponat ut A D. quilibet numerus utpote ra. di quaerantur duo quadrati, ut quilibet additus ad I 4. quadratum ipsius I a. faciat quadratum, ita tamen ut cuius ibet quaestorum quadratorum latus sit maius quam ia. vel f alterum sit maius, alterum minus, maius ad ra. maiorem habeat rationem , qu ira 32. ad minus, ad hoe ut angulus B A C. constituatur obtusus per lemma tritium,su mi possunt maiora latera 3s. N I 6. nam addito quadrato ex 3s. ad quadratum ex ia. fit quadratus ex gr. & eidem addendo quadratum ex I6. fit quadratus ex 2o. Posita ergo A D. ra. erit B D. a 6. D C. s. tota B C. si . A B. 2 o. A C. 3 . si autem sumantur latera 33. & s. quia maior est ratio 33. ad II. quam Ιχ. ad 9. erit B D. s. DC. 33. tota B C. 44. A C. 37. A B. Is Vel denique si sumas latera 3s3e s. quia etiam maior sit ratio 33. ad Ia. quam ia. ad s. net B D. s. D C. 33. tota B C. o. A C. 37. AB. I 3.
PROBLEMA QUARTV M. Triangulum scalenum , Oxygonium, vel amblygonium eonstituere in rationali bus, ut ab angulo acuto, vel obtuso ducta linea diuidens basim bifariam, si in
tionalis. A Sit triangulum Oxygonium AB C. in quo ducta st A D. diuidens
basim BC. hi satiam. Sume quemlibet numerum ex duobus quadratis compositum, ut Ig. eompositum ex s. Ee q. quorum latera 3. Na. & minus latus a. t libue dimidio basis D C. maius veris 3. tribue lineae A D. ' quia scilieet ob angulum acutum A D. debet esse maior quam D C. Tum vero quia quadrati ipsarum A B. A C. sunt dupli quadratorum ab ipsa A D. DC eum summa quadratorum ab ipsis A D. D C. ponatur ra. eetit summa quadratorum ab ipsa AB. AC. x s. Porro quia I 3. componitur ex duobus quadratis, quorum latera a. & a. duplum ipsus 13. puta 26. ' componetur etiain ex duobus quadratis , quorum latera 3. N I. aeqvalia scilicet tum summae. tum interuallo laterum quadratorum ex quibu 3. componitur. sed si tribuas s. ipsi Α B. & r. ipsi A C. manifestu in seque tutabsurdum. Quia enim AB. ponitur summa ipsorum 3. R et . & Α C. eorundem interuallum. At B C ponitur dupluin minoris a. puta A. patet addendo duplo minoris interuallum numerorum, fieti summam numerorum, ae proinde latera AC. B C. simul aequalia sole reliquo ΛΒ. 3 Quod est absurdum. superest ergo ut numerum 26. eompositum ex duobus quadratis as. Ae I. rursus di si damus in duos alicis quadiatos per decimam secundi Diophanti. Ponatui alterum latus f -r N. alterum I -- a N. fiet summa quadratorum-- s --6 N. aequalis aes unde fiet x N. l. sunt
408쪽
Contraria ratione in triangulo amblygonin AB C. statuemus
ut prius quia quadrati ipsa tum A D. DC. ponuntur 43. erunt i ,.. quacitati iplatum A B. A C. 26. qui eum sit duplus numeri eae duobus quadram compositi. eomponetur di ipse ex duobus quadratis, ted inatus latus s. est sumina ipsarum A D. B C. & mi - . MDC. B D C nus latus est in te tu alima earundem, puta i. Quale si Α Β ponas sΑC. I. eum maioris duarum AD. D C. dupia sit B C. si aggregato earundem A D. D C. puta ipsi R B. addas earundem interuallum Α C. fiet aggregatum ipsarum AB. A C.' aequale ipsi B D. Quod est absurdum. Quare rursus 26. diuidendus cst in duos, ε. νιν salios quadratos, ut tactum est supt, , sint ergo eorum latera v. & 'P. Posita ergo A D. a. fiet B C. , α ρνimi. O. AB. V. A C I. vel omnia ducendo in s. erit A B. 19. Α C. i7. B C. go. Α D. II.
Τriangulum oxygonium inuenite in rationalibus , ut angulum acutum bifariam secantis sit rationalis . . Esto triangulum Oxygonium A B C. & ducta perpendie uiatig A D. N linea Α E. secans angulum
B A C. bifariam . Oportet sacere rimnis latera itianguli rationalia , At lineam A E. rati alem. Sumatur segmento CD. aequale D K. vi K B. st interuallum segmentorum a perpendiculari iactorum. Item stamento C E. sumatur aequale E H. vi H B. sit interuallum segmentorum a se cante angulum iactorum. Deniqtie sumatur Α G. aequalis ipsi A C. . t B G. sit interuallum laterum A B. A C. Quoniam ergin ut est B Κ ad B G. sse est B i. ad B H. sumantiit tre, quicunque numeri Lemma γaria. proportionales, puta as. Io. 16. de ponatur ΑΚ. 13. BG. ao B H. i5. At statuatut A C. seu A G. I N. erit ergo tota A B i N. - ao. ae proinde interuallu in quadratorum ab ipsis A B. A C. est o N. - oo. quo diuiso per interuallum segmentorum has s a perpendie utari factorum, puta per as.' prodit tota basis B C. N. - . 16. eui s addat ut de adlia matur interuallum segmentorum , puta 13. semissis summat de ires dui ostendet ipsa segmenta. Fiet ergo minua segmentum D C. N. - . euius quadratus ἰ:m-- N. qui si aufetatui inremanet quadratus ipsus perpendicularis. A D. nimirum i Q.
quadratus ipsius ED. putav. etenim E D est semissis ipsius H K
quadrato latetis A Q puta ab -- a' N. V. cui si addatur
409쪽
interualli interuallorem BK. BH. H constat ei Corollatio lemmatis quarti. Quare elim inter uallum ipsorum as. Et i5. st s. cuius semissis est . tanta erit E D. & eius quadratus u. set quadratus lineae A E. nimirum Q. Q. - N. Quam obtem ut A E. sit rat 1onalis oportet h. v. aequari quadrato. N onmia inas. ducantur, tum dividantu et s. fit ι ao N. aequandus quadrato, de iacilis quidem est aequationi 1 ratio. 1ed oportet prius Oeterminare de Numero. Quia enim uolumus triangulum A B C. esse Oxygonium, necesse es uadratum cuiuslibet latetis, minorem esse aggregat quadratorum a te liquis duobus lateribus , seu quod idem est, oportet semissim aggregati quadratoium a singulis lateribus, maiorem esse quadrato citiuslibet lateris. Cum et go snt ilia latera I N. i N. - Io. N. - i5. erit aggregatum quadratorum B H E K D C si notitis Q. - N. - , 616. cuius temissis est . - 328 qui quidem vi apparet maior est quadrato primi lateras, sed de aliis duobus non statim apparet. Oportet ergo ut R Q. - -- 328. st maior quam I Q - N. - qcio. qua aequa . tione resoluta fit I N. maior qu,m,Rursus oportet ut X H. N. -- 328. sit maior quis Ain 'I N. -- a16. qua aquatiqne resoluta , fit I N. minor quim V. Oportet ergo ita fingere latus quadrati I Q. - aci N. ut sat I N. maior qu,m v. minor quam Potio fiet valot Numeris 1 quodam quadrato auferatur a. & pet residuum diuidatur sto. Ponatur ergo quadrarus quastus quo eum instituenda est aquatio I Q. fiet mcn. maior quam V. minor quain P. Quare utraque aequatione resoluta constat quadratum quaelitum maiorem esse debete quam a minorem quam 4:. Ponatur verbi gratia 4. de sint I α-- ao N. aequales A Q. set i N. m. latus se ilicet Λ C. erit autem A B '. B C item segnienta lue D. D C. sent ut . di f. segmenta veto B E E C. erunt Et Ipsa E D, Quamobrem a quadrato ipsus A C. hoe est ause tendo quadratum ipsus DC. puta II. remanet P. quadtatua perpendiculatis A D. eui si addas quadratum ipsius E D. puta sub eadem denominatione R. fit seu o . quadratus linea A E. Ae proinde ipsa linea Α E. est 3. & rationalia ut requirebatur. Quod si omnia lateta per 3. multiplices, habebis Omnia in integris . eritque Α B. 8o. Λ C ao. BC. M. A E. a
ΡROBLEMA SEX Tu M. Triangulum amblygontuti constituere in rationalibus, ut obtuso angulo bifariam scisso, numerus angulum secantis si rationalis.
Esto triangulum amblygonium AB C. perpendiculatis A D. angulum secans Α E. interuallum se emotu in B D. DC. perpendiculati fictorum sit ΒΚ. interuallum autem segmentorum B E. EC secante angulum factctum esto B H. ae denique interuallum laterum A B. Α C. sit BC. igitur ob demonstrata lemmate quarto sumemus, ut supra
tres numeros proportionales , ut 23. 2o. Is. Et statutinus B X. 23. BG. et O. BH. i5. tum posito A C. I N. set ut I6. Quare tandem inuenietur quadratus ipsus REYi Q.
L. N. Quare omnia ducendo in I s. tum diuidendo per s. set I Q. - 2o N. aequandus quadrato. ciniam vet3 volumus angulum B AC. esse obtusum , oportet ut quadrati simul. late tum A B. A C. sne minotes quadrato baseos BC. Q nate 4o N. - minus esse debet qu in Q - -- 235. unde tandem I 44. minor esse 3ebet quam Q in -- N. de te in integris ad minimos deducta fit idio. minor quam γα. I O N. Qua aequatione ut decet, resoluta, fit I N. maior quam s. O potiet igitur aequantes quadrato I Q. -- ao N. escere i N. maiorem quam s. Quamobrem cum fiat I N. quodam quadrato unitate multato. & per residuum diuidendo 2o. si ponatur quaesitus quadratus I in set e . maior quam p. & tandem 29. maior quam s Q. Quare ooortet quaestum quadratum, minorem esse qu1m 3 Ponatur ergo J aci N. aequatur . ..
Q. &fit latus scilicet A C. Quate ΛΒ. est B C. segmenta B D. DC. V. di prius A A.
410쪽
ΙNv a N i Ra triangulum rectangulum,
Ut areat numerus cum hypotenulae numero faciat vadratum, at circumserentiae numerus tit cubus. Ponatur areae numerus i N. hypotenuia vero statuatur unitatuin aliquot quadratarum cum desectu IM. Esto Is -I N. cum ergo posuerimus aream I N. qui fit ex lateribus circa rectum erit a N. Atqui a N. producuntulex I N. in a. si ergo alterum circa rectium statuamus a. erit alterum i N. de fiet circumferentia i8. qui non est cubus. At i8. ortus este quodam quadrato, dcvnitatibus a. oportet itaque inuenire quadra tum aliquem, qui binarip adiecto cubi inifaciat ὲ ita ut cubus quadratum superet binario. Ponatur igitur quadrati latus a Ν. - r. At cubilatus I N. - r. fit quadra. rus quidem I Q - 2 N. - . I. At cubus t C. IN. - 3 Qin I. volo ergo cubum superare quadratum binario. Quare quadratus cum binario , puta I in ' a N. - - 3. aequalis est I C - 3 N. - 3 Qi - t. unde inuenitur I N. 4. est igitur quadrati latus s. cubi vero 3. ipse quadratus a s.cubus 17. Transmuto itaque rectangulum , de ponens aream illius i N. statuo hypotenusam as. - r N. Manet rem basis , . & cathetiis 1 N. Restat ut