장음표시 사용
381쪽
HI e deuen tue ad tegulas compostas , ut liquet tum ex oesma operatione , in qua ε M. ιN. aequantur 7. tum ex secunda , in qua 8 . - N. aequantur P. has autem aequatione, ipsoluit Diophantus modo sibi similiati quem explicauimus ad trigesimam tertiam primi, sumendoseitieet quadratum semissis numeri Numerorum , s qui numerus est unum laterum circa redum sumpti trianguli J & huic quadrato addendo productum ex dato numero 7. in numerum quadet totum , qui est numerus areae. Quamobrem recte infert. Inueniendum esse triangulum, ut quailia tus se millia unius laterum circa rectum, adsumens septuplum areae , faciat quadlatum. Huius trianguli latera ei rea tectum ingenios E ponuntur I N. & I. unde fit area N. cuius septupluit a: N. eui addendo quadratum semissis secundi lateris, fit 3. N. - e. aequalis quadrato , di omnia in . ad tollendas fractiones , si I N. - .I. aequalis quadrato. Porro ut tria latera itiangulis ni rationalia, eum latera citea tectum posita sint i N. & I oportet ut eorum quadrati s ulfaciant quadratum hypotenuis. Quare oportet vi I -- I. sit aequalis quadrato. Iam . ergo dupli eata occurrit aequalitas, cum aequandi sint quadrato tuin N. - . I. tum I ini. Reliqua sunt nianifesta. Cur in lemmatis solutione adiiciantur denominatores , ratio est quia inuento triangulo soluente lemma Dropositum , si sumatur quodlibet aliud simile, id aequ8 hene proposito satisfaciet, ut de in onstrare in Dromptu est. Sint A Blatera circa tectum trian
guli tectanguli, & sit D. quadratus sesullis ipsus A. sitque E area trianguli, S. datus numere, C. quo ducto in Efiat F. additi Ru e simul F D. fiat G. quadratus. Tum suamantur H Κ latera circa rectum alterius itianguli similis priori . euius areast M. qua ducta tu C. fiat N. & sit L. quadratus semissis ipsus Η. additisque L N. fiat P. dico P. esse quadratum. Quia enim ut A ad H. se est semissi, ipsis, A. ad semissem ipsus H. At qua diati D L sunt in duplieata ratione laterum , patet D ad L. duplicatam esse rationem rationis Α adH. sed &ob similitudinem triangulorum area E ad aream M. est in dupli eata ratione lateris A ad latus pl. est et go D ,d L. ut E ad M. Quia ueto idem C ductu, id E & in M. produeit s & N. est F ad N. ut E ad M. ergo est etiam F ad N. ut D ad L. Quamobrem 4 S ad 1heedentium summa puta G. est ad summam consequentium P. scut unus antecedentium D ad unu in eo isequentium L. sed D L sunt quadrati Ergo C ad P. habet rationem quadrati ad quadratum. ae proinde eum C sit quadratus ex hypothesi , etit & p. quadratus. Quod erat demonstrandum. Faeile quoque est examinare an numeri Diophanto muenti soluant quaestionem sunt enim laterat ianguli o. Est autem area eui s addas alterum latus , puta si utique praescriptus nu
IN vanista triangulum rectangulum,
ut numerus areae multatus uno laterum circa rectum, faciat datum num eis
rum. Esto datus ' Et rursum si statuamus triangulum datum specie, res eo deducitur ut inueniendum sit triangulum rectangulum, ut unius laterum circa rectum se inlisis in seductus, & adsumens septuplum areae faciat quadratum. Et inue tum est, nempe 7. 14.23. statuo ergo ita numeris , & area multata uno laterum
circa rectum facit 84 Q - 7 N. Fiscaequantur 7. Sc fit i N. ἰ Ad positione α' OBSERVATIO D. PAEF.
FInsatur triangulum abs dato numero es unitate es plana lateribus similia an licentur ad disserentiam dati nameri O vniratis, har qa aestio per viam quἀi Umodi duplieatas aequalitates an si itιs modis resoluimus in finitas recipit solutio:.neo. Modam autem quo υι imur tetigimus O ext Iudaimas i ra ad suasionem aε.
382쪽
mo se solutiones ilia in ita aptantur 4.Sequentibus quaestionibus, quod see Diophanis
rus nec Pachetas animaduenit. Cur autem neque Diophantus neque Bacbetus sequentem gustionem addiderunt ' Inuemre triang. rectav. ut dinum ex lateribus area mulistatum 1aerat datam numerum. Certe hanc videntur ignorasse quia non statim se prodiern resolutione duplιcata aequalitatis. Uerum ex nostra methodo facile potest ιnueniri,
similiter in sequentibus quasionibus tertius hic ea ius supplera potest. IN AESTIO N EM VILEX dictis ad praecedentem lite omnia fiunt manifesta, elim ab eodem lemmate pendeat solutis quaestionis. Fit autem x N. . ac proinde quaesiti trianguli latera sunt l. 3. P. Λrea est P. unde si
auseras alterum latus, puta l. remanet utique datus numerus 7.
IN v a Ni R a triangulum rectangulum,
ut area adsumens utrumque laterum circa rectum, faciat datum numerum. Esto datus s. Et rursum statuatur triano gulum datum specie. Et rursum eo res deducitur ut inueniatur triangulum rectangulum , ut summae laterum circa re
et um semissis in se ductus, & adsumens
sextuplum areae faciat quadratum. Ponamus denuo vnuin laterum circa rectum IN. alterum I. & fit ut quaeramus : Q. . IN. - . aequalia quadrato, & omnia quater. Fili QS-I N. -- I. a qu
RV R s v s ex adnotatis ad sextam, operationis.Diophatui ratio sitit innotescit, ne tamen Illius breuitas, tyronibus patiat obscuritatem , age paulo fusus eam explieemus. Quaerentes trian gulum, ut quadratus semissis sunt ae laterum adiumens sextuplum aleae faciat quadratum ponimus latera circa tectum i N.& i. unde sit area ' N. euius sextuplum a N. At semissis summae suprapositorum laterum est ζ N. - . euius quadratus et in N. - eui addendo 3 N. fit ἀ Q. - N. - . & omnia quadruplicando ni t -- I4 N. - L aequandus quadrato. Sed etiam ut hypotentia sit rationalis oportet IcE- I. :equati quadrato. Ergo duplicata occurri eaequalitas. Interuallum itaque numerorum est I4. N. & numeri quorum mutuo ductu id sit suinuntur I N. & q. eaute, qualia multa fieri animaduenimus pals m libro tertio. unde tandem fit I N. alterum laterum circa rectum, nam alterum pomum est x. Quare hypo tenuia erit de abiectis denominatoribus eonstituitur triangulum specie , M N. 28 N. n N.
383쪽
fitque area s3o eui addendo summam latetum cirea tectum, fit a N. aequalis s. unde fit i N. sunt ergo latera circa rectum quaesiti trianguli l . re r. hypotenuia i . Vnde iste area I. . eui addendo summam laterum circa recium, si seu o. ut requirebatur.
A Ddi potest ex nostra methodo sequens quaestio 3 Inuenire triangulum rectangu
tam ut summa laterum mutiata area eonsciat datum numerum.
Ex praeeedentium explieatione, satis hae si dilueida. Integram solutionem omisit Diophanistus, quae talis est. fit x N. A. Quare latera quaesti trianguli reperiuntur N Area vero est 35 unde si detrahas summam laterum circa rectum . remanet K. seu o. ut postulabatur.
384쪽
IM patuis monendus est lector, hane & sequentem propostionem In codiee Xilandiἰ mala
ordinein immutate, cum sequens statuatur ibi decima , & haec undecima. Rectius in codice te gio suum quemque obtinet locum, in quo uno eodex ille nobis hucusque fuit auailio, in reliquis omnibus nimis infeliciter cuin codiee Nisandri consentiens. Sed& euidens est Diophanium in se. quente quaestione undecima, supponere totam sere decimae huius constructionein , ut de harum propositionum ordine nullus supersit dubitandi locus. Hie porro cum inueniendum sit triangulum, ut qu,dratus semissis compositi ex hypotenuia, & ex altero laterum circa rectum , adsumens qua diu plum aleae faciat quadratum, formatur triangulum ab IN. Mab iN id fitque hypotenuia 2 α- 2N. I. basis a N. - I. perpendiculum et Q. - a N. Area vero est a C. - -- TN. cuius quadruplum 8 C. -- Ia - N. summa autem hypotenus a & baseris est et N. -- a. cuius semissisi Q. - a N. - I. cuius quadratus fit a. - C. - N. - Leui addendo quadruplum areae, fit I Q α - J2. C. - I8 Q - - 8 N. - . aequandus quadrato. Huius autem latus eat ponatur a Diophanto o N. - I. satis superque docuimuη ad vigesimam nonam quarti, nimirum hae ratione tolluntur quadratoquadrati, cubi & unitato, manetque aequatio inret duas proximas species quadratos & numeros. Nam fiunt Io aequalet 2o. N. unde fit 1 N. Quate formandum est triangulum a . . & di omnia pet 4. multiplicando , fingitur trianis gulum a s. & s. suntque latera Iois. 36. so. quae diuidendo per I. ut habeatur nimirum itianstulum eiusdem speciei in integris, sunt 33. α8. s. cuius rei ratio e demonstratis ad sextam satis liquet.
Ponuntur ergo latera quaesti trianguli 33 N. 28. N. 4s N. N est area 63 Q cui addendo sultimam hypotenuis 33 N. & latetis et8 N. fit 63o Q -- 8i N. aequalis 4. unde fit a N. per quem resoluendo hypostases, fiunt latera quaesiti trianguli ri. Area est cui si addas summam hypotentisae N ptimi lateris fit ' P. seu 4. ut requirebatur. Caeteium eodem protias artificio soluetur qua lio quae a Diophanto praetermissa est, eum tamen ad hane tractationem pertineat nimirum.
Inuenire triangulum rectangulum, ut arear numerus adsimens hypotenusam datum saciat numerum. Esto datus A.
Patet quaerendum prius triangulum , ut quadrato semissis hypotentiis addendo qua/mplum areae, sat quadratus. Fingatur triangulum ab I N. & N. - a. erit semissis hypotentiis x R. x N. - cujus quadratus I a C. - 2 IN. - . cui addendo quadruplum areae putas C. - 4 N. fit IIO C. --s N. - . aequalis quadrato. Ponaturiatus illius I - s N. - 4. fient tandem Io N. aequalas ro. Quare a N. est l. di fingendum estitiangulum ab i. & a 2. suntque latera s. I. , quae si statuantur in numeris,set area cum hypotenuia 6 Q. -- y N. aequalis A. unde fit IN :. Hint ergo quasti trianguli latera a a. t o fitque area I eui si addas hypotenusam fit numerus 4. ut postulabatur.
Vt numerus areae multatus summa hy- γεν πύ εριζαδωαυ- ληα τὸν is m αμ- potenulae & alterius laterum circa re- φοτερα νης τε ι ποτεοούσης , ctum , faciat datum numerum. Esto περὶ .li' ὀρθ- mem gQενα αει μον. πω datus A. Rursum si statuamus triangulum ό mane δ. - παλιν ἐαν ταξωM datum specie, eo ducimur ut inuenia' Adio M σει-ειδω, εις τοntiis triangulum rectangulum, vicitia cρῶν πίμνον ορθομνι ν , .o co ἐν του ἐμμ
385쪽
summae ex hypotenua, & altero laterum circa rectum, faciat quadratum,& dein monstratum est esse 28. s. 13. Pono illud in numeris, re fiunt 63o Ἐ- 8i N. aequalis . de fit 1 N. ἱ. Ad positiones. ION EM XI.
HVi v s quaestionis solutio pendet omnino a lemmate ad praecedentem assumpto. Nam Inuento triangulo ut quadruplum areae additum quadrato semitus compositi ex hypotenuis de altercilaterum, faciat quadratum , consuluitur in Numeris, puta N. 28 N. 4s N. & fiunt tandem 6,o Q. - 8i N. aequales A. unde I N. fit ζ. Quare quaesiti trianguli latera reperiuntur u V. Atea est unde auserendo summam hypotenusae dc baseos, puta . remanet leu q. ut postulabatur. Eodem etiam artificio soluetur haec quaestio.
Inuenire triangulum rectangulum , ut area, detracta hypotenusa, faciat datum
Datus esto 4. Quaeretur triangulum , ut prius, ut quadruplum areae additum quadrato semissis hypotenuis, saeiat quadratum, quale inuentum est ad praecedentem s. q. 3. statuatur ergo in Numeris, desint quaesiti trianguli laterk s N. 4 N. 3 N. fient ergo 6 Qis N. aequales q. unde fit I N. . Ad hypostases. Sunt quaesiti latera trianguli τ . . F. Estque area unde si auferas hypotenusam, remanet seu q. ut postulabatur.
A DG ρVis ex notra methodo sequens quaestios Inaenire triangulum rectangulum
ut summa hypoten a se alterius lateris eirca rectum multata area faciat datam numerum imo se sequens addi potes Bacheti commentarjss Inuenire trιangulum ut 0poιenufa detracιά area faciat datum numerum.
IN v ε N i R a triangulum rectangulum, vi & interuallum laterum circa reiscium, & ipsum maius latus, sit quadratum. Et praeterea area cum minore laterum circa rectum, faciat quadratum. Formetur triangulum 1 duobus numeris,& supponatur maius laterum circa reiacium neri ex duplo producti multiplicationis ipsorum. Oportet ergo inuenire duos numeros , ut duplum multiplicationis eorum sit quadratus, & excessus dupli multiplicationis eorum super interuallum quadratorum ab ipsis ortorum, faciat quadratum. Hoc autem accidit duobus quibusvis numeris, quando maior minoris est duplus. Formetur ergo triangulum abs 1 N.&χN. dc satisfieduabus propositi partibus. Superest ut videamus an area trianguli cum minore laterum circa rectum faciat quadratum
386쪽
quadrato. Quaeremus igitur aliquem nu- μυδρον ιμπαν- ες, πmgrum , cuius lex quadrati adsumpto α. ψ μ' si . ternario faciant quadratum. Hujusmodi autem est 1. & alij ins niti numeri. Ergo quaesitum triangulum rectangulum Brinabitur abi. & a.
Duobus datis numeris , quorum summa sit quadratus. Inuenientur infiniti quadrati , quorum quilibet ductus in unum datorum&adsumens alterum, fati et quadratum. Sint duo dati numeri 3.& s. & oporteat inuenire quadratum, qui ductus in a. & adsuinens s. faciat quadratum. Esto quaestus quadratus r a N. . r. & fiunt 3 6 N. 9. aequalia quadrato, & solui potest infinitis modas, quia unitates sunt quadratae.
Esto igitur latus quadrati 3 - 3 N. & fit I N. 4. erit igitur quadrati latus s. & ali infiniti .inuenientur.
Uppo Ni et in primis Diophantus huiusmodi Theorema. Si fuerint duo numeri in proportione dupla, tam duplum producti eorum multiplicatione, quam excessiis eiusdem dupli producti superanteruallum quadratorum, quadratus est.
Quod ita demonstratur. Sint in ratione dupla A minor & B maior, quotum quadrati CD. n. , quorum interuallum G. dico tum duplum producti ex A in B. tum exeessum eiusdem dupli producti super C. esse quadratum, etenim quia Best duplus ad A patet D esse 9'M3' otia diu plum ipsius C. eo quod quadrati sunt in duplicata ratione laterum. Sed pro 7' ductum ee A in suum duplum B aequatur duplo quadrati ipsius A. ac proinde duplum proaucti ex A in B. aequatur quadruplo quadtati ipsius A. hoe est quadruplo ipsus C. Igitur quadratus D. est duplum producti e2 Α in B. Quod erat pilino probandum. Deinde patet ex hypothesi
excessum D super Gesse ipsum quadratum C. Quare ex omni parte eonstat propcissium. Idcirco Diophantus fingit triangulum ab i N. N et N. ut duabus proposti partibus satisfiat; nam latera circa rectum sunt A Q.& 3 quorum maius est quadratus ut patet:excessus .eto illius super minus, est etiaquadratus puta x M e stat ergo ut area minote latere adsumpto saeiat quadratum saeit autem o iacti -- 3. in aequale quadrato , di omnia per i indiuidendo. hi 6. Q. - 3. aequandus quadrato. Hic sane Diophantus non ustata prius ratione, quadrato aequat num reum ex duabus speeiebus non proximis compositum , quales sunt quadrati & vnitates, quamuis neutra ipsarum numero ex primatur quadrato. Ut autem hoc fieri possit, quaerendus est quadratus quo per s. multiplicato, &producto addendo, . sat quadratus. Quod quidem possibile est, quia 6. & 3. simul eonficiunt quadratum, & res absoluitur per assumptu in lemma. Quia vero unita quadratus est,& non mutae numerum quem multiplicat, sequitur ex eo quod O. de 3. conseiunt quadratum s. unitatem sumi posse Ioeo quadrati quaesti. Vnde fit etiam x N. I. Quamobrem fingitur triangulum ab I. & a. de fiunt lateras. 4.3. quae soluunt quaestionem. Potio ne ilὸ est auxilio lemmatis assumpti alias repetite solutiones. Ponamus enim quadratum quaesitum a Q. -- 2 N. - . I. quo ducto in6.& producto addendo a. fit utique o Q a N. . . s. aequandus quadrato. euius latus eum infinitis modis fingi possit, quia unitatum numerus quadratus est, patet infinitas repetiti posse solutiones. Verbi gratia ponatur latus hoc -3 N. fiet N. IO. Quamobrem quaestus quadtatus est leti. quo ducto in o. fit ra5. cui addendo 3. st as. quadratus
387쪽
1 latere et . Quare si in F 3. aequemus quadrato Dy. set a N. II. Ac proinde sngatur tilinguisium ah ii R dia. eruntque latera clos. 484. 363. quae soluunt quaestionem, nam maius laterum eitea tectum puta 484. est quadratus a latete aa. & illius excessus super 363. est III. quadratus a latere in. Atea .eto addito minore latere facit naos. quadratum latere as . Itaque notandus est modua iste, quo aequabimus quadrato quemlibet quadratorum & unitatum numerum, quamuis neuter si quadratus, dummodo uterque simul conficiat quadratum. Et vi aliquid addamus Diophanto, aio aequationem quoque explicari posse quamuis uuadrato rem, S umiatum numeri s mul non consciant quadratum, dum reperiatur quadratus aliquis qui Hucto in numerum quadratorum , di producto addendo nummum unitatum fiat quadratus, quod sane perfietemus per huiusmodi lemma.
Datis duobus numeris, si altero per quadraturi multiplicato, altero ad pro guctum addito fiat quadratus, inuenientur alij quadrati idem praestantes.
Sint dati Miis. Nam ducto quadrato 4. in s.& producto addendo IS fit quadratus 36. Quaerendus ergo est alius quadratus quam 4. qui hoc idem praestet. Esto latus illius a M. i N. fiet quadra tus N. - I Q. quo ducto in s. & producto adiiciendo Ict fit 36 - - ao N. - . s in squalia quadrato. Hie autem infinitae dati possunt solutiones, quia unitatum numerus est qua diratiis. Fiuga tur verbi gratia latus huius quadrati ε - 3 N. fiet I N. I 4. eritque quaesti quadrati latus i6. ipse quadratus aues. quo ducto in s. di producto adiiciendo I 6. st Ias6. quadratus a latete 36. Immo quod de multiplicatione disti m est, intelligendum quoque de diuisione , di se ias eadem arte solui huiusmodi lemma.
Datis duobus numeris, si altero per quadratum diviso, & altero ad quotientem addito fiat quadratus, inuenientur alij infiniti quadrati idem praestantes.
Sint dati numeri s6. & Ia. Nam diuiso ς6. per quadratum 4. fit quotiens a . cui addendo I ff. fit quadratus 36. Qua tendus ergo alius quadratus quὶm 4. qui praestet idem ponatur eius latus ut pilus a -- i N. erit quadratus Α - Α N. - inper quem diuidendo 96. fit quotiens Utarim,& htile addendo tr. st aequalis quadrato. Est autem denominator quadratus. Quare superest ut numerator 144. H. 48 N. - Ia aequetur quadrato, quod facilὰ fit, quia i 4 est quadratus, & fingetur satus illius Ia - 6 N. & fiet I N. 8. Quare latus quaesiti quadrati estro. ipse quadratus ioci. per quem diuidendo 96. fit quotiens cui addendo I a. fit Q. quadratus a latere j. Quod autem . necessario sit quadratus, patet, ex eo quM a 44. fit addendo ad ues. productum ex 4 in ia. mare cum ex hypothesi 24. & Ia. simul iaciant quadratum 36. si uterque per aliquem quadratum multiplicetur, erit & summa productorum quadratus. Atqui ducto 4. met . st s6. & ducto eodem . in ret. fit 48. Igitur summa ipsorum 96. & 48. puta I . quadratus est,
ille sellieet qui fit ducto η. in 36.
Hoe autem lemmate mirificὸ iuuatur operatio Diophanti, quae aliter fortuita videatur. Nams finxisset triangulum ab aliquibus alijs numeris in ratione dupla eonsitutis, puta a a N. N N. suissent latera dio in i 6 Q. Iam ubi laterum quidem circa tectum interuallum, itemque maius ipsorum, quadratus est , sed area minore assumpto. Fit s6. Qα - Ia inde omnia diuidendo per I infit s6 Q --ia. aequalis quadrato. Atqui s6. N I a. simul non conseium quadratum. Quare per ea quae tradit auines, non constat quomodo 96- - Ia. possit aequari qua drato & eius lemma lite usui esse non potest. Pet nostrum autem lemma faciis res expedietur, nam si diuidas s6. pet quadratum η. stag. cui addendo Ia. st quadratus 36. Quare per allatum lemiama inuenientur infiniti quadrati ab ipso diuersi qui praessabunt idem, & infinitas exhibebunt so lutiones. Nam inuento verbi gratia quadrato ioci. per quem diuidendo 96. st R. quo addito ad ia.
fit quadratus M. aequabimus s6 Q - . v. quadrato v. unde fiet IN. Quare sermabitur trian gulum ab . & l. & erunt latera cirea rectum . . t. quotum maius, itemque interuallum ipsorum quadratus est. Area vero est eui addendo minus iatus si quadratus I . a latete es. Tota tamen haec operatio, adhue labare videtur, nisi probetut aream trianguli se diuidi posse prialiquem quadratum, ut quotienti addendo, minus laterum circa rectum, fiat quadratus. Quam brem ne hie scrupulus haereat, se pronuncio.
Si a datis duobus numeris in proportione dupla sermetur triangulum rectangaeum; eius area per quadratum minoris datorum diuisa, si quotiens, quo addito minori laterum circa tectum , conflatur quadratus non cuplus ad priorem quadratum. A , a sint in latione dupla A minor & B maior, quotum quadrati C D. quorum interuau'c o iὸ tiam p. ergo eum ut probatum est in adnotatis ad initio D st duplum producti e2 A itis μὴ si,' sunt D F latera ei tea rinum trianguli. Quare ducto semisse ipsus D in F fiat area E. ' qua diuisa per C. sit quotiens G. dico summam duorum FG esse quadratum non euia plum ad ipsum C. Etenim quia ut probatum est ab initio D quadruplus est ad C. sequiatur subtracto C ab ipso D. te iduuin F esse triplum ad C. Quare cum seinissa ipsius D dueitur in F. ducitur
388쪽
F. dueitur duplum ipsius C in triplum eiusdem. Igitur E eontinet sexies quadratum ipsius C. itaue . quotiens Gest sextuplus ad C. cui si addatur F. triplus ad eundem C. fiet utiqu
Superest ut moneam , verba illa postrema quae virgulis inclusimus, γινι--δῆ δῆ εte. a nobis suffecta esse in locum istorum quae in codice manu exarato corruptissima leguntur. γhεται δὲ τὸ ἐμοαδὸν τῶ δ' . H. σὴς Gι' D δ ' εν Φῆ τὸν γ -τειών - - - ελαωονγ -ρά γανον, .s παν Σα τον - - ἐλαυον mγράγωνον. Α quibus tamen si quis commodum
senium elicere potuerit, per me licet, ut nostra deleat ,& meliora reponat.
IN v E N in s triangulum rectangulum,
ut numerus areae adsumens alterutrum
laterum circa rectum , faciat quadratum. Statuatur triangulum datum species N.
-- N.sit quadratus.At non est.Itaque eo compellimur, ut inueniamus quadratum
aliquem quo multato numero 3o. & per residuum diui . & quotientis quadrato per 3o. multiplicato , & adsumente quintuplum sui lateris fiat quadratus. Esto quaesitus quadratus I Q.6c si inde austratur 3o. &per residuu diuidatur 12. fit
Ia. denominatione partis a Q. -3O. cuius
quadratus est ΙΑ . denominatione partis I QR. - - 9oo - 6o Q Hoc tricies eum quintuplo sui lateris, facit so Q asao. sub denominatione partis I Q Q. - 9oo- 6o aequale quadrato, Se est pars quadratus. Oportet igitur & 6o Q -
232o. quadratum esse , hoc est oportet quadratum aliquem ductum in fio. &ad sumentem 23ro. facere quadratum. Si ergo seri nantes rectangulum, curauissemus ut 6o. adscito ruero. faceret quadratum, soluta esset quaestio. Fit autem εο. ex mutuo ductu laterum circa rectum. At rue1 . est solidus contentus sub majore laterum circa rectum, & sub interuallo laterum circa rectum, & sub area. Eoque res rediit , ut inueniendum sit triangulum rectangulum, ut qui fit mutuo ductu laterum circa rectum adscito solido sub maiore laterum circa rectum, interitatio eorundem, & area contento, faciat quadratum. Et si constituamus maius laterum circa rectum, quadratum
numerum , 5e omnia per ipsum diuida.
389쪽
ς ις ' H. imm τε νωνω. πtιῆι- σαν in κε. σἰ γmγαι ὁ σωθαρς δ . εου que ὸ τριύωνον ιβ 'r. ις ' . κ . και ιδ M. etum additum plano sub area & interuallo laterum cirea rectum contento,esse quadratum. Oportet igitur datis duobus numeris, areae scilicet, & minoris laterum circa rectum, ipsis ad inuenire quadratum aliquem, qui ductus in unum datorum , & adiamens alterum, iaciat quadratum. Haec autem lemmata supra sunt
demonstrata. Et est rectat ulum 3. q. . statuo id in numeris, fitque ut quaeram
- 3 N. aequales quadrato. Et rursuin si absoluamu ς maiorem aequalitatem, fit iN. q. denominatione partis I o. ergo quadratus erit i5. denominatione parti S I Q .Q. --36-Ia in QuamObrem sextuplum quadrati adscitis 3. N. erit m - 2 . denominatione partis I Q α-- 35 - Ia Proinde II. 2Φ. aequari oportet quadrato. Et res eo rediit ut inueniatur quadratus ,
qui ductus in minorem datorum, & ad-1umens maiorem faciat quadratum. Est autem 23. Quare rest 23. & I N. 3. Igitur quaerentes aequare quadrato 6 in Φ N. aequabimus quadrato as in&sti N. Δ, Est ergo triangulum G, E. V. 3c constat.
VNias tantum speciei triAnguia Diophantus exhibet propositum adimplentia, sed ex nosyra methodo fanetunt infinita diuersa Deciei triangula gaa ex
Diophantaeo per orainem derivantur. Sit igitur inaenrum tria mutum s. q. I. cuius hac est proprietas ut qui fit mutuo dae a lateram ei rea re Iam adscito solido fab maiore laterum circa rectum inter . satia eorundem, se area eontento faciat quadratum. Ab eo deducendum aliud eias dem proprietatis ,sit maias ex lateribus circa rectum trian3 uti quasiti q. minus vero 3 - I N. Rectangulam sub lateribus circa rectam adscito solido sub maiore laterum et ea rectum interuallo eorundem ese area eontento , facit 36 - ra N. - 8 qua ideo debent aquari quadrato. Cum autem latera or 3 --I N. sint latera circa rectum trianguli rectavali, debent etiam eorum quadrata iuncta aquari gaadrato. μου. arata ilia itiniI. Deiani a s -- ά N - qua idcirco eιiam aqvianda quadrato. Et oraιών dapi rara aeqvialiιas . nam 36- Ir. N - 8 A. o etiam a 3 - 6 N - ' i α debens aqviari qώadrato. Aitis aequationis duplitata solatio est in prom/ta.
MVLet sunt hie obseruatu dignissima. Sed eum tres operationes instituat Diophantus, mas llatim pereuriendo , omnia dilueidabimus. In prima operatione sumit quemlibet triangulum datum specie, puta s N. Ia N. I3 N. fitque area 3ci Q. cui addendo sigillatim latera eitca tectum, fiunt aci Ia N. &3Ο -- s N. simul aequandi quadiato. Non est autem locus duplieatae aequalitati, quoniam quadratorum numerus 3e.
390쪽
vcinest quadratus. Quamobrem alio, de sanὸ mirabili artificio utitur Diophantus. Sumit enim
alterum numerorum quadrato aequandorum , puta 3οα- Ia N. quem facit quadrato aequalem. Id autem facillimum est lumendo quemlibet quadiatorum numerum quadratum, maiorem quam 3o. ut 36 Q. unde si a N. a. & sane per hunc Numeri valorem resoluendo Ia N. fit quadratus. Sed ut valida sit aequatio, oportet ut per eundem valorem Numeri res bivendo quoque 3 o -- s N. sat quadratus. Quod non accidit. nam cum I N. st a. quadratus est q. atque adeogo Q. sunt lao. cui addendo s N. seu tO. fit 3IO. qui neutiquam quadratus est. Neeessitas ergo secundae operationis hinc innotescit. Nam ut aequeinus quadrato 3 -- a N. sum unus aliquem quadratum maiorem quam 3o. a quo auferendo go. S per residuum diuidendo I a. fit valor Numeri. Quare ut altet numerus 3ο α - - N. stat qualis quadrato, oportet ut quo. tientis illius quadratu, tricies sumptus, adscito qui neu plo eiusdem quotientis, nat quadratus.
Ponit itaque quaestum quadratum I in unde auferendo 3O. fit i 3o. per quem diuidendo I et fit quotiens .e . huius quadratus est . - α 4 . cuius tri clipsum est .' - α . . cubi 'dendo quincuplum ipsus laterismet . . putat fit fit autem hae additici
reducendo ret m. ad denominationem alterius numeli eui additur, nempe ducendo clo. ini in o. unde fit εο α- i Soci. quo addito ad 43eto. fit numeratot stactionis quae est summa numerottim additorum, puta 6OQ asao. manetque idem denominator , puta i Q in-6C Q. - . scio. Igitur ut consequam ut qui, d hae secunda operatione intenditur. Oportet ut aequet ut quadrato, & quidem denominatorem satis eonstat esse quadratum, cum faetus sit a latere I - 3O. Numeritor autem restat aequandus qua diato, quod quidem optimὸ fetet per lemmata ad praeeedenteiri tradita, si summa ipsorum s . & asao. esset quadratus, vel si reperiretur quadratus per quem multiplicando vel diuidendo 6o. 8e producto, quotientive addendo a Io. seret quadratus. Quod eum fieri non possit, apparet nee essitas tertiae operationis. Sed prius considerandum est via de proueniant clo. & Isao. & quidem manifestum est G. produci ea mutua multiplicatione laterum ci rea reeium, nempe ex II. in s. At Isaci. ait Diophantus esse solidum sub maiore laterum citea
rectum, sub ipsoraim interuallo laterum, & sub area eontentum , quod quidem ita se habere non statim apparet. Quare id dein onsitandum est. HOe autem nil aliud est,quam huiusmodi Theorema.
Datis duobus numeris inaequalibus, & tertio quocunque, si tertius ducatur in . quadratum maioris duorum datorum, fit numerus aequalis solido sub tribus datis contento, & solido sub maiore duorum datorum , interuallo eorundem, & tertio
dato sint dati numeri A maior 3 Bisinor. 8e tertius quicunque C. ipsorum autem Α B. interuallum
v n ri esto D. Niplius A quadtatus sit E. Quo ducto in C fiat F. Tum queatur Λ in C 6 Α4, u D B&fiat K. quodu in C. sat G. solidus sub tribu, C A B. Ducto autem c , A M Jχ- C in A fiat H. quo ducto in D. fiat L solidus sub itibus C A D. die o F aeq. - ' lem esse duo his, solidi, G L Nam sumptis itibus numeris Α bis . N C semeI
idem fiet numerus, quouis ordine ij inter se dueantur. At ex A in A fit S 1. 1. 1 Mila. quo ducto in C st F. ergo idem F fiet dueendo A in C. de productum H in A. Quare ex H in A fit F. solidus item G. sub tribus C A B contentus , set ducendo C in A & profluetiim H in B. Quare G fit e 2 H in B. At ex eonstructione e Y eodem H in D fit solidus L. Cum ergo B D. si in ut aequentur ipsi A. ' numeri GL. pro duet ex H in ipsos BD. aeqvahuntur pto dueto ex Hin i p. i. set a. sum A. At ex H in Α producitur F. ut ostensum est. Igitur solidi G I simul aequant ut ipsi F. Quod
Hine porro sequi quod ait Diophantus manifestum est, s operatio illius diligenter consilete tut& Α Β statuantui latera ei rea tectum trianguli & C ponatur alea. Itaque in tertia operatione quaerendum est triangulum ted angulum, ut planus contentus sub lateribus citea rectum . adiecto solido sub maiore laterum, interualici eorundem laterum, de area contento, sit quadratus. Sic autem ratiocinat ut Diophantus. si concipiamus tam planum, quani solidum supra dictum diuidi per maius latus , Orietur inde minus latus, hine vero planus sub area N interuallo laterum contentus. ares maius latus ponatur quadratus , suffetet ut summa minotis latetis, de plani sub interuallo de area contenti, si quadratus , sic enim ex quadrato in quadratum, set quadratus. Igitur Oportet eonstituere triangulum rectangulum . ita vi maius laterum circa tectum si quadratus, & praeterea plaaus sub intervallo laterum & alea contentus . adscito minote latere faciat quadratum , vel certὸ quod omisit Diophantus) idem planus per aliquem quadratum diuisus , det quotientem eui adiiciendo minus latu , fiat quadratus. Id autem praestabit, quodvis triangulum per praecedentena inuentum, nam & Maius laterum, circa rectum erit quadratus, & ipsum interuallum laterum,quadratus erit; & area ad stilo minore latere saei et quadratum. Quate eum planus sub area N interuallo laterum contentus , diuidetur per quadratum ilIum qui est interuallum laterum, quotiens set ipsa