장음표시 사용
391쪽
area quae adsciscens minus latus faciet quadratum ex hypothes; ae proinde pet lemma quod viti.
inum attulimus ad praecedent ia , planus se barea de interuallo laterum contentus, adicit cens minus latus, infinitis modis aequari poterit quadrato.
Hae ad integram quaestionis huius intcnigeiuiam dicta sussicerent. Sed libet praeterea in tyronum gratiam, tertiam Dioplianti Operationem , quam ille breuiter perstrinxit, fusius explicare. sum citriangulum per placedentem iuuentum, de constituo illud tu Numeris , putas N. N. 3 N. fitque area 6 Q cui addendo sigillaturi lateta circa rectu ira, fiunt 6 α-- 4 N.&6Q-- 3 N. aequandi quadrato. Quare pet ea quae dia imus de necesstate secundae operationis, Oportet inuenire quadra istum, a quo ausetendo 1. de per residuum diuidendo A. fiat quotiens, cuius quadratus texies tum p tus, & adsumens triplum sui lateris faciat quadratum. Quadratus ille estor inhic dempto 6. & peetesiduum diuidendo si . cuius quadratus A. Viscutu sextupluin addendo triplum lateris, puta vel sub eadem denominatione fit utique sum- 'ma quam aequare oportet quadrato, & cum denominator si quadratus, superest Ut aequemus quadrato numeratorem ra Q. - a . Quod facit E si quia i a. de et . simul esse iunt quadratum 36. & utenduin lemmate quod ad precedentem attulit Diophantus. Quia enim quadratus quaesitus debet Hae maior quam 5. ut aequati possit 6. Q - 4 N. θ Oportet quatere quadratum maiorem quam 5. qui ductus in i a. & adiumens a. faciat quadratum sit eius latus I N. - i. fiet quadratus ductus in t a. de adsumens a . 12 - 24 N. -- 36. cuius cuius latus esto 6 N. fiex N 4. Ergo latus quadrati est s. iple quadratus as . Quate ε α-- 4 N. aequant ut 23 N iit I N. eilque triangulum qualitum, J. fitque area . . . cui addendo sigillatim latera citca reeium, fiunt quadrati :A. a lateribus Possunt autein infinitae dati solutiones, utendo eodem triangulo 3. 4. s. Quia per lemma praecedentis loco as . inveniri possunt alij infiniti quadrati, vetbi gratia si numeri ia Q. -- a N. -- 361. ponas latus 6 - 4 N. set I N. i8. eritque latus quadrati iς. ipie quadratus 36i. Quare 6 α - 4 N. aequabiturior Q. & fiet I N. .e.. erunt igitur latera trianis guli i ta se . Area cui addendo latera citca tectum , sunt quadrati de . Q. a lateribus irai de ni. Ceterum moneo. casu accidere in hypothesi Diophanti, ut sapus sub latetibus, puta ia. ad stimens et . solidum sub maiore laterum , interuallo laterum S atea contentum, siciat quadratum, quod aecidit quia interuallum laterum 3.& 4. est unitas; sed si aliud sumatur triangulum praece denti sallisaciens, id non continget. Quare ut uniuersalis reddatur operatio Diophanti, in alici trian gulo libet rem experiri. Sumatur triangulum per praecedentem inuentum ' N. 484 N. 6os N. net area adsumens sigillatim latet a circa rectuin 8 8 6 Q έ84 N. & 878466- ad 3 N. & vltumque oportet aequare quadrato. Quate inueniendus est quadratus a quo detrahendo 8 346. & petresiduum diuidendo 8 . fiat quotiens, cuius quadratum ducendo in 8 8 6. N producto addendo quod fit ea eodem quotiente in 363. fiat quadratus. Et ut rem compendio absoluam , eo redaetus ero ut aequem quadrato IIIosea - 314 6 qq. & numerus quadratorum est planus sub lateribas ei rea rectum 484. de 363. contentus. At numerus unitatum ess solidus sub maiore latere 48 .sib intervallo laterum Iat. & sub area 8 8 6. contentus. Porro vitiusque numeri summa minim quadratum facit. Sed quia quadrato per quadratum diuilo si quadratus . diuido utrumque nume. tum per maius laterum circa rectum, puta pet 48 q. qui quadratus est ex lege praecedentis, & sit 36 Q - - Io6a9366. aquandus quadrato. Vbi quoque quadratorum ti unitatum numeri simul additi non consciunt quadratum. Sed quia quadrato tum numerus 363. est minus laterum eirca te ctum, at unitates rosa 9366. consciunt planum sub area 87846. N sub interuallo laterum teti. qui quadratus est ex lege praeeedentis & summa areae & minoris lateris, confieit etiam quadratum,eκ eiusdem praeeedentis Iege. Patet eum 363. Ac 878 6. simul iaciant quadratum , si qua statua ευ. ducatur in utrumqne, &productorum summam sole quadratum, at ex Iar. in 878 6. st io629366. t dictum est. Igitur si & Igi. ducatur in 363. N producto adiiciatur Ios 29356. fit quadratus. Quare per lemma praecedentis a nobis ampliatum 363 α-- Io6as366. infinitis modis aequati poterit quadrato. se autem aequari debet quadrato, ut valor quadrati excedat 878 6. quia quadratus ille aequati debet 8 846 α - - 484 M. Ponatur ergo quadrati latus IN II. fiet ipse a1 - 22 N. - . 1 in o diicto in Q. & producto addendo Io 629366. st Io673a89 - sis N. - . 363. α quandus quadrato, & sacilὰ st, quia unitates. sunt quadratae. Ponatur ergo latus illius 3 16 -
ὸς N. set i N. fgogo. cui addendo I i. fit latus quadrati 18 9. ipse quadratus 33 416 28 l. Igitur 8 8 6 Q - 484 N. aequabimus 3374s6428I Q fiet ι N. .....tia. per quem resoluendo laterat,ianguli quae posta erant ' N. 48 N. 6os N. fiet quaesitum triangulum .,:i Am in ra.
eius area est - , , trita A. iae adsumens s gillatim latera circa rectum, facit quadratos ει quorum latera m P Ο &
392쪽
IN v ε N i st a triangulum rectangulum,
ut numeriis areae multatus alterutro laterum circa rceium , faciat quadratum.
Rursiunissi constituamus id datum specie sicut in pracedente, eo res redit ut inueniendum sit triangulum rectangulumsimile huic 3 q. .POnatur ergo in numeris, de ut 3 N. N. 3 N. Et 6 Ἀ- N a quantur quadrato. Et si statuarnus quadratum minorem quam s. fiet i N. sit b denominatione partis excessus quo 6. stiperat quadratum aliquem. Et si ponamus quadrarum I opus erit tali exiitente numero , aequare etiam quadrato 6 Q. - 3N. de I sexies sumptus est ys. sub denominatione partis I Q Q. I a. ateris autem triplum est ra. sub denominatione partis 6. - I Q. hoc est a - Ia in iub denominatione partis eiusdem, dc si hoc auferamus a q6. sub denominatione eiusdem partis , relinquuntur Ia -- 24. Lib denominatione
quadratus. Proinde oportet aequare quadrato ra Q. - 24. & est i N. r. Pono igitur 6 Q N. aequales r in Sc fiti N. l. Erunt igitur quaesiti rectanguli latera
p. g. & si nolis uti vititate , statue quadrati latus i N. - . I. Itaque triplum quadrati adscito 6. fit 3 Q. - 6 N. -- 9. aequandus quadrato. Hoc autem facile est, & inuenietiir i N. non maior quam . At quadrati latus quod cst i N. - - I. non erit matus quan Et inde ortus
. quadratus sublatus des. faciet numerum rationalem.
LX minotatis ad praecedentem, omnium quae hie aguntur rationem reddere facillimum est. Mi-R ,rum tortasse alicui videre possit, eum in hac quaestione utendum sie subtractione loco additionis qua utendum crat in praecedente, cur tamen ad extremum maneat idem numerus D. a. - - 24. mirandus quadrato. Huius autem syinplomatis eausa est , contrarietas additionis & subptactios una cum admixtione contrariorum signorum pluris & minoris. Nam in praecedente opportebat ad-cere Ia Q-72. adsis. Ita hac autem oportet de 96. subtrahere 7a-I2 Q. Quare euidens est, e litui iraui illam, & hoc residuum, eundem e licere numerum, puta in Q. - 24. v la satis a P- paret demonstratio 1es ad praecedentem allatas , & hic locum habere. Coeri,ncum ad aequandum quadrato Ia -- 24. oporteat quaerere quadratum quidlictus in 12. dc adiumen, a , faciat quadratum, sumit Diophantus pro huiusmodi quadrato unitatem, quod
393쪽
fieti posse docuimus ad duodecimam, quia i et . N a . smul conficiam quadratum, & quia talis qua dratus sumendus est minor quam G. ut aequari possit 5 - 4 N. sic posito quod o Q. 4 N. atquentur I iii N. - & sunt latera qua siti triangulis V. . estque area e unde autetendo sigiliatim
latera circa rectum , superium quadrati R. di q. Quod autem ad extremum , ait Diophantus, loeo unitatis, sumi posse alium quadratum, verum est implorando auxilium lemmatis ad duodecimam allati. Id tamen caute agendum, quia quadratus 1lle debet esse minor quam 5. Quare se ratioei natur Diophantus. Imprimis loco Ia --- aq. sumit 3 Q. -- s. cuius rei duplex auignati potest causa. Prima est quod ipsius ra - . a . suntit quadrantem 3 α-- 6. suo more, ut rem in minimis conficiat, &euidens est s. atquetur quadrato, fore ut & eius quΣdruplum i a -- a . st quadratus. Secunda causa, quae mihi magis arridet pendet ex dictis ad duodeeimam. Quia enim ra. est planus sub lateribus trianguli per duodecimam inuenti, at et . ess solidus sub maiore Iamum, sub interuallo eorundem, S 1 ub area contentus . diuidendo utrumque per maius laterum citea rectum , puta 4. qui est quadratus ex lege duodecimae ) sunt numeri s. & 9. Quotum prior est minus laterum cite a rectum , posterior est planus sub area S interuallo laterum, quare hoc diuiso per interuallum laterum quod etiam aequatur quadrato ex lege duodecimae oritur ipsa area, quae rursus per duodecimam adscito minore latere tacit quadratum. Quam brevi ex vltimo lemmate quod ibidem attulimus , constat 3 Q - - o. aequari posse infinitis modis quadrato. Ponatur eius latus I N. - I. erit quadratus I Q - 2 N. . . I. quo ducto in a. N ploducto addendo 6. fit 3. SN. - s. aequandus quadrato, cuius latus fingetur 3 - certo Numerorum numero , sed quia quaesitus quadratus debet esse minor quam 5. cum latus proximum ipsus 6. si oportet latus quadrati quaesti esse minus quam . . Quare cum ponatur hoc latus N. - I. si V. auferas unitate in , remanet. . quo patet minorem esse debere I N. Proinde eum aequando quadrato a Q - 6M - s. debeat fieri valor Numeri, a quodam quadrato multato ternatio, diuidente sextupluin sui lateris auctum senatio , si ponatur huiusmodi quadratus i Q siet a. minor qtiam & tandem fit M. N. - . 34. minor quam I 3 in Qua aequatione, ut par est, per approximationem tesoluta , fit N. maior quam x Quare numerus Numerorum in latere fietitio ponendus excedere debet 3 Ponatur vethi gratia latus illud 3. - ε N. fiet 1 N. u. Quare latus quadrati quaesiti, quos positum erat i N. - I. et it . ipse quadratus et . Proinde o. α- N. statuemus aequalem Λ Qta fiet IN. Quamobrem crit qu stum triangulum . . eis. si area V, 4. vi de auferendo sigillatim latera circa rectum , manent μ' P: . & ri . quadrati , lateribus V . . &m . .
Quod si lubeat . ii triangulo 36 N. 48 N. gos' N. sent aequales quadrato 878 6 α- 484 N. N 8 8 6 Q.- 363 N.& ductum Diophanti sequentes tandem inueniemus I 16sa 4-- 3sqq6i; I44.
aequalem quadrato, & omnia diuidendo per 48 . maius Ialetum circa rectum, quod est quadratum, fiet 363 - - io62 366. aequalis quadrato. Quod fieri potest infinitis modis, quia ducendo In 363. quadratum III interuallum scilicet laterum citea tectum N producto addendo Io6ας;66. st quadratus. Quia vero oportet quadratum quaestum minorem esse quam 87846. sumemus ipsum Iai. vel inueniemus alium eodem quo supra artiseio. Quod si sumamus iar. set 8 8 6 Q - 8 N aequalis a II in unde fit a N. ri. Sunt ergo quaesiti alianguli latera u. r. I r. estque area, qua detrahendo sigillatim latera circa tectum , manent quadrati tu es di quotum 1atera i l. &
gulum rectangulum vir ahera tram laseram circa rectam mvitiatum area faciat quadratam.
INvs Nias triangulum rectangulum, ut
numerus areae tam hypotenuia quam altero laterum circa rectum detracto, faciat quadratum. Esto triangulum datum
specie 3 N. 4 N. 3 Ν. & rursus oportet quaerere 6 Q. -s N. aequalia quadrato, &6 Q. -3 N.aequalia quadrato. Et si secero 6 Q - 3 N. aequalia quadrato, fit I N. 3. sub denominatione partis ε - i a de tali
394쪽
oportet a 3 . sub denominatione partis i 35 - H Q. auferre 'O II sub denominatione eiusdem partis , &reliqua aequalia lacere quadrato. Et pars quidem quadratus est. Erso etiam is Q. - 36. aequanda sunt quadrato. Atque haec uidem in possibilis est aequatio, quia i . in duos non diuiditur quadratos. Non autem omnino impossibile est quod initio
erat propositum. Oportet ergo determinare de triangulo. Facti sutit enim is ex quodam quadrato minore quam arcae numerus, ducto in productum ex hypote- .nusa in unuin laterum circa remina. At quae desunt unitates 36. fiunt ex solido contento lub area, & uno laterum circa rectuin, de interuallo quo hypotentisa superat idem latus. Eo itaque res deducta est, ut prius oporteat inueniri triangulum rectangulum , & quadratum numerum minorem area , ut quadratus ductus in
productum ex hypotentisa in unum laterum circa hec ulu , detracto solido contento sub area , praedicto latere, &intervallo quo hypote maia superat idem latus, faciat quadratum. s Factum esse ex duplo producti corum , & omnia diuidamus per productum ebc hypotenuia in praedictit nilatus, quaeremus rursus alium quendam quadratum , quo dueto in produci uni ex hypotenuia in unum laterum circa rectum . in primum latus interualli quadratum. MEt si statuamus eos a quibus triangulum eis nρetur , planos similes , dissolvemus
quaeuionem. Form2tur triangulum abSq.
Oct. At quadratus, ut minor sit numero areae, esto 36. eu formans triangulum statuo illud in numetis 8 N. 13 N. i N. & fit numerus are, detracto uno laterum circa reclum εο - 8 N. Haec aequantur 36 8c fit i N. i. Ad positiones. Erit triangulum manet.
Hle quod attinet ad primam operationem , eum ea similis sit omnino operationi Auatum prata cedentium , nihil est quod nos moretur. Quod .utem ait Diophantus 36. esse soliduin contentum lub alba, uno lathrum circa tectum , & in tetuat in inter hoc hypotentisam, idem cΗ protius eum theoremate ad decimam tertiam demonstrato. Denique quod ait Is Q. -36. aequati non polle quadiato quia Is. non diuiditur in duos quadiatos, pendet ab iis qua mox ostens uti su
395쪽
inis. Nee est taet autem secundat operationis euidenter colligItur ex desectu prios . Nam ad hoe veQ. - 3ς possit aequari quadrato, opotiet inuenite quadratum quo ducto in In di a producto auferendo 36. maneat quadratus. Et cum quadratus inueniendus aequari debeat o Q - 4 N. curandum est , ut sit minoi numero areae 6. Quia ergo is. est planus sub hypotenuia & altero laterum, at V. est solidus sub axea, praedicto latere , fle interuallo inter idem latus & hypotenusam, euidens est quaerendum esse triangulum, Ac quadratum minorem area trianguIi, ut quadrato ducto in producium ex hypote ausa in unum latetum circa rectum , fiat numerus a quo detrahendo solidum sub area, praedicto latere, & interuario inter idem latus & hypotenusam , relinquatur quadratus.
Equidem triangulum singendum esse ait Diophantus a duobus numeris qui sint plani similes. Ied qua ratione id colligat, & unde sumendus sit quadratus . non constat ex corruptissimis illius verbis quae idcirco asteriscis inelusimus more nostro. Quorum tamen desectum ut ego suppleam, pronuneio , quadratum illum, eum esse qui fit ea quadrato interualli dictornm planorum similium, an quadratum qui fit ex mutua eorundem multiplicatione. Quod vi demonstrem, & simul rei obs- cutissimae lueem asseram , aliqua prius suppono. Primum suppono, in quolibet triangulo efficto per methodum a Diophanto traditam, quam .pie demonstia simus oropositione quinta lib. teriij porita. hypotenusam superare quadrato nume- eo, latus illud quod fit bis ex mutua multiplicatione numerorum a quibus emctum est triangulum. Quod euidens est, quia hypotenuia est summa quadratorum, aqua si auseratur duplum multiplicationis laterum. superest quadratus interualli latetum per quartam secundi potismatum. Secundo suppono , intervallum duorum 'quadratorum esse maius quadrato interualli laterum, quod ipsum iam demonstrauimus ad sextam secundi.
Tettio stippoclo, in triangulo emcto 1 duobus planis smilibus, s exeessus hypotenusae si et i i ι latus illud , quod aequatur interuallo laterum , ducatur in alterum latus , neti, ἡ 'a , quadratum. sint enim plani similes A B. quotum quadrati C D. quorum summae E. intexuillum F. tum ex A in B fiat H. cuius duplum C. eritque E F G. trian π n ς ου G Fulum rectangulum. Sit erso K excessus E super F. S ducto X in C. fiit L dieri' i*''33' Lege quadratum. Quia enim ΑΒ sunt plani s miles, ' erit Η quadratus. ει quia B est summa duorum C D. At F. est eorundem interuallum, detracto F GE. reliquus Κ etit duplus ipsius D. Cum ergo G. K. snt dupli quadrato tum H D. sequitur Gad K habere rationem quadrati ad quadratum, ' ae proinde GK sunt plani s miles , & productus eae
tum mutuo ductu, puta L. quadratus est. Quod demonstrandum erat.
His positis, totum quod supponitur a Diophanto, se demonstrahitur. sint plani sim dea A R a quibus fingatur triangulum CD E. ita ut E sit duplum quadrati X. quiri se si e2 A in B. At D sit interuallum quadrato tu m ab ipsa Α B. Ductoque Κ- - 28' in D. fiat area M. Rursus interuallum ipsorum C E. st G. quadratus me . primum suppositum. quo ducto in quadratum Κ fiat quadratus H, Item ducto C in E fiat L quo ducto in Fl fiat P. &.tuisti, ductori. Iri ' o ''. B in M. quo in G. fiat Q. Di eo si in solidus sub alea
P 4 P. MA3 Ο ΗΑ . M ilicto laterum ei tea tectum & sub C interuallo intet idem latus ti hypotenus , auseratvi ab ipso P. qui si ex quadrato H in L planum sub hypotenuia C&praedicto latete Eeontentum, residuum esse quadratum , & ipsum quadratum H esse minorem area M. ae denique ipsum L eomponi ex duobus quadratis. Primum se ostendo. Ex E in D plodueatue N. & e, interuadio ipsorum CD in B. sat F quadratus per tertium suppositum. Tum eo delatis tribus numeris DFIX. Quia ex Din Κ fit M. quo ducto in Est R. fiet idem R. si si dueatur in D.&productus N in K. Igitur R fit ex Nin Κ. Rursus eadem .de eausa consideratis tribus G ΚN.
Quia ex K in N. fit R ut ostensum est, & ex R in C se solidus, idem in fiet ducto Κ in C. &pecidulto H in N. Igitur Q. producitur ex H in N. At per eonstructionem ex eodem H in L fit P. hrgo P. superat innumero qui fit ex H in interuallum Usorum LN. Atqui eum ex eodem E in ipως C D. fiant L N. patet etiam L superare N. numero qui fit ex E. in interuallum ipsorum C D. hoe est quadrato F. Igitur P. supetat producto ex H in F. sed hie productus est quadratus, eum
uterque H F quadratus st. Ergo P. superat αquadrato numero; quod erat intentum. Deinde qua- Aratum H minorem esse area M. probatur. Etenim cum ex eodem Κ in ipsos G D. produeantve
H M , & D fit maior qu,m G per secundum suppositum , constat & ipsum M maiorem esse qu mH. Quod erat propositum. Detiique L componi ex duobus quadratis eonstat ex septima tertii potismatum, quia talicti producitur ex C in E quorum uterque eomponitur ex duobus quadratis , puta C ex quadratis ipsorum AB. At si ex duplo quadrati X. unde etiam per scholium propositionis citatae apparet ipsum L. componi tantum semel ex duobus quadratis, quia si non eomponitur ex quadratis inaequalibus.
sunt autem quadrati ει quibus L componitur, ipse H qui fit ex K in G. di quadratus qui sit ex
eodem K in quadratum summae amborum A B. Ex
396쪽
Ex his sine quae eum ineledibili labore commenti sumus, causa omnium quae pelagit Di phantus fit manifesta. Reliqua operatio nil habet difficultatis, cima sit penitus limitu operationi duatum praecedentium. Eam tamen in studiosoru in gratiam non pigebit adiicere. Formatur triangulum a 4. N i. di constituitur specie, puta I 7 N. Is N. ου N. fit area multata tum hypotenuia, tum latere tertio oo Q I7 N. & so -- 8 N. Quare utrumque aequare oportet quadrato , quod si fici 2 8 N. aequemus quadrato, quaerendus erit quadratus quem auferendo 1 o . de pet residuum diis uidendo 8. sat quotiens cuius quadratum ducendo in Oo. de a producto auferendo quod fit ex I . in supradictum quotientem, remaneat quadratus. Esto quaestus quadratus iunc auferendo a oo. N per residuum diuidendo 8. st quotiens ..-: α cuius quadratus . O . quo diusto in oci. st i o C. unde si auferas productum ex II. in α- . puta αξ .ieti 1tib eadem d nominatione remanet aequandus quadrato. Quare eum denominator sit quadratus, superest ut numerator iis Q Mam aequetur quadrato, quod taeile fit, quia ex supra demonstratis quadrato36. ducto in IV. de a producto auferendo Mao. remanet quadratus. Est ergo I 6. Quamobrem 6o Q. -8N. aequalis erit 36 Q. & fiet i N. erunt igitur trianguli lateta . fit area τ. unde auserendo tum tum V. remanent quadrati seu 4 E ,seu r. letum quaestio infinitas recieit solutiones, tum quia loco ipsorum 4. de r. sumi possi int qui in libet aliis plani st miles a quibus estingatur triangulum. Tu in quia sumptis itidem & i. inueniri possunt infiniti quadrati loco ipsus 36. vel minores ipso16. vel etiam maiores, qui tamen non excedant aream fici. quibus ductis in I 36. de de producto auferendo asto. relinquatur quadratus, ut docebimus ad sequentem.
DAris duobus numeris , si aliquo
quadrato in unum eorum ducto, &altero de producto subtracto, sat quadratus , inuenietur & alius quadratus m ior quadrato prius sumpto, qui hoc idem praestet. Dentur duo numeri 3. & ii. de quadrato aliquo , puta a latere 3. ducto in a. & a producto detracto ii. fiat quadratus a Ialere 3. Oporteat inuenire alium ouadratum maiorem quam a s qui hoc ipsum praestet. Esto latus quadrati a N. s. fit quadratus et in- - Io N. - aue. Huius triplum dempto tr. st 3 Q --3ON. - s . aequale quadrato , sit eius latus 8 di N.&fiti N. 62. Est ergo latus 5 .
Hle omnia sunt pet ima. Caeterum quod vult Diophantus quadratum quaestum maiorem esse quadrato expolito, id agit ob sequelitem quaestionem, in qua tale quid postulatur, & ad quem
hae est veluti lemma. Sed hoe non est sie ac*ipiendum , quasi vero fimila sere Operatione, non possimus etiam inuenire quadratum minote . Sinte tin iidem 3. N II. dati numeri, de quadratu as. ductus in a. iaciat unde auferendo ti. supersit quadratus γε volo reperiise alium quadratum minorem ipso as. qui hoc idem praestet. Pono latus eius 3 - 1 N. erit quadratus as - N. - in quo Aucto in a. de ex producto auferendo tr. superest 64 - 3o N. - 3 inaequalis quadrato. euius Iatus ita fingendum est , ut sat i N. minoi quam s. fiet autem I N. ponendo latus stetitium g - tot Numeris, de quorum quadrato auferendo 3. per resiluum diuidetur sedecuplum ipsorum Numearorum multatum numero 3o. Quare si ponatur quaestus Numerorum numerus I N. fiet mi nor quam s. & tandem is N. minores quain y inis. quod per se manisu am est, quia quadratus semissis numeri numerorum puta 64 minor est quam producti is ex quadratis in unitate puta quam Is . unde patet nulla hie Opus esse Numeti determinatione, sed poni potest latu, sctititiis g- quotlibet Numeris, quorum quadratus excedat 3. Ponatur g-2 N. net N. I. Quate' latus quadrati quaesti quod postuin erat 1 - N. erit 3. di satisfacit proposito. nam eius quadrato s. ducto in v fit et . unde si a fetatur Iti remanet liadrates Io. n
397쪽
Hac ratione, ut iam monui, applicabis Me lemma praeeedenti quaestioni. Nam primo expositis numeris 136. & Meto. quorum altero ducto in quadratum 36. altem de producto sublato, relinquitur quadratus s76. inuenies alium quadratum minorem quam 36. qui mas et idem. Esto latus illius 6 N. huius quadtatus ducius in 36. N multatus numero q3α . iit 3 6 - 163a N. 336 Q. aequandus quadrato. velum latus quaesiti quadrati non totum debet esse mitius quam O. sed etiam quia quadratus talis in e debet ut eo ducto in I36. producto possit auferri 432O. cum diuiso 43eto. per i36. fiat 3I. . . cuius latus sere es s oportet utique latus quadrati non esie minus quam 3 . at illud positum est 6 - IN. quate cum auserendo Iria o - I N. superstς - IN. curandum est utique ut 1 N. st minor qu,m I. Igitur numeri 376 - 163a N. - 36 Q. latus ita fingendum est ut plodeat a N. minor quam Quamobrem si modo saepὸ alias . nobis ustato, determinationem qua ras nuia meti Numerorum in latere fictilio ponendorum . invenies latus fingi debete di - tot numeris qui sint plus quam 34. Ponatur ergo a - 62 N. set I N. ; . quo detracto 1 o. manet latus quanti quadrati Ipse ergo quadratus est ducto in i36. st unde si auferas 43eto. vel sub eadem denominatione manet quadratus a latere m. Deinde si velis adhue quadratum maiorem quam 36. sed minorem quam so. pone Iatus illius ε - , i N. quadratus ductus in I36. & multatus numero q32o. fici 76 o3a N. - 36 Q. aequandus quadrato. Sed quia valor quadrati debet esse minus quam εο. cum latus proximum ipsus eo. st ab hoc auferendo latus quadrati quaesiti quod positum est o - - N.superst x N - i N.pateti N. minorem esse debere quim q. Quare si quaeras determinationem numeri Numetorum in Ia-teie sistitio ponendorum, inuenies latus illud fingi debere 2 - tot Numeris qui excedant 4ς . Ponatui ergo 24 - 16 N. fiet a N. E. Quate latus quadrati quod postum est 6 -- i N. erit C. ipse quadratus qui utique minor est quam clo. eoque ducto in Iu.& de producto auferendo 3eto. remanet quadratus . . a latere A .
INuxui κε triangulum rectangulum, qnumerus areae tam hypotenusae quam alterius laterum circa rectum numero
adscito, faciat quadratum. Si statuamus illud datu m specie, rursum cogimur determinare , & quaerere txiangulum rectangulum, di quadratum numerum maiorem areae nu mero, ut quadratus ducius
in productum ex lar potenuia in unum laterum circa rectum , detracto solido contento sub area , & praedicto latere circa rectum , dc interuallo hypotenuis supra praedictuin latus, iaciat quadratum.
Formetur ergo triangulum a 4. & i. &sit quadratus 36.Sed is non est maior areae numero. Habemus igitur duos numeros, alterum quidem qui fit ex hypotenusa in unum laterum circa rectum , nempe I36. alterum vero , solidum contentum lubarea,vno laterum circa rectum,& excessis hypotenuis supra praedictum latus, nempe q32o. Quoniam igitur quadratus aliis uis , . puta 36. multiplicatus in r36. de e tracto Mao. facit quadratum, quaerimus autem quadratum maiorem esse quain 36. si statuamus ipsum I Q. --Ia N. - 36. de superiorem sequamur demonstrationem; inueniemus infinitos quadratos' quaestionem BIuentes. Qi orum unus erit
398쪽
ε 6. Statuamus ergo triangulum rectan- τὸ , --εsmo ειν μ', τα
EX adnotatis ad duas praecedentes, omnἱum quae hie aguntur eausa fit manifesta. Quare suiniet integram suHieete operationem. Ponatur triangulum datum speete 8 N. 33 N. 37 N. fiet area 6o. cui aditetendo tum hypotenusam i N. tum latus 8 N. sunt so Q - . N εἰ fio Q - 8 N. sequandi quadrato. Quod ii instituamus atquationem respectu so. 8 N. ut etiam vatur Nu- meti alteti nil mero titε applicati possit, oppurtebit inuenire quadratum a quo auferendo . di per residuum diuidendo p. fiat quotiens , cuius quadratus se,agesies sumptus , adscito latete suo dccles& septies, faciat quadratum. Esto quadratus quaestus idetracto fio. st I sci. per quem diuidendo8. st in a. euius quadratus qui si dueatur in tio fit cuis addat ut decies di septies .eri . hoe est sub eadem denominatione set utique, i iis, aequandus quadrato. Quare eum denominator sit quadratus, restat e vi numerator 36 Q aro. aequetur quadrato. Quod facilὰ fit cum ex demonstratis ad decimam quintam quadrato 36. uueto in i36. & de producto auferendo q3ro. supersi quadratus. Verum qualitatus 3o. hic usui ei e ncin potest . quia non est maior quam Oo. quod necesse est, cum quaeramus quadratum aequandum cuin εο - . 8 N. Igitur implotandum est auxilium praeeedentis lemmulis, S inueniendus qua status maior quam 36. immo quam M. quo ducto in i 6. & de producto auferendo Mao. relinquatur quadratus. Ponatur latus quaesti quadrati ε - i N. fiet quadratus 36 - ta N. - linquo ducto in lais. & de producto auferendo 43ao. st 1νε - . Issa N. - no aequandus quadrato. Quia autem quadratus quaestus debet esse maior qu,m εα sumpto quadrato proxim/maiore qu ni e s. puta ε . cuius latus 8. quo auserendo 6. remanet 2. patet ita fingendum latus uadrati; ut I R. non si minor quam a. Quare si quaeras Numeti determination in inuenies Iares
ctitium poni debere 24 - . tot numeris, qui non excedant al. ita tamen ut eorum quadratus exincedat 336. quales sunt omnes numeri a tr. usque ada I. inelusive. ponatur ergo et i5 N. fiet M
eto. Quare latus quadrati est 26. Ipse quadratus 676, aequemus etν 6 6 Q. cuin do α- 8 N. set I N. A. di lateta quaesiti trianguli erunt EN ti. Atea fit eoi si adiiciatur tuin hypotenusa. tum prunum latus, fiunt quadrati quorum laterari S l .
IN vs N i a et triangulum rectangulum, ut acutis eius angulis bifariam scissis. numerus angulum secantis si rationalis, Ponatur secans angulum bifariam 3 N. unum ver5 segmentum hass 3 N. ergo cathetus erit 4 N. Statuatur itaque ab initio bass vilitatum quotcunque qua trientem habeant. Ac si a. erit igitur
reliquum basis segmentum 3 -3 N. sed quoniam angulus bifariam sectus est, &cathetus ad abscissam partem est sesquitertia, erit & hypotenusa ad reliquum basis segmentum , sesquitertia. At positum est reliquum basis segmentiam 3 -
399쪽
Hle nulla feta est dissicultas. Nam quod ait Diophantus Cathetum ad alterum baseos semen.
tum eandem habete rationem, quam habet hypotenuia ad alterum eiusdem baseos segmentum. id manifestε inservit ex tertia sexti Euclidis . Sit enim Α triangulum tectangulum ABQ de dueatur Α D s
cans angulum acutum A bifariam. Quia ergo, ut
ostendit Euclides loco citato, se habet A B ad δε C. ut BD ad D C. erit di permutando Α B ad BD, sicut A C ad C D. Quod est propositum. Itaque sumit
Diophantus latera trianguli rectangu Iis. q. 3. de con
3 - 3N. D 3 D si tuene illud datum speete , applicat lateribus trianguli AD B. fitque ΑDs N. AB AN. BD 3N. Necesse est autem A B statui maiorem quam BD. quia enim est A Bad BD. ut Α C ad CD. sed A C maior est quam C D. immo qu m tota CB. erit& A B maior qu m B D. Tum vero tota basis C B ponitur quilibet unitatum numerus qui habeat
trientem ad vitandas fractiones, puta 3. Quare fit reliquum segmentum C D. 3-3 N. At hypotenuia AC - η N. cuius quadratum aequando qu3dratis laterum circa rictu ni fit a N. Quare A B est est. B Cf. AC secans vero AD M. & si omnia multiplices per 3a. fient 28. 96. to 3s. hoe enim licere constat ex prima tertij pGrismatum. Quod si loco trianguli 1. 4.3. sumas aliud non simile, aliam reperies solutionem , dc in altera proportione inuenies latera triangulo tum A C BAD B. vi manifestum est. Caeterum non d et Diophantus quomodo inueniri possit triangulum rectangulum , vi numerus angulum tectum secantis bifariam sit rationalis . quia id est impossibile. Quod si e denionstratur. A Esto triangu Ium rectangulum ABC. rationale, di ducat ut A D diuidens angulum rectum Λ bisariam. Dico
ΛD non esse rationalem. Dueatur enim a angulo D
linea D E. perpendicularis ad latus Α C haec fami cadet intra triangulum A D C quoniam anguli D A C. DCΑ sunt acuti. Itaque quoniam ess B Α ad A C. sie
tionales, & tota BC rationalis ex hypothesi, ergo de 4.Mik quar a proportionalis DC rationalis est. Quoniam vero triangula ABC. DEC sunt aeqii angula. cum in utroque sit angulus rectus, di angulus C eommunis, ' erit BC ad C A. se ut D C ad C E hi Quare eum BC. C A. D C. sint rationales, erit Eequatia CE rationalis, ac per consequens de re. . ,--. liqua E A. Quia vero ex hypothesi angulus DA E est semireetias, & angulus E rectus, ε est & re 4 μ ιννιαι. liquiis A D E semirectus. Quare cum anguli D A E. A DE sint aequales, ' suot 3e aequales lineae Α E. ED. Ae proinde quadratus ipsius Λ D duplus est quadrati iplius A E quate cimi Λ E ostens sit rationalis, non erit A D rationalis , alioquin dabitur in numeris quadratus quadrati duplus. Quod est impossibile. Vel eum Λ D sit diameter quadrati a latere Α Ε, & A E sit rationalis, non erit A D rationalis per ultimam decimi. Quod erat demonstrandum. s; Iibet in numeri x tem experiri, ponatur Α C 28. A B II. B C 3 s. reperietur per regulam trium BDis. DC ao. 8e rursus C EI S. A EII. Quamobrem & D E erit Ia. Quadratus er o angulum serantis A D. erit 188. Sc ipse A D. 288. . Quoniam ver, pleraque non iniucunda problemata proponi possunt ad inueniendum quotlibistii 4ngulum in rationalibus, ita ut vel perpendicularis a quolibet angulo in latus oppositum ducta, vel etiam linea diuidens basim vel angulum bifariam, sit rationalis , opere pretium lare duxi, ea hoc ioco explieare. Equidem aliqua horum iam tentauit vir doctissimus Christophorus Clauius ad duo deeimam, de ad deeimam tertiam secundi Elementorum, sed praeterquam de sola egit perpendi.
lati , in v ea tantum proportione propositum absoluit, mete vllam prosere demonstrationem. Nos autem de voluersaliorem methodum proferemus, & omnia demonstrando persequemur, & non
solam de perpendi eulari, sed de delinea basim vel angulum secante bifariam nondum vulgata pro
400쪽
hlemata subii elemus. Sed quoniam, ut piosessi sumus . nihil quod ab Euclide demonstratum non sit supponere nobis propos tum est, ne alio lectorem amandemus, demonstranda sunt in ptimistemmata quae sequuntur.
LEMMA PRIMVM. In omni triangulo si duae perpendiculares a quibuslibet angulis ducantur ad opposita latera, erit vi latus ad latus, ita reciproce perpendicularis ad perpendicularem.
Esto triangulum AB C.& ab angulis C A ducam ut in latera opposita A B. C B. perpendicu C lates C D. A E dico esse ut latus A B ad latus B C. ita tecipi Eperpendicularem A E ad perpendicula tem C D. Nam vel utraque pei pendicularis cadit intra iii angulum vi in ptima figura; vel altera cadit intra, altera extra , ut in secunda figura. Vel utraque cadit extra ut in tertia si guta. Vel secunda perpendicularia cadit in ipsum angulum, unde demittitur prima, ut in quarta figura, di in duobus plioribus casibus viii ea est demonstratio. Quia enim triangula CD BR EB sunt atquangula, cum in utroque sit angulus tectus, & angulus B communis, ' erit AB ad Λ E. 4. sexi .
se ut C B ad C D.& permutando, ςrit ΑΒ latus , ad latus CB. C sicut perpendicula inii, Α si ad perpendieularem C D Quod erat propo
D casu, quoniam etiatriangula C D B. Λ E B. sunt aequian gula , eo quod in
utroque sit angulus I . rami. .
ad veri Icem C B D. Α B E. sint aequiari, sequitur ut prius esse A B ad A E seut C B ad C D.
Quare & permutando erit A B latu, ad latus C B. sicut perpendicularis A E ad perpendiculatem C D. Quamobrem patet propositum. C Denique si perpendi eularis A C. ea dat in ipsum angulum C. unde demisia est perpendicularis C D. ut accidit in trianis gulo rectangulo a erit Ob similitudinem triangulorum C A B. C A D. vi latus C B adlaths BA, si e perpendiculatis C D. ad perpendieularem C A. & Rursus ob similitudinem tHangulorum C A B. C D B. erit ut latus C Α ad latus Α B. se perpendieularis CD ad perpendie utarem CB. Quod ipsum
'B etiam demonstratum est ab Euclide octaua sexti. Quam ci-hrem ex omni parte patet propositum.
CORO LLA RIV M. Hinc sequitur s omnia trianguli latera sint rationalia, & vna perpendicularium rationalis, & reliquas perpendiculares a reliquis angulis demissas, fore rationales.
Quia cum quatuor proportionalium , tres sint rationales, necesse est& quartam esse rationalem.
LEMMA SECUNDUM. Si a quouis angulo trianguli demittatur in basim perpendiculatis , interuallum quadratorum a lateribus angulum comprehendentibus ivi quale est rectangulo sub tota basi & interuallo segmentorum basis i vel sub tota basi & aggregato segmentorum bass
In t iangulo ABC sit demissa in bium B C. perpendi eulatis A D. quae primo cadat intra triangulum , dieci interuallum quadratorum a latetihux A B. A C. aequale esse tectangillo sub tota B C. & interuallo segmentorum B D. DC. eomprehenso. Quia enim quadratus ipsius AB. aequat ut quadratis ipsarum A D. D B. & quadratus ipsius A et aequatur quadratis ipsarum AD. D B. erit excessus quadra. ti A B supra quadratum A C. aequalis excessui quadratrum ab ipsis A D. D B. super quadratos ab ipsis A D. D C.& auferendo utrimque communem quadratum ipsius A D.