장음표시 사용
411쪽
quadratus hypotenusae aequalis osse qua-ctatis laterum circa re etiam. Fit ergo I in εa3 - 1o N. aequalis i Q. - 4. unde fit Q. Ad positiones. α constat.
rasms. Cers Usima ramea demonstraraone probare passam nullum otium quais Iam praeter a 3. an integris adfecti sanario facere cabam. Infra cyιs ια methodo Bacbee
ii Iapetunt in iii , sed doctrinam δε numeris ιntegris qsa sane pulcherrima se fabrilissima est, nee dueheias nee ativis quiuis eatas scripla ad me peruenerικι. hacteis
TRt A lite postulantur. Ptiino ut exhibeatur triangulum rectangulum in numeris rationaribus. Seeundo ut area eum hypote uuia iaciat quadratum. Tertio ut ambitus trianguli, hoe est summa trium laterum, sit numerus eu 3. Primum autem, ultimum est quod curat Diophantus, aequando quadratos laterum circa rectum, quadrato hypotenuis. Reliqua duo postulata pixstat ipsi, positionibus ineenio,ὸ sectis. Nam ut area euin hypotenui a faciat quadratum, posita arear N. ponit hypotenti iam quadratum aliquem numerum unitatum eum desectu I. N. puta Io - rN. Tum veto quia area est te missis plani sub lateribus circa tectum eontenti, sequitur planum sub lateribus ei tea tectum esse a N. Qua te ut habeantur ipsa latera litea rectum , sumendi duo numeri quorum , mutuo ductu fiatu a N. Eet infitiatis autem huiusmodi numeris seliguntur i N. &α. rua in hypotenuia positus est i N. eum signo desectus , ac pioinde addendo timul tria. atena,iduntur Numeri, & manet suannis laterum , solus unitatum Numerus, compostus scilicet ex quadrato illo qui politus est in hypotenuia . de ea binario qui ponitur pro altero laterum circa rectum. Cum ergo summa haec debeat eonficete cubum , apparet necessitas secunda positionis: quaanuestigatur quadratus qui adsumpto hinatio cubum creet. Hoe sanὰ oeci deuoluimur in aequationem complexam , in qua duet specim, duabus speriebus aequales sunt. Cum enim I -- x N. aequentur i. C. - . 3N.-3 fiunt tandem a Ca- IN. aequales 4 Q,- - 4. Nee veto sciti eotest qua ratione huiuimodi aequationem resoluat Di phantus . cum in libris eius qui extant. nusquam id docuerit. Certe tegula generalis N pet secta hactenus ignotatur. Particulatis autem 'ur an hoe casu locum habet, tiaditur 1 multis, & est huiusmodi. si a C. i N. aequentur cuilibet Quadratorum S unitatum numero, quorum lamen multitudo si aequalis, si i N. ipse Quadratorum , vel unitatum numerus. Quod facilὰ demonstta- ut. Et e im .e te habet euhus ad quadratum, se Numerus a/ unita. m. Quare & duo anteceden tes simul nempe a C. - a N. se habebunt, ad consequentes simul, nempe ad I Q -- a sicut i N. ad . Quare si quatuor proportionalium sumant ut se eundi di quarti aequὸ multiplices, verbi gratia quadrupliees , erit S a C. - I N. ad 4 α -- 4. sicut I N. ad 4. Ae proinde si a C. -- I N. ponantur aequales erit di I N. aequalis 4. Quod erat propositum. Eadem de eausa si s C. - inaequentur certo Numerorum & vn Italum numero erit I Q. aequalis ipsi numero Numetorum vel unitatum , ae proinde si numetus ille sit quadratus, erit -- lutio rationalis. Ut si C. - a mutui aequales 9 N. - s.fiet I Q s. di N. 3. S ratio est quia a C ad i N. se habet ut i in ad I. . Nee esse igitur fuit iam aptὸ finge te latus quadrati. & latus e ubi, ut eandem prodirent I QxN aequales quadratis ει unitatibus multitudine aequalibus . utpote 4 α - . 4. sed qui ratione
eecta id sererit Diophantus, ita ut modus ab illo v su rpatus alijs huiusmodi quaestionibus applicari possit, non eonstat ex eius vel bis. & voci perditselle arbitror id diuinare. Sit enim pio positum quaerere quadlatum, cui addendo . sat cubus , quomodo quasi fingenda sunt latera quadrati&cubi, ut commoda proueniat aequatio , & lutio si rationalis Fateor equidem me ignorare S ei qui tale quid docuerit, non paruam habebo matiam. San quod propos tum est, non est proisis impossibile . nam non unus, sed plures quaciati quaestioni satisfacientes possint inueniri, quales sunt & i et . quorum utrique si aditetas 4. fiunt cubi 8. N ias. fortuita ergo videtur Di phanti Metatio . misi quis firmiora ad eam sulciendam ponat fundamenta. Et hae rationς op rando uniea tantam reperitur Mutio, cum tamen quastici sit de eatu, genere quae plures solu
412쪽
Huie autem ultimo incommodo nostra subueniet industria, tali expedito lemmate.
Dato quadrato qui adsumpto dato numero, cubum iaciat, inuenietur alius quadratus idem praestans.
Sit datus quadratus qui adsumpto a. eubum saeit, puta et . inueniendus est alius quadratus, qui praeliet idem. Fingatur eius latus 1 - i N. set quadratus as. - io N. - i in cui addendo a.st et - quandus cubo. Cuius latus fingo 3- tot Numeris , vidueti ira triplum quadrati ipsius 3. nempe in a7. efiiciant i O. habebo autem talem Numerorum numerum diuidendo IO. per et 7. estque . fingat ut ergo latus cubi et- π N. fiet cubuq 27 - o N. - m. Q. - . C. aequalis a I - Io N. -- I Q Quare tandem Q. Huantur I . . C. , si i N. 4 res . est ergo latus quaesti quadrati ipse quadratus cui adiiciendo binarium fit cubus vel tu mi liuinis euius latus bdi . Simili ratione si datus sit quadratus 4. cui adiiciendo . st cubus 8. inuenietur alius quadratus idem pia stans. Etenim pone latus quadrati a M. I N. set quadratus auctus quateruatio 8 - N: -- I Q quandus cubo. Cuius latus fingat ut a -- tot Numeris, ut ducti in triplum quadrati ipsius a. puta in I a. faciant 4. erit ergo numerorum numerus . N fingatur latus cubi a - N. fietque cubus 8 N. - 4. Qi H C. aequalis s -- N. -- I Q le tandem l inaequatur π C. & fiti N. o. Est ergo latus quadrati ri. ipse quadratus Iar. qui adsumpto 4. iacit cubum ias. Hie autem posui latus quadrati 2 -- i N. non autem 2- I N. quia si positissem 2 - N. Oporis tuisset latus cubi poni a - N. Tuncque in cubo tam Numerorum qu m cuborum numeri assecti fuissent fgno minotis. Quare ut in praecedenti evemplo, unitates quidem & Numeri se mut elisissent. At A C. in alteram aquationis partem concessisset ob appositum signum desectus. Quamobrem et Q -- fi C. mansissent aequales I Quod est imposiabile. quia i in maior est quam i in Ad sinite vitandum incommodum eo nitaria ratione positiones institui in superiore exemplo, quia videlicet I Q. minor erat quam Q. unde etiam ti dato quadrat II. alium quaereremus qui adsumpto 4. saceret cubum . poneremus latss quadrati ii - I N. dc euhi s - N. de inuenitemus adhuc alium quadratum diuersum ab ipsis 4. dc Iar. Porto examen operationis Diophanti tale est , sit i N. I. Ergo si hypotenuia quasti trianguli1 r. r. basis a. cathetus ia Estque summa laterum cubus 27. At hypotenuia cuin area quaestia. facit quadratum 23.
IN v x Nina triangulum rectangulum,
ut numerus areae adscito numero hypotenus ae faciat cubum; At numerus circumferentiae sit quadratus. Si perinde ut
in praecedente areae numerum constitua iam usi N. numerum vero hypotenulae unitatum aliquot cubicarum - I N. eo deis
uenitur ut quaerendum sit quis cubus ad Dcito binario faciat quadratum. Ponatur cubi latus i N. - i. fit cubus adiecto binario IC. -- 3 N - r-3Q. aequandus qua drato. Esto quadrato a latere I N. I. de fit i N. erit igitur cubi latus rapia
merum i N. Hypotenulam vero i N. Habemus autem & basim z. cathetum vero i N. & si aequemus quadratum hypote nuta , quadratis laterum circa rectum, inueniemus numerum rationalom. num H -τ P οργοι τετεμ ασως, c
413쪽
PAavM differe huius quaestionis tractat io, a praecedentis tractatione, ut satis indicant ipsa Diophanti verba. Pendet itaque tolutio a lemmate illo, quo quaeritur cubus qui adiecto binario, quadratum saeiat. Vbi subtili sanὸ artiseio ponitur e ubi latus I N. - r. vi in cubo repetiatur - I. cui adiiciendo binarium fit - I. Aliter enim. ivli incubo binatio aucto numerus unitatum es et quadratus, non post et aquari quadrato. Ponitur aute ira latus quadrati I - - tot numeris qui sint dimidium Numero tum in cubo contentorum , puta ' N. dimidium de 3. N. ut scilicet duplum illorum aequet Numeros in cubo contentos, se cum S unitates N Numeri multitudine aequales utrimque se mutuo elidant, manet aequalitas inter cubos ec Quadratos, puta inter a C. &να Porro accidit ut eubo adiiciendo binarium, sat quadratus, quia a. componitur ex cubo & ex quadrato. Quare licet pulchrum problema uniuet saliter proponere.
Dato quovis numero composio excubo, & ex quadrato, reperietur cubus qui adsumpto dato numero, quadratum faciat.
Sit datus I . eompostus ex cubo g. N ex quadrato ς. quaero cubum qui adsumpto i . faciat qua- Aratum. Ponatur latua cubi i N. a. fiet euhus t C. - a N. - o Q. - L eui adiiciendo 1 . fit a C -- Ia N. - 6 α- s. aequandus quadrato, cuius latus, pono 3 tot numeris quorum duplum per 3. multiplicatum , hoc est quorum sextuplum aequet Ia N. in cubo contentos. Fingetur ergo latus quadrati a -- a N. set quadratus f -- Ia N. - 4 inaequalis I C. - a N. - 6 Q. - ς. &sit N. io. Est ergo eubi lavis st cubus siet. cui adiiciendo I . fit 32s. quadratus a latere 23. Ideinque in s milibus eadem semper ratione petscietur. Nam semper latus cubi ponitur i N. - latere cubi, ex quo datus numerus eomponitur ,& se in cubo huiusmodi binomis tepetietur earumdem uilita. tum cubus affectus fgno minoris . cui addendo datum numerum, set unitatu in numerus aequa. lis quadrato, ex quibus datus numerus componitur. Posset autem lemma Diophanti mutata paulum operatione aequὸ bene solui. Ponatur latus quadrati I N. . . i. erit ipse quadratus Q H. a N. - . unde auferendo binatium , manet I - a N. - I. aequandus cubo, cuius latus fingam a tot Numeris I. ut eorum triplum aequet a N. post tos in quadrato. Fingam ergo latus euhi N. - I. N fiet I N. Z Quare latus quadrati ut pitti, erit v. latus e ubi e. niperest vi integram quae aionis solutionem exhibeamus, quam omisit Diophaneus ob molestas stactiones. Quadiatus hypotenuis fit . I N. aequalis quadratis laterum circa tectum, puta I Q -- 4. Quare tandem manent P. N. aequales M. in Ee fit IN. aqualis atem, itemque uni laterum circa rectum, alterum vero est a. hypotenuia denique quae addita aleae facit cubum At summa latetum est qua status a latete V.
ut numerus areae adscito uno laterum circa rectum, faciat quadratum, at circumserentiae numerus sit cubus. Statuatur triangulum ab aliquo numero indefinito, & ab alio qui eum uni ate seperet. Esto itaque ab I N. dc ab I N.
r. Erit igitur cathetus a N. - . I. Basis αλ- a N. hypotenuia a Q. - 2 N. - r. Restat ut circumferentia sit cubus , & numerus areae cum vno laterum circa tectum faciat quadratum. Fit autem circumserentia 4 6 N. - a. aequalis cubo. Et est numerus compositus quem metitur N. - 2. per I N. - - I. si ergo unumquodque latus partiamur per i N. - I. habebimus circumferentiam ψ N. - - a. aequalem cubo. Restat igitur ut areae numerus ad L. cito uno laterum circa rectiun faciat qua-
414쪽
drat . De utem areae numerus a C. 13 Q. --I N. sub denominatione partis I
- 2 N. I. Vnum vero laterum circa
rectum a N. - I. sub denominatione partis I N. I. &si haec duo ad eiusdem denominationis partem reducamus, fiunt a C. - Q. - N. -- I. sub denomina-eione partis I Q - 2 N. - r. & ii partia. mur in denominatorem partis fiunt a N. - ι Ita ut duo haec composita faciant i N. I. aequatia quadrato. Qiiaerebamus autem etiam 4 N. - a. aequalia cubo. Igitur eo deditista res est , ut inueniamus cubum quadrati duplum. Est antem 8. resipectu . sint igitur N. - a. aequales 8.& fit i N. i Erit erso rectangulunt . ἡ.
PU L c, E R t M v M problema ι εc rarae subtilitatis, quod ut persecte explicetur aliqua sent supponenda, nimirum. - . rPrimo datis duobus numeria planin his sub ipsi eon entus, summa qu dcuorum. N interuallum emandem . aequom, simul reducto ex duplia summae numstorum in mi Orcm numerum.
c i, sim dati duo numeri A minor B maior, & duplum summae ii orum esto C. at qua.. α drati eorundem D. E. quorum summa P. interuillum G. Ac demum sit Η plurio β' o a' plint sub A. R. contem i. Dieo tre 1 numeros P. G. H. simul, Mu es producto exs o,' Cin B. Quoniam enim F est summa duorum DE & G porundem lateruallum, 'erunt F G simul aequales duplo maioria E. Cum ereo ex B in seipsum fiat E, patet ex B. in duplam sui, fieri numerum aequalem ipsis FG. simul. At φη podem 3. in duplum i . sios A fit H. Esto ex s. in daelum summae ipsorum A a. Loc est in Q numet M mu las tribus
F. G. ra. simul. Quod erat intentum. Seeundo. Datis dnobus numeris unitate distantibus , interuallum quadratorum ab ipsis aequatur summae datorum numerorum. Etenim ex inter gae Rumarorum . in summam ipsorum, fit interuallum quadratorum. Quamobrem si interuallum numerorum sit unitas, patet ex unitate in summam numerorum, produci summam ipsam numerorum, pro interuallo quadratorum. .
Teriis. Datis duobus Mineris unitate distantibus. si maiori eorum addatur plasus sub ipsi eo sic tentus, fiet quadratus m loris. Sine enim duo mineri AR A C. quotum interuia. Ium sit .nitas B C. dieo si plano sub ΑΒ. A C. εddptur Ata produci quadratum ipsius Λ C. Etenim quadratus ipsius A C. aequatur planis sub A C. R B. & sub A C. BC. contentis. At planux sub A C. & sub unitate B Q aequatur ipsi A C. ergo A C. eum plano sub Λ C. A B.
aequatur quadrato ipsius A C. Quod erat demonstrandum. hiati, In similibus triangulis si area primi multiplitatur Ne quadratum denominatolis propo tionis laterum, producitur area secundi. Etenim ' areae sunt in duplicata ratione laterum sed de . nominator rati is quae Hieriqx sit duplicata, est quadr Ius denominatoris prioris rationis, quomini & quadrati sinit in ratione duplicata laterum. Igitur patet propositum. His positis nullo negotio eaplicatur operatio Diophanti. Nam fingatur triangulum ab i N. di i N. - . I. est hypotenuia summa quadratorum, nimirum 2 α - 2N. -- I. Aitςrum latus est interis vallum eorundem quadratori ni, nempe a N. -- 2 Al erum denique est duplum producti, puta a. a N. Quorum summa fit εχ - o N. - a. quae si diuidatur per I N. I. maiorem numerorum , quibus effictum est triangultam, fiet quin s duplum sit mae numerorum , puta N. - a. per primum supeositum. Vt igitur numerus aequandua eubo sit simplieior. 8e expeditior aequatio, ab inuento triangulo formatur aliud simile . diuidendo stili x singula illius latera per tN. - I. sic enitri tinnixis telum laterum fit ε N. - 2. AEquanda cubo.
Areaveris pet quartum suppositum, fiet si area prioris trianguli puta a C. - 3 o - 1 N.di vii datur per quadratum ipsius i N. - I. videlieet per ι ' a N. - I. hine est qωὲ huiusmodi aream esse ait Diophantus eui ut addatur alterum latus, nempe omnia facienda eiusdem denominationis,d ea lascius 3 N. - . in IN. I. ride fisa an. N. t. quoad
415쪽
dito supradictae areae sub denominatione eiusdem partis, fit Hae- mlo
teduci tui ad integros , quia denominator metitur numeratorem. Quod ita probo. Numerator cotti ponitur ex duobus numeris, puta ex a C. - 3 Q. - I N. alea prioris trianguli, & ex a--- 3 . N. -- i. qui factus est ex a N. - I. in I N. - I. Prior itaque numerus, nempe area prioris itianguli , si ex interuallo quadratorum a numeris a quibus formatum est triangulum . in planum sub ipsis numeris contentum, hoc est ex a N. - r. in I Q - i N. Posterior vero numerus hi ex eodem interuallo quadratotum a N. -- I. in maiorem numerorum a quibus eis ctum est triangulum, putaini N. - i. fiet ergo totus numerator ex a N. - I. in summam ipsorum I - N. Eca N. - I. At chm IQ,-- N. sit planus contentus sub numeris unitate distantibus, di horum maior sit a N. . - . i. patet per tertium suppositum , horum summam aequati quadrato ipsus maioris, puta I Q. . a N. - I. Quamobrem constat supradictum numeratorem produci ex a N. - r. in ipsum denomi. nato rein i in . a N. - Quare diuiso numeratore per denominatorem, fiet quotiens a N. - x. aequandus utique quadrato, est autem hic quotiens subduplus ad priorem quotientem 4 N. - a. qui aequandus est cubo. Etenim 4 N. - a. ut supra ostensum es. est duplum summae numererum IN.&IN. - i. ata N. - I. est interuallum quadratorum ab ipsis. Potio interuallum quadra totum aequat ut summae numerorum per secundum suppositum, quia numeri unitate differunt. Ergci duplum summae numerorum est duplum interualli quadratorum. Iam igitur eum habeamus 4 N. - 2. aequandum cubo.&IN. - r. aequandum quadrato, pa
ter quae tendum esse cubum quadrati duplum , 'aiusmodi infinitos reperiti posse docuimus ad priamam huius. Sumit Diophantus eu bum 8.& quadratum η. aecuatque N. - a ipsi 8. vel a N. i. ipsi 4.&fit utrobique a N. t. Quare latera prioris trianguli hunt V. sed cum omnia diuidi debeant per x N. . I. puta per ε, sunt utique quasti lateta trianguli F. V. estque alea D. eui addendo latos,fit quadratus *.sen . At cireum serentia est v. seu 8. eubus. Caeterum posset prius itiangulum fingi etiam a . & IN. - I. vel 1 N. N N. - I. R se a quolibet Numerorum numero, & altero, unitate illum superante. Sed eadem semper solutio conia tinget. si euωs N quadratus quibus eum ultima aequatio institu ut, siqςm semper sumamur Possunt autem alii eubi di quadrati infiniti reperiri in eadem ratione a. ad 3. per Canonem traditum ad primum huius, dum obseruetur cubum maiorem esse debere quis a. di quadlatum maiorem esse oportere qu- a. quia scilicet cubus aequandus est N. - a. & quadratus aeqvalis faeie uaa N. - I. Id autem eontingit, s operando per dictum Canonem , sumatur quilibet cubus minor unitate, per quem diuidatur a. denominator rationis datae. vel hi gratia si sumas i. Λ per eum diis Didas a. Bet io. latus quadrati quaesti, nam quadratus est Iss. euius duplum si a. est etibus. Unde apparet edi hoe eapite quaestionem infinitas recipere solutiones. Nam si loco ipsorum 8. N 4. sumos II. &236. set I N. R . & diuersa continget solutio, ut potes expetiti.
ut numerus areae adscito uno laterum
circa rectum, sit cubus, at circumsereniatiae numerus sit quadratus. Si rursus eo dem utamur ductu quo in prycedente eo res deueniet, vi N. - 2. aequandK sint quadrato, &a N. - I. aequanda cubo. EL portet inuenire quadratum cubi du: plum. Est autem ib. respectu 8. Et rursum aequabimuis ict. &4 N. - 2. &fitIN. 3
OM H I A ex dictis ad praecedentem sunt ninnifesta. Et uti potes Canone ad primam huius
tradito ad inueniendum cubos infinitos quadrati subduplos, diuidendo scilicet denominatorem rationis subduplae per aliquem eubum habebis Ianis quadrati quaesiti. Obseruandum autem hic est, ut cubus per quem diuidetur ἔ. sit minor unitate , ut proueniat quadratus maior hi-nMIo. Verbi gratia si diuidas . per . fiet quotiens A. latus quailiti quadrati r6. quo utitur Di
phantus. Quod si diuidas l. per fiet quotiens y. euiua quadratus ei. duplus est cubi d. desigde alijs.
416쪽
Arithmeticorum Liber VI. 3 rue
r Caeretum tam haee quaestio , quam praeeedens extendi potest ad quastibet duas speetes pruri
mas , vel etiam ad non proximas, dum non lint quadratae, quia ut monuimus ad secundam huius. datis duabus speciebus non quadratis, licet unam reperire alterius duplam. Itaque poterun eadem Deilitate solui problemata quae sequuntur.
Inuenire triangulum rectangulum, ut ambitus eius sit cubus, area veri, cum altero laterum circa rectum faciat quadratoquadratum. vel e conuerso, ut ambitus sit quaadratoquadratus, area vero cum altero laterum faciat cubum. Item Inuenire triangulum rectangulum , ut ambitus eius sit quadratoquadratus, area vero cum altero laterum, laciat quadratocubum. vel E conueris.
' Inuenire triangulum rectangulum, ut ambitus eius si quadratocubus, area vero cum altero laterum faciat cubocubum. vel e conuerso. Item. Inuenire triangulum rediangulum, ut ambitra eius sit quadratus, area Vero cum titero laterum faciat quadratocubum. vel, e conuerso. Item.
Inuenire triangulum rectangulum, ut ambitus eius sit cubus, area vero cum altero laterum faciat quadratocubum. vel ὀ conuerso. Et sie de allis.
IN v E N r a a triangulum rectangulum, ut circumserentiae numerus sit quadratus , de adsumens areae numerum, aciat cubum. Fingatut tectangulum ab IN.&r. fiet unum laterum circa rectum a N. alterum I I. hypotenusa vero Ir. Et oportet quaerere a Q. -- a N. aequales quadrato. &I C - a in i N. aequales cubo. Et sane a a N. conis ficere quadratum, facile est. Nam si binarium diuiserit per quadratum binario multatum, inuenies IN. oportet autem eum talem inueniri, ut compositus ex cubo
ipsius, duplo quadrati eiusdem, Nipso-met numero , faciat cubum. Est ergo IN. ex binario diuiso per i Q - 2. At cubus fit 8. sub denominatione partis quaest cubus a laterer a. & duo quadrati fiunt 8. sub denominatione partis quae quadratus est a latere I a. Ipse vero numerus est a. sub denominatione partis I Q. - 2. &si omnia ad eandem partem reducantur, sunt a QQ. sub denominatione partis, quae est cubus a laterer - 2. Et est pars cubica. oportet ergo vi& et in aequentur cubo. & omnia per rC. dividantur, fiunt a N. aequales cubo. Et si ponamus aequales unitatibus cubicis', inuenietui 1 N. cubi alicuius dimi-K P ε IN Uγωνον osος ένιον , οπως o, - μέρω ἄ- n ri ἀγωνος, ψωμοσ-λαζὼν δ ὲν τοί ἐuc-ῶ -ς, μῆ κύδεν χαμάθω - ορειγωιον iam e α α α. γλ mi μία Plio O, - ις is . ἡ οετέροι δ' vi P μ' a. ἡ δὲ -σώνου- δεα. μ'T - γινι--δης α ιζ. Imammi γων , η κ ἄ δ' AE te' vi. I κυζι
417쪽
dium. Esto cubus 8. Fu ergo I N. huis ius dimidium, ne ἡ q. cuius quadratus ellis. Statuo in quadratis, &fiunt is aequales a R- a N. & fit I N. l. At quadratus fit . . Et oportet ab hoc auferrei. Quandoquidem unum laterum circa rectum est 1 - r. Quamobrem res eo deducitur, ut quaerere opus si cubum, ut
quadrans quadrati qui ab eo fit maior sit
quam a. minor quam 4. Et si eum ponamus i C. quaeremus i C C. maiorem quidem quam a. minorem Verd quam ψ. Ergo i CC. maior est quam 8. minor quam Isis lis est Vl. Ergo cubus v. Pono ergo a N. aequales V & fit i N. H. Quadratus. EI. Et si binarium druidamus per nunc binario multatum, inueniemus i poterit ab illius quadrato unitas auserri.
TOTA operatio Diophanti se habet. Fingatur triangulum ab IN. N ab L etit hypotenuia
Q. I. alterum laterum i in- t. aIterum vero a N. Quare ambitiis sue summa reium lat
rum, erit a Q - I N. aequanda quadrato. Area vero est a C. - N. evi sadi iriatur ambitus, fiex Q. a -- IN. aequandus eu . Et quidem saail δ est aequare quadrato a Q. - a N. si ad hoe solum respiciamus , nam poterit aequari cuilibet quadratorum numero quadrato maiori qu m a. de set valor Numeri, ab huiusmodi quadrato auferendo a. di per residuum dividendo a. Talis autem 4ebet esse valor Numeti, ut per eum resoluendo hypostases IC. - a N. inueniatur eubus. Quare apparet necessitas secundae operationis. qua quaeritur quadlatus, qui multatus binario, de diuidens hinarium , det quotientem , cui adiiciendo suum cubum , fle duplum sui quadrati, fiat
In secunda igitur operatione, tonitur quadratus quaestus I vrule aufer do α.& per res duum diuidendo a. he euius cubus est. duplum autem quadraia eiusdem est Quale ve hate omnia simul addantur redueant ut ad maiorem denominationem, defiet Tum omnia simuleon fiet ene. aequandu eubo, & eum denomina tot sit eu bus, ut eonstat ex ipsa eonstructio ne, restat ri aequemus cisci numeratorem , puta a m Quod saetiὸ fiet. nam aequati potes euilibet numero cubotum eubico, eritque simplex aequatio . tam sint duae species proxima. quae re dueetur ad primam simplicium, diuidendo omnia pet I C. vi innuit Diophantus. Erit itaque valoe Numeri in hae secunda operatione . semissis alicuius cubi, cuius utique quadratus aeqtrahitur a Q. a N. At Me duo euranda sunt. Primum, ut huiusmodi quadratus ut maior ouam a. ut euiden est. Secundum, ut idem quadratus talis sit, ut multatus hinatio, de diuidens a. det quotientem maiorem unitate. ri talieet sit etiam maior quam x. se quod unum laterum circa rectu in postum est Q - x. ut antam in diuisone prodeat quotiens maior unitate, oportet diuisistem minorem esse diuidendo. I leue i Q. - a. debet esse minor quam a. ec addendo utramque a. I Q. debet esse minor quisa 4. Constat ergo. quod ait Diophantiis, quadratum esse debete maiorem quam a. mi orem quam 4. Clim .hiem qnadrati huius latuet sit semissis alieu Ius cubi, ut dictum est , vi quadratu, se amissis alleuius muneri, si qua Mans quadrati totius numeri, rectἡ inseri Diophantas , quaetendum esse cubum ri quadrans quadrati qui ab eo fit maior sit quam a. minor quam q. & ideo teli iam itistituit operationem. In tertia operatione poclit e um quaesitum I C. eoius quadratus I CC. evius quadram C. debet esse maior bina io, minor quaternatio. Quare a CC. debet esse maior quamg. minor qu3m s. Quomodo et inem iuueniri possint tales quot quis volumit. cu cubi . constare potest ex iis a in simili aduolauimus ad se Mam ho M. Reducantur enim 8. Ee r 6. ad stactionem cubocis, eam , puta ad eam ea via de nominator ε -& F. inter quos eum cadat cuboetibus is optiis satisfaciet proposito. Porto eius latus quadrarum , puta v. est cubor quaestus,aequandua
418쪽
2 M uade fit in secunda operat ne I N. cuius quadratus nota. quadrati insignitus aequabitur in prima operatione cum a Q - - a N. Reliquam operationem olitisit Diophanius molestiam subter sugiens , nos in gratiam itudio rum , eam persequemiit a -- χ N. aquantur in&fit I N. . per quem resoluendo prima, hypostates, fiunt latera qua iiii trianguli haec - V . 'vel 'S'. Area est U. . .' Gn. summa trium laterum est t '. quadratus 1 latere de ipii summae laterum si addas aream , fit cubus cuius latus pr. Caeterum tota ratio diuersitatis in solutione, pendet ex eo quod a N. qui debet aequetri cubo,potest diuersis aequati eubis. cimi infiniti reperiti potis ni ad hoc idonei. Nam quod attinet ad primas politiones, vix reor eas aliter institui posse , ita ut in commodam incidamus aequationem.
IN vεNr Ra triangulum rectangulum,
ut numerus circumferentiae sit cubus, ex adscito areae numero,iaciat quadratum. Primum inspicere oportet datis duobus
numeris, quomodo inueniatur triangulum rectangulum, ut circumferentia quidem aequetur uni datorum numerorum, area vero aequetur alteri. Sunto duo numeri ia. de I. oc iniunctum si ipsum ii. aequari circumferentiae , ipsum Vero 7. areae. Qui fit ergo ex mutuo ductu laterum circa rectum , erit i . Et si ponamus ipsorum alterum erit alterum I N. Est autem circumserentia Ia. Quamobrem hypotenuia erit Ia - d -i . N. Restat ut huius quadratum, quod quod est mc -- 196 - . I72 - 336
addatur desectus, & a similibus auferantur similia, & omnia in i N. ducantur, fiunt i a N. aequales 336 Q. - 2 . & non possibile est hanc aequationem abisiui,ni si dimidium numerorum in seipsum, detracto producto ex quadratis in unitates, iaciat quadratum. Et sunt numeri quidem compositi ex quadrato circumserentiae , & ex quadruplo areae; productiam vero ex quadratis in unitates, fit ex octu-plo quadrati circumferentiae in aream ducto. Quamobrem si huiusmodi dentur numeri, luetur quaestio. Esto numerus areae I N. circumferentiae verti numerus cubus simul & quadratus, puta 5 . Et ut constituatur triangulum , oportet ut dimidium compositi ex quadrato ipsus ε .&ex . N. ducentes in seipsum, auferamus inde quod sit octies ex quadrato cir--- αὐφαον μελ-ς. μ' f ου -πτε δωαἀν dici, Mua G - τοῦ μ ὲφ' εαυτὸ λει, ν ται -- mistic ς ου τας μνώαe, πων τεπάγνον. eωσὶν es δρα- ὀα τῶ Σ 'ς IDMετρου,
cum serentiae in i N. & reliquum quaeramus aequale quadrato. Fiunt εἰ- ει' Io - 2 3 λό N. & omnium quadrans , fit I in Io 8176 - 61- N. aequale qua-
419쪽
drato. Porro autem & I N - 64. aequatur quadrato. Et exaequentur tibi numeri , & excelliis , & mensuratio , & reliqua sunt dilucida.
OPs Raetio Diophanti subtilis est, quam ipse compendiose persequitur. Nos autem ut Omnia sani dilucida , eam fusius explicabimus. Data eircumferentia trianguli II. N area 7. consat pro duetum ex lateribus circa testium esse ιη. sit ergo alterum latus ΙΑ. N. alterum i .vt e tum mutuo cludiu fiat i . vltoqite igitur de summa laterum i a. detracto, relinquitur hypotenuia Ia i N. Quare ut triangulum exhibeatur in rationalibus, oportet huius quadratum , aequari qua deatis teliquorum laterum simul iunctis. Vt autem habeamus quadratum de la - si - 4 N. sume inus quadratos paritum , & quod fit bis ex qualibet parte in quamlibet ex alijs, pel primam secundi potismatum, fietque totus quadratus Q - - I96 α-- ID - 4 . - 336 N. aequalis quadratis laterum circa rectum, puta - I96 Quare tandem ira. aequatur ' 336 N. R dueendo omnia ini N. fiunt I a N. aequales a -- 336 in Quae est tertia compostarum. Quana ob rem operando more Diophanti, ut docuimus ad trigesimam tertiam primi, Oportet duce te unitates in quadratos, hoc
est a in 3 6. & productum 8o64. ausette , quadrato numeti 86. qui est semissis numeri Numerctuma a. hoc est a ;ys. Quod sesi nequit, quia γιρ6. minor est quam 8o64. Hare igitiit aequatio estim pressibilis. Itaque inspiciendum est unde prouenerint i a N. itemque et . & 3 6 Q Quod si cons detesqua ratione sumptus sit quadratus de la - A. - I N. facile omnia consequeris. Nam I a. si ad 1 4. quadlatum de Ia. addendo 28. duplum ipsius I . Quare clam i . sit duplum areae .ae proinde 28. eiusdem quadruplum. Rect/dixit Diophantus I a. numerum Numerorum , componi ex quadrato circumferentiae, R ex quadruplo artae. Atia est duplum. circumferentiae.ra. & 336. est numerus qui si bis eὰ iet. in hoe est ex duplo ipsius I a. in i . Atqui 1 . es duplum areae , di quod si ex duplo uitius m umeti in duplum alterius, idem est atque id quod fit ex quadruplo unius in alterum. Igitur st eu quadruplo cireumferentia Ia. in aream . Constat ergo unitates et . esse duplum circumferentiae, & tiumerum quadratorum 336. esse productum ex quadruplo circumferentiae in aream. Proinde dueere unitates in quadratos, idem est ae ducere duplum circumferentiae in quadruplum ipsius circumferentiae, & pro duinum in atram. At ex duplo alicuius numeri, in quadruplum eiusdem, fit oetii plum quadtati ipsus numeri. Rectὸ igit ut insert Diophantus numerum qui fit ex quadratis in unitates, produci ex octuplo quadrati ei reum serentiae in aream. Cottigenda igitul est prima operatio, & tales ponendi numeri areae di ei reumserentiae, ut qua-ὰrato semissa compositi, ἡ qua diato eircumferentiae, & es quadruplo areae, asserendo oetu plum producti ex quadrato etteum serentiae in aream, supersi quadratus. Idcirco ponit aream Diophantus I N. circumferentiam numerum cubum , puta 64. quia id requirit lex problematis, quem vult praeterea esse quadratum , ob causam quam infra explieabimus. Est ergo ipsus 64. quadtatus ηομ. eui addendo quadruplum areae fit 96 - N. euius semissis Io 48 - - a N. cuius quadratus est 4 Q. - I9 3o . -- 8Isa N. unde si auferas Octuplum ex quadrato ipsus ε .' in i N. nempe 3a 6sN. su rest - 439 3o4. - a 376 N. aequandus quadrato, di sumendo quadrantem Iinore Diophanti iα -- Io 8376 - siqη N. aequandus quadrato. Quoniam vero requiritur, ut& eircum- serentia adsuinens aream, iaciat quadratum, oportet etiam 1 N. - 64. aequari quadrat α Quare in duplicatam ineidimus aequalitatem. Quae vites olui possit, imitando attificium deeiunae octauae tertii, exaequandae prius sunt unitates, ut tangit Diophantus. Quod quidem sicile piaesari potest, quia uterque s376. & 64. quadratus est, unde patet cur 6 . voluerit esse quadratum, nam aliter licii posset 6q. ad quadratum Io ps76. habere rationem quadrati ad quadratum. Necessario autem 3 48s 6. quadratus repetitur, quia quadrans est quadrati de ao 8. ut ex constructione manifestum est. Itaque quoniam denominator rationis sq. ad io 8s76. est quadratus I638 . diu' hoe quadrato iiii N. - 64. set hine i 6384 N. - IMM 6. aequandus quadrato. Inde ut plius I Q,-- IO48176. - 6i44 N. aequandus quoque quadrato. Quia vero uterque& quadratotum & unitatum numerus
quadratus est , dupliei via resolui potest duplicata aequalitas. Primo enim respiciendo adi limo interuallum Numerorum quadrato aquana orti ira , quod est et2328 N. - quod mutuo duetii eon-fieiunt arsag - I N. & i N. hi soli apti sunt aequationi resoluendae, ut constat ex iis quae passim libro tertio docuimus, ut scilicet in semisse interualli eo tum reperiatur I N. latus I Q s Horum summa est arueri. cuius semissis quadratus ia68 7696. aequatur I fg84 N. - Io 8176. unde si I N. 768 . numerus scilicet areae, cum circumserentia sit 6 . sed omnino impossibile est triangulum constituere cuius area fit 768o. circumferentia 6 . Quia ex 64. fieri nequeunt tres partes , quatum duae inuicem ducta essetant Inoo. duplum scilicet areae, cum o . neque in dua, palles diuidi possit quae
420쪽
quae id praestent: squidem quadratus semissis ipsius . puta icta . maior est producto multiplica- Unis duarum quarumlibet inaequalium partium, in quas secari possit ε . per quintam secundi
Luciidis. Quod si primam operationem repetendo quatras tri ligulum cuius area 76M. circumse ri illia o . inuenies sane a quadrato leniastis composui e quadrato cireumferentiae. 64. Ac ex quadru piia areae 76 . non posse subduci Octuplum pro dueti ex quadrato circum tetentiem aleam. De 'vique si pel valore in Numeri 76So. resoluas plimas hypostales, inuenies hypotenusam longe minorem nihilo , eum unum laterum circa restium , fiat multo maius tota circumierentia. Aliam igitur inire Iia in eogimur, qua respiciendo ad vilitates, sumo interuallum numerorum quadrato aquandorum I -- aasa8 N. Tum quaero ducis numeros, quorum mutuo ductu id fiat. ata tamen utin semisse summae illotum, vel interualli, reperiantur vilitates Ioa . quod est latus ipsus io 81 6. Sunt ergo huiusmodi numeri ii N. N A N. - 2o 8. horum interuallum et o 8 Io qet. cuius semissis io24. - . 3 AN. cuius quadratus Io 8s o. - . - 'a. N. - Q. aequatur
3 8376 - - 638 N. unde fit I N. i s. AD Area se ilieet quaesti trianguli. Redeo ergo ad pio- uditam initi quaestionem , & quaero triangulum, cuius ambitus st 64. area i s a. Pono unumaterum circa rectum .. . alterum N. fit hypotenusa 64 - Λ. - N. euius quadratum si sa-cias aequalem quadratis laterum cite a rectum, fiunt tandem aequales a'. as N. S ducendo omnia in i N. tum in Ias. fiunt Io pa 6 N. aequales a Moo. - Ioosasqq, rursus
diuidendo omnia pet ia8. ut in minimis edihibeantur , hahes 8 32 N. aequales et a 3 - - 88 8 αQuare fit i N. aeta vel xu. . seu in minimis A. . vel Et s pet utrumlibet valorem Numeri re solvas hypostases, sunt utroque modo latera circa rectum is e N I7 Eli ergo hypotenuia χοΣ,: ambitus 6 . cui addendo aream, puta i s fit quadratus cuius latus Haec ad omnium pulcheltimi subtilissimque problematis explicationem adnotasse sussciat. , Quoniam veto in his libria Diophantus diuet simode utitur duplicata aequalitate, non abs re me facturum arbitror si omnes quos usurpat modos fgillatim recent eam , di virum in locum quae sparsim a nobis adnotata sunt, collecta coniiciam , ut sic tota duplicatae aequalitatis doHtina dii icentium animis firmius inhaereat. Nec solas Diophanti hypothesis afferemus, sed & alias pletumque exhibebimus , quibus varia huiusmodi aequationum symptomata de elatent ut, novamque insuper quam excogitauimus aequationis rationem, quamque ad quadragesiniam quintam quarti explicauimus, aliis adiiciemus. R
Vbi ηons fiunt duplicata aequalitates veI μωμονη- , et arrenaum ad τρολοιῶσό τα: seu triplicatas, aquatitates quae es nostra inuentio ad plurima problemata pulcherrima prauiam facem praeferens . . Equentaν videlicet quadra ιν I N oritur triplicata aqualitas euius solatio per medium duplicata aequa a N - litatis est in promptu. Si ponatur loeo I N. nam erus una cum quadra I N - tum conficiens M. g. r - 4. N. fet primas numerorum aquandorum
quadrato I α - N. - . fecundus igitur erit a I. - s P . - q. tertius 3 α - 2o iv - q. nimus autem ex constructione est quadratus , ergo debent aequari quadrato a I - 8 N - s s α - 2o δ' - Α oritur duplicata aqualitas qua unicam certe exhibebit olutionem , sed ea exhibsta prodabiι rursum noua, . a secunda tertia deducetur er in infinitam. Δ Od opus ita procedet τι snuento va Ioνe F N. ramus ponatur I N. esse I N - numerus qui primam usi i N. inuentus essa qualis. Hae en 1m via insinua prioribus solutionibus foliationes accedant f p rema
semper derru abstur a proxι me antecedenti. Huius inuentionis beneficio infinita triangula eiusdem areae possumus exh/bere, quod usum videtur latuisse Diophantum,
M patet ex quaestione octaua lib. s. in qua tria tantum triangula aqua ira area in 'vestigat ut sequentem quasionem ιn tribus numeris construat qua ad insinitos exiisquae nos prι mi detex ι mus , recipit extensionem.
P RI M v s M o D vs utendi duplicata aequalitate est, quando uterque numerus quadrato aequa a dus componitur ex Numeris N ex unitatibus. & numetu . Numerorum idem est utrobique. Et hic quatuor casus considerari possunt. Primus calus est . cum Wterque numerus & unitatum Nume rorum a se itur ligno pluris, ut accidit duodee ima secundi, Obi aequandi erant quadrato I N. - λα I N. - 3. Iteirique decima quatia tertii ubi aequandi erant quadrato Io N. 6.8cION. -
Et hie facilis est aequuionis ratio. Nam inueniendi laut do quadrati , quorum idem sit inter uia lum