장음표시 사용
61쪽
Differentia medii proportionalis a quolibet quadratorum inter quos medius est, aequatur productis ex interuallo laterum in quodlibet latus.
D pos sint quadrati Λ C. quorum latera D F, quorum interuallum E de medius pro Α, Α Ε, a cy' portionalis inter ipsos Acesto B. Dico differentiam qua B superat Α aequari producto ev E in D. & disserentiam qua C superat B aequati producto e2 E in F. a viaec Etenim patet ipsum B fieri ducto D in F. Quia ergo F aequatur ipsis D E simul, ι fiet idem B ducto 3, D in singulos D E. Atqui e2 D. in D fit quadratus Α. Igitur si a producti; ex D in D N in E hoe est a ' a numero. B auferatur productus ex D in D, nempe quadratus Α, testabit productus ex D in E plodi fierentia inter ipso1 A B. Similiter quia ex F in F fit C. N F aequatur ambobus D E, set idem Cea F in singulos D E. At est F in D st B ut dictum est. Igitur si , quadrato C. auferatur B. restat pio. ductus ex F in E pro diffetentia inter B C. Quamobrem ex omni parte constat propositum.
Si a duobus quadratis, re a medio eorum proportionali auferatur sigillatim quilibet datus numerus, &tria residua per differentiam laterum sigillatim dividantur, medius quotientum superat minimum larere minoris quadrati, de su Deratur a maximo latere maioris quadrati, & summa maximi de minimi superat duplum media, eorundem laterum interuallo.
ti s s sint A B duo quadrati, quorum latera D F quorum Interuallum E. de mediu, 7' proportionalis sit C & ab ipss Α. C. B. auferendo. sigillatim datum quem uix in numerum G. supeis ni H. x L. quibus diuius fgillatim per Ε, sani quotien-' . 'A' , res M. N. P. Dieci ptimo N. superare ipsum M. numero D, & eundem N. . ia: se superari ab ipso P. numero F. Etenim singulis ACB. ablatus sit id eni ' 3' G. patet tesduotum H Κ L eadem esse interualla quae ipsorum A C B. ι ' Atqui C superat A. producto ex D in E. & B superat C producto ex E in F. Istitur & in- teruallum duorum Η Κ. est productus ex D in E. & interuallum duorum X. L est productus ex E in F. Quoniam veris diuisis Η Κ L. per E, prodeunt MN P. constat duorum M N in- uallum seri . diuiso per E intet uallo ipsorum H K. seu producto eu D in E. smilitet duorum N P. intet uallum fiet, diuiso per E interuallo ipsorum K. L. 1eu producto ex E in F. Atqui diuidendo per E productos ex E in D, & ex E in F, fiunt quotientes ipsi D F. Igitur duorum M N interuallum est D. 8 duotum N P interuallum est F. Quod erat propositum. Deinde, dieci summam ipsorum M P. superate duplum ipsius N numero E. Nam per ostensa P. aequat ut ipsis N p. Igitur summa ipsotum M P. aequatur itibus numeris M N F. At F aequatur vitiisque D E. Igitur summa amborum M . p. aequatur quatuor numeris D EM N. Vettim me ostensa ambo D M aequantur ipsi N. Igitur ambo M p. aequantur duplo ipsius N, di numero E. Quod de
Si duobus quadratis 5e medio eorum proportionali a/datur sgillatim idem nu. merus , &tres summae pet interuallum laterum sigillatim dividantur, idem quod prius quotientibus accidet. sitii iidem qui supra D ER A C B. & ipsis ACB addatur sigillatim nustertia
G. unde sani H. Κ. L. quibus diuisis sigillatim per E, sani quotientes MN D. Die o primo N superare ipsum M numero D, & eundem N stipetari ab iplo P. numero F. Etenim tum singulis ACB additus si idem C. patet summatum Η M L eadem esse interualla. qua ipso tum ACB. Atqui C superat A & a G.
stantur reliqua Omnia verba praecedentis demonstrationis , di nulla quidem mutata thera propositum eoncludetur.
Si a duobus quadratis auferatur idem numerus sigillatim, & residua per interuallum laterum sigillatim dividantur, qui fit ex quotientum mutuo ductu , adscito numero qui a quadratis detractus est, quadratus euadit. D . E 3. F 7. Α 16. C 28. B
62쪽
Sint quadrati AB. quorum latera D F. de horum interuallum E & ab ipsa ΑΒ auferendo G. sigillati H supelsint duo numeri, quibus diuisis sigillatim pet E sint quotientes M P. Dico ex mutuo ductu i plotum M P. fieti numetum qui adscito C. quadratus euadit. Sumatur N quotiens qui si ii medius proportionalis inter A B detracto G, diuidatur pet E. Quale N aquabit ut virique D M. & P utrique a nova,N F. Igitur qui fiet ea N in D. . aequabit ut iis qui sent ex D in V & ex D in M, hoe est quadrato A 3e numero qui fit ex Din M. sed quadratus A aequatur ploducto ex M in E adscisce iiii G ex constructione. Igit ut qui fit e et N in D aequat ut pro duetis ex M. in D & in E addito C. S quia produ- 'cii ex M in ipsos D E aequantur produeto ex M in si repositum e v ipsis , patet plodoctum ex N in D aequari producto ex M in F adsciscenti G. Rursus , quia productus ex M in P aequatur productis ex M. in N. & in F, e 2 quihu, P ostensus est componi, addendo utrimque numerum G. em proinductus ex M in P addito G. aequalis pio ductis ex M in N & in F addito G. Quare loco producit ex ' M in Fadseito G. sumendo eum qui ostensus est aequalis, pto duetum scilicet ex N in D. erit productu si ex M in P adscito G. aequali proflueti, e2 N in D & in M. Quate eum D N M simul ostensi sint aequales ipsa N ideo producti ex N in D fle in M aequent ut quadrato ipsus N,eiit utique pio-dduetus ex M. in P adscito G. aequalis quadrato ipsius N. Quod erat demonsitandum.
Si duobus quadratis idem numerus sigillatim addatur, & summae per interuallum
laterum fgillatim dividantur , qui fit ex quotientum mutuo duetu multatus numero qui quadratis additus est, euadit quadratus.
Sint quadrati A B quotum latera D F, & horum interuallum E. L numerus Gaddatur sigillatim ipsi, A B. & summae sigillatim dividantur per si di sani quotientes M P. Dico productum ex M in P. detracto numero C euadere quadratum. Sumatur enim N qui fit si medius proportionalis inter Α & B adscito G diuidat ut per E. Igitur ambo D M aequantur ipsi N. de ambo N F aequantur ipsi hi . P. I Quare qui fit ex N in D. aequat ut productis ex D in D seu quadrato Α &ex D in M. At qua- Hibi dratus A per constructionem est aequalis producto ex E in M. detracto C. Igitur productus cx N in s Di o. D aequatur productis ex M in D N in E det tacto G. Quia veto D E eomponunt F. I producti ex M sin D I in E aequant ut producto ex M in F. Quare productus ex Niti D. aequa tui plodueio ex M in F deitae a G. Rursus quia productus ex M. in P aequatur productis ex M in N S in s ex quibus scomponitur , detrahendo utrimque numerum G. erit productus ex M in Ρ detracto G. aequalis producti, ex M in N & in F detracto G. Quare loeo producti e2 M in F detracto G, sumendo illi aequalem Vt ostensum est ) productum ex N in D, erit productus ex M in P detracto G, aequalis proinducti, ex N in D & in M. Quia vero D M aequantur ipfi N ut ostensum est )- producti ex Nin D hριπιδε,& in M aequantur quadrato ipsius N. Igitui productus ex Miti P. deitae o G. aequatur quadiato ipsus N. Quod demonstrandum erat.
Si a duobus quadratis auferatur datus aliquis numerus sigillatim, &tes dua diu l- dantur sgillatim per interuallum laterum , duo quotientes, una cum duplo summa iplorum multato supradicto litteruallo, eYhibent tres numeros , quorum bini quilibet D inuicem ducantur, & producto addatur datus numerus, fit quadratus.
C 4 D a. E . quadxati A B. quorum latera CE& horum interuallum D. 8d sit datus Α is. B qu. 3 3 mcrus G. quo detracto sigillatim ex ipsis A B. & diuidendo residua per DH s. G io. fiant K L, & hotum summae duplum multatum ipso D st M. Dieo Κ a. L ii. M dij. xxς κ L M. Psaestare quod proponitur. Etenim a medio proportionali eadente N is. 9 64. Q ,si. inici A 5 B detrahendo G, de residuum per D diuidendo, nat quotiens H. Et primo ducto Κ in L de pio ducto addendo G. fiat N. Dieci N este quadratum. 'ηὐιε- Etenim N est quadratus ipsius H ut supra demonstratum est. secundo ducto X in M & producto addendo C. fiat p. di eo P esse quadratum. Quia enim Tumma duorum K L aequatur duplo ipsus -' ' H& numero D. duplum ipsorum Κ L. aequabitur quadruplo H Ae duplo D. Quare auserendo Dutrimque, duplum ipsorum X L detracto D. nempe numerus M aequatur quadruplo H, Ae ipsi Dsemel sumpto. unde qui fit ex Κ in M aequatur producto e 2 K in H quater 8e in D semel. Igitur addito vitimque numeto G. productus ex K in M addito C, nempe P. in aequatur producti, ex Κ in H quater. & in D semel adicito G. At numerus qui fit eΣΚ in D ad seito G aequatur ipsi Α pee iconstructionem. Igitur P aequatur ipsi A 3e producto quater ea Κ in H. Quamobrem i eum A se '
63쪽
'quadratus interualli duorum K H. patet numerum qui fit quater er Κ in H. adscito Α . esse quadratum summae duorum K H. Igitur P est talis quadratus. ιDenique ducto Lin M N producto addendo G, s fiat in simili moesus argumento ostendemus Q esse quadratum summae duorum H L. Igitur ex omni parte patet propositum.
Si duobus quadratis addatur sgillatim quilibet datus numerus, & summae sgillatim
dividantur per interuallum laterum, duo quotientes, una cum duplo summae illorum multato dicto interuallo, exhibent tres numeros, quorum hini quilibet si inuicem ducantur, & a producto detrahatur datus numerus, fit quadratus c D E , sint quadrati A B. quorum latera C E, de horum interuallum D. & ipsis ἡ Α Β addendo sigillatim G, sani numeri qui diuisi sigillatim per D, dent
quotientes Κ L. quorum duplum multatum numero D. sit M. Dico tres Κ L M. efficere quod proponitur. Nam primo ducto X in L. & a pio ducto auferendo G supersit N. & matur H quotiens qui fit s medius proportionalis eadens inter Α&B4. D 3. A 16. Hio. C a. Κ ε. L 37. Μ 43. N ioo. P 216. Q 729. , distiseel. auctus numeto G diuidatur per D. - Constat igitur N. esse quadratum ipsius H. , λωπι. Seeundo ducto Κ in M & a plodum detrahendo G supersit P. Quoniam ergo Κ I simul aequantur duplo-H & numero D. patet duplum ipsorsim E L detracto G. nempe numerum M. aequari' ' quadruplo ipsus H, & numero D. Quare qui fit ex K in M. aequatur ei qui fit ex K in H quater , Nin D semel. Ergo detracto utrimque G. numerus qui fit ex K in M detracto G nimirum P. aequatur eis qui fiunt ex K in H quatet , & in D semel detracto C. At numerus qui fit ex K in D detracto G aequatur ipsi A per constructionem. Igitur P. aequatur ipsi Α&productoe ex K in H quater. Quo a Leima niam igit0t Α . est quadratus interualli ipsorum Κ Η. numerus qui fit ex K in H quater adscito Α-- . . est quadratus summae duorum K H. Ieitur P. est talis quadratus. xv Deoiqu. ducto L in M & producto detrahendo G superst Qinmiti prorsus argumento probabitur uesse quadlatum summae amborum H L. Igitur ex omni parte constat propositum.
Differentia quaelibet duorum quadratorum a medio eorum proportionali, est meis dia proportionalis inter eundem quadratum, & quadratum interualli laterum.
- sint quadrati A C. di medius eorum proportionalis B. satque A L. quadratorum o 3 late , . quorum interuallum Κ. euius quadratus M. Et differentiae ipsius B aqua N '' d iti, A C. stit G D. Dieo Geae medium ptoportionalem inter Α & M. Item-t *' que D intei C R M. Etenim disserentia G f fit eκ Κ in H. Quamohtem Gi est - .... , ' ' medius proportionalis inter quadratos ipsorum H E. nempe inter Α & M Simi-- i. ' litet dissetentia D. st e2 K in L. Igitur D est medius proportionalis inter quadratos ipsorum X L. nempe intre M & Q Quamobrem constat propositum.
Datis duobus quadratis si sumatur duplum summae illorum, & quadrati interualli laterum t habentur tres numeri, quorum bini quem producunt mutuo ductu, is sata sumat productum ex quadrato interualli laterum, siue in amborum sumniam, siue in reliquum, quadratum facit.
lxetao .lZ Is36. Quod erat propositum. Primo, enim dueatur A in B& fiat H. dueaturque E Jα summam ipsorum ΑΒ & fiat Κ, sitque L summa ipsorum HK. Dieo L esse quadratum. Sumatut D medius proportionalis inter ipsos A B. - qui utique fit ex mutua laterum multiplicatione. . Igitur H qui si es A in B est quadratus ipsius D. ii sed& summa quadratorum A B. aequatur duplo ipsus D& ipsi E. Igitur productus ex E in summam ipsorum Α B. puta Κ. aequatur duplo producti ex Din E & quadrato ipsus E. Quare addito H quadrato ipsius D, summa L a quabitur quadratis ipsorum DE. & duplo producti ex D in E. 1 Ergo L quadratus est cuius latus est summa ipsorum DE.
64쪽
Porismatum Liber secundus. ' 49
seeundo. dueatur E in reliquum C unde fiat M. Ee amborum H M lumina esto N. Dico N. esse quadratum. sumatur F duplum ipsus E Quia ergo C aequatut duplo 1plo tum A B E. et it pio du- eius ea E in C. puta M. aequalis duplo producti eY F in Α B. & duplo quautati ipsu, E. Et quia Λ Bsinui, ut Ostensum est, aequamul ipsi D his, & E semel ploductus ex E in A B bis. aequatur produ-ώto ex Em D quater, & duplo quadrati ipsus E. Quare totus productus er E in C. pu a N aequatur producto ex E in D quatet, & quadruplo quadtati ipsius E seu quod idem est duplo pioducta ex Dan F. di quadrato ipsus F. Quare addicti H quadrato ipsius D. fiet N aquali, quautatis ipsorum D F di duplo producit ex D in F. Ae proinde N est quad intus latus habem iuinina in ipsoru in D F. a aaria,
Tettio, ducatur Λ in C. R fiat C. ducatuique E in summam ipsorum Λ C. & sat P. sitque amborum G P. lumina in Dieo Q esse quadratum. Quia enim C aequatur duplo ipse tum A BE. etit productus ex Α in C puta G. aequalis duplo quadrati ipsus Α, duplo producti ex Λ in B seu uuplo . quadrati ipsius D,& duplo producti ex R in E At duplum quadratotum ab ipsis ΛD- aequatur qua diato summae ipso um A D. N quadrato interualli ipsorum. Quia vero interuallum hoc' est . δειλὴ medium proportionale inter A BE E , . quadratus illius aequatur producto ex A in E. Igitur C. aequa--itur quadrato summae ipsorum A D, de triplo producti ea Α in E. Rursus productus ex Em Α C puta P. ostendetur aeques is triplo producti ex E in A, duplo producti ex E in B, de duplo quadiati ipsus ψE. Qitare Q compositus ex ipsis G P. aequatur quadrato summae ambolum A D. sextuplo prouueti '' ex E in Α, duplo producti ex E in B.& duplo quadrati ipsius E. Ae loco eius qui fit his ex E in Α B. sumendo illi aequalem quadruplum producti e2 E in D, una eum duplo quadrati ipsius E ut Ostensum est in secunda parte, erit Q aequalis quadrato summae ipsorum AD. quadruplo producti ex Ein Α D, & quadruplo quadrati ipsus E. N loco quadrupli e2 E in A D minendo duplum ex F in Α D, S loeo quadrupli quadiati ipsiu, E sumendo quadratum ipsius F. fit QAqualis quadrato luminae A D. N quadrato F. ee duplo produeii ex F ia A D. QDie Qest quadratus summae ipsorum Λ DF. . o. . Quod erat propositum. 2 Quarto, dueatur E in B. N fiat R. quo addito ad C. fiat s. Dieo s. esse quastatum. Quia enim vi ostensuin est, G eontinet quadratum summae ipsorum A D, & triplum piciducti ex A in E. hule addendo R productum ea E in B. fiet S. continens quadratum summae ipsorum A D. triplum producti ex E in Α. 8e productum e et E in Quare loco producti ex E in Α B. sumendo duplum producti ex E in Deum quadrato ipsu, E patet S aequari quadrato summae amborum AD, Et quadrato ipsius E S duplo producti ex E in A D. Α C. proinde S. quadratus est summae ipsorum AD Es,inia a
Oui nto,dueatur B in C 8d fiat T. dueaturque E in summam ipsorum BC de fiat V. de summa ipsoru T Vesto X. Di eo x esse quadratum. Quia enim C aequatur duplo ipsorum Α B E, erit productus ex Bin C. puta T. aequalis duplo quadrati ipsius B. duplo producti e et B in A. At ex Biti E. Et loco producti bis ex Biti A. sumendo tali aequalem duplum quadrati ipsius D. Tu in pro duplo quadratorum D is. E . E 8. ab ipsis BD. t sumendo quadratum summae amborum B DA s. B as. C 6. eum quadrato interualli eorundem , de pro hoc quadrato im s ---terualli ipsorum BD. . sumendo productum ex B in E. fiet .. .ia 'totus Τ aequalis quadrato summae amborum B D, & triplo his vi. 'producti ex B in E. Rursu, autem productus ex E in BC puta V, aequalis est triplo producti ex E in B duplo producti ex E in A, de duplo qutidiati Ipsius E. Quate X compositus
ex utroque T V aequatur quadrato summae amborum B D,
sextuplo producti ex E in B. duplo producti e , E in Α N duplo quadrati ipsius E. Itaque loeo eius qui si bis ex E in A B sumendo illi aequalem quadruplum producti ex E in D, vn, cum duplo quadrati imus F. erit x aequalis quadiato summa ipserum B D quadruplo prodisi ex E in B D. Ad quadruplo quadrati ipsius E. Quare rursus loco quadrupli ex E in B D, stimendo duplum ex F in B D, de loco quadrupli quadrati ipsus E, sumendo quadratum ipsus P. fiet X aequalis quadrato summae ipsorum B D, & quadrato ipsius F, δὲ duplo producti ex F iu B D. i Proinde X quadratus est summa ipsorum B D F. Quod i quarta,
Denique dueatur E in Α de sat Y. quo addito ad T sat Z. Dico Zesse quadratum. Quia enim, ut ostensum est. T continet quadratum summae i plotuin B D & triplum producti ex B in E. hule addendo V productum ex E in A fiet Z. contineus quadratum sitnunae iplo tum BD, triplum pro-d cti ex E in Βει productum ex E in A. Qua te loco producti ev E, in a B sumendo duplum producti ex E in D una eum quadrato ipsius E, patet Z aes uari quadrato summae amborum B D. & qua- diato ipsius E. R duplo moducti ex E in B D. A Ck proinde Z quadratus est . euius latus eompo- nitur ex summa ipsorum B DE Quamobrem ex omni parte constat propositum.
65쪽
Datis duobus quadratis, s sumatur duplum summae illorum, & quadrati interualli laterum: habebuntur tres numeri, quibus si addatur sigillatim duplum quadrati 1oterualli laterum , fient tres alij, quorum bini quem producunt mutuo ductu, detracto eo qui sit ex quadrato interualli laterum, siue in summam amborum , sue in reliquum
remanet quadratus. Sint duo quadrati A B. & quadratus interualli lateram E.& duplum ipso tum A BE. esto C. addaturque singulis ABC. duplum ipsus E puta F. Dicti tres Λ F. B F. C F. praestare quod dicitam est. Primo enim ducatur ΑFin BF3e fiat C. Ductoque E in reliquum CF. sat Η, quo detracto ex G, maneat Κ. Dieo Κ esse quadlatum . . Quia enim dueere Α F in B Fidem est , atque ducere A in B & F in F de utrumque A Bin F. patet G eontinere productum ex A in B. & productum e2 F in Λ B, seu e2 E bis in Α B. & quadlatum ipsus F, seu quadratum ipsius E quatet. Rursus, quia C continet duplum ipsotum A B E. produeius ex E in C F, puta H. continet productum ex E in Α Β biis, & e2 E in seipsum quater. Quate detracto H ex G. reliquus Κ aequatur producto ex Λ in B , - seu quadrato medii pim portionalis D. Quod erat propositum. Seeundo, ducatur E in summam ipsorum Α F. B F, & sat L. quo det tacto rursus ex G. superseM. Dieci M esse quadratum. Nam ut ostensum est, G eontinet productum ex A in B. N plod velum ex E bis in Α B. & quadruplum quadrati ipsius L. At plodiadius ea E in A. F. B F, puta L. eontinet productum ex E in A B. N ex E in sui quadruplum, seu quadruplum quadrati ipsius E. Igitur detrahendo L ex G teliquus M manet aequalis producto ex A in B. & producto ex E in Α B. Quam obtein M. quadratus est per primam partem praecedentis, cuius latus est summa amborum D E. Quod erat propositum. Tertiis, dueatur A s in C F. & sat N. tum dueatur E in summam ipsoriam As CFia fiat P. quo dei tacto ex N. supersit Q Dico Q. esse quadratum. Quia enim dueete Α s in C F idem est atque dueere A in C. & F ia F. ae deinum s in ipsos Λ C. patet N. continete pioductum ex A in C. de productum ex F in F seu ex E in seipsum quat et , de ptoductum ex F in Α C. seu ex E bis in A C. Rut.1us produetiis ex E in A F. C F puta P. continet productum ex E in Λ C. semel, Be ex E in seipsum quater. Quare detracto P ex N. reliquus a Dauet aequalis producto edi A in C & producto e , E in ipsos A C. Quare Q. quadtatus est per tertiam partem praecedentis cuius latus componitur ex ipsssD AF. Quod erat intentum. Quarto, Dueat ut E in reliquum B F & sat R quo detracto ex eodem N. maneat s. Dieo S. qua . Aratum esse. Quia enim ducto E in Α F. C F si P.& ducto eodem E in B F st R. patet D superare R. producto qui fit ex E in interuallum quo A F. CF superant B F. Atqui loco ipsus C. sumendo duplum ipsotum A B E. Interuallum quo A F. CF superant BF reperitur continete Α tet. Fbis. B semel. Igitur P superat R producto ex E in Λ ter, in F bis, in B semel. Porto quia P mi multi conficiunt eundem N. quem & R S. simul conficiunt, sunt in arithmetica medietati P ad R. . t S. ν. ιλ. ad Q. Igitur S. superat in producto ex E In A ter, in F his, in B semel. Et loco producti ea E in A B4 q. m. sema, 4 sumendo productum ex E in D his, & iu se ipsum semel, fiet interuallum quo S supelat, uin, Q quale producto ex E his in ipsos D A F. & quadrato ipsius E. Quare cum Q ostensus sit quadra tus , cuius latus eomponitur ex ipsis D A F. & quadrato in addendo quadratum ipsius E de duplum . quarii, ploducti ex ipso E in latus ipsus Q. fiat S. Vtique s. quadratus est latus habens compositum eYip a. sis D Α F E seu ex D A ti triplo iptas E. Quod erat propositum. Quinto, Dueatur BF iti CF.& sat Τ. tum ducatur E in summam ipsorum B F. CF. N fiat V. quo detracto ex T supersit X. Dico X esse quadratum. Quia enim T producit ut ex B F. in C F. patet T continere productum ex B in C, & productum ex F in F, seu ex E in F his, Ad produ&im eα F in B C. seu ex E bis in B C. At productus ex E in B F. C F. seu V. continet productiim eae E in B C. semel ,& est E in F bis. Igittit detracto v. ex T. reliquus X. continet productum ex B in C. & pro . duetum ex E in B C. Quate X quadratus est pet quintam partem praeeedentis, cuius latus componiis tur eκ ipsis B D F. Quod erat propos tum Denique dueatur E in reliquum AF & sat Y. nuo detracto ab eodem T. supersit Z Di eo δὲ ip. sum Z quadratum esse. Quia enim ex E in B F. CF fit V. Ze ex eodem E iu A F si Y, patet v supelate
66쪽
V producto qui se ex E in interuallum qno B F. C F stiperant Α F. sed eodem quo supia, ductu utentes inueniemus hoe interuallumeontinete ipsum B ter. F bis. A semel. Quare V. superat Y. producto ex E in B ter, in F. bis, in Α semel. Et loeci producti ex E in Λ B semet sumendo illi aequalem productum E in D bis . & in seipsum semel fiet interuallum quo u superat Y aequale producto ex E in i plos D B F bis , & quadrato ipsus E. Quoniam vero V X. simul, aequantur ipss Y Z simul, b. sunt in aequali digetentia V Y. & Z X. Ergo interuallum quo Z. superat X. aequatur duplo producti a. νωψ .ex E in ipsos D B F. & quadrato ipsos Ε Quamobrem euin X ostensus sit quadlatus, cuius latus componitur ex ipsis B D F. patet ad ipsum X. addendo quadratum ipsius E. Ec duplum ploducti ex . ipso E in latus ipsiue X,ς compositum Z esse quadratum euius latus constat ex ipsis D B F E seu ex . DB de triplo ipsius K Quare ex omni parte constat propositum.
Si planus sub duobus numeris contentus, ducatur in compositum ex ipss, idem fiet numerus, atque si quadratus primi ducatur in secundum & quadratus secundi ducatur
in primum. D i, gia sint duo numeri A B. de planus sub ipss contentus C. quo ducto sigillatim in ipso Α , ' κζ' Λ. B. fiant D E. patet ergo i summam ipsorum D E aequalem esse producto eκ C in d mm,
e ἡ 3' compositum ex ipsis A B. Hane igitur summam di eo aequalem esse productis ex quadrato ipsuΑ Α in B, N ex quadrato ipsus B in A. Nam sumptis tribus nuinetis A. B de Α rursus,' idem gignetue numerus quomodocunque fle quouis ordine inter se dueantur. Quare e ι. m. i. dueto A in A & producto. nempe quadrato ipsus A ducto in B. fiet idem D, qui fit ducto A in B p. ilis. Ae producto C in A. Eodem argumento ptobabitur numerum Eseri ducto quadrato ipsius B in Λ. Quamobrem constat propos tum .
Si numerus secetur in duas partes, cubus totius aequalis est cubis partium, & numero qui si tet ex toto numero in planum sub partibus comprehensum.. - a sit numerus ΑΒ sectus in duas panes Α C. C B. Die oo ''' '' κ . . eubum totius A B aequati cubis pallium AC. C B, de numero qui si ter ea toto A B in planum sub ipsis Λ C. CB comprehensum. sumatur DM quadratus ipsius A B. f qui eum sit aequalis qlia.dratis ipso tum A C. CB N plano bis sub ipsis eoinptehenso, esto DG quadratus ipsus A C. N G Κ quadratus ipsus C B. & Κ M planus bis sub AC. CB contentus. Itaque patet ex M. definitione cubi ex toto A B in totum D M produci euhum ipsius AB. Ergo idem cubus producet ut duetis sngulis partibus ipsius A B in singulas ipsitis D M. Ducto autem A C in suu in quadratum D G. . fit cubus ipsius A C. & ducto C B in suum quadratum GK fit e sth. . cubus ipsus C B. Ergo iam habemus eubos partium. Restat ut ducamus AC in GK, de ρνima, a. C B in D G, tum v truinque A C. C B in K M. . Atqui ducere ipsos Ac. Ca in x M. idem
est atque ducere totum Aa in x M. Quare cum x M. st planus bis 1ub partibus Ac CB contentus. ινν ...1. patet ducere A C. C a in x M. idem esse atque ducere totum A n in planum bis sub partibus comprehensum. Rursus autem ducere Ac in C x . de Ca in D G, idem est atque ducere totum An in planum sub pallibus comprehensum. Quamobrem harum omnium multiplicationum producta simul, i seu cubus totius ΑΕ aequantur cubis ipsorum Ac. Ca, & numero qui si ter ex toto A a in pla- .a. a. nuin sub ipsis A C. c a. comprehensum. Quod erat ostendendum. hadώs.
Si numerus secetur in duas partes, cubus totius aequalis est cubis partium, & nume-meris qui fiunt ex qualibet parte in quadratum alterius ter.
A c s sit numerus A a lectus duas partes A C. C B. Dico cubum totius A a aequati cubis ipsorum A c. a, & numeris qui sunt ter ex quadrato ipsius A C in C a, & ex quadrato ipsus C ain AC. Et mim eubus totius A a aequat ut euhis ipsorum A C. C B, de numero qui fit ter , istia. ex Aa in planum sub A C. e a. Sed numerus qui fit ex Λ a in planum sub AC. C a. aequatur productis .....his ex qualibet parte in quadratum alterius. Quare numerus qui si tet ex A B in planum sub partibus, ius. aequat ut eis qui sunt ter e et qualibet parte in quadra uiri alterius. Igitur cubus totius a B aequatur icribis partium de numeris qui fiunt tet ex qualibet parte in quadlatum alterius. Qiod demonsitan. a
67쪽
Duorum cuborum interuallum, aequatur cubo interualli laterum, & numero qui fit ter ex eodem interuallo laterum in planum sub lateribus comprehensum.
A . D a C inaequales numeri Aa . BC. quorum interuallum DB, ita ut A D. BC 's .i, i .. sint aequales. cubus ipsus A a est cim, eubus autem ipsius a C sit F. Dieci. ' '' interuallum ipsorum a s. aequati e ubo ipsius D s. & numero qui si ter ex. I ... D planum sub A a. B C. Etenim cubus totius Aa, nimirum E aequatur cubis partium a D D η &' numero qui fit ter ex A a in planum sub A D. n a. quare eum A D st aequalis a C. & ideo cubus ipsius A D sit F. patet s aequari ipsi ε & eubo ipsus o a & numero qui fit ter ex A a in planum sub A D. D v. . i. tia i sumptis autem tribus numeris AB. A D. D a. - idem producetur numerus quouis ordine ii inter sen ...' ' ducantur. Quare idem numerus qui fit ex An in planum sub A D. Da. fiet etiam es D B in planum sub A a. A D. seu sub An. a C. Quamobrem cubus saequat ut cubo r. eubo ipsius D B,& numero qui si ter ex D B in planum sub A a. a C. Itaque a euho a auferendo cubum s , remanet interuallum cuborum aequale cubo interualli laterum D E, S numero qui si ter ex eodem D a in planum sub lateribus A a. a e comprehensiam. Quod demonstrandum etat.
68쪽
CLAUDII GAS PARIS BACHETI SEBUS IANI
Rlangillum te tangulum in numeris eo nititui dicitur, cum tres exhibentur numeri, ita t maioris quadratus, quadratis reliquorum simul sumptis aequalis sit.
Vt, tres numeri 3. s. dicuntur constituere triangulum rectangulum quia maioris s. quadratus et s. aequalis est quadratis s. & 36. reliquorum 3. & 4. Cuius rei ratio pendet a quadragesima septima, i. Euclidis . Nam verbi gratia, si sititiangulum tectangulum AB C. cuius angulps rectus B. de monstrauit Euclides quadratum lateri, A C. aequati quadratis iplorum A B. R C.
Maius latus trianguli reeianguli, dicitur hypotennsa. Reliqua duo, Iatera circa re-'ctum, & horum alterum , basis: alterum vocatur Cathetus seu perpendiculum.
Sie in superiore diagrammate Α C voeatur hypotenus a seu subtendens, quia subtendit angulum tectum. Reliqua veto latera AB. B C di euntur lateta ei rea rectum , quia rectum angulum c n prehendunt. Et horum alterum, puta B C dicitur hasis, alterum A B dicitur perpendiculum, si triangulum eoncipiatur inniti lateri B C. vel e conuerso B C dieetur perpendie ulum, & Λ B basis, s triangulum ipsi Α Β niti concipiatur.
Atea trianguli tectanguli est semissis plani contenti sub lateribus circa reetum.
Α r, sic positis latetibus citea tectum AB. BC. 3. & . cum planum sub ipsis sit ia. erit area trianguli rectanguli ABC. numerus 6. Et ratio est euidens. Nam si perficiat ut parallelogrammum ted angulum A B C D. patet eius aleam fieri ducto latere A B in B C. Quamobrem eum triangulum A D C. triangulo Α Β C sit squale, manifestum est ipsum AB C. esse dimidium totius parallelogrammi, atque adeo eius aream esse dimidium
Similia triangula rectangula dicuntur, quae latera habent proportionalia.
Cum se ille et est hypotenua unius ad hypotenulam alterius, sevi bas, ad basin, & perpendiculum ad perpendi eulum, qualia sunt uiangula 3. 4. s. di I a. s. aci
A duobus planis sint ilibus formari dicitur triangulum rectangulum, cum e v eorum summa,&eorunde interuallo,& duplo me dij proportio ualis, constant latera trianguli.
Sie a plani; similibus a. & ia. dicet ut formati triangulum. I s. s. II. quia is. est summa planorum simili uin , s. interuallum eorundem, Ia. duplum medii ptoportionalia.
69쪽
A duobus quibuscunque numeris sormari dicitur triangulum restansulum, cum ex aggregato & ex interuallo quadratorum ab ipss , S ex duplo plani stib ipss numeris contenti, constant latera trianguli. Sic ait uobus numeris a.& 3. formati dicitur triangulum I3. s. a. Quia II. est aggregatum quadratorum ab ipsis a. & 3. & s. est eorundem quadratorum interuallum , & Ia. est duplum plani suba. N . contenti. Nos autem duos modos sormandi triangulum rectangulum Iegitimos esse demoti sttabimus hoe libro, propositione tertia di quinta.
A Tribus numeris in proportione Arithmericά possumus formare triangulam , si secundum hane desilitionem sextam formemus illud ἡ medio es disserensia, Nam solidum sub tribas ductum in disserentiam facier aream dicti trianguli, atque ideo si disserentia si unitas, solidum Iub ιribus erit area trianguli.
A duobus datis triangulis rectangulis, tertium efformari dicitur, cum productus ex hypotenusa it in hypotenusama . fit hypotenuia f. At aggregatum productorum ex basi 1 . in basim 1. de ex perpendiculo i . in perpendiculum 2. fit alterum latus circa rectum f. Denique productorum ex basi I . in perpendiculum a . &ex basi a . in pet- pendiculum minus de maiori subtrahendo , fit alis rum latus 3.
Sie datis duobus triangulis s. q. 3. Sc 33. I a. s. fiet tertii hypotentisa productum ex s. Et I3. nempe 6D alterum latus circa remum erit aggregatum numerorum 48. 84 In qui sunt ex basi in basim di ex perpendie ulo in perpendiculum. Tettium vero latus erit quod relinquitur auferendo productum ex A. in s. nempe a o. a producto ex3. in II. nempe 36. Erunt igitur latera omnia tertii trianguli. Q. 63. I6. Hic modus etiam demonstrabit ut infra, propositione decima.
si latera trianguli rectanguli per eundem numerum multiplicentur aut dividantur, fit aliud triangulum rectangulum sinite priori.
Hane sequentem propositionem omnibus triangulis similibus in uniuersum applieatam demon stauit Euelides Ithro sexto sed ex propriis nummotum principiis eruto demonstrationis medioviber hie utramque triangulis tectangulis singulariter applicate. Sint trianguli rectanguli latera ei tea te A R C ri n.ὰ e Mum AB,& hypotenuia C. & horum quadrati DE F a ii,3 'o io H F sit aequalis ambobus D E. ductoque eodem numero GH is . o v - ri in ipsos ABC. fiant H. E. L. quotum quadrati M. N P. Di o. . 3 4 'roo Η Κ L eonstituere triangulum rectangulum simile pricii, nimirum quadratum P. ambobus M N. esse aequalem & latera H Κ L esse proportionalia lateribuς A B C. & quidem hoe ultimum patet . clini fiant H Κ L. ex eodem G in ipsos ABC. Primum autem probatur. Quia enim lationes ipso tum D E s ad ipsos MN P sunt duplicatae rationum ipsorum A B C ad ipso, H Κ L, eum ut ostensum est, sit A ad H, ut B ad Κ & vi C ad L, erit etiam D ad N . t E ad N. & ut F ad P. & permutando erit D ad F ut M ad P. N E ad F ut N ad P. Cum ergo st Dprimus ad F seeundum , si eut M tertius ad P. quartum . di rursus si si quintus ad F secundum, seu eN sextus ad P quattum; 4 Erunt & DE smui , primus scilicet & quintus ad F se eundum , scutM N simul, nimirum tertius & G2tus simul ad P quatium. Sed D E simul atquantur ipsi F ex hypothesi. Ergo &M N simul aequantur ipsi P. Qua te ΗΚ L eonstituunt triangulum rectangulum smile piloti. Quod demonstrandum erat. Eadem potio diuisionis ratio est quae multiplicationis ut manifestum est. Igitur constat propositum.
Areae similium tria naulorum re ista neu lorum sunt in duplicata ratione homolo2otum laterum. Sint latera mangulorum rectangulorum similium. AB C. DE F. R sint Α & D hypotenuis B C.
70쪽
EF latera circa rectum, ductoques in C fiat K. cuius semissa numerus G. area scilicet iii anguli AB C. sinit iter ducto E in F sat L, cuius semissis Harea rianguli D E F. Cimi et go similia sint triangula, eiu Α ad D ut B ad ν η E de ut C ad F. Dico itaque esse aream G ad area in H in duplica ta talione i teris B ad latus E. vel lateri, C ad latus s. Cum enim plani Κ L habeant latera proportionalia , etunt plani similes. N eiu Κ ad L in duplicata ratione latetis B ad latu, E vel C .
pROPOSITIO III. Problema l. A duobus smilibus planis numeris, triangulum rectangulum efformare. A s h e i, sint duo planis miles A C a quibus oporteat formare triangulum tectangulum.
v j sumatur A medius pio portionalis ipsorum A C. Et si amborum A C. summa. ἡ ἡ;-.9 I' p. iii iesis, lium D & duplum ipsus B esto E. Patet tres D E s e sirmatos esse ab .a... a ipsa A A C ut traditum est definitione quinta. Dico itaque tres D E F constituere itiangulum reisciantulum. Ruia enim F est sum tua amborum A C erit quadratus ipsus F aeqvalis quadruplo pla- qη ηιβni sub A ti C. di quadrato interualli ipsorum A C, qui est quadratus ipsus D. At quadruplum plani stib A & C. aequat ut quadruplo quadrati ipsus B. eum ABC ponantur proportionales , s & ... , 'quadruplum quadrati ex R. est quia ratus dupli ipsius B, nimirum ipsius E. Igitur quadratus ipsus a sehes Fest aequali 4 quadratis ipsorum DE . . atque adeo D EF constituunt triangulum tectangulum. Quod erat propositum . .
Hi ne patet quemlibet num e tum statui posse hypotenusam triansuli rectanguli, elim quilibet nu- metus diuidi possit in duos datam rationem seruantes, atque adeo infinitis modis componi possit ex duobus planis similibus, unde& erui potest eanon ad duri dendum quemlibet quadratum in duos quadratos infinitis modis, ut docebimus ad octauam 2. Diophanti.
Cuius l)bet trianguli rectanguli hypotenuia romponitur ex duobus planis smilibu ri n sit hypotenui a trianguli rectanguli A & latera eitca tectum B C. & ip. '''' a e ὸ ' solum ABC quadraii D E F. ita ut D ipsis EF sit a qualis. Dico A ' st i componi ex duobus pratis smilibus. vel enim A est par, vel impati sit
ptimum par. Ergo & D pat est patitet pati Igittit no i erit ipsorum EF alter par , alter impar, alioquin compositus eκ ipsis Desset impar, eontra id quod ostensum: Test. Non erit etiam uterque ipsorum E F impar in nam sic uterque ipsbrum exeederet patitet parem unitate, atque adeo compositus ex ipsis D. excederet pariter parem hinario, & esset pariter ιεν iis . .. impar tantum . at ostensus est pariter par. Reliquitur ergo utrumque EF esse parem. Quaret Oite adi uterque BC par est. Itaque sumatur ipsi A aequalis G Latque adeo par, & addatur ei LM aequa. r 'ε ε lis alteri laterum ei rea tectum puta C erit igitur & L M par. Quare totus G M par etiam erit. eetu tergo bifariam in Κ & ipsi XL sumatur adi ualis HK. ita vi teliquus G H. reliquo LM seu C. - , . et si aequalis , Clini ergo G L componatur ex duobus G Κ. Κ L. erit quadratus totius G L, seu D. Uis. aequalis quadruplo plani sub G Κ. Κ L & quadrato interualli G H qui in p. At idem D. est aequalisti et quadratis E F ex hypothes . ergo quadrati E F aequant ut quadruplo plani sub G Κ. Κ L. N quadrato ma prima, F. Quare ablato utrimque F. te manet E aqualis quadruplo plani sub G Κ. Κ L. Quam obtein planus' sub G Κ Κ L aequatur qua stanti ipsi u .E, seu quadrato semiuῖs ipsius '& ipse semissis ipsiu, B est 'mediti, promitionalis inter G Κ.& Ε L. unde sequitur ipsos G Κ. Κ L. esse planos similes. Qua j iiii, iamobrem A aequalis G L componit ut ea duobus planis similibus. Quod erat propostum. vidit a