장음표시 사용
101쪽
' PI. PROP. IX. THEOR. Triangulum Orthogonum Al aduehit in rectangulum AD; Prisma triangulare generate Prop. 13. Huius Dico Prisma huiusmodi aequale esse Pyramidi ortae ex triangulo AS Cin triangulum A SD, sducta diametro A D, rectanguli S lyramidi simul quae generatur ex eodem triangulo Am C, in idem triangulum ABD subalterne positum ducto.
Praeparatio. Fl. 9. Producatur BD. fiat re aequali, lineae BC, iungatur El. Erit triangulum EDT aequale triangulo ABC per . tib i. cui subalterne ponitur triangulum A SD aequale triangulo A BD. Probandum ergo est Prisma illud triangulare, de quo agit Propositio,aequale esse piramidi ortae ex ductu trianguli Alc in triangulum ABD,& simul pyramidi, orta ex triangulo D F ducto in triangulum subalterne positum D EA. Demonstratio. Coucipiatur risina triangulare, quod ex ductu trianguli
102쪽
VI B. II. Examen s adraturae primae strianguli Orthogoni A B C in rectangulum MD, generatur iuxta citatam Prop. 3. Huius Diuidi plano secante super rectanguli diametrum AD , ducto ad p. sum re tangulum perpendiculariter. Duae ex hac diuisione Pyramides generabuntur: quarum altera,eadem ipsa est, quae oritur ex ductu trianguli AB C in triangulum rectangulum ABD cuius basis est quadrilatera, rectangulum scilicet sub lateribus B C. D contentum: ex qua enascuntur triangula quatuor ad verticem A conuenientia iuxta Prop. 4. Huius. Altera,e dro Pyramis e Prismatis diuisione,producta; est ea, quam
idem triangulum Am C risima generans, producit; dum triangulum AED decurrit, facto motus initio ab ipso angulo A, in quo duo triangula A BG, A EO sibi adhaerent eodemque triangulo A BG,suum semper situm erectum retinente, usque ad latus T rectanguli, siue trianguli AID promoto Sed haec Pyramis illa ipsa est, quae a triangulo EDF, quod aequale positum est triangulo ABG, generatur, dum in trian gulum ATD sibi subalterne positum ducitur perinde enim est, siue triangulum ABC in suo situ moveatur super triangulum ATD initio motus facto ab angulo A motuque terminato in lateret D siue triangulum E DI moueatur super idem triangulum Assii subal ternum, motus initio in latere KD, fine, in angulo A, constitutor haec enim motus diuersitas, in sola ipsius mutatione quoad initium .finem, constituta,
nullum discrimen in solidi generationem potest inuehere Patet ergo quomodo Prisma triangulare ex duetii trianguli
103쪽
dic II. trianguli Am C in rectangulum AD, efformatum, aequale sit duabus Pyramidibus quarum una oritur ducto triangulo AB C, in triangulum Aio deinceps positum .altera vero ducto eodem triangulo Am C in locum trianguli ED translato, in triangulum ATD subalteriae positum Quod erat demonstrandum.
PROP. IX THEOR. Eadem facta suppositione Prismatis triangularis eiusque in duas partes diuisionis, de qua propositione praecedenti. Dico Pyramidem ad partes E abscissam , dimidiam partem esse Pyramidis ad partes B abscissae.
Demonstratio. Prisma illud triangulare triplum est Pyramidis, cuius basis est triangulum EDF altitudo vero AE, quae&ipsa est altitudo Prismatis per . lib. I 2. Ergo altera Pyramis quae est reliquum Prismatis est duae tertiae partes prioris Pyramidis. Haec ergo illius dupla est.Quod
104쪽
LI B. II. Examen aeuadraturae primae ' Corostarium . si triangulum rectangulum in se ducatur Pyramidem generat duplam Pyramidis illius, quae producitur ex eodem triangulo in se ducto subalteriae. Quae est
Propositio s. lib.7. a Geometra demonstrata Patet ex praecedenti ratiocinatione,si ponatur BD latus rectanguli, aequale lateri DC trianguli x Cluentis. Corollarium II. Sequitur secundo Pyramidem factam ex ductu sub- alterno Orthogonistrianguli,vel in se vel in aliud sextam esse partem parallelepipedi cuius basis est rectangulum sub BC,&BD lateribus triangulorum Orthogonorum quae in se ducuntur altitudo vero B A latus commune, unde Mimas incipit. Nam Pyramis cuius basis est rectangulum sub B in BD altitudo vero B A tertia pars est parallelepipedi sub eade basi, waltitudine, per7 lib. I 2.&eius Coroll. Sed Pyramis huiusmodi dupla est pyramidis genitae ex ductu eorumdem triangulorum subalterne positorum per hanc Propos. Ergo parallelepipedum, Pyramidis huius est sextuplu. PROP. XXI. THEOR.
Si duo Trapezia ABDC, E GH F fuerint aequali. duobusque lateribus A B, CDMI G,
FH parallelis constent WVtroque trique aequalibus. Dicocorpus ex Vtroque in se ducto secundum latera parallela, S lineas perpendiculares, genitum esse aequale.
105쪽
DI FI,H G donec concurrant in Lin D concurrent enim ut Prop.L. Huius ostensum est.ὶ
Demoniatis. Duae lineae GD, A B duabus FM,E G sunt proportionales lingulae enim singulis ex hypothesi sunt aequales. Ergo per αα lib.6. Triangulum CID super primam CD ad triangulum AI B simile super secundam Assi, ita se habet ut triangulum FIH super tertiam FH ad simile triangulum EI super quartam G. Et Conuertendo Vt triangulum CLD ad Trapezium A C Di ita triangulum FIH ad Trapegium V H G. Et Permutando. Ita triangulum C LO , ad triangulum IH ut Trapezium A CD B ad Trape-gium EF HG. Sed Trapezia sunt aequalia ex hypOllieii. Ergo dc triangula illa sunt aequalia Adlaec concipiantur
106쪽
LIB. I. Examen a uadraturae prima. 99cipiantur super AB, CD item super EG, FH,erigi quadrata earumdem ipsarum linearum perpendiculariter ad plana triangulorum amborum mi ungi binos binos angulos virorumque Quadratorum: fient duae Pyramides per Proposit. Huius quarum vertices sunt L. I puncta scilicet, ad quae iam concurrunt duae lineae C A, B binos angulos 4 A in binos D B coit nectentes; item duae PE , H G duos Quadra torum angulos pariter coniungentes. Hae ergo Pyramides duae quales sunt inter se. Nam cum bases Quadratae harum Pyramidum rectae sint ad plana ipsa triangulorum C LO , DI H lineata verticibus L es, ad lineas C DI FH quae sunt communes sectiones basium Piramidum, horum triangulorum ductae per pendiculares, erunt Pyramidum altitudines. Sed illa: linea: a verticibus L triangulorum perpendiculares ductae ad Ciri AH, sunt aequales Sunt enim eaedem lineae,altitudines ipsae aequalium triangulorum CLD, FI H, aequales bases Di FH habentium Ergo Pyramides illae sunt aequales per 3 lib., L. AEquales enim sunt ex hypothesi earum Quadratae bases. Quia vero per Prop.7.Huius Secantur proportionaliter per plana
ducta erat,per EG citavi eadem sit Ratio Pyramidum integrarum CID FI H; sartium abscissarum ADB,EI; ac proinde Dreliquorum corporum,siue Pyramidum truncatarum super Trapezii AC DB, EI H G. Ergo, Pyramides abscisis inter se, lyramides illae truncatae sunt a quales. Constat autem ex constructione Pyramides huiusmodi truncatas, siue mauis
107쪽
mauis appellare, Trapezia solida, ea esse solida quae oriuntur ex Trapeziis in se ductis iuxta Conditionem in propositione statutam. Omnes enim lineae per omnia puncta linearum AC, EF ductae, lineis AB, CD; de lineis EG, PH parallelae; a seipsis supra seipsas perpendiculariter ad plana AD TH erectis decurruntur: hoc est, totae ipsae superficies AD, E H supra bases suas C, Et perpendiculariter supra seipsas erectae ducuntur in se secundum linea AB, CD ;&EG, FH iuxta sensum definitionis Propos et L. allatae ad Geometrae, meamque mentem.Quare si duo Trapezia, dic. Quod
PROP. XXII. THEOR. Si ex duabus parabolae alicuius diametris D, L H, aequales abscindantur sagittae AD LM N per D H ordinatim ad ipsas applicatae BD, 1ecentur in &T per quae tandem puncta, li
108쪽
LIB. I. Examen 'euadratura fimae. OI
ne: O M TV diametris AD, L H ducantur parallelae, occurrentes ipsi parabolae in S, M. Dico lineas O S, T V esse aequales inter se.
Praeparatio. A punctis S V, ducantur SA, et parallelae Ordi ni inatim applicatis BD, IH quaevi ipsae ad easdem diametros AD , H erunt ordinatim Applicatae. Siquidem omnes ordinatim applicatae ad eandem diametrum, sunt inter se parallelae. Demonstratio. Linea Da ita est ad A ut Quadratum linea BD, ad Quadratum lineae SA per Prop. o. lib. i. Appollo-nij,siue ad Quadratum lineae D. Est enim O X parallelograminum, habens per 34. lib. i. Aduersa latera
109쪽
Io P II. OS, X&OD, S aequalia vi autem Quadratum linea BD ad Quadratum linea, Desita es Quadratum linea: IH ad Quadratum lineae TD per Σα. lib.6. Sunt enim ex hypothes lineae BD, i H sectat in OlcT proportionaliter sed TH de V sunt aequales in parallelogrammo V H. Ergo ita est Quadratum lineae H I ad Quadratum lineae et ut Quadratum lineae BD , ad Quadratum linea S X siue ut lineam A ad A. Sedit Quadratum lineat HI ad Quadratum lineae V ita est linea HI ad Z L. Ergo ita est DA, ad XA; vi HL ad Z L. Sed D A prima aequalis est tertiae H Lex hypothesi. Ergo secundavi A aequalis erit quarta Z L, per i . lib. . emptis ergo Ai Z Laequalibus ab aequalibus DA, HL remanebunt aequa les D X, Het. Quibus cum sint aequales O S a V in parallelogrammis S in V H Derunt ipsae O S, T aequales inter se. Quare si ex duabus parabolia, c. Quod erat probandum. RROP. XXIII. THEOR.
Positis iterum ritualibus sagittis AD, LM: ordinatim Applicatis BD, H similiter se is in Ductis denique OG parallelis ad diametros AD, L H. Dico linea SD, VJ qualiter distare a diametris A D. H.
punctis V H ducantur ad linea SO perpendiculares DO, H hic cum D sit axis parabolae,
110쪽
LIB. II. Exumendus rura prima,
iam est DO perpendicularis ad So. In aliis casibus noua linea duceretur)ducatur etiam a puncto L, linea LP perpendicularis ad HI productam ultra H quando opus fuerit.
Demonstratio. Diametri abscissa AD, HL sent aequales exsuppositione. Ergo aequalia sunt triangula ADB, L HI ductas concipe lineas AB, L de industria omissast per Prop. αi8 lib3.de parab.doctissimi Geometrae nota stri. Ergo per Coroll. ad Prop. 1Ib c ut se habet basis BD ad basim IH ita Reciproce se habet altitudo P trianguli IH ad altitudinem A D trianguli ADB, hoc est, ad H, lineae AD ex hypothesi Ieii aequalem,sed uti P ad L H; ita est in triangulo I QT,