장음표시 사용
71쪽
II. didi, clara evadit huius operationis methodus ut propterea in hunc locum problema hoc, sicut d quod proxime sequitur, reiecerim quod alioqui alium ordinem poscere videretur. Cum igitur praecipio ut duobus terminis vim secundae Rationis, tertius Esroportionalis inueniatur: ut habeatur Ratio termini primi ad tertium Ε:nihil inquiro nisi Rationem, quam
Ratio M. in se ducta producit qualis fuit Ratio El
in praecedenti solutione. Sicut enim Ratio termini ad Eest duplicata Rationis C ad D, eo quod sint tres termini C, D , E continue proportionales ita etiam Ratio EF insuperiori schemate est eiusdem Rationis CD duplicata pero ib. 8. Euclidis. Quadrati enim numeri EF duplicatam habet Rationem laterum siue Radicum C,D. Ergo etiam Ratio A ad F cum eadem sit ex constructione cum Ratione C ad E est duplicata Rationis C ad D. Id est, eadem est cum Ratione producta per multiplicationem Rationis C D in se.
Quod cum ita siti inter terminos A I interponatur medius terminus B: erit Ratio A ad composta ex
Rationibus A ad B in B adici atque adeo Ratio Aidiuisa per Rationem A B producit Rationem B F. Est
ergo BI tertia Ratio proportionalis: eadem plane cUm Ratione EF superiori solutione inuenta Eaedem eniim ostensae sunt Rationes EF superior, Ratio AT huius solutionis: rutraque per eandem Rationem A Bdiuiditur. Ergo Rationem I hic inuentam, eandem esse necesse est cum Ratione EF superius exhibita. Quod idciri numeri ipsi inuenti confirmant Tertiam
72쪽
ergo Rationem datis duabus Rationibus proportionalem exhibui. Quod erat probandum. PROP. XXVII. PROBL. Inter duas Rationes AB, CD mediam Rationem proportionalem constituere.
Ostendi superius Prop. 1 3 huius. Quomodo Ratio quaelibet data, diuidendast in duas aut plures Rationes aequales. Hoc vero problemate quaeritur modus tantum, si rem paulo acutius perpendamus, diuidendidatam proportionem in duas similes, vel, quod idem est, in duas aequales prQportiones Ratio enim siue habitudo Rationis Assi ad Rationem GD iuxta Prop. 3. huius Proportio est. Quae in duas aequales proportiones diuisa fuerit si qua dam media Ratio inter Rationes A B, CD posita fuerit proportionalis id est, eius modi, ut proportio inter Rationem ii ipsam, similis sit vel aequalis proportioni, quae intercedet inter hanc eandem, Rationem M. His ita declaratis, operationem instituemus in hunc modum adlabitis numeris more nostro, quando hoc opusculum totum numerica Ratione exponere institutum est.
Ratio Ai ad Bra multiplicetur iuxta Prop. ic huius. Per Rationem ad a. Fiet Ratio E 3 ad 16. Eruatur
73쪽
Eruatur ex terminis E, F Radix Quadrata Erit illa Radix G 64M . Horum ergo terminorum 6. . Vel 3. 2. Rationem dico esse mediam proportionalem inter datas Rationes A B, CD, hoc est,iuxta expositionem paulo ante allatam: Dico proportionem Rationum Al , CD in duas proportiones aequales A B, GH, ωGH, CD diuisam esse. Demonstratio. Cum proportio Rationis AB , ad Rationem CD, Rationis pecies quaedam sit, est enim Ratio Rationum duarum in inter terminos Assi primum,&V D. Secundum Rationis illius, medius terminus statuatur Ratio G H componetur proportio Rationis AB ad Rationem CD , ex proportione Rationis A B ad Rationem G H. Et ex proportione Rationis G Had Rationem CD, iuxta Propos 12. huius. Ostendendum itaque tantum restat, duas illas proportiones esse aequales. Quod ita colligetur. Ratio media
H in se ducta producit Rationem est enim G H Radix quadrata Rationis EF quam eandem produxere Rationes AB, CD in se ductae ex consutictione. Ergo Ratio G H est media proportionalis inter Rationes A B, C D. Tata quam GH unicusseret simplex terminus inter duc simplices Ai ,
74쪽
LIAE. I. De Rationibus. 67 D unius simplicis Rationis, cuius AB sit Antecedens
in Consequens quae diuidatur per Prop. 23. hu ius. In duas Rationes aequales medio interposito termino G H. Quod ut euidentius pateat reducantur termini harum Rationum ad alios, itavi sit omnium idem Comsequens: Erit A at C erit 6 m iterum 8.
Si ergo omissis Consequentibus B 84 DI. Soli spectentur Antecedentes Af&ς 6, qui sunt Rationum quantitates siue denominatores, ut docetur Propos . huius Eorum Ratio in duas aequales diuidetur, inter-osito medio termino proportionalico per Prop. 3.uius. Qui terminus habetur, ut ibidem traditur ductis inuicem A, ipsin ex producto eruta Radice quadrata ad quem medium terminum,
eamdem habet Rationem primus ' quam ipse medius deinceps habet ad 16. At eadem est Ratio horum Antecedentium 9. I a. 16. Quorum idem est Consequens
8. Quae est inter ipsas Rationes, ada,ia ad 8, 1 cadaper Prop.7 huius. Sive inter Rationes illis aequales Aiad B 8 ac ad I 4: ad D, Ergo inter duas Rationes datas AB, CD recte interposita est Ratio propol-tionalis media G H. Quod erat praestandum.
76쪽
LIBER SECUNDUS.In quo primae Quadratii
eXamen instituitur&absoluitur.
' O . . I THEO R. Si duo triangula ABC DE sequalibus Basibus B C,EF insistant:latera verb AB, Ef- militer secentur in G&I per α agantur lineae GH, IL Basibus Parallelae Dico G H, I aequales esse. Demoniatio. V AB, ad Ac ita ex hypothesi DF ad D I. Sed ut AB ad AG, ita BC ad GH per . lib. Ergo ut DT ad DI, id est per eandem Prop. EF ad II sitam ad GH. Sed BC, EF sunt aequales. Ergo per I .lib. S. aequales
77쪽
aequales etiam sunt G in I L. Quod erat demon
RROP. II THEOR. si duae lineae parallela B C, GH, inaequalesurier se, duabus lineis parallelis EF, I aequales tuerint singulae singulis. Quarum utrarumque extrema iungantur lineis BG, GH MEI PLtumn GS I, vel H&L. Praeparatio.
Demonstratio. GK dc C; aevalis¶llela lineae BG
78쪽
LIB. II. xamen Euadraturae primae. II Atque adeo anguli duo BG, BC aequales erunt duobus rectis per 19.lib. 1.Ergo duo G BC,HCB minores erunt duobus rectis.Lineae ergo B C, CH produet econuenient per 3. A XI. lib.1. Pari modo conuenient
productie lineae EI, FL;conueniant illae in A,ista in D. In triangulis igitur Am C, D EF, ita est Alcida G, vim C ad G H: D E ad DI, ut Et ad I L hoc est, ut BG ad G H; atque adeb, ut AB ad ΑG. Similiter ergo secantur AB, DE, in G I; a DF; in H, L. Quod erat probandum. 'RO P. III. THEOR.
Si duo Trapezia G C, I F. Oppositis duabus lineis GH, BC;&IL, EF parallelis, dc aequalibus contenta , aequalia sint. Dico utriusque eandem esse altitudinem. Quod si utriusque eadem ponatur altitudo. Dico ambo esse inter
se aequalia. Praeparatio. Producantur latera reliqua Trapeziorum, nempe BG, CH donec conueniant in conuenient enim per Prop. praxedentem)4 EI, F L, donec etiam con
Demonstratio. Per Prop. praecedentem latera A B, DI triangulo rum AB C DII, similiter secantur in Gri I. Ergo perui lib.6. Vt triangulum AB C, super primam Am
79쪽
quatuor proportionalium, ad triangulum AGH simile super secundam A G. Ita triangulum DE super tertiam Di ad triangulum DII simile super quartana D .Ergo Diuidendo Vt Trapezium H,ad triangulum AGH itaTrapezium E L ad triangulum DI L. Sed Trapezium B H aequale estTrapezio ELex hypothesi Ergo per i lib.3 etiam triangulum A GH,aequale est triangulo a L. Quorum triangulorum cum aequales sint ex hypothesi bases GH, I L in eademerunt altitudine Sed aequalia etiam sunt triangula ABC, DEF adiectis nimirum Trapezii aequalibus)super aequales bases B C. F. Ergo lorum triangulorum aequalis erit altitudo. Si igitur ab hac utraque altitudine aequali, dematur altitudo aequalis triangulo. rum G H, DIL remanebit altitudo Trapeziorum C, IF aequalii Vt habet prior pars propositionis.
80쪽
LIB. I. Examen 1λιadraturae primae. 73
latera Trapezis C producta, ina silatera EI, PLTrapezij I producta, in D: praeterea similiter secantur latera AS , DT, in G. I. Ergo ita est triangulum A BG super primam Am quatuor proportiona lium, ad triangulum simile AGH super secundam A G:sicut triangulum DE super tertiam DE ad triangulum simile DII super quartanam I.
Et Permutando. Ita est triangulum AB C ad triai M igulum D EF ut triangulum AGH ad triangulum DIL. edit triangulum A BG ad triangulum D EI: ita est altitudo trianguli illius ad huius altitudinem,
cum eorum bases DC, . Ei ponantur aequales Et propter eandem rationem: ita est triangulum A G Had triangulum DIL ut illius altitudo ad huius altitudinem, propter bases GH, I L aequales. Ergo cum sit ut tota altitudo trianguli AI ad totam altitudinem trianguli DE F; ita ablata altitudo trianguli A GH ad ablatam altitudinem trianguli DIL. Erit reliqua altitudo, Trapezij scilicet G C, ad altitudinem reliquam Trapezij IF ut tota ad totam;& ut ablata etiam
ad ablatam per is lib. . Sed altitudo Trapezij GC aequalis est altitudini Trapezi ex hypothesi. Ergo tam altitudo trianguli ABC, altitudini trianguli DEF quam altitudo trianguli AGH , altitudini trianguli DI L, aequalis est. Sed basis DC basi EF,in basis G H basi IL, ponuntur aequales. Ergo tam triangulum ABC triangulo DEF; quam triangulum GH, triangulo DIL aequale est per t. lib. Si ergo ab aequalibus triangulis ABCA DEFG demantur triangula aequalia