장음표시 사용
81쪽
AR II. aequalia AGO, DIL, aequalia remanebunt TrapezipG C, IF Vt habet secunda pars propositionis. Si ergo duo Trapezia, &c. Quod erat concludendum. PROP. IV. THEOR.
Si duo Trapezia O C, S P duobus lateribus parallelis P, BC,S ST, EF constent quorum unum OP, uni ST: alterum BC, alteri EF sit aequale 5 secentur alia duo eorum latera B, , similiter in Gm I per quae puncta ducantur GH , I parallelae lineis G, EI. Dico parallelas GH, I L aequales esse.
Praparatio. Producantur BO, C T; ES, F donec illae in A, ista in D concurrant concurrent enim per Prop.2. huius.)
R. L In triangulo AB C, cum GP sit bas: C parallela; ita est A B ad O B ut in triangulo DE linea DE ad
82쪽
LIB. IL Evamen si adraturae primae. 73SE. Per Prop.L. Huius Sedit OB ad G B; ita est ex
hypothesis E ad IE. Ergo ex aequo, ut AS ad GI; ita est D E ad IE. Et Conuertendo. A B ad A avt D Ead DI. Sed ut AB ad AC; ita est BC ad GH Mut DT ad DI; ita EF ad L. Ergo ita est B C ad GH; ut EF ad I L. Sed BC, EF sunt aequales. Ergo, aequales erunt GH, I L. Per i . lib. . Quare si duo Trapezia, c. Quod erat probandum. ROP. V. THEOR. Si a sublimi puncto A, in subiectum planum EF, rectae linea quaecunquet quotcunque, ut A B, A C demittantur. Ducatur vero planum LM plano F E parallelum, lineas A B, A secans in Goc I. Dico lineas AB, Ac similiter secari in vi I.
83쪽
Demonstratio. Triangulum ABC per . lib. i. in uno est plano sed illud planum secat duo plana paralicta EF, LIq. Ergo sectiones communes producit B C,G parallelas per odib. ii Ergo trianguli ABC latera AB, AC secta sunt proportionaliter in Gi I. eadem est reliquarum linearum a puncto A ad idem planum demissarum Ratio. Quare si a sublimi &c. Quod erat pro
PROP. NI THEOR. Si Pyramides triangulares, quarum Verte A, E bases BDC, FH G aequales habeant similes Secentur autem planis IL, m basi parallelis, quae latera Pyramidum similiter secentino, R, P;S,a, T. Dico communes sectiones RP, S QV, esse triangula aequalia
Planah MN sunt ex hypothesi , Pyramidum
basibus parallela. Ergo per I6. lib., communes sectiones eorum planorum cum singulis triangulis Pyramidem continentibus, sunt paralleliae singulis triangulorum basibus. Quare OP parallela est basim trianguli ABG ST parallela basi FG trianguli ἡ 'RJd ς*xζri triangulis. Quia vero exiva pothesi, latus AB ii iangdii ABC; latus EF tricauli
84쪽
LIB. I. Examen quadratura primae. T
guli EFG, secantur similiter in Oi S. Erunt aequales lineae OP&ST per Prop.I. huius Pari modo aequa les erunt O R. PR, T Ergo per 3 lib. 6 triangula ORI. araequalia su nivi similia inter se Quod erat probandum.
PRO P. VII. .HEOR. Eadem facta suppositionePositis scilicet dia bus Pyramidibus ABDC, EFH G triangularibus: quae basibus aequalibus Sosimilibus BDC, FH insistant. Sectis etiam earum lateribus
similiter in acri, vel in vi Q, aut in P T per plana II , MN basibus parallela. Dico ipsas etiam Pyramides per eadem plana simili
85쪽
PARS II. Demonstratio. Cum planum secans IL parallelum sit basi Pyramidis BD C abscindet Pyramidem AD RI. Similem toti Pyramidi ABD C. Per Definit. 9. lib. 1. Siquidem plana omnia Pyramidem nam continentia similia sint planis omnibus alteram continentibus. Similiter Pyramis ESQTabscissa similis est totis ramidi EFH G. Ergo Pyramis AB DC ad Pyramidem AOR P. Triplicatam Rationem habet lateris AB, ad latus homologum x per 8 lib. 1 α Sedit A B ad AD , ita est ex hypothesi EF ad E S. Ergo Pyramis A BD C, ad Pyramidem AOR habet triplicatam Rationem lateris EF ad E S. Sed pyramis E PH G ad Pyramidem Eri QT, habet etiam liplicatam Rationem lateris EF ad E S. Ergo ambae Pyramides ABDC, EF HGsimiliter secantur a planis L M, quae similiter secant latera Pyramidum. Quod erat probandum. Corollarium. Hi ne sit seruata eadem hypothesi, ut truncatae Pyramides, inter bases,& plana secantia interceptae,etiam sint ad tota Pyramides suas, proportionales, Iermutando Vt Pyramis ad Pyramidem , ita truncata Pyramis ad Pyramidem truncatam. Quo fit ut si Pyramides sint aequales;aequales etiam suturae sint huiusmodi
86쪽
LIB. I. Examen Quadraturae primae. 79
PMO P. VIII. THEOR. Duo triangula BD C. Risimilia in situ parallelo similiter ponantur. Sit vero Ri altero minus si bini: bini anguli aequales B, O: R;
C, P, lineis rectis connectantur. Dico has omnes lineas productas ad unicum punctum A concursuras, ad partes minoris trianguli & Pyramidem efformaturas.
Demonstratio. Duae lineae B C, O P sunt parallelae. Et o P minor Ai. est ex hypothesi quam KC. Ergo i citae linea B O, C P, si producantur, coibunt ad partes lineae o P per Prop.2 huius verbi gratia in puncto A. Rursus quia in
triangulo AB C,ducta est O P,basia C, parallela: erit
87쪽
AB ad AO, ut BC ad O P. Sed ut BC ad OP , ita est BO ad O R. eo quod duo triangula BD , ORP, similia ponantur. Ergo ita est BO ad O , ut AB , ad AD. Si igitur D I producatur transibit per A. tque ita fient tria triangula ABC, ABD, ADC; quae super basi BD C, constituta, colliguntur ad punctum A,&Pyramidem formant. Quod erat probandum.' O P. IX. TM TO R.
Si duae Pyramides basi Polygome, aequali
simili insistant cuiusmodi sunt Pyramide tetragona ABCDE, FGHΚI quarum latera se centur similiter in M,N,I, L;&P, R, T, Vaplanis M L, P basibus parallelis. Dico figuras a planis secantibus factas nempe MI LN PT Resse aequalesl, similes.
Praeparatio.' , Ducantur lineae D C, O distribuentes Pyramidum bases in triangula inter se aequaliari similia obsimiliter possita qualia sunt BDC, GK H;&D OE, Κ I. Intelligantur vero per lineas C,ΚHin Pyramidum vertices AF extendi plana Pyramides polygonas in duas Pyramides distribuentia. Demonstratio. Cum ergo duae pyramides triangulares A BD C, FGK H, aequali basi&simili BD C, ΚΗ insistant. Se centur ero earum latera A B, FG, similiter in M&
88쪽
LIB. I. Examena adratura prima gr
P a planis MI, P V basi parallelis: erit per Prop. huius Triangulum MIN, aequale, simile triangulo P TR. Eodem modo triangulum alterum I LN, erit aequalet simile triangulo T V R,& similiter positum. Ex quibus triangulis aequalibus, similibus,& similiterpositis formatur figura polygona MIL aequalis, similis figurae polygona: Pax R. Quae demonstratio in pyramidibus tetragonis allata, cum vim eandem obtineat in quibuscumque polygonis patet quod si duae pyramides polygonae,&c.Quod erat probandum. PROP. X. THEOR.
Facta eadem suppositione. Dico ipsas pyramides polygonas similiter secari a planis ML,PV.
89쪽
ri P ARS II. Demonstratio. Distributis basibus in triangula aequaliari similia: nempe BDC, DCE;& ΚΗ, Κ HI atque tota pyramide polygona in pyramides triangulares Probabuntur pyramides triangulares binae, bina similiter secari per Prop. .Huius .Perplana similiter secantia pyramidum latera Ergo per i lib.s tota ipsae pyramides similiter secabuntur. Quod erat probandum. PROP. I. THEOR.
Si duae figurae polygona BD EC;&MIL N
similes in situ parallelo similiter ponantur; sitver,prior figura maior posteriore Ochini, Mbini earum anguli B, 4 D, I, C. Lineis rectis
Dd. . connectantur. Dico has omnes lineas productas ad unicum punctum A concursuras ad partes
minoris figurae, dc pyramidem polygonam
Demonstratio. Quod Prop. 8 de pyramide triangulari asserui hic de qualibet polygona pyramide asserendum probo: idque repetita illius propositionis demonstratio e Si
enim utraque haec figura polygona BDEC, MI LN in triangula similia distatuatur. Fient multae pyramides triangulares ei citatam Prop.8. Quae unicam pyramidem polygonam componunt. De qua vere asteritur; quidquid de singulis asserebatur. PROP.
90쪽
LIB. I. Examen a uisatura primae 83 ROP. XII. DEFINIT. Ductus plani in planum, est corporis, siue solidi alicuius efformatio quae absoluitur dum planum aliquod alteri plano ad rectos angulos insistens supra eiusdem basim in eo situ fluere per ipsum concipitur, donec eiusdem terminum oppositum attigerit. Siue , est corporis es rinatio, quae fit dum plani recti ad alterum planum, lineae omnes in omnes lineas substrati plani ducuntur.