장음표시 사용
121쪽
II P II. donanturis citisque Principiis velut sibi propriis nituntur Et vero quanti semper fuit momenti apud Geometrast angulorum doctrina Myam frequens usus Consulatur ipse Geometriae parens Euclides. Obseruabitur non obscure iacta ab eo Geometria fundamenta non minus angulis niti, quam propriis ipsis verae quantitatis generibus. Verum si anguli quantitatis Rationem obtinere concedantur. Vel allatum principium corruat necesse
est vel eo stabilito , absurdum a Geometra deductum admittendum. Ergo vero angulos quos libet , pace dixerim tanti viri, quandam quantitatis Rationem sibi vendicare assero & principium illud aeque in angulis ac in reliquis quantitatibus notum esse censeo. At allata demonstratio contrarium suadet euidentissime munquid tam euidenter ut omnem euadat fallaciae suspicionem cita sane ego quidem censeo aliquid fallacia in ea demonstratione subesse.
Quam ut aperiam , haec attente perpendantur.
Abii Vuli Author doctissimus constructionem ad de monstrationem ita praepararis ut anguli DBH, BDqui tanquam partes ex duobus propositis an lis semicirculorum DCBH FEB G in infinitum auferri debent sint rectililio sed angulos rectilineos qui in infinitum ab angulis semicirculorum demi exiliti
quid aliud exigit nisi vitales sint anguli, qui dediit
ab utroque angulo semicirculi demi ut minores lemper sint in infinitum quam terque semicirculorum aequalium angulus : Siquidem omnis angulus
122쪽
LIB. IL Exumen duadraturae primae. IIJlus rectilineus acutus, semper minor est omni angulo semicirculi per i 6Jib. 3. At sit partes
ex Vtraque quantitate demendae eam conditionem admitte
re possiant. Quid tam inaequale quod quale probari non possit
per principium allatum eo modo expositum. Si enim duae sint quantitates una palmaris, altera bipalmaris, quas velim
II probare esse inter se aequales sid perficiam si mihi liceat
partes demendas ita determinares, ut minores in infinitum semper sint quantitate palmari. Si eas partes aequales ex utraque quantitate in infinitum subtraxero. Eas enim ex suppositione demere possum ex quantit
te palmari, quandoquidem minores, quam ea sit, supponuntur multo magis ex bipalmari, eas licebit subtrahere. Ergo iuxta principium allatum aequales forent quantitates palmaris lipalmaris. Quis id admittat es sane qui hanc conditionem in partibus aequalibus in infinitum demendi ex utraque quantitate , adhibere voluerit siue explicite, ut ego in allato exempli, siue implicit , ut vir doctissimus , partes demendas ex augulis semicirculorum iubens esse angulos rectilineos acutos hoc enim ips*,minores semper vult partes demendas troque angulo semicirculi, quamuis inter se supponantur inaequales. Quod P Vt
123쪽
D PARS II. ut euidentius constet. Liceat mihi pro iure meo partes quascumque ex angulis emicirculorum DCBH, FEBG detrahere. Liceat mihi loco angulorum re chilineorum curvilineis, si lubeat, uti. Quis id mihi non concedat Θ cum ipsi etiam anguli semicirculorum curvilinei sint partesque eiusdem naturae, videantur' i 3 exigere. Liceat ergo mihi semicirculum BILM describere maiorem quidem semicirculo: EF G, minorem ver altero semicirculo BCDH Angulum semicirculi LIB M statuere demi posse concedam angulum hunc I B ex angulo CBH. Nequaquam tamen admisero demi posse ex angulo
FEBG. Cum ergo pars quaedam anguli CBH, nempe angulus LIB M ex eo demi possit quae eadem ex angulo FEBG nequit auferri. Nihil absurdi sequitur ex principio allato etiam si anguli in quantitatis sortem admittantur. Imyoptime ex eo concludetur inaequalitas angulorum, quos inaequales semicirculi cum sua diametro continent. Sicuti angulorum contingentiae eo quod quaedam pars unius angulorum illorum demi nequit ex altero. Ita ut absurdum, quod ante sequi Videbatur, non aliunde ortum habeat quam ex suppositione talium partium subtrahendarum, nempe angulorum rectilineorum acuto rum, qui semper in infinitum tales erunt, ut demi possint ex quovis angulo semicirculi cuiuslibet Ouare admittantur anguli cuiuscumque generis in Rationem aliquam quantitatis, verissimum esto principium hac propositione allatum, quo statim usurus sum Propo
124쪽
LIB. I. Examen a gadraturae primae. 437
Psopositione sequenti. Sed quando semel a via digressi
sumus antequam in eam reuertamur, accipe iucundam super eadem angulorum contingentiae materia disceptaciunculam , quam cum Geometra doctissimo Reuerendi P. Gregori olim in Mathematicis discipulo, alias habere me contigit. in proposuit ille Theoremata perquam sane subtilia, nec alia,ut reor,in ossicina procus , quam qua proxime allatum. Sic ergo habet. Theor. Primum. Tangat linea recta CG circulum in x a quo puncto ducatur recta Assi intra circulum cadens. Dico, inquit, eandem esse rationem anguli rectilinei Cini ad angulum rectilineum in D ei deinceps anguli segmenti BAI ad angulum segmenti BAcci deinceps. Demonstratio. Vel enim maior est ra Egi tio segmenti anguli in Iad segmenti angulum B A quam ratio anguli A C ad angulum BAD; vel minor. Si maior cita poterit augeri angulus BA minui angulus BAD, quanquam sine ulla diminutione id ipsum praestari potest ut eadem statuatur ratio, cum ratione
angulorum segmentorum ad praestet linea L M. Quia igitur
125쪽
anguli ii ILigitur ita se habet angulus in L ad angulum B AM; ut se habet segmenti angulus B AI ad segmenti angulum AK: est autem angulus B AL maior angulo AI segmenti erit etiam angulus Bram maior angulo B AK segmenti Quod est absurdum : est enim angulus Bam minor, cum linea A M intra circulum cadat. Non ergo maior eurratio anguli B AI segmenti, ad segmenti angulum B AK ratione anguli B A Cad angulum B A D. Sed neque minor esti tio segmenti anguli B AI ad segmenti
BA. ratione B AC ad angulum BAD. Nam sita est minuatur angulus B AC , augeatur angulus B A D, ita ut
eadem sit ratio angulorum rectilineorum segmentorum,id enim fieri potest.Fiat ducta linea EA F.Quia igitur ita est angulus B AE ad angulum B AF ut segmenti angulus B AI ad segmenti angulum B A . Est autem angulus BAE minor angulo segmenti BAIerit Mangulus Bassi minor angulo segmenti B A . Quod est absurdum. Ergo minor non est ratio segmenti anguli BAI ad segmenti angulum B AK, ratione an
guli ad angulum B A D. Si igitur ratio se menti anguli 'Iodangulum B A segmenti neque
maior neque minor est ratione anguli BAC ad angulum
126쪽
LIB. I. Exumeno adraturae primae. 9
gulum in D. Ergo est aequalis. Quod erat pro
Theor. Secundi An. Tangat linea CD circulum in A,ad quod punctum ducatur perpendicularis A G, qua erit circuli diameter. Dico angulum rectum G A C. angulum in B
semicirculi esse aequales. Praeparatio. Diuidatur utraque semi Fig. scircumferentia bifariam in ΒΛ ad quae puncta ducantur lineae A B, A L. An
bifariam diuidentur citavi quatuor anguli ad A constituti sint semirecti, atque adeo aequales. Quare angulus B A tertia pars erit anguli BAD Et quia per praecedens Theor. ita est angulus segmenti B AI ad segmenti angulum in O viangulus B AC ad angulum B AD: erit etiam segmenti angulus BAI tertia pars segmenti anguli BAO. Ergo etiam segmenti angulus ino, angulo B AI equalis, erit tertia pars segmenti anguli B AO Atque adeo aequalis duobus angulis singulis G AK. A B. Si enima toto angulo B AG segmenti, dematur tertia pars, segmenti scilicet angulus Κ AO;&reliquus angulus lectilineus Acbifariam diuidatura linea AG ito-
127쪽
tum segmenti angulum B AO in tres partes aequales diuidi necesse est. His positis. Semonstratio. H g.is. Angulus B AG aequalis est angulo B AG cui ostensus est aequalis segmenti angulus ΚAOsu BALSi ergo duobus aequalibus B A C. Ad addatur communis angulus B A G fiet angulus rectus G AC aequalis semicirculi angulo GAI. Quod erat probandum. Corollaria. Hinc colligebat Theorematum Author quaedam, quae paradox appellabat.
Primum est omnes angulos semicirculorum omnium a quales esse. Sunt enim omnes aequales ostensi angulo recto.
Secundum omnes angulos contactuum aequales etiam esse inter se. Si enim anguli omnes semicirculorum sunt aequales aequales item anguli recti non possunt non esse equales Anguli contactus qui sunt differentia Angulorum rectorum, Angulorum semicir
Tertium. Quantitatem addi posse quantitati to
128쪽
LIB. I. amen de adraturae priuae. tum tamen non fieri maius patet nam angulus Ontactus additus angulo semicirculi, angulum rectum constituit qui non est maior angulo semicirculi. Quartum Veram non esse Propositionem i9.libi Euclidis sirit ut totuita ad totum; ita ablatum ad ablatum: erit reliquum ad reliquum ut totum ad totum. Nam angulus B AC est tertia pars anguli AD; ' ablatus segmenti angulus B AP, tertia pars ablati anguli BAO. tamen reliquus angulus contingentiae C AI, non est tertia pars reliqui anguli contingentia D AO. Sunt enim huiusmodi anguli contingentiae, aequaleS. Alia plura ex duplici illo Theoremate inaudita sequerentur quae firmissima alioqui Geometriae fundamenta, si verum foret, concuterent. Verum paralO-gismo, quamquam solertii peracuto, conclusio prioris Theorematis, unde secundum pendet, tota nititur: ut multiplici argumento demonstro sequenti Propositiolae,
Theorema. Paralogismo non caret probatio Theorema
tis primi praecedentis. Demonstratio.
129쪽
x α II. te indicant non secus ac infinitas propositiones pro' bant Geometrae per deductionem ad aliquid absurdum, quod nullum visum est unquam absurdius eo: quo assereretur ut hic contingit, totum non esse maius aliqua sui parte vel excedens quantitate , quae exceditur, non esse maius: quod necessario sequitur, si semicirculorum omnium anguli aequales concedaniatur. Nec minus absurdum est quantitatem ad quantitatem addi, neque tamen augeri. Nunquid conclu- Iionem illam augmentatione deductam par est certiorem aestimari Principiis huiuscemodi lumine naturali solis luce non minus splendido notisssimis Imo cum
haec sequantur ex Antecedente illo Theoremate. Solemni Geometrarum more reiiciatur absurdum enim
non nisi ex absurdo proficisci potest. Secundo. Cum dicitur si non est Ratio anguli B AI segmenti ad segmenti angulum B AO, eadem cum ratione anguli AC , ad angulum B AD , vel est ea
maior vel est minor Respondeo neque eandem
minorem quam igitur Nullam. Quid ita i quia scilicet inter eas quantitates, angulum,inquam,CA I segmenti, segmenti angulum B As, quaedam infinitas habetur nouae omnem intereas Rationem tollit. Quomodo In tibi. Si est Ratio
130쪽
LI B. IL Evamen suadraturae primae. 23
Ratio quaedam inter angulum B AG segmentiri angulum B AI siue cxo, segmenti erit etiam Ratio quaedam inter angulum rectilineum B A qui est excessus Antecedentis supra Consequens & segmenti angulum AO, qui est Consequens. Ergo etiam Ratio quaedam erit inter angulum G AK qui semissis est Antecedentis &eundem segmenti angulum ΚAO: Sed angulus Κ AD aequalis est angulo AG Ergo Ratio quaedam est inter angulum, Are segmenti angulum QA O Ergo etiam Ratio quaedam foret inter angulum contingentiae a Diqui est excessus Antecedentis supra Consequens in ipsum Consequens, scilicet segmenti angulum QAO. Sed hoc dici non potest. Nam angulus contingentiae A infinities multiplicatus nunquam excedet aut etiam adaequabit segmenti angulum O A ,qui maior est angulo quocumque rectilineo, qui minor sit angulo D AK Itavi
conditio necessaria iuxta definitionem .lib. ue .Euclidis
ad aliquam Rationem habendam inter se , his quantitatibus desit. Ergo etiamin illis deesse necesse est: scilicet segmentorum angulis B AI, B AO. Vnde
praescinditur tota Authoris ratiocinatio. Hinc obiter
obserues aliud enim ago' nullum segmenti ullius angulum ad alium cuiuscumque alterius segmenti angulum siue eiusdem circuli siue diuersi Rationem habere posse. Nam anguli segmentorum ab angulis rectilineis, inter quos semper inuenitur aliqua Ratio , disserunt angulo contingentia , qui angulos, quibus adhae