장음표시 사용
111쪽
lo S II. latus bina ad latus HT sunt enim duo triangula LIM, QT similia propter angulos RS QSectos, &angulos Hvia illum externu hunc internu in parallelis LH,Wr, aequales)ergo ut BD ad H I;ita est Q adHT. Et Permutando. Ut BD adH Qua IH ad H T. Sed ex hypothesi, ut IH ad Ha; ita est BO ad D O. Ergo ita est BD adHQ ut eadem BD ad Do AEquales sunt igitur linea OD, Q H per γ.lib. 3.quae distantiam parallelarum AD, SO,&LH, V metiuntur utpote ad ipsas perpendiculares. Quare positis stem &c. Quod erat probandum.
Soholium. Demonstrata est Propositio haec, post diametro D, quae & ipsa axis est parabota, atque adeo ordinatim applicata BD, ad ipsam perpendicularis. Quan-
do ver utraque diameter obliqua fuerit, obliqua: ad utramque ordinatim Applicatae , veritas assertionis etiam in hoc casu facile colligetur eadem ratiocinatione, paulo tamen foliasse longiore. Qua omissa, breuissimam accipe. Quaecunqne tandem proponantur
diametri 'xem ducito Am ex quo sagitta A Dabscindatur aequalis abscissis sagittis propositarum diametrorum ducatur BD ordinatim applicata, quae
similiter secetur in , ut alta duae Applicatae sed
lunt. Tunc demonstrabuntur parallelae reliquarum
diametrorum sim sim eodem spatio inter se starer' i eius parallelas , atque adeo inter se ipsae eodem distase. '
112쪽
IO LIB. I. Examen deuadraturae prima. Coroliarium .
si ducantur recta A S, LV, aequalia erunt Trapezia 'S OD,L VIM per Prop. 3. Huius Nam lineat AO,' aequales sunt lineis LM, T, singulae singulis &1unt binae &bina parallela: eodem denique spatio inter se distanti Ergo sunt aequalia huiusmodi Trapezia.
Colligitur secundo diuisis duabus Applicatis Di is HI similiter in aliis atque aliis punctis ductisque per ea puncta lineis parallelis ad diametros: aequali spatio i ter se distare parallelas utriusque diametri, quae sibi respondent, siue quae homologae.sunt. Nam singulae similiter secantis ordinatim Applicatas,eodem spatio distant a diametro, cui sunt parallela per Prop. praece dentem.
113쪽
ros In dentem. Si ergo utrimque aequales distantia a diametris, demantur ab aequalibus aequales remanebunt distantia parallelarum.
PROP. XXIV. THEOR. 'ci. Positis adhuc aequalibus sagittis AD SO LM: quas abscindunt ordinatim ad diametros AD, LIAE , Applicatae BD, IH similiterque sectis ipsis Applicatis in ON T: per quae puncti ducantur OS, T V diametris AD, L H, parallelae. Dico linea O S, T V abscindere ex parabola segmenta aequalia nempe A GS,L RV.
Praparatio. Applicatarum partes abscissae D ,αHT,dividantur bifariam in &Q: per quae puncta ducantur pa rallela: s,a diametris AD, L H occurrentes Parrabolae
114쪽
LIB. II. Examen a adratur primae. I
rabolae in Ci R. Ducantur etiam ΑΛ I secantes proxime ductas lineas PC, Q in Zi G. Denique ducantur recta C A, C S R L, m. Demonstratio. Cum ordinatim applicatae DB, IH similiter secen rtur in O rursus partes abscissa, O,H T simialiter secentur in P& tempe bifariam secabuntur
ipsa applicatae D B, HI limiliter in P nam ut DB ad D O; ita ex hypothesi HI ad T. Et vis ad D in , ita H ad H Q; ergo ex aequo ut 0 ad DI; ita HI ad H Q ergo per Prop. a Huius a quales sunt lineae P CPQR. Rursus quia Trapezium AD O S duabus oppositis lineis parallelis AD, S
constat,quae aequales sunt lineis LM,V .per Prop. 2. Huius:&diuiduntur DO,I T similiter in Pinia: ac tandem ducuntur PZ, Q G parallelae lateribus paralleles Trapeziorum erunt PQ, G aequales per Prop. .
Huius. Si ergo ab aequalibus PG, aequales demantur PQ, G aequales remanebunt T. G. Ad haec. Tam linea Aci, quam linea V bifariam secantur, illa inet, haec in G, ut statim docebo,ergo Ca&ρ sunt diametri ordinatim Applicatarum AS,LV.
Cum ergo sagitta Cet G, ab Applicatis A S, LV
abscissa , sint aequalesci erunt segmenta parabolica AC , LRV aequalia per Propos. a. o. lib. . de Parab. Geometrae. Quod autem AS IV bifariam dividantur in Z&G, ita fit euidens. Si producerentur lineae Ari , D O concurrerent ad partes lineae minoris S O seret
115쪽
ros II. fieret triangulum cuius latera secarentur a parallelis S, PT proportionaliter. Ergo tam AS in T. quam D O in P bifariam diuiduntur. Verum ergo esto, quod postis aequalibus sagittis , c. Quod erat probandum. PROP. XXV. THEOR.
Iisdem postis. Dico tam Trapezium ACPD, in se ductum corpus generare aequale corpori orto ex ductu Trapezij RQ H in es Quam
Trapezium CSOP in seductum, aequale corpus producere corpori orto ex TrapezIO
Demonstratio. Duo Trapezia AC PD LRQ H constant duobus lateribus A D, P. Et L H RQ parallelis &aequalibus per Proptat. Huius iunt enim ordinatim
Applicata. B, HI similiter sectae in P sic trius
116쪽
LIB. II. Examen a galbaturae primae ro'
que porro altitudo est aequalis per Prop. 23. Huius ergo per Prop. .Huius aequalia sunt duo illa Traperia. Ergo per Prop.M. Huius. Si in se ducantur,corpora siue solida Trapezia, aequalia generabunt Pari modo Trapezi CSO , UT Q. Solida Trapezia, si in seducantur, aequalia producent. Quare iisdem positis,&c. Quod erat probandum. PROP. LXXVI. THEOR.
Iisdem adhuc postis Sectis scilicet, ordina Fili tim Applicatis D , HI aequales sagittas AD, LM abscindentibus similiter in Oec T. Sectis item DO, H bifariam in P ductisque lineis PG, QR parallelis ad diametros AD,LH.
Ac tandem iunctis AC, CS, dc LR,RV. Dico corpus ortum ex ductu polygoni AG S O D in se, posita basim σοῦ aequale esse corpori orto ex
ductu polygoni, LR in se, posita basi siue principio ductus, a. Idemque semper euenire .ssi rursus basium partes Di, PO M Q, Jbifariam diuisis, d per diuisiones ductis lineis ad diametros parallelis, multiplicentur polygoni utriusque latera, ad parabolam Applicata.
Demonstratio. Cum ex praecedenti Propositione constet Trapezium AC P in seductum. Trapezium solidum enerare aequale Trapezio solido , quod ex Trapegio LR H in se ducto generatur Idemque deTrapeziis
117쪽
no I AER S II. CSOP, R TQ conclusum sit. Constat duo simul Trapeata solida ex duobusTrapeziis prioribus in se ductis orta quae aliud non sunt quam corpus ex pol gono AC SOD in se ducto genitum AEqualia esse duobus Trapeziis solidis posterioribus,hoc est, corpOxi ex polygono LRVTH in se ducto, genito. Quae
ratio , cum valeat in quavis multiplicatione laterum polygonorum per continuam bisectionem linearum D O, Ma, instituta Patet totius propositionis ve
Ex praecedentio proxime allata propositione sequitur. Qu'd si ipsa integra ordinatum Applicata Di, H I continue bisecentur: parque fiat partium utriusque Applicatae multitudo ex quibus singulis partibus parallela educantur ut fiant polygona , quemadmodum in hac propositione constructa sunt Polygona huiusmodi in se ducta generare corpora a qualia nec alia opus est ad hoc probandum demonstratione,quam proxime allata perpetua enim illa bisectio utriusque Applicata: utramque in partes proportionales diuidit; unde , facta polygonorum constructione , sequitur aequalitas corporum ex polygonis in se ductis, genitorum. Imo nec bisectio omnino necessaria est ad polygonorum constructionem. Si enim utraque ordinatim Applicatam , HI similiter quomodocumque secentur: reliqua absoluantur ad polygonorum constructionem necessariari generabunt huiusmodi
118쪽
LIB. IL Examen aeuadraturae primae inipolygona in se ducta, solida aequalia. Quod eodem modo demonstrabitur , quo demonitrata est Propositio superior.
PROP. XXVII. AXIOMA. Illia quantitates dicenda sunt aequales a qui-Fbus in infinitum partes dem pos uni inter se
Assumit hoc principium tanquam per se notum Geometra lib. 8 de Proport. Princ. I. nec puto quem quam ab eo dissensurum si modo sensum terminorum percipiat,qui est huiusmodi.Si propositis duabus quantitatibus, liceat partes in alterutra assignatas , ex altera demere non possunt non esse aequales duae illae quantitates. In alterutra , inquam assignatas. Ita vi su stractio illa partium mutua .Reciproca esse possit: Alioquin si partes detrahendae in altera tantum earum quantitatum assignarentur, quae ab altera demi deberent falsum sequeretur interdum ex hoc principio. Nam proponantur duae quantitates, palmaris una altera bipalmaris partes omnes palmaris demi semper poterunt ex bipalmari, sequi tamen non potest ex eo aequalitas duarum illarum quantitatum optime tamen sequetur si libera sit partes aequales ex viralibet demendi facultas. Neque enim in casu proposito licebit partes quaslibet in bipalmari assignata ex palmari subtrahere; unde non aequalita earum quautitatum,
119쪽
111 II. sed inaequalitas concluderetur. Atque hic est,haud dubie,Geometrae sensus iuxta quem,principium censuit tam euidens; ut cum obseruaret in angulis omnino,Vt videbatur, non habere locum angulos maluerit aratione omnis quantitatis excludere, quam huic principio assensum non praebere. Circa quod ut sensum expromam meum, licet ab instituto nonnihil recedere videat; luadet in primis admiranda angulorum contingentium natura qua de hic agitur. Et a summo Geometra disputatur. Cuius loco citato haec sunt
quodsi, inquitister meras quantitatas decies Angulos admiserimus .incidemus in Labyrinthos quibus Geometria principias eluant, necesse est. quod i manifestum fiat, sequentis propossitionis demon'rationem considerandam
Contingat recta Ai duos circulos se contingentes in Beexhibentes duos angulos contingentia
aquales. Demonstratio. t, inquit , dicem aequales quantitates a quibi mi tum partes Memip M inter se aequales. Sed hoc
occurratse circulo BEG in F Igitur angul DBII, qualis
120쪽
LI B. I. Exumen 1 uadraturae prima II 3lis est angulo F BG. Eadem ope HI
ratio fiat de arcu B CD. Bisecetur scilicet in C, Uponatur recta B C. Itaque etiam Angulud BD qualis est Angulo EB F. Sed hoc in infinitum fieri potest. Igitur quantitas Anguli BCD semicirculi, aequalis est quantitati Anguli GBE alterii semicirculi. dua re reliqui etiam Anguli contingentiae, qui complent rectum Angulum seunt inter se aequales. Hi uc consequitur doctrina, quae
plane de Truit Geometriae principia quod scilicet totum sit parti suae aequale. Nam Angulus semicirculi GBEF, pars est Anguli HBCD tamen Hens est huic Angulo
Haec Geometra. Ex quibus patet, ut allati principi robur tueatur .angulos, qui illud 'bseruare minime possunt extra omnem quantitatis Rationem constituere. Cui hac in re , ut assentiam quamquam tan. tus Author summi sit apud me ponderis, adduci vix possum. Vt enim concedam angulos cuiuscumque generis inter veras hactenus receptas tres quantitatis species reponendos non esse quantitatis tamen Rationem proxime aemulantur; quidem euidentiusquam tempus, Vel motus, aut ponderum momenta: quae ut multa alia, propter quandam quantitatis Rationem, quam obseruant vera ipsius quantitatis iure donanturi