장음표시 사용
131쪽
Tertio. Etiam concesta, quod inter angulos seg
mentorum A Ratio aliqua intercedat. Posito etiam quod asseram Rationem B AG anguli,ad angulum B AD; maiorem esse Ratione anguli B A segmenti ad segmenti angulum B AK. Tunc iubet Author ut minuatur angulus B AC ut statui possit illa Rationum aequalitas sed ita iubet ut velit diminutionem illam neri per lineam rectoam A E. At ego, cui liberum est diminutionem anguli illius B A C instituere siue per rectam lineam sue per curvam , donec ipse probet per curuam fieri non posse volo angulum illum percuruam minui, descripto scilicet maiore alio circulo A N tangente in Aciam priorem circulum quam rectam CD. Ita ut iam angulus Ba ad angulum BAD eandem habeat Rationem quam segmenti angulus BAI, ad segmenti angulum B ΑΚ. Quid tum ex eo absurdi sequitur Nihil omnino Atque adeo tota evanescit vis illius Argumenti. Quod si contendat ita minui debere angulum B AC siue perrec an ut Assi, siue per curuam, Ut angulus reliquus minor sit segmenti angulo BAI ita ut describi velit cuculum minorem circulo AIB, qui eundem tangat in A. Respondeo nec debere nec posse id exigere non debet, quia nulla affertur Ratio, quae id ita fieri debere
132쪽
VI B. I. Examen a Puadraturae primae 2J demonstret . Nec vero etiam potest 'uia tunc iubet absurdum construi quod cum aperta principi petitione, in me retorquet. Quis enim non videat, si talis
diminutio fieri imperetur anguli DA C, ut reliquus angulus minor sit angulo in segmenti aduersarium cogi, aliquid asserere unde absurdum ipse deducas ut tibi potius absurdum illud in antecedentibus commisia sum, quam ipsi tribui debeat atque adeo ex absurdo a te supposito postmodum inferre te angulum B AF, aut A D minorem esse segmenti angulo B AK; eo quod angulus BAE minor sit segmenti angulo A cur enim minor est angulus B AE, angulo B AI segmenti:
nisi quia ita statutum a te prius fuit. Atque haec satis ex occasione de mirabili natura anguli illius contingentiar. Institutum prosequamur.
PROP. IXVIII. THEOR. Positis adhuc quae superioribus Propositionibus posita sunt. Abscindant scilicet ordinatim Applicatae DB, HI aequales sagittas AD, L H ex diametris Parabolae ipsaeque Applicata: similiter secentur in O dc per quae puncta ducantur OS T V diametris parallelae, abscindentes ex Parabola arcu A S, T MV. Dico
figuram mixtam, quae continetur arcu Parabo
lico AG S. rectis lineis A D. O. S; in seductam producere corpus aequale corpori producto ex figura mixta L RI TH in se ducta. o Praepa
133쪽
Praeparatio. Fig.Li. Ducantur AS .LV abscisos arcus parabolicos subtendentes diuidatur utraque linea O, dem Tbifariam in in Q ductisque PC, QR diametris, parallelis, parabolae occurrentibus in C, R iungantur lineae rectae A, C S,&R L, RV; Rursus silubet, dividantur parte PD PO; item H, QTbi. fariam 5 eadem constructio absoluatur: ita ut polygona describantur in segmentis Parabolicis AC b, LRV,
quotcumque libuerit laterum. DemonHrat M.
Quia corpus ortum ex ductu Trapezi AS OD in s. aequale est corpori orto ex ductu Trapezi LVTH in se, pei Prop. m. Huius. Item per Prop.26L Corpus ortum ex polygono rectilineo A C LO D in se ducto; aequale est corpori orto ex polygono rectilineo
134쪽
LIB. II. Evamen quadraturae primae a L RUTH in se ducto 5 ita in infinitum multiplicati polygonorum lateribus, semper equalia corpora, si in se ducantur huiusmodi polygona productura sunt.
Hinc fit, ut ex utroque corpore Quod generatur ex Trapezio mixto Parabolico A QUOD .d maxio Trapezio I RVTH in se ductis dem pos Stat corpora facta ex polygonis rectilineis A SOD , AUT Hin se ductis:quae corpora cum sint aequalia per Prop.26. Huius. Costat partes illas aequales auferri posse ex Vtroque corpore ex Trapeziis mixtis in seductis genito. Rursus quia ostensa sunt corpora facta ex ductu po Fig. lygonorum rectilineorum AC SOD , RUTH in se aequalia esse. Et utrumque minus est corpore; quod fit ex ductu raperiorum mixtorum Parabolicorum AC SOD, LRVTH in se: Poterunt illa corpora ex his tamquam horum partes auferri. Quae sub
tractio cum possit in infinitum institui, multiplicatis in infinitum polygonorum lateribus, magis magisque semper ad parabolam accedentibus. Quid obstat,quo
minus concludamus ex allat axiomate Propositione praecedenti, genita corpora ex Vtraque figura mixta , arcu A CD, rectisque lineis AD, DO OS; arcu LR , rectisque lineis LM , T , T comprehensa in se ductes aequalia esse inter se. Quare positis
adhuc,&c. Quod erat demonstrandum. Coro arium. Ex praecedenti discursu manifestum etiam fit, corpora genita ex ipsis integris semisegmentis parabolicis AC SO
135쪽
8 TARS ILAC SODA, LRVTHL in se Lactis , aequalia ellie, imo Dipsa segmenta integra , quorum illa sunt dimidia si in se ducantur, corpora producent aequalia: Vtrobique enim possunt corpora aequalia ex inscriptis polygonis in se ductis genita a corporibus ex ductis segmentis parabolicis in se ortis , genitis, tanquam
PROP. XXIX. DEFINIT. Vngula Parabolica st dimidium corporis illius, quod ex segmento Parabolico in seducto
generatur, abscissum plano secante per diam e-trum, totum illud corpus.
Esto segmentum vel quod aptius est, semisegmentum Parabolicum ADC , idem quod
in antecedente propositione habetur, contentum axe ipso
AO,kordinatim applicata DC ad angulos rectos ad axem, arcu Parabolico A C. Vt segmentum hoc in se ducatur, concipiendum est circam Applicatam conuerti haec enim communis basis est, unde motus siue ductus initium sumitur donec ad planum substratum ad rectos sit angulos quale representatur forma DBLC. In qua Di concipienda est
136쪽
LIB. I. Examen quadraturae primae. 129
est aequalis axi in in ad substratum planum Orthogona curua vero linea KL C, aequalis Parabola AI C. Iam segmentum D B L C in eo situ conceptum,ssuere concipiatur, donec linea Di peruenerit ad finem fluxus, empe ad A. Et situm eundem ina retineat quem obseruauit toto fluxus tempore, nempe rectum 'ualis est AE. Descriptum erit tunc a lineam B, Quadratum AE B. Interim adiae lineae breuiores, qualis est Gi,e citius ad terminum peruenerunt quo uriat breuiores ut Prop. 12. Explicui,quam hic iuuat sigillatim applicare ob rei momentum. Singulta tamen descri-- unt Quadratum; ut G L,Quadratum describit GIFL. Absoluto motu, habemus corpus circumscriptum superficie Parabolica AIC substrata: Parabolica item
superficie prior aequali, ad eam Orthogona DBI C.
Et duabus curuis superficiebus quarum altera gener tur ab omnibus punctis Parabolae BL C, per fluxum est superficies curuas quam recta B E, duae lineae curua: E FC BL comprehendunt. Altera est huic aequalis, generatur ab omnibus lineis motis, dum erecta stant in termino fluxus super Parabolam AIC substratam,cuiusmodi sunt lineae A E,I F. Conueniunt ver dc se mutuo intersecant duae ill e curuae superscies in linea curua communi Et C. His rite perceptis,
quae sibi mens aptius proponit quam ulla designatio Ρ,ssit exhibere 'uod est solemne in solidis expris
mendis in area plana incommodum ys tandem concipiatur planum agi per diametro Quadratorum D E, GF&aliorum omnium transiens per lineam curvam
137쪽
E .rc. ' C,&rectam DC extendi, tu enim per lineas parallelas Di , GF qua diametri sunt Quadratorum diuidet planum hoc, ut patet, corpus ex segmento Parabolico D AC in seducto generatum in duas par
tes aequales. Harum ergo alteram Voco cum Geometra Vn
gulam, ob similitudinem ungulae equincera praesertim si loco semissegmenti, totum segmentum in se ducatur, ut integra appareat n- gula.
Porro superficies illa curua, quae lineis super Parabolam A IC perpendiculariter erectis super planum substratum ADC componitur Cylindrus est Par bolicus, vel eius pars sicuti altera ei aequalis, quam efformant lineae BE L F de aliae huiusmodi a Parabolan C perpendiculariter erectae ad planum B C. Qinecunque demum hic exposui adhibito segmento Parabolicori quod abscindit ordinatim applicata D C recta ad axem AD eadem reliquis segmentis parabolicis, quae ab obliquis ordinatim Applicatis abscinduntur, quale est segmentum L HI in figura superioris Propositioni 28 aeque conueniunt his tamen hic etiam obseruatis, quae supra Prop. u. Circa planorum obliquorum in seductum, obseruanda monui. PROP.
138쪽
LIB. I. Examen uadraturae primae. Icti
R O P. XXX. THEOR. Sit parabolaea Padiameter A B. Dico ullam aliam Parabolam cuius eadem sit diameter Assi, idemque vertex A describi posse quae cum Parabola in alio puncto quam in A con
Sit enim , si seri potest , alia Parabola Assic quae cum Parabola AF conueniat in C. Ducatur ordinatim Applicata C B, ad diametrum Alci alia item ducatur ad eandem diametrum ordinatim Applicata EFG secans utramque Parabolam ina .F. DemonBratio. Vt sagittavia, ad sagittam G A ita est quadratum ordinatim Applicatae BC ad quadratum ordinatim Applicatae EG in Parabola AE CL& ita etiam ad quadratum ordinatim Applicata EG in Parabola ARCper o lib. i.Appollonij. Quadrata ergo linearum in qualium GE, F. Sunt aequalia. Quod est absurdum. Quare si sit Parabolae , c. Quod erat probandum. corolla
139쪽
Hinc necessario sequitur ut si duarum Parabolarum sagittae, ordinatim Applicatae congruant Idest, si sint aequales, Langulos aequales comprehendant ipsas etiam Parabolas congruere sarumque curui tatem in infinitum productam , eandem utriusque
PROP. XXXI. THEOR. Si linea qua libet A bifariam dc ad angulos rectos secetur in Ia linea GH. Duabus autem lineis AB, AI tertia proportionalis statuatur I L. Erit A B latus rectum Parabolae per puncta A, L, B transeuntis,cuius axis est LIG.
Demonstratio. Dc. it. Cum tres lineae AB, AI, I sint continue Proportionales ex hypothesi. Erit Quadratum mediae AI aequale
140쪽
LIB. I. Examen quadratariae primae. 133 aequale rectangulo sub prin3 AB,&tertia In Si ergo Parabola A L B describatur erit ordinatim Applicata Al ad eius axem LI. cum bifariam in P ad angulos rectos secetur a linea LI .cius latus rectum erit A B. Siquidem haec est lateris recti Parabolae Miusuis proprietas ut rectangulum sub latere recto, &abscissa sagitta per ordinatim Applicatam , aequale sit aadrato ordinatim Applicatae sagittam abscindentia. Vnicam verbiarabolam per tria illa puncta A,L, B, describi posse patet per Prop. 3o. Praecedentem. Quare si linea quaesibet, c. Quod erat demonstrandum, PROP. XXXII. THEOR.
In eadem figura. Si duo Quadrata AD, AF super B describantur. Describantur autem duae Parabolae Ario, cuius axis sit AC, vertex A et B LE, cuius axis sit B F, vertex B. Quarum latus rectum sit AB, idem quod Parabolae ALB superiori propositione descriptae. Dico hasce tres Parabolas A SD, AL B, BL aequales esse id est si earum axes superponantur; λ-
re ut Parabolicus ambitus earum mutuo congruat a vertice in infinitum productus. Praparatio. Ducatur per L verticem Parabolaea B linea LX, Abir. ad eius axem I L perpendicularis.