장음표시 사용
141쪽
Demon stratio. Probandum inprimis est LX esse ordinatim Applicatam ad axem BI Parabolae B L F. Atque adeo Parabolam hanc secare Parabolam ALB in ipso illius vertice L. Hoc ergo ita notum euadet Sagitta I L est quarta pars lateris recti A B. Nam in Antecedente propositione. Ita est ex constructione AB ad AI vix ad I L. Sedam dupla est linea AI. Ergo AH dupla est etiam lineae i. Ergo Al siue B F quadrupla est lineae iriues X. Si ergo per punctum X intelligatur duci ordinatim Applicata ad axem T Parabo ala Bi si quam positione congruere necesse est cum linea L , licet nondum constet congruere longiti di ne)ita se debet habere Quadratum Applicata FEad Quadratum Applicata per X ductae ut se habet linea' 'ad lineam B X. Sed BF ostensa est quadrupla lineae X. Ergo quadratum Applicatae E, quadruplum est quadrati Applieatae per X ductae. Quadratum
142쪽
LIB. I. Examen quadraturae primae. I Jdrarima autem Applicatae E est quadruplum Quadrati lineae La quae lineae PE scintilis est ergo ordinatim Applicata per X, non tantum positione congruit cum linea L X sed etiam longitudine hoc est,Parabolam transit pera , verticem Parabolae ALB. Quod cum ita sit. Cum duarum Parabolarum ALB, s. 18. LE, sumptis aequalibus sagittis L I, B aequales sint ordinatim Applicatae B l, L X in aequales angulos, nempe rectos contineant dubium non est quin Parabolarum ambarum curuitas sit aequalis a vertice L B in infinitum extensa per Prop. 31 Cum ero par in omnibus sit ratio Parabolarum Ad D, i L E nec, nisi solo situ, qui subalternus est, discrepent. Concludendum est, trium illarum Parabolarum eandem esse curvitatem. Quod concludendum erat.
RROP. XXXIII. THEOR. Iisdem in eadem figura positis tribus scilicet descriptis Parabolis A SD, B LE, A LB, in eo situ intra Quadrata AO, AP, quo iam descriptae sunt. Dico solidum quod fit ex Parabola ALB ductu in se sequari solido quod generatur ex superficie mixta A SOB, in parem mixtam superficiem BLEA subalterne positam.
Demonstratio. Haec eadem est propositio quam affert, & submo Micio.
re accurate demonstrat Geometra, Prop. 2. lib. o. ut
constabit, ubi ostendero Parabolam meam A bl eandem
143쪽
136 S II. dem este cum Parabola, quam ibidem descriptam supponit Qu9d ita per Prop.3i. Huius euidenter ostendo , Nam supponit ipse sagittam I Parabolae suae tertiam esse proportionalem duabus AB, sive GI MAI. Hoc ego idem supposui Prop. praecedenti Applicata veryillius, meaque est eadem A ad eandem diametrum LI , ambae angulos aequales, nempe rectos continent. Ergo idem debet esse utriusque Parabolae I f ambitus, eademque curuitas per citatam Propositionem nostram. Hoc demum ita declarato Propositionis huius demonstratio ex Author peti debet cum tota ex multis aliis eius principiis pendeat quae ab re fuerit hic repetere, cum mini solum exponendae Veniant propositiones,qua proxime attingunt primariam illam, S ad quam tantum opus totum refertur, ad circuli quadraturam , pertinentem. PROP. XXXIV. PROBL.
Solidum. Quod explano mixto A SOB ducto in planum mixtum L EA, hoc est, in se subalterne positum, oritur; cubare, siue, in corpus planis, rectilineisque superficiebus circum
' i , Cum corpus ex illis mixtis superficiebus subalterne positis in se ductis genitum , aequale sit per Prop. 33. Corpori genito ex Parabola AL B in se ducta Corporis vero illius dimidium sit vogula Parabolica ut supra
144쪽
LIB. IL Examen a adraturae primae.
I 57 Prop. 29. Exposui. Quam Vngulam incubum siue aliud i , solidum rectilineum mente sane Archimeda aco uertit Geometra, hic ipse adeundus est. ex eo problematis huius solutio repetenda: hic tamen proponenda;vt eam ad numerorum rationes clare reducam ex quibus totam hanc Quadraturam perpendere , mihi ab ipso primo exordio huius exercitationis fuit propositum. Exponatur ergo Parabola A Ll,quae in seducta solidum generat cuius semissis est ungula in corpus rectilineum commutanda Ostendit Geometra Prop. 98. lib. si totam ungulam aequalem esse Pyramidi, cuius
basis est triangulum AB L .altitudo , si ipsius ungulae altitudo nempe in hoc casu, in quo diameter II Parabo , est etiam axis .est ipse axis II: Dpraeterea segmento Cylindrico cuius basis est segmentum Parabolicum A CI vel B DI altitudo vero, IL, eadem cum altitudine ungulae idenique duabus quibus dam quantitatibus aequalibus inter se Laequalibus, ut offendit Prop. 7. Minori cuidam ungulta bis sumptae: quae
145쪽
138 PARS II. quae resecatur ad verticem totius ungulae, plano secante quod partem quartam altitudinis ungulae abscindit. Hanc vero minorem ungulam ostendit Prop. 1. Esse unam e triginta duabus partibus; in quas diuidi tota ungula concipi potest. Quibus stabilitis ignorari non potest ungulae propositae solida quantitas vel Geometrice, vel Arithmetice sevi maxime intendo inuestigata.
Nam in primis triangulum rectilineum A L s quod basis est Pyramidis, eiusdem cum ungula altitudinis)notum est. Nota etiam est eius altitudo I L. Ergo nota est ipsa Pyramis.
i .is. Secundo basis Parabolica et L segmenti Cylindrici, nota est in mensura rectilinea, est enim sexta pars trianguli AL Brectilinei, cum enim ostendat Archim. lib. 2. de Parabola Prop. L .i Geometra lib. s. Prop. 232. Parabolam ACL B esse sesquitertiam trianguli ALB. Duo segmenta Parabolica ACL, DLsmul, sunt tertia pars trianguli ALB. Ergo alterum eorum segmentorum, verbi gratia, AC est sexta pars eiusdem trianguli Atque adeo nota Altitudo vero segmenti Cylindrici super basi CL erecti, est L nota. Ergo etiam nota est quantitas solida segmenti huius Cylindrici in rectilineis 'mutata scilicet eius base Parabolica AC L in sextam partem trianguli ALB. Tertiis denique.Cum minor ungula supradica a,lit una ex triginta duabus partibus totius ungulae, id est, ita se habeat ad totam ungula,ut unum ad triginta duo si ea bis tu matur visumi debet ad complenda iugam ungula
146쪽
LI B. II. Examen si adratura rimae i 3'
una cum Pyramidei Cylindro Parabolico, de quibus Fig. ia. paulo ante dictum est erit ad totam eandem ungulam, ut duo ad triginta duo. Et Diuidendo. Ita est ungula haec minor bis sumpta, ad id quod reliquum est ex tota ungula; id est, ad Pyramidem&segmentum Cylindricum simul 1, ut duo ad triginta silue, num ad quindecim. Si igitur solida quantitas ex Pyramide, .segmento Cylindrico composita , iam notas diuidatur in partes quindecim aequales; una ex illis addatur ad compositam quantitatem ex Pyramide de Cylindro; nota euadet totius ungui, quantitas ipsumque adeo solidum ex ductu planorum mixtorum in propositione assignatorum: si nimirum inuenta soliditas ungui duplicetur. Quomodo vero Geometrice Pyramis illa DCylindrus Parabolicus in quantitatem Unicam coa lescant;passim apud Geometras habet unxnotum eua det inferius Vbi per numeros solutionem problema
tis aggrediar. Sed viro uis modo positum Problema soluere placeat Geometrico vel Arithmetico quod
147쪽
PROP. XXXV. THEOR. Pyramis, cuius Basis est triangulum maximum L Parabolae inscriptum , ad Cylindrum, cuius basis est segmentum ACL Parabolicum altitudo vero utriusque est eadem, nempe IL, habet proportionem duplam.
Demonstratio. FD. 18. Nam Prisma, cuius basis est triangulum ALB, idem quod basis est Pyramidis altitudo vero utriusque eadema L est triplum Pyramidis per .lib. 4. Quia vero segmentum Parabolicum Aci ostensum est Prop.34. num. 2 esse partem sextam trianguli ALB. Erit Prisma
sextuplum Cylindri eiusdem altitudinis super basi Parabolica A C L. Ergo Pyramis erit eiusdem Cylindri
PROP. XXXVI. PROBL. Solidum, Quod Prop. 34. Geometrice inuestigatum est, in numeris notum facere. Constructio. Eadem exponatur Parabola ii qua in se uela
solidum, quod in uestigatur, producit. Quod, ut supra citata propositione exposui, duas continet Iagulas Parabolicas. Quarum unam, quod satis est, cum sint
148쪽
sint aequale in solidum rectilineum paulo ante conuerti. Iisdem ergo omnibus supposui quae Prop.34.
supponebantur. Posito scilicet latere recto A B &linea Issi tertia proportionali duabus datis AT , AI ita Arithmetice Problema solvemus. Posita AB partium 2 eius semissis AI erit i IL, imis. cum his duabus tertia sit proportionalis , erit --. Ex
his datis, quod quaeritur definiendum est inuentis scilicet, Pyramide cuius basis est triangulum A LB,&altitudo L Cylindro Parabolico , cuius basis est segmentum Parabolicum AC L. altitudo eadem i. Denique parte decima quinta aggregati ex Pyramide Cylindro quae eidem aggregato addatur ad totam
ungulam complendam Ex his enim tribus quantitatibus constat, ut Prop. Expositum est Pyramis habetur, ducta AI. , in II ut habeatur area trianguli A LB, siue baseos Pyramidis Huius aleae tertia
pars est . Quae ducta in altitudinem L gignit - soliditatem Pyramidis. Cylindrus Parabolicus baseos A CI altitudi ni, I L. st dimidia pars Pyramidis, ut Propositio
ne Antecedente ostendi ergo Cylindrus ille est Fig. i 8 Pyramis Cylindrus rimul essiciunt sue, assumptis minimis terminis . . Huius decima quin
ta pars est haec addita ad , Pyramidem. Cy lindrum simul producit sue, et pro soliditate tota ungulta. Hax duplicetur habebitur ita soliditas
corporis ex Parabola A L B in se ducta, geniti. ii odidem est, cum eo quod producitur ducta superficies mixta
149쪽
PROP. XXXVII. PROBL. Traperium solidum, siue truncatam Pyramidem cuius duae oppositae facies Quadratae sint& paret telae te notis lateribus, altitudinem O tam faCere Geometrice, Arithmetice.
Constructio. Datum sit Trapezium solidum A eius Rationis; quae in propositione ilignatur, cuius altitudo sit M. Soliditas eius Geometrice qua itur id est. Quaeritur Parallelepipedum ei aequale Quod cum sit regularride ad formam ubi qui solidorum mensura est accedat in ilium mutari debeat;tunc Geometrici aut notulit' aut nosci aptius erit. Exponatur eius basis Quadrata D m qua superjor facies ei opposita, item Quadrata
150쪽
LIB. I. Examen uadraturae prima 43ta designetur BG, productis eius lateribus FG,&HGVsque ad O MI ,erit Quadratum G D: cuius atris L D, est excessus lateris a baseos,supra latus GL siue FG
facie , superioris oppositae. Diuidatur Quadratum D in tres partes aequales, diuisio eius latere a tri. fariam cuius OS sit pars testia ductaque Sa parallela lateri G L. Deinde tribus lineis, E O lateri minoris Quadrati; O D, differentia laterum; SD, tertia parti huius differentiae ; quarta proportionalis inueniatur.
cui aequalis ponatur OX, EV ducta etiam X. Dico rectangulum B X esse bala in parallelepipedi, sub altitudine datam , aequalis Trapezio solido A.
Trapezium A maius est parallelepipedo, cuius basiis Agim est Quadratum minus B G, siue superior eius facies,&altitudo data M:duobus Prismatibus aequalibus, quorubases sunt duo rectangula G C, a contenta sub latere GF minoris Quadrati, G L excessu lateris maioris Quadrati GD, supra minus C I praeterea PDramidi, cuius basis est quadratum G D. Sed duo illa Prismata simul aequalia sunt parallelepipedo; cuius basis est rectangulum HO; altitudo eadem nempe M. Pyramis vero cum sit per dib. M Tertia pars parallela-pipedi cuius basiis est Quadratum D altitudo :erit parallelepipedum cuius basis est rectangulum S , stertia scilicet pars Quadrati aDὶ altitudo M,aequale huic Pyramidi. Sed per 31. lib. 11. Parallelepipedo