장음표시 사용
151쪽
I4 P II. M cuius basis es rectangulurn EX Nam duo rectangula E X, Si aequalia sunt per i 6. lib. 6. Contenta scilicet sub duabus extremis O, O , de sub duabus mediis S quatuor proportionalium inuentum est ergo Parallelepipedum dato corpori A aequale. Quod
notum Geometrice facere propositum erat.
pi .i, Sed Arithmetice hoc idem praestabimus ex iisdem datis, lateribus scilicet Quadratorum, altitudine M.
Sit in primis data altitudo M. O. Latus vero maius BE, 7. Cuius Quadratum BD est 49. Latus minus B H . Cuius Quadratum 6. Differentia laterum BE, B H;
est in cuius Quadratum G Di Ablato ergo Quadrato b G i ex Quadrato BD 9 remanet gia 'mons Di 33. Ablato item ex gnomone, Quadrato G D 9: remanent duo rectangula relualia in GV 1 . Ergo alterum ex illis nerias' GE, est 2. Quod cum Quadrato G B i , cilici re elangulum BD, 28 cui addenduin est rectangulum PD, vel ei aequale E X tertia scilicet fars Quadratim V, quae est . Fiet ergo area
152쪽
LIB. I. Examen quadraturae primae. totius rectanguli R X i. Quae ducta in altitudinem datam M in Fiet tota soliditas corporis A, IO. Tota ergo ratio huiusmodi truncatas Pyramides per numeros inuestigandi, paucis hoc modo tradi potest. Ducatur latus BF minoris hi adrati, in maioris latus BE: de rectangulo facto F addaturri tertia pars Quadratiare, differentia laterum , ut fiat totum rectangulum B X: Quod in altitudinem corporis A ducatur. Fiet enim Parallelepipedum aequale corpori A. Huius praecepti demonstratio illa ipsa est quam ad methodum Geometricam soluendi Problematis paulo
PROP. XXXVIII. PROBL. Si in figura Propositionis i. hic repetita du- fg,
cantur duae quo libet Parallela: OT, Si licet haec sit axis Parabolae Ail secantes in Ovia: item in Si L, duas Parabolas subalteriae positas Parabolam vero A L B, in V I. Et denique ordinatim Applicatam A B, iii Z a. Et oporteat
solidam quantitatem reperire tum Geometrice, tiam Arithmetice corporis quod fit ex ductu mixta superficiei contentae lineis rectis O Z, I,
IS de Parabolica Ori in mixtam superficiem clausam lineis rectis TZ, ZI, I LM Parabolica TL.
Huius fere solius Problematis causa, ea omnia a me tradita sunt: quae hactenus ς Geometria repeti tan-T quam
153쪽
quam lemmata ad huius solutionem necessaria. Licet enim Geometra ungulam Parabola in cubum conuertisset, cum ordinatim Applicata Parabolam abscindens, est recta ad suam diametrum , quae tunc axis etiam est Parabolae. Qualis est hic Parabola A Ll, ab ordinatim Applicata Am Orthogona ad axem LI, abscissa Attamen nusquam apud eum reperire licuit mentionem eius Parabolae, quae ab Obliqua ordinatim Applicata K. is abscinditur. Superioribus ergo Propositionibus aliquot, nempe, ,2 , , si quamcumque obliquam Parabolam in se ductam solidum generare conatus sum ostendere quod aequale foret solido genito ex alias, rabola quam ordinatim Applicata ad axem, abscinderet Ostendi praeterea quaenam partes quarumcumque Parabolarum obliquarum, in se ductae corpus pro-
lutus sum, ut partes ipsas Parabolae ad axem positae, absque
154쪽
L I B. I. Exarae a uadratur primae. I 7 absque omni ad alias relatione persequar in quale corpus in se ducta producant, inuestigem. Neque enim statim ubi ungulam ex tota Parabola in se ducta profectam in cubum conuerteris eadem opera singulas partes ungulae a singulis partibus Parabolae in se ductis genitas, notas effeceris Q, d tamen omnino necessarium est, ut noua hari circulum Quadrandi ratio absol. uatur itum etiam ut eiusdem veritas, aut salsitas certa fata aperta Hunc ergo nodum soluamus Acin primis supponendum est quod a Geometra Propos. 2. lib. co eiusque corollario primo est obseruatum Nimirum non tantum Parabolam ALB in se ductam producere solidum aequale solido genito ex ductu superf-ciei mixtae Ari Di , in mixtam superficiem B L E P. sed etiam quaslibet duas parallelas, quales sunt OT; L; intercipere ex dictis superficiebus partes mixtasO ZIS, T ZIL quae in se ductae producant corpus aequale corpori, quod oritur ex parte TVLI Parabolae Ali , inter easdem parallelas intercepta,in se ducta. In uestigamus ergo hoc Problemate solidam quantitatem partis huius Z VII in se ductae.
Fesponatur in altera figura confusionis vitandae cau Fig.io
sa, Parabolari L B; ductis in ea parallelisILZV quae ad libitum duci possunt; in hoc tamen exemplo ita ducuntur, vidi sit axis altera vero TV bifariam in Z, secet ordinatim Applicatam A blandem ducantur L; 5 V X parallela Applicator AI, siue perpendicularis ad
155쪽
ARS II. axem II in hoc casu assumpto in exemplum Huc in primis reuocanda est Propositio ductuum , in qua ductibus Applicatur Propositio . lib. 2. Eucl. Probaturque in nostra hypothesi solidum factum ex toto plano mixto Z VII in se ducto, aequa te esse , .solidis quae ex partibus V ZIX, V XL dicti plani in seductis generantur in solido quod tbis, ex rectangulo VI ducto in semissegmentum L v non secus ac si linea quaepiam diuidatur in duas partes. Si tota linea in se ducatur Quadratum generat, cui aequalia sunt Quadrata partium sis ductarum una cum rectangulo bis, quod fit ex una parte ducta in alteram. Quod principium innis maxime obseruatum velim Deo enim saepius uti necesse futurum est. Iam,in se ducatur rectangulum Z X,
no ductu parallelepipedum Ducatur deinde semis e mentum Parabolicum LX in idem rectangulum ' bi . Flut corpus quoddam mixtum Cylindricum Parabolicum cuius basis est semisegmentum, L X Daris V X in rectilineis. Fiat ei aequale rectan ulum taviami latus sit V X d super hoc re utun
bis sumpta, vel rectangulum sue basis duplice
156쪽
LIB. I. Examen uadratur primae. ΙΑ'
duplicetur, sumatur altitudo I semel tantum Hetpcr Propos, lib. r. parallelepipedum priori aequale. Utrouis autem modo generetur parallelepipedum ad iam factum primum parallelepipedum applicari poterit iuxta faciem: quae iii utroque reperitur, atque ita ex duobus unicum parallelepipedum couflari. Sed restat ut ducatur semissegmentum VI X in se, ut totum habeatur corpus ex tota mixta figura Z Vari in se ducta genitum illud autem notum fiet, si producta V X , donec Parabo occurrat in . Segmenti VI Sungula, in solidum rectilineum conuertatur per Propos 34. Est enim ungula totius segmenti LG aequalis corpori facto ex ductu in se semi segmenti V L X tamenim ungula segmenti VI S, quam corpus ex semi- segmento a X in se ducto genitum, est dimidia pars corporis ex ductu totius segmenti V L S in se, geniti:
ut exposui supra Prop. 29. habito vero rectilineo corpore aequali corpori, quod semissegmentum VI X in se ductum producit Applicabitur illud ut Geometria docet, ad superius iam formatum parallelepipedum: ut unicum fiat parallelepipedum aequale corpori. Quod intesta figura TV L I in se ducta producit. Quod hac
propositione seri iubebatur. Poterat etiam ita Problematis solutio iniri, Ut Tra Est ioperium Z id in se duceret ursa inde corpus genitum, per Prop. 37. in parallelepip dum conuerteretur. cui addi deberet corpus ex segmento Parabolico Vassi
ducto in Trapezium Z VII bis te in rectangulum, cuius basis est ZI, Laltitudo compossit ex lateribus
157쪽
iso II. IT , TU Trapezij est enim rectangulum hoc aequale duplo Trapezi TU LI iisque solidis duobus, tandem corpus ex segmento V i in se ducto genitum , adiungeretur. Fieretque ita notum in rectilineis solidum ex mixta figura TV TLI in se ducta genitum. Ne cui vero negotium facesia du
ctus ille segmenti Parabolici V iii rectangulum duplum Trapezij
TULI cum linea Ua, aequalis non siit basis ZI, unde motus iniri debet: quod tamen necessarium cst adductum figurae in figuram scin memoriam de usum hic reuocanda sunt quae supti Propos 3. Ostendi nimirum segmeta illa omnia Parabolica aequalia esse,q Lae diametris aequali inter se spatio distantibus intercipiuntur; S praeterea in se ducta, solida aequalia producere iuxta Propositi Onc28.
Quare diuidatur Ui bifariam in F ob loci angustias Fad punctum diuisionis non apponitur, sed ad illud lineola connectitur)wperi ducatur Fa diameter Parabola a xii I parallela quae bifariam secabit in C rectari V X per .lib.6.Deinde ex puncto T ducatur TOordinatim Applicata ad axem erit TV aequalis rectae atque adeo redita C V. Cum igitur C&TO metiantur distantiam punctorum; T a suis diametris i E LI; qnalia erunt scitiisegine lai Ti
etsi in seipsa ducantur, q alia solida genera
158쪽
L I B. H. Exume cluadratura prima sibunt iuxta Propositionem 18. eius que Corollarium:
imis S ipsa integra segmenta suo in se ductu singula, exhibebunt solida inter se aequalia Ad haec Applicata
T O producta ultra axem donec occurrat Parabolae in R , erit aequalis lineae V X,sue lineae Z I, quae est basis Trapezii V L I, unde motus incipit quare segmentum IR duci poterit in Trapezium Z V LI, apposta Ta,Trapezi basia I,cui est aequalis, Morietur ex eo ductu Cylindraceum quoddam Parabolicum cuius basis erit ipsum segmentum T L altitudo Verini 'ior,erit II , minor Z V. Sed quia bis sumi debet solidum ex segmento TL, aut ei aequali TtR ducto in Trapezium Z VIL; solidum illud unica opera habebitur .ssiduo inaequalia latera TV , IL simul iungantur,& in rectangulum, cuius unum latus est ZI, alterum vero ex duobus lateribus Z IL Trapezi conflatur, ducatur segmentum TI R. Fiet enim hoc modo Cylindraceum, cuius bassis est segmentum T L R, notum in rectilineis altitudo ver,conflata ex notis lateribus Fig. io TV,II Trapezij, atque adeo nota, notumque ex his
solidum ipsum Cylindraceum. Quod ad solidum ex ductu Trapezij in se, Mad solidum ex ductu segmenti Ti R etiam in se , iungetur ut at unicum solidum, quod oritur ex ductu in se plani mixti Z VT LI, cui
quantitas nota erit, cum singulae eius partes in rectilineis notae fieri possint. Quod si segmentum V i sui
extremo L laxi ipsi L I non adhaereat poterit nihilominus , et aequale ad axem fieri segmentum L R
sumpta sagitta L O aequali sagittae TD, ductaque
159쪽
i II. Applicata TR sunt enim in Parabola, illa omnia segmenta aequalia , quorum sagittae sunt aequales purProp. 2 . Huius Ex hac constructione Geometii-ca Arithmeticam colligemus in eum qui sequitur
ib. seruata ergo eadem suppositione propositionis 3 . 36. Posito scilicet latere Recto AB. eius dimidio AI. Vnde fit, ut II sit quaita pars lateris Vecti,ut Propos. 32. est demonstratum. Supponamus parallelam Z V bifariam diuidere inet, ordinatim Applicatam AI. Quibus ita constitutis Assumo,ut prius Prop.3α assumpsi, A B latus Rectum esse . erit AI. i. cla Etit ergo ZI etiam inuandoquidem semissis est Applicata: Aa, quae est 1. Quia vero V X aequalis est lineae ZI. per 3 lib. I. in rectangulo Z X serit&ips Restant Lain IX co noscendae quas sic venabimur. Vt se habet Quadratum A . quod esti. Ad Quadratum lineae V quod est ira se habet linea IJ -- ad lineam X L per Prop. c. lib. i. Appollini Ergo i , est quae si dematur ex tota II remanebit de illi aequalis V . His omnibus habitis quae in Synopsim memoria causa
Rectangulum Z X sub lateribus IZ, - - IX est Rectangulum hoc duci debet in se; duci, inquam, debet i V x ductu una docirmam, super
160쪽
LIB. II. Examen stabatur primae. III super basim Ierigi perpendiculariter ad Z X: tum fluere donec ad latus oppositum V X peruenerit. Quo fluxu parallelepipedum tarmatur; cuius basis est rectangulum X proxime inuenta Altitudo vero est recta IX Si igitur basis multiplicetur in altitudinem .set soliditas huius parallelepipedi huic parallelepipedo addi debet solidum duplex; nempe solidum quod fit ex ductu semisegmenti LX in rectangulum Z X bis. Deinde solidum genitum ex eodem semisse umento ducto in se
Pri rhum sic notum fiet. Inquiratur area semis eginetiti Via hoc modo. Ad lineam Vn addatur una tertia eius pars quae est --. Fiet linea composita . eius semissis ductus in LX exhibet , ut paulo post demonstrabes, aream semissegmenti LX . Haec ergo area ducta bis in altitudinem X
hoc est in IX duplicatam loc est producet solidum ex eo ductu
genitum P siue - . Quod autem semissis lineae compositae ex V X tertia eius parte , si ducatur in X Lproducat aream segmenti LX probatur. Nam sicut totum segmentum VI S est sesquitertium trianguli VI S. Ita semis egmentum est sesquitertium trianguli LX. Sed area trianguli cuius basis est sesquitertia ad lineam V . altitudo X L est etiam