장음표시 사용
161쪽
iJ PARS II. sesquitertia areae triangulis L X. Ergo, c. Secundum vero nempe solidum ex ductu semisegmenti V LX in se genitum in hoc exemplo breuiter definietur ope ungula Prop. 36. in solidum rectilineum conuersae. Cum enim;vt paulo ante demonstraui, linea XI sit quarta pars diametri Plotius seg-' i menti A LI. Erit ungula segmenti minoris ad .
ungulam segmenti A B maioris ut .ad 32.Vt prop.9J. lib.9.Geometra demonstrauit. Vngula autem segmenti ALB reperta est superius Prop. 36. esse .posito latere Recto A B L .sit cut hic ponitur. Ergo haec ungula segmenti V L M, erit -- hic enim numerus est una ex duabus, triginta partibus numeri . Verum iuuat eandem ungulam methodo uniuersali iuxta Propositionem 3ς inuestigare. Quaeritur ergo primo loco Pyramis maxima
intra ungulam contenta hoc modo.
eius basis est triangulum VI S, altitudo X L, area trianguli habetur, ducta V X in v v fat .Hg ας Haec basis ducta in altitudinis XI partem tertiam gignit soliditatem Pyramidis. Cylindrus Parabolicus supra segmentum V T L est
semissis Pyramidis per Propos. 1. Ergo est
Cylindrus cum Pyramide additus producit - siue, in minimis terminis . Huius solidi decima quiora
162쪽
LI B. IV. Examen suadraturae primae J Sp r par iuxta praescriptum Propositionis 3 4 addi debet ad Cylindrum Pyramidem simul, id est,ad Vitandena producatur peracta operationes soliditas ungulae segmenti, I eadem, quae praecedenti solusione inuenta fuerat quae eadem est cum soliditate, quam semisegmentum LX in seductum producit. Haec enim duas semiungulas semissegmenti V LX con tinet. Hoc est, totam ungulam totius segmenti VI S. Addamus iam tria haec inuestigata solida nimirum rectanguli TX in seducti quod est semis egmenti V LX bis ducti in rectangulum Z X. quod est H&iemis egineuti eiusdem L X in se ducti quod est
. producetur corpus - - ex ductu figurae mixta: Z VLI in se,ut peracta horum numerorum additione & reductione costabit. Hic ergo numerus seponatur diligenter obseruetur hinc olim repetendus.
Assumptis ex figura Propositionis i. Quadratorum duorum diametris AD, E dc dua-pibus parallelis Q AN secantibus axem in Z& I. Solidum inuestigare, quod producitur ex Trapezio et I in Trapeatum Z Q. I
Expediatur lucis gratia ex figura Propositionis 3 i. '.M. Descriptio sola hic necessaria in Propositione assignata, & praeterea ducantur R L. H, axi Assi parallelae.
163쪽
solidum quod hic quaeritur,gigni debet ex rectangulo RI, in rectangulum Z N. Item ex eodem rectangulo RI in triangulum H QN. Et ex triangulo RL tam in rectangulum N, quam in triangulum H QN subalterne positum per Applicationem adductus, Pro
positionis huius ad Propositionem 1 lib. 1. Eucl.afferri solitae ex Commandino. Si duae secentur Vtcumque:rectangulum sub totis aequale est rectangulis, quae sub singulis segmentis uniust quolibet segmentorum al
. Solidum ex rectangulo RI, in rectangulum Z ducto notum est est enim parallelepipedum notis lateribus constans Solidum ver,ex eodem rectangulo RI in triangulum H QN ducto Prisma est triangulare, cuius basis est triangulum H altitudo TR vel L eadem videlicet cum altitudine solidi ex rectangulo RI in rectangulum A geniti. Vnde fit, ut si H Q bifariam diuidatur in S, serra ducatur lineae Ire parallela SD, productam lineam I secans in
164쪽
LIB. II. Examen deuat irato primae. 137
in . Solidum cuius bas est tectangulum H O; .ltitudo ZR aequale sit triangulari illi Prismati: ira Uterea applicetur ad parallelepipedum ex rectangulo RI in Z genitum , inicim cum illo parallepipedum
constituat. Quod applicetur,clarum est. Quod aequale Pristimatis triangulari ne id quidem obscurum est: sunt enim bases, rectangulum scilicet triangulum H Q aequales,& eadem altitudo.Ergo per aib. n. sunt duo illa solida aequalia.Potest ergo unico ductu solidum habeti, genitum ex rectangulo I I in rectangulum ZN in triangulum, Q si semissis HS
lineae H i addatur ad Z H ut nat unicum rectangulum ex Trapezio Z NI in quod ducatur rectangulum RI. Restat ut ducatur triangulum RΚL in rectangulum TN. Et in triangulum H QN, ut solidum habeatur,quod ad iam factum parrallelepipedum applicetur. Triangulum R I ductum in rectangulum Z producit Prisma triangulare cuius basis est triangulum RΚL, altitudo ZH. cui est aequale parallelepipedum cuius basis est rectangulum aequale triangulo RKL silue H QN, hoc est rectangulum O,
Laltitudo TH. solidum veris ex triangulo; Κ L, in Astriangulum subalteriae positum H est sexta pars parallelepipedi;cuius basis est quadratum lineae Q, altitudo H N vel H Q aequales enim sunt ut ostendi Prop. zo Coroll.L. hiaec postrema solida duo ex praeceptis Geometricis facile ad parallelepipedii paulo ante iam efformatum applicabuntur, ut num integrum
165쪽
parallelepiped si constituatur ex ductu TrapeziiRZIΚ in Trapezium QN Quod Geometrice praestandum erat. Nunc idem per numeros inuestigemus. it. ii Supponi Pur hic eadem partium quantitas, quae in Antecedente propositione assumpta est. Ponitur scilicet x partium 1 AI eius semissis 1 qua bifariam diuisa in Z; erit ZI cui sunt equales L, H N, S O cimo QRZ, Κ L&H Q. Nam in triangulo
Z rectangulo anguli. R AZ est semj-reetias eo quod i sit diameter quadrati A BD. Ergo angulus ARZ semirectus erit per adibo .aequales ergo sunt linea et Ariue ZI4 ZR aequales eodem iure erunt aequales item H N, H Q mu' sit ut Iasit etiam iisdem a qualis; ' bifariam si diuisa in L. Ergo tandem H S. Quae semissis ponitur lineae
ri V, 4ςd x xi , quae in unum synops nec collistit Ita per numeros ducemus Trapegium, ZIΚ'in Trape
166쪽
LIB. II. amen alti astratura primae is' Trapezium Z in I. Vtroque in easdem a te diuiso, in vas supra diuisum est. Cum re- ctanguli I, duo latera
I, R aequalia paulo ante ostensa, sint Q eius area erit quam producit numerus Q in se ductus. Haec Fig. irare ducta in I N, i altitudinem solidum gignit . Ducatur rursus rectangulum Z in triangulum H QN, siue, in rectangulum illi aequale HO, hoc est ducatur rectangulum L in altitudinem HS . b.
Fiet solidum, . Addantur duo haec solida
producetur per additionem Dolidum ex rectangulo Z L, in Trapezium Z Q, NI ducto. Quod idem haberetur ut supra monui si rectangulum: L ' ducatur in altitudinem integram Z compositam ex ZM , hoc enim modo idem numerus obtinebitur. Restat triangulum R i ducendum in Trapezium Z QNI. Hoc est in rectangulum TN, de in triangulum subalternum H in I. Primo ergo inangulum RI Κ, in rectangulum Z N producit prismalsiangulare, ut supra dixi,cuius soliditas habetur ex area
trianguli velut basi ducta in altitudinem M. Area trianguli RI K est aequalis rectangulo HO s sunt enim duo triangula RLΚ, Ninaequalia huic vero aequale factum est Geometrice rectangulum Ho)quae
fit ex HS in HN . Ergo ea est quam si alii Atudo ZV, multiplicet producetur soliditas Prismati, cuius basis est triangulum RIX, vi altitudo TH.
167쪽
luti H N inubalteriae positum gigni soliduni: quod est sexta pat, ut Prop. zo Corolla.ostendi solidj cu ius balis est rectangulum comprehensum sub lateribus
triangulorum subalternorum quae latera Κ, Qsurit in nostro casu , aequalia Laltitudo, linea communis, ureductus initium est, ut hic Ri vel H N.
Quare ducatur L in Q ne o basis solidi
Ducatur haec bassis MI altitudinem habebitur solidum: cuius sexta pars est , soliditas scilicet per Prop.zo. huius trianguli RLΚ, ducti in triangulum H N QIubalteriae positum quas si addatur ad soliditatem productam ex triangulo MLM in rectangulum N habebitur soliditas tota, absolutis operationibus, in minimis terminis, quam producit triangulum MLΚ ductum in Trapezium MNI. Iam vero addi debet proxime inuet soliditas ad
superius inuentam Qui fiato soliditas producta exa rao egi, ZI in Trapezium Z QNI. Quam numeris exprimere propositum erat. Hic etiam numerus - , seponatur Olim consulendus.
Pa O P. XL. THEOR. i. Sint duae Parabola ASD, BLE quaru vertex sit A B; latus rectum A B: cui aequales ponantur Aa, BD ad ipsum latus rectum normales in A B Se ducantur A D, E B. Vt habet Propositionis l. hypothesis Ducantur deinde binae par liciae Lux cunque, quouis spatio inter sedisse
168쪽
LI B. I. Exumen suadi Lurae prima.
istae, ut RQ,ΚN. binae iterum parallelae quaecumque R haec iterum 1asi sine causa assumitur inferius aperieda FM,eade qua priores RQ, Κ distantia quae rectam A D secent in R,Κ,F. rectam EB in N.M. Latus rectum AB in Z,I,H. Parabolas A SD, E LB, in , S, G T L, P. Dico corpus ortum ex ductu figurae mixtae OZI S, in figuram mixtam Z TL I Hotam habere rationem ad corpus ortum ex ductu figum mixtae IH inmixtam figuram ILPH. Dico secun db corpus ortum ex Trapezio RZlΚducto in Trapezium Z QNI; ad corpus ortum ex Trapezio K IH F ducto in Trapezium
I M H notam etiam habere rationem. Praeparatio. Describatur parabola A VI B: cuius ordinatim Applicata Am ad axem sit eiusdem etiam latus rectum: hanc porro Parabolam ducti parallelia secent in
169쪽
γ II. Demon, alio. α Corpus ortum ex figura mixta Z VII in se ducta, aequale est corpori rio ex figura mixta OZI ducta in mixtam figuram ZT L per Prop. 33. Huius. Item corpus ortum ex figura mixta L X H in se,aequale est corpori orto ex figura mixta IH G in figuram mixtam II PH ducta. Sed corpora ex figuris mixtis ZVLI, ILII in se ductis nota sunt per Prop. 3 . Huius tam in continua, quam in discreta quantitate, atque adeo eorum inter se ratio. Ergo de ratio corporum Ortorum ex mixtis illis figuris in mixtas laguras ductis, nota erit. Quod primo loco ostendi debebat. Deinde Prop. 3'. notum factum est. Tum Geometrice tum Arithmetice, corpus ortum ex Trapezio ZIK ducto in Trapezium Z Q l mortum ex Trapezio I HS ducito in Trapezium I M .Ergo nota etiar acta est rati, quae inter corporallia intercedit. Tota ergo Propositio vera est.
RROP. ILL THEOR. iisdem in eadem figura positis describantur duae Parabolae prioribus aequales: quarum Vertices sint Avii axis AB quas lineae Paralle
lae superiori propositione designatae quas hic aequali spatio inter se distare suppono si longius
producantur, secent in β,Γ,o i in O, A, u Dic Corpus ortum ex figura mixta β Ita ducta in figuram mixtam Z in L notam habere ra
170쪽
LIB. I. vamen Quadraturae rimae. 6
tionem ad corpus ortum ex figura mixtar IH Δ ducta in figuram mixtam Irii H.
DemonIuratio. Haec propositio ipsiuama est lib. io a Geometra ex suis ipsius principiis probata ex cuius veritate ri Fig. H. euidenter constare potest tota stabili tu circuli Quadrandi ratio aut tota corruita si quid viti pati deprehendatur. Quapropter propositionis demonstrationem eisdem Aut horis verbis, quae deinceps sigillatim perpendere necesse futurum est, huc afferam; mutatis tantum schematis characteribus. Igitur postquam
confirmauero ex Prop. O pra cedente huius.Rationem
corporis orti ex ductu plani mixti OZIS in planum iY- tum Z T LI:ad corpus explano mixto SIHaducto in planum mixtum II l H, esse notam haec, prima ratio, dicenda est, ut verbis parcatur item notam esse rationem corporis geniti ex Trapezio RZI ducto in trapezium NM H Quae ratio secunda vocabitur. Tum cum Geometra cocludam notam esse ratio-X nem