장음표시 사용
171쪽
IM I A S II. nem tertiam corporis orti ex mixta figura ducta in mixtam figuram T A L. ad corpus Ortum ex mixta figura GH a ducta in mixtam laguram H,
haec eius verba sunt exceptis characte libit S. Ei ii e inrati est,inquit Pro . O.lib. IO. rationem cor pomorti ex ducta OZISm Z TLI, ad corpm ortum ex ductu plani SI HGin ILPH; toties continere rationem corporis orti ex ductu plani R ZIclinat VI, ad corpiue ductu K IH Fin INM H quot es haec ratio continetrationem corporiis orti ex dum 8 ZII in TO AI, ad cor-pvi ortum ex ductu plum IH in AM H. Igitur cum notae sint prima es secunda ratioci notum quoque esset
quoties primastecuudam contineat ac propterea notum quoque est quoties secunda contineat tertiam. Itaque cum sc- cuuia ratio scilicet corporis orti ex ductu iam ZIX Z4NI ad corpis ortum ex ductu piam KIH in ΝMHnota it etiam nota erit Ratio corpossci quod oritur ex ductu superficiei SVIT in Z in I ad corpus ortum ex ductu superficiei I IH in IAM H. Moderat demonstrandum. Atque hactenus Geometra. De cuius propositione plura recurrent inferius dicenda ad quae prius quam venio Alteram eius propositionem eius verbis addo quae proxime ad Quadraturam influit. Quae ita habet exceptis characteribus Alphabeticis.
PROP. ILII THEOR. Ponantur super A B duo Quadrata A BD, B AI quibus inscriptae sunt duae semiparabolae
172쪽
LIB. I. Exumen ae' adraturae prim .c. 363
quod producit Parabola ducta in ara bolam Boi sequari semicylindro, cuius basis ustsemicirculus L B. Altitudo A B.
Demonstrationem huius Propositionis dedit libro ri de ductibus Prop. 4 3. Hic Vero nouam aliam exponit. Prop. si ad cuius calcem corollarium affert ex eadem propositione profectum nimirum segmenta subalterna Parabolica eisdem parallelis intercepta VIJ, Z ci ducta in se inuicem, aequale solidum producere segmento Cylindrico , cuius altitudo est A B; basiis vero est segmentum circulare eisdem lineis parallelis interceptum , quale est superficies mixta
173쪽
R O P. XLIII. THEOR. Iisdem positis quae superioribus propositionibus. Possitis scilicet semiparabolis iuba hernis
M. i, Aa D, B Λ circa communem axem cir ca quem semicirculus describatur. Tum sumaptis in axe lineis quibuscunqtie aequalibus ZI, IH: siue Continuae sint, ut hic, siue aliquo spa tio Discrctae. Ducantur ad axem crpendicu
Figura. Vigesimater ia. Figura Vigesima secu uda.
174쪽
LI B. I. Examen Guadratura prima. Ic7 lares Ζ, I, H secantes Parabolas in B, Γ, Δ, Θ, Λ, V semicirculum verbuam, Κ, L. Dico sup ei ficiem mixtam Oeta Κ, ad mixtam superficiem; IH notam habere rationem. Demonstratio. Haec est Geometrae Proposilio 1 .in hoc particulari, ii casu clarissima: sunt enim hae duae superficies aequa-zil αles. Sed hanc uniuersaliter sic demonstrat. Demonstratum est paul0 ante , corpo fi ex ductu plani Z SI Iin TO A L AEqualem esse partem Cylindri super basi CZl in altitudine AB. Similiter corpori ex ductu planis IH Δ in I ΛM H aequari Cylindri partem cuius basis est IHI in altitudo A B. Sed demonstratum est Prop. I. Huius. Corpora quae illis Cylindricis partibus aequantur, notam habere rationem. Igitur etiam partes Cylindricae inter se notam habent rationem. Sed partes Cylindrica cum altitudine non discrepent, eandem inter se rationem habent quam bases CZIK:ΚIHL. Ergo harum etiam nota est ratio. Quod fuit probandum.
PROP. XLIV. PROBL. Oporteat tandem proportionem circuli ad figuram rectilineam exhibere. Ita tandem Geometra Prop. 3.,b io Ceuberrimi Problematis solutionem proponitin explicat; ad quam assequendam conatus omne illo egregios toto hoc
175쪽
i II. opere susceptos contusit summo cum Geometriae incremento Haec etiam unica totius huius exercitatiun cula meae, animi gratia susceptae scopus est unicus ac fini ab ipso initio propositus. Ut constabit clarius sediliter, in Problematis soluendi methodus a summo Geometra allata exponenda est ut deinde quae in ea licuit obseruares planissime, quoad potero, valeam explicata: a raod Vt facilius assequar, omisia uniuersali 1olutione ad quidlibet circuli segmenta pertinente ab Authore assumpta lingularem assero, determinatam squae praeterquam quod o nomine uidentior futura sit, cum singularia sint quoad nos semper notiora, ab ipsis cognitio omnis deducatur .ipsa etiam secundum sese uiusmodi videtur vix ut ullam reperire sit euidentiorem nullam certe, quam planius subiici posse censeam examini quod ex diciis hactenus instituere propositum est.
176쪽
LIB. IL Examen quadraturae primae. 16'ius diameter Am in quatuor aequales partes diuidatur in Z, I, H per quae puncta ducantur normales,ad AB circulo occurrentes in O, Κ, L It ponantur IO, IL, OL. his positi. constat primo arcum o tertiam es se partem Quadrantis A OK. Diuisa enim est circuli semidiameter bifariam in Z. constat autem semidiametri semissem ZI, sinum esse arcus O Grad. o. Constat secundo aream quadrantis A I minorem esse area mixti quadrilateri O; IM Z. Nam sector
AIO aequalis est sectori OIL; eo quod uterque sit duae
tertiae partes quadrantis circuli. Ablatis ergo aequalibus illis sectoribus : remanet ex Quadrante sectoro Ic ex quadrilatero vero supersunt duo triangula
ZI, L H I siue rectangulum OI duobus illis triangulis aequale Dematur adhuc tam ex sectore I Κ, quam ex rectangulo OI, triangulum O CI commune: remanebit ex sectore OI semi- segmentum
OKC:&ex rectangulo I, triangulum OZ I siue ei aequale triangulum OCI. Sed triangulum OCI maius est semis egmento OKC, ut statim probabo; ergo etiam tota figura mixta quadrilatera O DLM Zmaior est toto circuli Q uadrante A ID Quod autem triangulum o I maius sit segmento OK C, constat si ducatur linea O G perpendicularis ad O L quae circulum tanget in . Erit enim in
triangulo rectangulo IO G demissa V ad basim IGperpendicularis, media proportionalis inter Iri G. Sedet subtendens angulum O triangulio I maiorem, maior erit latere C subtendente angulum I mino
177쪽
minorem Ergo G C minor etiam ei quam C Omulto ergo minor est GC quam C I. Ergo i iangulum
OCG cuius paci est semissegmentum ovi C minus est per t. lib. s. quam triangulum O CI. Ergo eodem triangulo CI multo minus est semissegmentu OKC. Tertio loco nota est ratio area Quadrantis A IK Fig. 1, ad aream mixti Quadrilaterim LM Z per Prop. 3. Huius Sunt enim duae linea AI, TH aequales, inter parallelas ZO, HI ;&inter IK lineam AE, quae per Aducitur. Quibus positis de declaratis ad casum meum singularem necessariis; ita demum in eodem casu Problema iuxta mentem Authoris absoluam. Nota est ratio Quadrilateri mixti OKL H ad adrantem circuli AI K. Nota est pranere ratio eiusdem quadrantis A IQ, ad sectorem II est enim sector OIL duae tertia Quadrantis AI . Ergo nota est etiam ratio sectoris I ad Quadrilaterumi nixtum KLI Z. Ergo etiam excessus, quo Quadrilaterum OKL H sectorem OIL superat notus
178쪽
LIB. IL Examen seua raturae prima. 171 erit scilicet duo triangula O ZI, ML HI siue rectangulum I Ergo etiam nota erit ratio Quadrantis AI ad hunc excessum rectilineum,hoc est rectangulum OΙ. Ergo adem nota erit ratio totius circuli,cuius AI Quadrans est ad rectangulum Od rectilineum .Praestitum ergo est ex mente Authoris, quod erat requisitum. Atque haec est prima a Geometra nostro allata circuli Quadratura; quam acuratius perpendendam suscepi. Nunc ergo totam numerorum rationibus subiiciamus, Quod ex praemissis superius, haud
erit factu dissicile. Quia igitur ex eo uno capite, ut patuit,tota pendet haec circuli Quadratura, ut nota fiat ratio, Quadrantis circuli AI ad mixtum Quadrilaterum OKLHZ. Haru autem ostens ait Prop. 3. eadem cum ratione, quam corpus ortum ex ductu segmenti Parabolici A UI A in segmentum Parabolicum AIA Iahabet ad corpus ortum ex ductu figurae mixtae Z TQ Het in figuram mixtam Z in re Η Ζ aequalienim spatio bina lineae parallela AE, ITA, binae ΗΘ, Δια dissitae sunt ex constructione , cum aequales sint positae AP, Z H. Horum denique corporum ratio nota sit, si prius innotescat habitudo, quam habent corpora, de quibus Prop. o. quam hic statim repetam. Ab iis initium sumere necesse est numericas rationes s quas circa exemplum singulare iuxta methodum in superioribus propositionibus allatam nunc inire propositum mihi est. Quod ut maiori cum ordine inde pendet, ut plurimum, rerum tractandarum 4 euidentia,
179쪽
euidentia , instituam placet seriem propositionum hactenus promotam ob se trare licet de singulari casu nunc agere videar: di potius in praxina redi ceres, quae uniuersalius tradita sunt, quam nouum quippjam hic
PROP. XLV. PROBL. Ex figura Propositionis 2 exponatur seorsim Parabola V LX cuius Applicata ad axem sit A B aequalis lateri recto Parabolae Sit autem AB diuisa in quatuor parte in ZRH, per quae agantur parallelae ad At normales,qua Te cent Parabolam in V,L,X.
Oporteat ergo numeris X prirnere solidam quantitatem tam corporis geniti ex ducti semisegmenti parabolici AUT I in se quam corporis, quod producit mixta Quadrilatera figura Z VLXHin Ie ductalis est basi AI, utraque semissis totius A B.
180쪽
LIB. I. Examen uadratur primae 73 Solutio. Ad priorem partem quod attinet, qua iubetur re Fig. aperiri solidum, quod emisegmentum AVLI in se ductum producit. Iam solutum est Problemate Prop. 36. Huius. Ibi enim inuentum est in numeris solidum aequale ungulae segmenti Parabolici A L B.Sed haec ungula integri segmenti A L B, est aequalis corpori, quod producit semisegmentum A LI in se ductum.Constat
enim corpus huiusmodi, duabus semi-ungulis Parabolicis, ut patet ex doctrina de ductibus a me superius, quantum satis explicata quae sunt aequales duabus se- mi ungulis; in quas ungula orta ex segmento Parabolico Assim diuidi potest, si per medium in II secetur eius longitudo. Numerus ergo citata propositione repertus est posita ordinatim Applicata A partium L, vel AI partis unius . quem numerum diligenter annotari oportere ibidem monui. Secunda vero pars problematis soluta etiam habetur Prop. 38. In ea enim propositione de industria exe-plum attuli quod huic propositioni inseruiturum pramoscebam licet illa uniuersaliter loquatur. In ea ergo propositione corpus exhibui in numeris, quod
fieturami ta ZVLI in se ducta producit posita AI
partis unius &AB partium duarum: ut hic supponitur: Sed corpus ortum ex figura indita hic proposita
Z V LX H in seducta; duplum est corporis geniti ex dimidio eiusdem figurae quod dimidium, est gura ZVLI in se ducto si igitur corpus illic inuentum