장음표시 사용
181쪽
i TARS II. duplicetur; ut fiat exprimet hic numerus soliditate eorporis geniti ex mixta figura TV XI XV in se ducta ut fieri debuit. Duo ergo numeri hac Prop. inuenti hic seponantur, unde repeti possint suo tempore. Prior est posterior '
PROP. XLVI. PROBL. Ex eadem Proposicionis α. expediatur figura parallelogramma siue Rhomboides AEBD: cuius diameter Am in quatuor partes aequales diuidatur in punctis Z,I,S per quae ducantur lineae ad AB perpendiculares, secantes latus AD
Oporteat erso numeris exprimere solidam K quantitatem tam corporis geniti ex ductu trianguli AI in Trapezium A INE: quam corporis geniti ex ductu raperit Z in Trapezium SV Q. Posita tota AB , par
182쪽
priUS. Solutio. A punctis R, , V ducantur lineae ad A B, parat Fig. telae RM,NT V X. Erit A diuisa in T in duas partes aequales eo quod AT aequalis sit opposita lineae I in rectangulo A N: sit autem ipsa IN, semissessis lineae, , id est AE. Similiterin Q in X; L V in M, bifariam diuiduntur. Rursus R iterum bifariam diuiditur in Z, NI in S, nam in triangu lo rectangulo AZR, duo anguli Aω sunt semirecti, atque adeo aequales. Ergo, latera TA, TR per 6. lib. i. sunt aequalia sed ex hypothesi Aest semissis linea AI; quae aequalis est lineae I X. Ergo ZR semissis est lineae R X. Eodem iure SV, M aequales
probabuntur; dc utraque erit ut patet;quarta pars linearum RQ, I. U. Denique triangula AIΚ, ETN,RM L, X V sunt aequalia propter aequalia eorum singula
latera. Quibus declaratis, quae ad utramque partem propositionis pertinent.Nunc priorem aggrediamur. Prior ergo pars qua inquiritu corpus ex triangulo Q.
A IK in Trapezium AINI genitum soluetur, si primo triangulum AI ducatur in triangulum ET Nsubalterne positum: ex eo eroductu generatur corpus quod per Prop. 2o Corol.2. Huius est sexta pars
parallelepipedi cuius basis est rectangulum sub lateribus Iri, TE triangulorum4 Laltitudo est latus Adielv commune, unde ductus incipit: Quo fit in hoc
183쪽
casu, in quo duo basis latera Ti, IK sunt aequalia; Α, isque etiam altitudo I vel T est aequalis, ut parallelepipedum sit cubus. Cum ergo AI, ab sicut de Κ T E sint unitas ex hypothesi. Si ducatur I .in I. producetur basis cubi Quadrata 1. Si rursus in hanc ba-
sun i ducatur altitudo i fiet cubus , ex ductu huius modi, cuius sexta pars'. - , est soliditas corporis ex
triangulo AI ducto in subalternum triangulum NTE geniti per Prop. o. Coro . Deinde duci debet idem triangulum AIΚ in Quadratum AINT. Ex eo vero ductu nascitur prisma triangulare ut Prop. io explicatum est quod est dimidium tibi, ut patet, cuius basis
est Quadratum Abi altitudo I . Sed cubus es 4 ut paulo ante ostensum eis, ergo prisma, quod est huius cubi semissis est Iungantur haec duo solida μα genita ex ductu trianguli AI in triangulum ET N in Quadiatum sic enim in totum Trapegium AENI, ducitur triangulum AIΚyliet lolidum siue
184쪽
LIB. I. Examen a Vadraturae primae. 177ssus . Quod priore huius Propositionis parte quaeritdr. Quod scilicet oritur ex triangulo AI in Trapezium AINE. Posterior propositionis pars absoluitur ducendo e singula Trapezi Ret Si partes, nimirum triangulum R MI,& rectangulum in duas singulasTrapeaba QV , partes: quae sunt rectangulum Z V in triangulum Prop. 39. declaratum est. Primo ergo triangulum R I ductum in triangulum X V corpus solidum producit idem, quod iam ante productum fuit in priori parte ex ductu trianguli AIΚ in
triangulum T in nempe Idem vero triangulum
RML ductum in rectangulum: generat prisma triangulare , a quale parallelepipedo cuius basis est rectangulum ZV,in altitudo est semissis lateris ML, trianguli MRI Sed semissis lateris T quod aequale est ostensum lineae Z S, est ZI, vel PS quae est -: cum tota TS sit ex hypothesi . Si igitur ZI multiplicetur in rectangulum LV cuius area habetur ducta TX in ZE, i, est set parallelepipedum ,aequale prismati triangulari supradicto Altera vero pars eiusdem TrapeziiRZs L, nempe rectangulum I ri ductum in triangulum X idem solidum '- producere debet. Cum rectangulum RS aequale sit rectangulo Z V. triangulum X triangulo RM L. Denique duci debet rectangulum M in rectangulum Z V producetur parallelepipedum , cuius basis est rectangulum V. altitudo RG .
185쪽
Ergo haec altitudo . ducta in basim producitris. M. parallelepipedum Ita ut tria aequalia solida generentur, nempe ex ductu trianguli R Mi in rectangulum TU; ex ductu rectanguli RS in triangulum X QU& denique ex ductu rectanguli RS in rectangulum V semper enim generatur solidum Tria ergo illa solida siue corpora simul addita essicient solidum : cui adhuc addi debet solidum factum ex triangulo RML ducto in triangulum subalteriae positum VXQ. Quod solidum est inuentum P. Ergo facta additione habebitur solidum productum ex Trapeato RZSLin Trapezium Z VS. Quod quaerebatur.Hic
ergo numerus Q post as,inendus etiam annotetur.
PROP. XLVII. PROBL. Hiii In Propositionis et oporteat Rationem determinare in numeris, quam habet corpus ortum ex superficie mixta visa ducta inmixtam superficiem Ab Ossi subalterne posi
186쪽
LIB. II. Examen duadraturae primae I 7 tam, ad corpus ortum ex mixta superficie
Z 8s Q H ductain mixtam superficiem THMA O.
Cum ex Prop. i. superiore, quae apud Geome-I .ri. tram est lib. io constet iuxta eius Principia rationem corporis orti ex mixta figura A VII in se ducta, ad corpus ortum ex mixta figura TV LX H ducta in se;toties continere rationem corporis orti ex triangulo Alcducto in Trapegium AIN E ad corpus ortum ex Trapezio ZHF ducto in Trapezium ZHMQ: quoties haec ipsa ratio continet rationem corporis orti
exsuperficie mixta AβΓ ducta in mixtam supersi. ciem A IAM E , ad corpus ortum ex mixta superficie Z 3 Γ Δ H ducta in mixtam supersciem: O A, II. Sint autem termini primae& secundae rationis noti per Prop. 3. ω46. atque adeo nota ipsae rationes prima ksecunda notum quoque erit, inquit Author citata Prop. q. lib. o. quoties prima contineat secundam: Z atque
187쪽
que adeo notum etiam erit quoties secunda contineat tertiam , ac proinde nota etiam euadet ipsa ratio
Hic non parum me haerere contigit, mi Lector, ne potui non dolere tarditatem meam4 nimiis sane breuitatis non accusare docti stimum Geometram , qui caput, unde tota eius haec Quadratura absolui debet, tam leuiter perstrinxerit. Pronunciatu facile est, nec prima fronte factu dissicile, ex duabus notis rationibus
tertiam essicere notam. Censeret non nemo eam esse Authoris mentem, ut velit duabus notis rationibus tertiam inueniri proportionalem, atque ita notam fieri nec ab eius verbis abhorret haec sententia. Ait enim, cum notae sint prima secunda ratio notum quoque es quoties prima contineat secundam, ac propterea notum quo que quoties secunda contineat tertiam, itaque cum secunda notast nota etiam eri f. quid magis huic sententia concinere potest quod si nihilominus dubites an per haec verba notum est quoties prima ratio contineat secuπ-damu ergo in notum quoties secunda contineat tertiam,
intelligat eas esse proportionales velitque primam ita se habere ad secundam ut haec se habet ad tertiam:dubium tollet Propositio 121 .libri de Propori ubi docens modum diuidendi rationem per aliam, ait Oporteat
rationem per aliam partiri,siue octendere quoties una alteram contineat. Quae verba aliud non sonant quam,
ostendere quam habitudinem habeat una ratio ad alteram de in Corollario eiusdem Propositionis sic loquntur. Hinc amfectum es diuisionem mmi rations per a
188쪽
LIB. I. Exume deuadraturae prin . 183ris colacidere cum a gnatione Iii rationis quam conti nent interse duae rationes inuicem a dendae. Ex quibus
liquido constat Authorem nihil aliud velle significare
hoc loquendi modo, una ratio alteram continet Velit D stantinet, quam Unam rationem ita, vel ita se ha. bere ad alteram. Denique cum nullus alius Geom tris notus sit modus tertiam quantitatem ignotam in uestigandi ex duabus notis quantitatibus proportionalibus quam tertiam proportionalem duabus notis adiungendori Sicilio aliquo ipsi soli comperto
modo tertiam illam rationem ignotam ex duabus notis: quidem talem quae non foret illis tertia proportionalis , inueniri debere intelligeret nunquid illum etiam cum absoluto Quadraturae, quam stabilire dc tradere conatur, damno reticuiuet Haec momentum grauissimum habere mihi videbantur ad sua dendum factiam fore satis allata Propositioni ii duabus datis rationibus primae insecundae tertiam proportionalem assignassem. Verum non leuioris ponderis rationes occurrebant; quibus adducebar ut crederem aliud aliqaid Authorem exigere ad tertiam illam rationem determinandam ex duabus datis; quam inuestigationem rationis tertia duabus datis proporti natis. Nam Primo quidem nullibi cernere et Geometram per totam eius ratiocinationem, quae ab initio lib. o. ad Propositionem continetur , vel proposuisse vel probasse has tres rationes solidorum quae initio huius
expositionis appellaui Proportionales esse, nec eius Z Propor
189쪽
aliam quandam rationum mutuam continentiam attendtile, significare voluisse. Nullo ergo modo
nunc, nullo assertionis prius iacto fundamento , censendus est asserere tertiam illam rationem ignotam, debere inuestigari ex duabus notis rationibus iuxta solemnem in Geometricis modum, quo ignotae quantitates ex datarum rationibus notis colliguntur. Secundo non obscure videtur colligi ex toto eius discursu,qui hac Prop. tandem concluditur , ita debere accipi hanc rationum continentiam, Ut prima ratio secundam toties contineat per multiplicaticinem; quoties secunda per multiplicationem continet tertiam:atque ita posse in hoc sensu tertiam illam ex duabus prioribus datis innotescere qui sensus a priore diuersissimus est, ut Prop. 24. lib. I. exposui, tertiamque illam rationem a priore longὸ diuersam, si in eo seu-
In hac tanta dissicultate, ex qua Quadratura huius sors tota pendet, ὀ re maxime futurum censeo ad ipsius Authoris oracula adires &,si fieri possit, ex eius ore genuinum sensum huius continentiae rationum excipere. Hunc ego tribus omnino propositionibus capi arbitror: in quarum expositione bucet eruditium reuerendi Patris Alsonsi de Sarasia, per accurata
190쪽
LIB. I. Examena quadraturae primae. 83
In prima harum trium Propositionum , quam expolii P. de Sarasa Cor. . in Confirmationibus Quadraturae ostenditur. Quod si rationis Padi tam A tecedens E in duas partes Avii quam Consequens Fin duas C dc diuidatur Rationem E ad F eandem esse cum Ratione A ad item A ad D, ωB D. Nam ratio A ad C,ini ad C, propter eundem Consequentem C sunt, Arim si 's imul ad C. hoc est, ut Ead C. Eodem mota, ratio A ad Din ratio B ad Derunt ut A, B simul, hoc est E ad in Et Inuertendo terminos Rationes C ad A, d C,ad B, erunt ut C ad Et, similiter rationes D ad
Arum ad B, erunt ut D ad E. Sed rationes C ad Eac Dad E propter eundem Consequentema sunt ut Cω simul, hoc est, F ad E. Ergo ita est Fad Evt C ad A, C ad B de simul Dad A&D ad B. Vel contra; ita est Ead F, ut A ad C, de A ad D Mut ad dei ad D. Cum vero huiusmodi rationes colliguntur, satis
patet non feri additionem rationum sed tantum quantitatum quae ex parte rationes augent, ex parte minuunt: tunc scilicet cum inuariato Antecedente Eadduntur duo Consequentes in D ut fiata habet enim E ad F minorem rationem quam habeat ad C, quia iste Consequens C auctus est Accedente Consequentes dum inuariatus perseuerat Antecedens F. Quod diligenter obseruandum monet Author merito in scholio citata Prop.8.