장음표시 사용
191쪽
18 II. In altera propositione, quae est lib. 1 o. duodecima sic Autlio loquitur. Si sint quatuor ordines quinque proportionalium quantitatum ABCDE, c. habentes ultimas quantitates E, Κ, P, V, aequales Dico Rationem quantitatum A ad Lin toties continere rationem quantitatum GH ad 4 , quoties ratio quantitatum GH ad N S continet rationem quantitatum in ad O T. hoc ita demonstrat Ratio quan-
titatum A F simul, ad quantitates L, sitim aequatur rationi, AL, A Q, S TL, F Q. Similiter ratio quantitatum GH ad N S aequatur rationi CN, OS 4H N, H S. Pariter etiam ratio quantitatum Di I sisemul ad OT aequatur rationi DO, DT;&LO,Ia per Pronos. 8 proxime demonstratam. Ergo per eandem Prop. Quoties Rationes A L, Q, L, Q continent rationes C N,CE H N, HS vi quoties hae continent rationes D O, D LIO, IT: toties continet etiam ratio AI adis, rationem C H ad S, haec ipsa rationem Da ad O T. Sed ratio A L per rar progr. continet per multiplicationem bis C N. Et ratio a per multiplicationem
continet bis rationem D O Ratio quoque A Q continet bis rationem Cri: haec bis rationem DT:aique ita
192쪽
LIB. I. Examen Vuadraturae primae. 83 ita dereliquis Igitur quoties ratio quantitatum Alad L Q continet rationem quantitatum H ad N S toties haec ipsa ratio CH ad N S continet rationem quantitatum Iad T. Quod fuit demonstrandum. Haec
Geometra totidem omnino verbis ex quibus non obscure colligimus, quo sensu velit in sequentibus unam rationem toties vel toties aliam continere quod ad solutionem Propositionis meae ex eius mente instituendam necessarium est nosse. Perpendamus paulo accuratius allatam ab eo ratiocinationem Ratio prima totalis hic omissis characteribus rationes eodem seruato ordine superiore indico
breuius eadem est cum duabus partialibus rationibus primis per Prop.8 paulo ante allatam. Idem dic de secunda dc tertia totali ratione, rationibus partialibus secundis, tertiis. Ergo pergit Author quoties primae rationes partiales continent secundas de secundae, tertias toties etiam prima ratio totalis continebit secundam totalem,&' secunda tertiam totalem. Sed, ait idem, prima partiales rationes continent bis permultiplicationem rationes partiales secundas in hae partiales secundae, bis tertias per multiplicationem:
Ergo quamam ex his praemima inferatur alia conclu sio 3 Ergo, inquam, prima ratio totalis continet bis per multiplicationem secundam ωsecunda haec bi per multiplicationem continet tertiam tu prima est duplicata secundar, secunda est duplicata tertia
Licet vero Geometra concluserit tantum in ruec verba:
Ergo prima ratio totalis toties continet secundarin
193쪽
1M PARS ILquoties secvnga continet tertiam, nec ullam mentionem illius duplicationis fecerit eam tamen duplicationem his rationibus conuenire nec debuit nec potuit non asserere. Praeminae ebini ab eo allatae, earn unam conclusionem inserunt, nec aliam inferre posse
sunt. Quod ipsi adeo clarum visum est, ut inanem censuerit illius multiplicationis mentionem facere mconclusiones cum non aliter continentia rationum
illarum in conclusione accipi possit, quam accipiatur in pretemissis; vero quid opus mentione multiplicationis in partialibus, si in totalibus nulla illius habeatur ratio. Unde etiam fies cum conclusio eadem sit ipsa propositio probanda ut Propositio in hoc etiam sensu multiplicationis accipienda sit, licet illius nulla
mentio in ea fiat; dum tantum asserit rationem totalem primam toties continere secundam quoties ratio totalis secunda continet tertiam cuius quidem multiplicationis mentionem si ipsi Propositioni, quando iuxta eam probanda erat, apposuisset longe consultius fecisse il5ge certe distinctius proposuisse videretur. Tandem ergo euidenter assecutus videor sensum, Leuidentius adhuc me assecutum constabit inferius , quo doctissimus Geometra Prop. q. tertiam rationem inquirit solidorum duorum ex notis duabus rationibus aliorum quatuor solidorum quove ego sensu eandem tertiam rationem in numeris exhibere nunc debeam iuxta Propositionem a me adductam superius. An autem vera sit vel falsa haec Authoris Propositiori . non est huius loci expendere iuris est illa quaestio: factum
194쪽
LIB. II Exumendi adratura primae. 87 factum probatum es , ex quo solutionem Problematis mei instituere debeo. Erit cum Propositio illa per
Quaerimus ergo Rationem quam habet corpus rQ'.1 tum ex supersci mixta Avis I ducta in mixtam superficiem AIλΘE ad corpus itum ex superficie mixta Z L H ducta in mixtam superficiem M u . Eam autem quaerimus ex data prima ratione , quam
habet corpus ortum ex plano A Vari in se ducto , ad corpus ortum ex plano Z V X H:δε ex secun a Ratione quarintercedit inter corpus ortum ex triangulo AIΚ ducto in Trapezium AINE, corpus ortum ex Trapezio TH P ducto in Trapezium ZM M Q, quae item data est. Inuenta autem fuerit tertia illa ratiosi duabus notis rationibus primae& secundae, ratio adiungitur tertia, quae huiusmodi sit, ut prima bis per multiplicationem secundam contineat secunda vero A etiam
195쪽
etiam bis per multiplicationem contineat illam tertiam ut sese paulo ante exposui. Cum igitur primae Rationis termini Prop. s. inuentisinthi secunda vero Rationis termini Prop. 6 definiti fuerint huiusmodi bΛ. . Reducamus primo loco terminos illos omnes, qui fracti sunt, ad numeros integros, futuris operationibus aptiores Reductionis formulam adscribo ut cuique pateat unde ortum habeant numeri, quibus utendum erit omissis ergo fractorum denominatoribus, solis
numeratoribus utemur itavi primae rationis termini sint 384 α 963. Secundae vero sint 14 43. Et reductis etiam numeris ad minimos eandem rationem habentes erunt primae quidem rationis termini Σ36 Antecedens&33 Consequens Secundae vero Antecedensa, Mi ConsequenS.
Nunc demum utraque haec Ratio ad eundem Consequentem reducatur per Prop p. lib. 1. ut hoc in schemate exprimitur. Erit primae rationis Antecc de A 1816ωConsequens σ36 1.Rationis vero se cudae Antecedens est Bri 6 8 de Cosequens iteru 3 i. Quia vero per Prop.7 lib. i. Rationes,quaru idem est Colequens, eandem habent proportionem, quam earumdem δε tecedentes It reperiatur tertia illa ratio quam inuestigamus
196쪽
LIB. I. Examen aba ruis ae primae. I 89stigamus, ei iam attributo eodem cum reliquis Con-
gruentem Antecedentem inquiremus hoc modo. Inter duos Anteceden-
tes A 1816,&B26 8 da - tarum rationum primae& secundae reperiatur medius proportionalis numerus
2 3 nonnihil minor vero maior ver0 foret 27 II, uterlibet adhibeatur, nihil ad institutum consequetur incommodi. Deinde duobus numeris D B tertius reperiatur proportionalis cis 68 qui erit paulo maior A 316 Do 3 6 8 Erico F 236 8 vero , sed nihil interest denique inter B medius proportionalis reperiatur E 26ox minor vero , quod susscit. Dico hunc numerum Teum esse qui quaeritur, eum scilicet;cui velut Antecedenti si adiungatur Consequens σ36 1 tertiam rationem quaesitam exhibebit: cuius ratio secunda B ad C est duplicat quem admodum rationis B ad C secunda est duplicata ratio prima A ad C. Demonstratio. 18i6. D 73o B 26 8 E 26o7. Fri 368. l 36 i. σ36 i. σ3641 C 64i σ364 i. lQuia igitur ex constructione tres Antecedentes
A, D, B sunt continue proportionales Ratio A ad BA duplicata
197쪽
cata rationis Bad F. Sed quia ex eadem constructione tres B, E, F sunt etiam continue proportionales, erit etiam ratio B ad F duplicata rationis E ad , siue Bad E. Quare cum rationes A, C, C, EG, quatum idem est Consequens C , ita sa habeant per 7 lib. . t se habent Antecedentes M, B, E erit prima ratio AG duplicata rationis , secundae . secunda BG duplicata tertiae E C. Duabus igitur datis rationibus prima AC, sisecunda B a tertiam inuenimus quam toties contineat per multiplicationem ratio secunda BG iuxta mentem Aut horis quoties per multiplicationem ipsam BC secundam continet prima ratio A quod querebatur.
R O P. XLVIII. THEOR. Non videtur absoluta Circuli Quadratura.
Vt huius sententia aequitas euidentius constet iuuerit hic obiter recolere quae iam in superioribus aliquoties proposita sunt Nimirum corpus ortum ex plano AULI in se ducto, ad corpus ortum ex plano ViXH in se ducto, talem habere rationem 'uae bis per multiplicationem contineat rationem corporis orti ex triangulo AI ducto in Trapezium AINE ad corpus ortum ex Traperto ZHF ducto in Trapezium ZHMQ: sicut haec ipsa ratio bis per multiplicationem
198쪽
LIB. I. Exumen quadratura primae. 91
plicationem continet rationem corporis orti ex plano
AZΓ ducto in planum AIAE , ad corpus ortum ex plano Z H ducto in planum mi O id enim stabilitum est iuxta Authoris mentem Prop.47 praecedente Rursus ostensum est Prop. 2. superiore. Corpus ortum ex plano A pr ducto in planum AIAE aequale esse cylindraceo,cuius basis est circuli Quadrans AIK: corpus vero ortum ex plano TH αβ ducto in planum A . ZHμΘ, aequale esse cylindraceo; cuius bassis est mixtum quadrilaterum ZHLC. altitudo vero utriusque huius cylindracei est recta A B quo fit ut duo illa Cylindracea candem habeant inter se rationem, quam habent inter se circuli Quadrans IK, planum mixtum Z HLC. Ita ut ratio tertia, Propositione praxedente inuenta, ad cylindracea illa duo spectans eadem ipsa sit ratio inter circuli Quadrantem IK ita nummixtum Z L C. His declaratis.
199쪽
Demonstratio. Dig. 11. Una termini tertiae illius Rationis sin trico 36 i. ille Antecedenti hic Consequens ita erit Quadrans circuli AP ad Quadrilaterum mixtum Z L ut α6oiad 36 i. In altera figura ducantur a centro circuli radi IL IO ad puncta in quibus circulus secatur a parallelis: Θ, Η Δ, iungatur i. Erit sector I aequalis sector IKO, qui continet duas tertias
200쪽
LIL IL Examen quadratura primae. 93tias partes totius Quadramis AI Ergo, sector I O Lerit duae tertiae partes eiusdem Quadrantis. Praeterea Al. 13. duo triangula ITO, IH L erunt excessus Quadrilateri mixti Z L, supra duas tertia Quadrantis A IK: sunt autem, ut patet, duo illa triangula simul aequalia triangulo OIL. Iam sic ratiocinationem totam cotiligo. Vt se habet Quadransa Icad duas sui tertias
partes ita numerus Σ6oiadnumerum 738. duas tertias sui partes continentem: deinde ut sectora L siue duae tertiae Quadrantis ad triangulum OIL siue exceΩsum quo mixtum quadrilaterum T superat sectorem I OL ita erit numerus m ad numerum 9o 3. qui estΡxcessus numeri ais 1 supra numerum 7 3 continenter duas tertias Antecedentis 26o7. Sed numeus
1 38 est lingemino quam I9o, hoc nimirum nuta mero I 6ue hirgo sector IO L longe minor est triangulo OIL totum parte , quod est absurdum. Quod non nisi ob defectum in Antecedentibus admissum contingere potest Ergo non videtur absoluta circuli Quadratura. Quod erat probandum. Scholium. Reieci supra, nec immerito ob astatas rationes sensium illam lumina ratio alteram continere disi potest simpliciter is absolute nec in eo accipi ab Author ba in materia
me potuisse vel debuisse. Ne quid tamen scrupuli resideat O si mii stabiliatur, quod de sensu continentia raritonum per multiplicationem a serui Propositionem praecedentem . iam insense isto simpliciis absoluto contimentita ration m