장음표시 사용
211쪽
Ex his duabus propositionibus egregi confirmatur decretoria illa Propositio 8 quam, ut aequissimam tueor. Quam uisi cuius me dolet tartius comperilat sum quendam in numeris, qui in illam influunt, Prop. I. statutis quem, ut longius ά praelo abium , auertere tempore non potui suo. Nunc, ne cui quidpiam scrupuli resideat , auerto. Citata Prop. ex Additione fractorum A,B, . in re facili erres facilius collectus est D colligendus erat E. Vnde Pro- os. ι. extrema seponendi erant F G. Exinde lolutione Propositi otiis ad hos numerosa mapplicata repe rientur numeri Ex open merorum, quos ordine suo refert
683 ad 41 3 3 ea sit, quae quaeritur. Haec autem eadem est cum Ratione Quadrantis AP ad mixtum Quadrilate tum ZOΚLH, ut Prop. 8 declaratu citius Conclusionem iuxta restitutos num et os E repeto. Vt Quadrans AI K dmixtum Quadrilaterum ZK; ita , ala ad C 1233. Ergo viduae tertiae Quadrantis A I Κ, nempe sector ID L, ad Quadril. V it
duae tertiae numeri 683 , nempe Σ1 ad 123 3. Et Diuidendo. Vt sector I OL ad Triari g. OIL,ita 111 ad IIII excessum numeri 2 23 3 supra ri 21 Sed Trapezium I OKL ductas concipe rectas Κο, KL)maiorem habet Rationem ad Triang. OIL; quam 1 2 ad IIa I ut enim Trap. IO KL ad Triang. OIL; ita I io oro sinus totus ad I 866o sinum G so)Ergo Trap. IO XL per et O. lib. s. maius est sectore Ioa , pars toto. Quod, de . Addo etiam ex occasione, nouam quae occurrit Confirmationem illius Prop. 8. Vt sector I L ad Triang. II. ita Circulus ad Hexagonum Circulus verbio sit radio oo eo est proxim8 31 3 9. Hexagonum autem s98c9. At longe aliam Rationem seruant hi numeri II 22. I II. Ergo admitti non debent. Hoc Argumento reiicientur etiam , quae in eiusdem Prop. 8. scho io traduntur ex altero sensu. Numeris enim Sue. de 3 3 ,substituentuti 28, Mao; & numeris 3 . 84, numeri o deo 2 Ex quibus, ut ibi declaratur, concludetur Rationem II ad Io6--- fuero 3 ad Ico, eandem esse cum Ratione sectoris P L ad Triang. OIL , vel Circcli i is ad Hexagonum 198oy At longe sunt dispares hae Rationes duae .longe longi iis Ratio ro ad fore cedit vera,qv-m ad 2 3 9 8os: quae verae proxima est.
212쪽
quod subesse videtur vitium, aperitur.
R O P. I. THEOR. Si circa axem A B Parabola quaepiam in Ddescripta sit cuius lateri recto aequalis linea A ImperaXe reponatur a vertice Acii per i Applicata ducatur ordinatim I M. Dico ordinatam IM esse aequalem ipsi lateri recto,siue lineae AI.
Demonstratio. Quadratum ordinatae LM aequale est per ii lib.i. Apoll. rectangulo, quod sub sagitta abscissa P dc a tererecto continetur. Sed Ia aequalis est lateri recto ex constructione: ita ut rectangulum illud sub Ari latere recto Quadratum sit. Ergo Quadratum ordinatae IM aequale est Quadrato lateris re Ergo decipi a Qua-C dratorum
213쪽
zo TARS ILdratorum latera,nimirum latus rectum, ordinata IMsunt linea: aequales. Quod erat demonstrandum.
Si duae linea AI, AM angulum semirectum contineant M AI describantur autem circa earum alteram A tanquam axem, Parabota quaecumque, quotcumque verbi gratia , M A D. Dico Parabolam quamcumque secari ab altera linea in M. Vnde sit ordinata ad axem ducatur MI,
214쪽
LI B. III. Examen triplim' 'Mais. poster. 26
MI aequalis ea sit tam lateri recto, quam abscis sagittae Q.
Demonstratio. Clara est haec Propositio ex praecedenti. Cum enim
ex constructione angulus IAM sit semirectus, rectusque angulus I erit semirectus angulus AMI, atque adeo aequalis angulo A trianguli AI M. AEqualia sunt ergo latera A, I M. Quia vero Quadratum M aequale est rectangulo sub I x latere recto reetangulum illud Quadratum esse necesse est Patque adeo latus re- istum, quod Quadrati latus alterum est; aequale erit lineae Aa ad verticem abscisis ergo Dalteri linea quaesit eidem Aa, sequalis ordinatim scilicet Applicatae I M. Quare si duae lineae, &c. Quod erat probandum.
PROP. III. THEOR. Si a vertice A Parabolae cuiusuis in D, linea ne ii recta emittatur faciens cum axe AI angulum
semirectum, Parabolam sectura est , ut in M. Vnde si Applicata ad axem ducatur Mn erit tam Applicata M , quam abscissa DA , lateri recto Parabolae aequalis. DemonPratio. Nam in triangulo AIM, cum angulus , sit rectus, jde Asemirectus semirectus erit m atque adeo latera I M,I A aequalia per .lib. i. Quibus trisque aequale esse necesse est latus rectum Parabolae, Ut ex praecedenti
215쪽
IV:.11. Hinc ergo primo modus habetur perfacilis definiendi latus rectum dat: cuiusuis Parabola: Si nim lucatur linea re ita Am cum axe A I angulum semirectum continens ea secabit Parabolam in puncto , utra , a quom clucatur ad axem VI ordinatim Applicata MI erit tam ipsa quam abscissa figitta Q,aequalis aceti eclo Parabo taco Pa
216쪽
LIB. III. Examen triplicis uadr. poner . Odi Corolirium II. Hinc etiam sequitur,lsi sumpta sagitta AI aequali lateri recto , ductaque ordinata I emittatura vertice Alinea, quaecum axe AI angulum semirectum contineat, ipsum perra, in quo ordinata Parabolam secat, necessario trans turam.
ROP. IV. THEOR. Sit m axis communis aequalium rimi
lium Parabolarum subalterne positarum AMS, A MUL G. Circa vero axem communem AB semicirculus describatur, quem linea quaevis ordi natim Applicata ad axem, secet in K; Parabolas autem subalternas in S&G. Dico lineam ΕΚ ad lineam EG ita se habere sv linea E sessi l bet ad latus rectum Parabolarum.
Praeparatio. Absoluatur parabola SMA descripto eius altero eosnu ARO. Erunt obuersa inter se duarum Parabolarum cornua AID, B L G eritque I aequalis ordi natat Erici ita ut asseri possit eodem modo , quatuor lineas EΚ, EG;&, EF&latus rectum, esse proportionales. Item sumpta TV aequali, linea AI siue V aequali sumpta linea C E ducatur per ad axem normalis siecans in R. circulum obuersa veryParabolas in L δ O. Erunt ergo ET, C aequales ob aequale positas Assi, B V. AEquales item propter eandemta rationeAa
217쪽
21 ῬARS II. rationem tam EF, VI quam E G. O. Sunt enini Ordinatim Applicatae a verticibus Ain B equalium similium Parabolarum aequaliter distantes.
Demonstratio. Cuna ad semicirculi diametrum AB sit E perpendicularis, atque adeo media proportionalis inter diametri segmenta AE, B: erit AE: prima trium froportionalium AE, EX EB ad tertiam EB: ut Quadratum prima AE ad Quadratum secundae E K.
Sed ut AD ad Ei, siue ad A V, linea: Es lualem;
218쪽
LIB. III. Exum uis 'licis utar. Eer ii ita est per zo .lib. 1. Apoll. Quadratum E F ad Quadratum ' O E rgo ut Quadratum AE ad Quadratum EM; ita est Quadratum EF adQuadratum V .Ergo etiam horti Quadratorum proportionalium proportionalia erunt latera nempe erit A E ad DK vi EF ad C sue ad EG, lineae oaequalem. Et permutando ut Aiad DF ita Eta ad E G. Sed E media est proportionalis inter latus rectum oblineam A L est enim Quadratum lineae EF aequale rectangulo sub latere recto linea Assi comprehenso per ii lib. i. Apoll. Ergo ita est EF ad Latus rectum, ut E A ad EF Sedit E A ad EF ita o tensa est Ecesse ad EG. Ergo EΚ, EG;
ET, Latus rectum, sunt proportionales. Quod erat probandum. Soholium. Non alio sane modo idem demonstrabitur,si subalternae sue obuersa Paraboli aequales similes, alios vi alios vertices oppositos nanciscantur. Cuiusmodi sunt Parabolae duae obucrsae AZO,IZ X circa qua
rum communem axem A semicirculus describatur
AQIbi linea quaevis ad axem perpendicularis tam circulum quam Parabolas secans, adinstar lineae E , ducatur. Eadem enim semper futura est demonstratio.
PRO P. HAE O R. Descriptis ut in praecedenti Propositione, '
219쪽
B L . Descripto etiam circa axem communem A B semicirculo ductis praeterea ordinatim Applicatis quibuscumque EF, V quae,si producantur, circulum secent in KN R. Dico corpus Cylindricum mixtum; cuius scilicet basis sit Quadrilaterum mixtum E KR V,&altitudo sit latus rectum Parabolarum aequarico pori quod oritur ex Tegmento VPS ducto in segmentum subalternum E VLGi vel, aequari corpori, quod ex segmento E V O F
220쪽
LIB. III. Examen Ap uais possen et 3 ducto in segmentum obuersum E V LG, gene- Tatur. Imb totus semicylindrus, cuius basiis est semicirculus AKRB, dc altitudo latus rectum Parabolarum, aequatur solido quod ex tota Parabola AB V ducta vel in totam Parabolam subalternam A B N,vet,quod idem est, in totan iobuersam AB R', generatur.
Haec una Propositio mea tres complectitur Propositiones doctissimi Geometrie. Prima earum est 43. libri de ductibus Secunda est i lib. Lo eademque est 1icum priore, noua tamen ampliore probatione confirmata tertia denique est 68. Prop. eiusdem lib. o. Duae priores, quae idem sonant,in casu tantum singulari versantur cum scilicet axis communis Am duarum Parabolarum obuersarum circa quem semicirculusbassis futuri semicylindri describitur, aequalis est lateri recto Parabolarum. Tertia veryilla Propositio 68. lib.io Vniuersalis est liberamque admittit quantitatem axis AB communis, circa quem basis circularis semicylindri describaturri quemadmodum eandem conditionem admittit Propositio mea. Verum in assignanda altitudine semicylindri illius, qui super semi circulo circa axem A B deseripto erigatur quique sit,is., aequalis solido ex ductu in se Parabolarum subalterna rum; in eo,non opponimur quidem, verum disi imiles sumusci quod ego altitudinem semicylindri, certam semper Lunicam definio: quantitatem scilicet latens