장음표시 사용
251쪽
Ε .is dum ex huiusmodi basi, altitudine constans est 18 ue'. Sed solidum illud per Prop. 99 de duc stibus in qua Author Propositionem .lib.1 Euclidis ductibus applicat, aequale est solidis huiusmbdi nempe orto ex rectangulo E L in se ducto orto ex rectangulo ducto bis in segmentum Fio orto denique ex segmento FI O in se. Solidum autem ex rectangulos L in se ducto genitum est parallelepipedum cuius basis est rectangulum ipsum E L numero 3 expressum si altitudo EF . Si ergo hi duo numeri in se multiplicentur:
252쪽
LIB. III Eae ita in οὐ AEuadr. pinser. t 3 cetitu fiet soliditas corporis illius parallelepipedi. Deinde solidum ex rectangulo EI bis ducto in Parabolam FLO habetur si altitudo EF ducatur in duplum Parabolae FI O, quod est sat 37- .
Addatur hic numerus ad priorem 44 inde collectus 181 - , demature 18 1 siue 18 aequales enim sunt adhaerentes huic numero 184 fractiones remanebit solidum B in ex segmento FLO in se ducto genitum quod quaerebatur. Corpus denique C ex ductu plani SP L in segenitum , eadem fere methodo notum euadet. Cum enim planum hoc in duas partes diuidatur a linea EV: erit per citatam Prop.is s. ductuum, solidum C quaesii-tum,aequale solido ex ductu rectaguli EL in se, quod iam inuentum est . . lido ex ductu in se segmenti EV PS. quod est 18 M .& denique solido, quod fit bis ex rectangulo L in Graiadrilaterum EV PS ducto. Hoc est, quod nascetur ex EF iis sumpta , quae est in quadrilaterum E siue
EFO ducta qua multiplicatione producitur numerus 32s . Tres ergo hi numeri 31 simul addantur colligetur numerus 6 33 exprimens solidum C ex segmento Si DP in se ducto
Ham demum solida in unum collecta ita babent.
253쪽
Proportionem Rationum Aa d CD ex
hibere. Reducantur in primis proxime expositi numeri,quibus fracti adhaerent ad unicam omnes Denominationem iuxta leges fractorum. Sic stabunt Rationes. Sed -- quia numeri fracti, Α- quorum idem esti Denominator, ean' de seruant Rationem inter se quam numeratoIes habere inter se,agno .scuntur. Expungatur communis ille De nominator sab omnibus terminis Q eaedem Rationes terminis
Iam vero reducantur ad eundem Consequetem ambae Rationes Ad quod satis est, ut soli Antecedentes reperiantur, qui communi Consequenti debentur , licet ipse Consequens communis omittatur. Ipsi enim soli duo Antecedentes ad inuicem collati datarum Rationum proportionem expriment,ut ostensum est lib. i.Prop. . Reducentur autem ad eundem Consequentem Rationes duae superiores in hoc casu, in quo Consequens posterioris, aequalis est prioris Rationis Antecedenti si BI duca
tus in C 'α3, ut fiat 413I qui diuidatur per Ax 3, Vt sat
254쪽
LIB. III. Examen triplicss euadriposter. 247fiat quotiens 3o6 3 6 utor decadicis ut praecisior habeatur quotiens, faciliusque exprimatur fractio post diuisionem reliqua. Dico terminum A 2 3 tanquam Antecedentem, ad quotietem proxime inuentuna 3O673ς tanquam ad Consequentem , collatum, exprimere proportionem duarum Rationum ABi M. Cuius terminos characteribus X in L designari monui Propos, huius ad calcem. Hac autem arte , quam hic adhibui, recte inueniri terminos proportionis inter duas Rationes AB, MCD intercedentis, sic ostendo. Cum primus terminus AMVltimus Dionantur aequales, in se mutuo duci
debeant, ut reperiatur Consequens communis duabus Rationibus A B, MCD. Fiet ex ea multiplicatione numerus Quadratus primi termini A. qui futurus esset Antecedens proportionis quaesitae, cuius Consequens, foret numerus ex multiplicatione B in C progenitus.
Quod si huiusmodi termini proportionis per eundem numerum dividantur isti habebuntur termini eiusdem proportionis Numeri enim duo vel plures, sicut,
si per eundem numerum multiplicentur,numeros prΟ- ducunt eiusdem cum ipsis Rationis. Ita eiusdem cum ipsis Rationis numeros producent, si per eundem numerum dividantur. Quare si Quadratus numerus termini A. de productus ex multiplicatione termini B in
C, dividantur pereundem terminum A. Quotientes
ita erunt inter se ut numeri diuisi. Est autem A quotiens,si eius Quadratum per Adiuidatur. Ergo A ita se habet ad quotientem diuisionis numeri ex B in C producti,
255쪽
munt proportionem Rationum AB, CD. Ergo eandem etiam expriment ipse numerus A. quotiens factus ex diuisione producti ex B in C per eundem numerum A. Haec ergo est datarum Rationum A B, CD qua sita proportio. 4 3 Antecedens, L 3O6736 Consequens vel terminis ad eandem Denominationem reductis terminus enim L fractus est,& more de-cadicorum designatus sideinde De nominatione extincta multiplicato ΚΣ per iooo. Sic stabit in integris quaesita proportio.
L-383 a. PROP. XIV. PROBL. Og is Cognoscenda sint in numeris solida, quae ex
segmentis Parabolicis APD, FI O FI PS, A LM ih se subalterne ductis oriuntur.
Quod Prop.ri.praestitum est circa eadem plana in se dii ecte ducta idem nunc absoluendum est quando in se subalterne ducuntur. Primo ergo loco primum, ultimum solidum exaequalibus segmentis Parabolicis AID , Alm genita quae E M vocada veniunt ex Prop. . nota fiunt, si
256쪽
CLatus rectum 1 Parabolarum multiplicet aream semi circuli A in per Prop. . huius quae multiplicatio aream illam non immutat. Ergo corpora illa E, Hsunt 318o87o maius vero vel 18'o8 si vero minus
Secundo Solidum F, quod oriture segmento FLOin se subalterne ducto, innotescet si ex solido, cuius basis est mixtum Quadrilaterum circulare E KRV&altitudo Latus rectum is est ipsa baseos quantitas immutata supra Prop. ii definita his terminis maior Di vera
257쪽
solidum quod sit ex Rectangulo D in se ducto, dc quod fit ex ductu eiusdem Rectangulii bis in pla
num FT O. Haec autem solida duo simul iam supra
Prop. L2.inuenta sunt si vel, reducta hac fractione addecimas, ad eandem scilicet denominationem cum numero,unde fieri subtractio debet,i8i3333 3 facta vero huius numeri subtractione ex illo vel maiore vero vel minore remanebit solidum F vel maius vero I 69ue i,vel vero minus 16'9363. Hic in mentem fortasse veniret dubitandi, ne ductuum diuersitas, quae in hac Propositionein Propositione is citatae obseruatur; cum hic duetia subalternus, illic verysimplex adhibeatur aliquid etiam diuersitatis inuehat in Applicationem Propositionis .lib. 2. Eucl.quam Geometra demonstrat Prop. i99 ductuum ut supra Prop.Ἀ.retuli.Verum nihil discriminis in hoc casu obseruari potest nisi in solo situ solidorum duo. rum, quae complementorum locum referunt Propositionis illius Euclidis citatae. Semel enim Rectangulum E L duci debet in planum FI O, semel item in planum L FG , prior quidem obuersum sed ei aequales ut una cum solido ex L O in se subalterne, hoc est,in obuem sum planum L FG ducto, componatur totum solidum ex toto Plano EFO V in se subalterne ducto formatum. Ita ut tota diuersitas quantitatis solidorum duorum, quae generat planum EF V, dum in se directe in se subalterne ducitur , sumi debeat penes particulam FLO: licet quoad situm discrimen etiam
258쪽
reperiatur in complementis ut dixi, nullum vero nec in situ nec in quantitate contingit in ductu Rectanguli EL , Vt patet. Atque haec obseruatio locum habet etiam in Paragrapho sequenti.
Tertio. Inquirendum superest Solidum G, quod scilicet oritur ex ductu plani SP siue ei simialisi aequalis SI O T, subalterno in se, vel, in planum obuersum S GI T. Illud ergo notum euadet in hunc modum. Cum planum ST O T secetur in duas partes
259쪽
fiet solidum Prop. ii iuuentum si rursus idem rectangulum L nhri in planum EFOV. o. se ex Prop. v. id est, si EI bis hue 8 ducatur in o ut fiat 3 3 'ςm
dantur hi duo numerii & pq 'I E denique hic numerus addatur ad solidum, quod fit ex ductu subalterno plani ET O V quod per Prop. 3 aequale est solido cuius basis est planum Κ V, altitudo
vero Latus rectum Parabolarum habebitur solidum quaesitum ex illis partialibus compositum Postremum vero hoc solidum,cum altitudo eius sit Latus rectum tierit ipsa basis E KRV supra definita Prop. H. Vera γmaior 183o'29 , vera minor 83O189 immutata, huic ergo numero addatur numerus 469 siue reducta fractione , addecima 4693',333 fiet per banc additionem sue ue velisue α36Σα solidum quaelitum, illud maius vero, hoc autem minus. Quatuor ergo solida illa, tota hac Propositione m- uestigata, ex ductibus subalternis orta hac synopsi ex
260쪽
LIB. III. Amen triplios a tr. nster. 213 P ROP. XU. PROBL.
In uestigetur Proportio Rationum quae inter solida E, F αG H. proxime Inuenta , intercedit. Hactenus solida illa quatuor, inter quorum Rationes Proportio hic proponitur inuestigandaci duobus semper numeris expressi, maiore vero, Nero minore, prout constituta est area circulorum, e quibus pendent haec solida maior vera, vel minor vera. Quod quo consilio a me factum fuerit, infra patebit illud interim etiamnum obseruo in prius inquiro proportionem , quae est inter Rationes horum solidorum, cum veris maiora supponuntur , tum deinceps eadem proportio inquiretur solidis iisdem minoribus veris, sup- possitis Repetantur ergo termini veris maiores, ut habet hoc schema: in quo expungitur fractio omnium, delecto accentu
unde fit, ut saepius dictum est , ut ipsi numeratores inter se eandem observent Rationem quam ipsi fracti inter se prius obseruabant Quaeratur itaque Consequens utrique Rationis F,GH communis,vel potius ut alias monui, quaerantur soli Antecedentes E& G, qui Consequenti communi debentur, licet ipse omit latur. Erunt hi duo Antecedentes, E quidem idem;
nempe ito87 si methodus surpata, demonstrata ad Prop.13 adhibeatur. At G erit 3 78i3 i. Qui termini