장음표시 사용
171쪽
Tab V. CD assuintum extra Ellipsin cadit S. Fig. οι. eis Anil s), de hinc CD Ellipsin in M
COROLLARIUM.3Ir. Si igitur Candela accensa ponatur in Foco Speculi Elliptici uno F; Radii ejus post reflexionem coeunt in altero G.
CAPUT T. De Catoptrica Analytica, seu modo Det vestigandi Theoremata Cato rica per Analusin.
PROBLEMA XXVIII. Tab. 3I2. m ata distansia AB Puncti r VII. se diantis A a superficie Speculi Spharici Concavi DBE . invenire Pun tum F, M.quo Radius refous DF cum
Sit in C Centrum Speculi & CB Radius a, distantia Puncti radiantis AB-b, BF - κ; erit FC - ώ- α Quoniam supponimus oculum, qui videt Imaginem Punctis radiantis A in Speculo, esse in Axe constitutum, ut Radius reflexus DF in eundem incidere possit, Radius incidens AD Axi AB valde vicinus esse debet, ut adeo Arcus DB, Anguli DCB mensura ta 37. Geom. , consequenter de ipse Angulus DCB admodum exiguus sit g. S8. S9. Geom. . Erunt igitur multo magis Anguli o den S. 239. Geom. , itemque Angulus I S.I ) valde exigui. Eadem de causa DC & CB, itemque DF & FB tanquam quantitate contemtibili disterentes pro aequalibus asstimi possunt. Quoniam ita- que m : 1 FD: CF & n: o DCr VII. AC Trigon. 1, erit nΦo: o - DC Tu. - - AC: AC S. I9O. Arithm. , seu oh 63.-n Φ o m, o 3, &DC - CB, m: r- AB: AC i 68. Arithm. , cons quenter g. 167. Arithm. , AB: AC FB: CF
Theorema. Si Radius AD insuperficiem Speculi Concavi incidens ab Axe AB divergit; erit distantia Puncti concursus F a superficie Speculi BF ad semidiametrum BC, ut distantia Puncti radiantis a superficie Speculi AB ad compositam ex eadem di tantia & distantia Puncti radiantis a Centro Λ C.
172쪽
- . Cip. V. DE CATO PTRICA ANALYTICA, &e. i 63 Quod si distantia Punisti concursus Fsive Foci a Centro C F desideretur, cum sit CF - BC - m
Theorenus. Si Radius AD in superficiem speculi Concavi incidens ab Axe divergit; erit ut composita ex distantia Punciti radiantis a superficie Speculi & eius distantia a Centro, ad distantiain a Ce tro Speculi ; ita semidiameter Speculi, ad distantiam Foci a Centro. COROLLARIUM. I. 3 3. Si distantia Puncti radiantis AB sit infinita, erit BC respectu AB infinite parva, adeoque AB & AC haberi possunt pro aequalibus s*.4 .Analysi n. . Quamobrem FB - - - F. 3ra l BC, hoc est, distantia Foci a Speculo FB est dimidio Radio, seu quartae Diametri parti aequalis r quod Consonum iis, quae supra demonstravimus s. aos. MI). COROLLARIUM II. 3r . Quodsi ut ante distantia Puncti radiantis AB sit lafinita, erit CF ob rati . AC. BC. H.
est, distantia Foci a Centro est quartae Di metri parti aequalis: id quod convenit cum Corollario praecedente is 23 . COROLLARIUM III. 3is. Quodsi AB BC, hoe est, si Punc
si AB. BC dividatur per quantitatem ipsa ΑΒ majorem , veluti hic per ΣΑΒ BC; erit FBα BC S. xo a. Arithm. , hoc est, distantia Foci F a superficie Speculi est Radio BC minor, seu Punctum concursus cum Axe intra Centrum a Speculo distat. COROLLARIUM IV.
1 AC g. 2ox . Arithm.ὶ, hoc est, distantia Puncti concursus a Centro est BC, seu quarta Diametri parte. COROLLARIUM V. 3IT. Quamobrem eum Focus Radiorum parallelorum i qui proprie Focus dicitur distet , Centro intervallo LBC; Radius vero divergens AD cum Axe post
reflexionem concurrat intervallo minore quam ZBC; Punctum concursus F erit inter Centrum & Focum Radiorum parallelorum.
CoROI LARIUM VI. 3t8. Quodsi merit AB ra BC, hoc est, si Punctum radians fuerit in Centro Sp X a culi
173쪽
ctum concursus erit in ipso Centro C. Idem AC. BC etiam patet hoc mOGO, Vr ΗΑ AC S. 3 3. Sed quando ΑΗ BC, erit ACM AB - BC αα o, adeoque CF o, hoc est, distantia Puncti eoncursus a Centro nulla est , consequenter Punctum concursus in ipso Centro est, seu Radius reflexus cum Me in Puncto radiante con- COROLLARIUM VII.
3 i'. Quodsi fuerit AB αα ὲ BC, hoe est , si Punctum radians fuerit in Foco Radiorum parallelorum F. 3i3ὶi erit BF l BC. BC IBC. BC.
Quamobrem cum BF in hoc casu fit quantitas infinita, Punctum concursus cum Axea Speculo infinito intervallo distat. Quoniam itaque Radius ex Foco in Speculum incidens post reflexionem cum Axe non concurrit, nisi intervallo infinito, hoc est, nunquam; Radius ex Foco in Speculum incidens erit post reflexionem Mi parallelus, quemadmodum supra demonstratum
Est igitur distantia Puncti concursus a Cerutro infinita, hoc est, Radius ex Foco in speculum Concavum incidens post rest xionem ultra Centrum concurrit intervallo infinito , hoc est, nunquam e id quod cum Corollario praecedente convenit. CORO CLARIUM IT Tah3it. Quodsi fuerit ΑΒ α CB, sed vii
A CB, hoc est , si Punctum radians 'inter Focum & Centrum consistat . erit ις,.1 AB CB. Ponamus excessum rectae 1 A B supra C B esse rectam quandam GHr erit
hoe est, si Punctum radians inter Ce trum atque Focum constituatur , Radius divergens ab Axe post reflexionem cum eodem concurrit in distantia quarta Diametri parte majore a superficie Speculi. COROLLARIUM X. 3M. Iisdem positis, quae in Corollario
174쪽
Cisp. V. DE CATO PT RICA AN ALYTICA &e. 16s
hoe est , si Punctum radians inter Centrum atque Focum constituitur, Radius dive gens ab Axe post reflexionem cum eodem concurrit in distantia a Centro quarta Diametri parte minor
3 13.Quoniam si ex Puncto radiante inter Centrum de Focum constitutoRadius in Speculum Sphaericum Concavum non procul ab Axe incidit , ab eodem reflexus cum Axe concurrit in distantia maiore quarta Diametri parte a superficie Speculi s. 31 r γ&minore quarta Diametri parte a Centro
. . ta.);Focus autem a Centro non minus,
quam a superficie dimidia Radii seu quarta Diametri parte distat g. 3i3ὶ; Punctum
concursus in hoc casu inter Focum atque Centrum est.
COROLLARIUM XII. 3a . Si denique ΑΒ α I CB, hoc est,
indicio est Punctum concursus esse post Speculum. Ut enim sit positiva, fieri debet ΑΒ. BC - . BC-x AB
3as. Quoniam Radius ΑD ex Puncto A inter Focum di superficiem Speculi posito in superficiem Speculi incidens ita reflectitur
in DG, ut retro continuatus e ncurrat cum
Axe post Speculum in F; ex Puncto F post reflexionem ab Axe divergit b. sq. Geom. . CORO L L A RiUM XIV. 326. Cum ne tam radians A supponatur in Axe Speculi, qui utpote per Centrum C transiens F. 47o. Geom. 3 ad superficiem Speculi perpendicularis i s. 38. Anat . infinit. ἔ erit Axis Speculi Cathe- Tab. tus incidentiae sis. I 6 Quamobrem cum Vl I. in Speculo Sphaerico Concavo plerumque Fig. locus Imaginis sit in concursu Radii reflexi ε .cum Catheto incidentiae S. a 36 ); per ea, quae de Puncti, concursus dicta sunt, i cus Imaginis in diversis casibus determinatur , suntque distantiae illius puncti a superficie Speculi distantiae Imaginum aspeculo. COROLLARIUM XV. 317. Sit distantia Punctorum radianistium t superficie Speculi in ratione I: m. Erunt ergo distantiae Imaginum a Speculo ut AB. BC . mM. BCaAB-BC UamAB BC
COROLLARIUM XVI. 328. Quodsi ergo AB , BC, hoe est, si
Puincturn radians fuerit ultra Centrum a Speculo remotum ; objecto 1 Speculo recedente, Imago ad idem accedit ,3 1 7 . COROLLAR tuM XVII. 319. Quodsi Punctum radians fuerit ultra Centrum a Speculo remotum , Objecto ad Speculum accedente, Imago ab eodem. recedit.
3 3 o. Sit iam a AB in BC, adeoque AB ἐBC, hoc est, sit Punctum radians inter eum & superficiem Speculi; erunt dis-AB. BC mAB. BC
175쪽
BC- amAB , mBC--. Arithm. COROLLARIUM XIX. 3 3 r . Quodsi ergo Objectum inter Focum& superficiem Speculi constitutum ad F cum accedit, seu a Speculo recedit, Imago quoque ab eodem recedit. COROLLALIUM XX. 331. Si vero idem a voco recedit, seu ad Speculum accedit; Imago quoque ad
tra Focum & superficiem Speculi constituti post Speculum apparet s. 32 ὶ; Imago majore intervallo post Speculum comparet, si Objectum Speculo propius, quam si ab eodem remotius.
COROLLARIUM XXII. 334. Quodsi BCm eo , hoc est , si Radius ponatur infinitus ; Speculum Concavum degenerat in Planum. Enimvero tum AB respectu ipsius BC infinite parva, adeoque nihilo aequalis i s. 4. Anal . is . . lQuamobrem etiam 1 AB nihilo aequivalet,
ac τα AB, hoc Imago tanto intervallo videtnr post Speculum Planum, quanto ante ipsum abest i quemadmo. dum superius demonstratum est s. 16 . S c Η o L I O N. is. Ex Corollariis bifice apparet, quanta Deilitate ex Formula Anablica deducantur palmaria de Speculis Concavis Theoremata. Poteramus ex eadem quoque deducere, qua ad Specula Convexab pertinent; sed majoris evidentia causa Problema sequeas subnectimus.
PROBLEMA XXIX. Convexi DBE, invenire Punctam F, in quo Radius reseras GF cum Axe
Sit in C Centrum Speculi & Radius CB - is, distantia Puncti radiantis a superficie Speculi AB b, distantia
336. Data distantia AB Puncti radiantis A a superficie Speculi SHarici
Theorema. Si Radius AD incidens insuperficiem Speculi Convexi ab Axe AC
176쪽
non nimis divergit; erit distantia Puncti concursus Radii reflexi cum Axe a supe ficie Speculi ad Radium convexitatis, ut distantia AB Puncti radiantis a superficie Speculi AB ad compo filam AC ΦΒΑ ex distantia ejusdem Puncti a Centro & distantia a superficie.
Quodsi distantia Puncti concursus Radii reflexi cuin Catheto incidentiae Fa Centro Speculi FC quaeratur, erit ob CF - BC-BF
Theorema. Si Radius AD incidens insuperficiem Speculi Sphaerici Convexi non multum ab Axe ejus AC divergit, erit distrantia Puncti conciarius F Radii reflexi GF a Centro Speculi FC ad Radium convexitatis BC, ut distantia Puncti radiantis a
Centro Speculi AC ad compositam ex e
dem distantia AC & distantia ejusdem a superficie Speculi M. COROLLARIUM I. 337a Quoniam AC BA AB ; erit
que BC F. I 8 o. Arathm, . Distantia igitur Puncti concursus Radii reflexi eum Catheto incidentiae in Spec Io Sphaerico Convexo ab ejus superficie semper minor est Radio. COROLLARIUM II. 3s8. Quare eum Imago puncti radia
tis Λ rideatur in isto Punsto concursus g. et si in ; in Speculo Sphaerico Convexo
semper videtur inter Centrum di super. ciem Speculi.
flexi cum Catheto incidentiae nunquam maΘjore intervallo a superficie Speculi distat, quam dimidio Convexitatis Radio. COROLLARIUM I V.
3 o. Quoniam distantia Puncti radianti habetur pro infinita , si Radius ab Axe divergens eidem ad sensum sit parallelus; Radius a Puncto remoto in superficiem Speculi Sphaerici Convexi incidens cum Catheto incidentiae concurrit intervallo quartae Diametri partis. COROLLARIUM V. 3 r. In Speculo Sphaerico Convexo Ima M.nunquam majore intervallo distat a superficie Speculi quam quarta Diametri
parte i s. 339 in & Imago quidem Objecti valde remoti a superficie Speculi quarta. Diametri parte. distat. Sc Aoc ION.
3 2. Objectum an valde remotum sis, Mimatin ex ratione Radii BC ad ejus diftantiam a superficie Speculi AB. In minor bus adeo Speulis minor diflantia ad hoc suseficit, quam in majoribus.
Quodsi Radius convexitatis BC sutarit infinitus, hoc est, si Speculum fuerit Planum; erit a ΑΒ respecti BC o fg. Anal.in . , adeoque BF M.
177쪽
In Speculo itaque Plano Imago tanto intervallo videtur post Speculum, quanto ante ipsum ab eodem abest. COROLLARIUM UII. 344. Sit ratio distantiarum Punctorum radiantium eta I: n; erunt distantiae Imaginum a superficie Speculi inter se
numerum , denturque a o b; ratio distanti rum innotescit in numeris.
366. Quodsi : n: fuerit ratio maioris inaequalitatis seu n I; erit na a, adeo que an, - - na b - a s*. yo. Arithm. . Crescente adeo distantia Plineti radiantis extra Speculum crescit distantia Imaginis a superficie Speculi intra Speculum. Recedente igitur Objecto a Speculo, Imago ejus intra Speculum a superficie versus Centrum recedit. COROLLARIUM IX. 347. Quodsi ir n fuerit ratio minoris inaequalitatis , seu n α I; erit na Q a, adeoque inb - na α -b a is. 9o. Arisbm. . Decrescente adeo distantia Puncti radiantis a Speculo deerescit distantia Im ginis a superficie. Vifibilis itaque ad Speculum accedentis imago ad eius super Sciem accedit, a Centro recedens.
COROLLARIUM X. 3 48.Quodsi, suerit m o, hoc est, si vi-mile superficiem Speculi tangit , erit adeoque distantia a superficie Speculi nulla est. Videtur igitur Imago in ipsa Speculi superficie. S c Η o L I N. 34'. Atque ex his Corollariis intelligitur,l ear Imago Spli longioris superficiem Speculi
Atero μo extremo contingentis oe Diametro
Speeuli in directum siti sit eidem continua σin directum sita. COROLLARIUM XI 31 o. Si fuerit braa, seu visibile a Spo. eulo Radii intervallo distet; erit 1b-aza - Ο , seu Imago tertia semidi μmetri parte a superficie Speculi distat, adeoque duabus tertiis a Centro COROLLARIUM XII. 3st. Quodsi fuerit b na Se n , r. seu distantia Puncti radianyis major Radio ; erit ab G na
m. Arithm. . Idem adhuc obtinet, sin Q t. Distantia igitur Imaginis a supe fcie Speculi continuo minor est Radio, quantacunque fuerit distantia Imaginis rid quod jam alio modo ante elicuimus. COROLLARIUM XIII. 311. Quodsi fuerit ura oo . erit unitas respectu in nihilo aequalis ly. . Analys infinit.), & distantia Imaginis a superficie Spe ii α Sa, seu dimidio Radio aequalis r quemadmodum denuo jam ante r
COROLLARIUM XIV. 3 s . Quodsi ponamus s--la; hoc est, si Imago a superficie Spe ii distet
intervallo quartae partis Diametri ; erit aab m 2ab Φ aa , adeoque ramor quod eum sit absurdum, Imago a superficie Speculi nunquam quarta Diametri parte
178쪽
distare potest, si Radius incidens a Catheto
incidentiae divergit. SCHOLI GN.3 64. Consentit Me eum superioribus , ubi distantiam pisibilis infinitam requisivimus, ut Imago distet a superficie Speculi quarta Diametri parte: tum enim Radius incidens otheto incidentia censetur parallelus. COROLLARIUM XV. 11. Si Radii duorum Speculorum sue rint ut a ad M, sitque n i; erunt diu tantiae Imaginum 1 superficiebus Speculorum , Visibili ab utroque Speculo eodem
adeoque ut 1b Φ na ad inb Φ na S. I 8.18i . Arithm. . Quamobrem cum sit inb 2b ex hypothesi , distantia Imaginis in Speculo majoris Sphaericitatis major est, in Speculo minoris minor, seu imago ejus dem Visibilis in eadem distantia a Speculo majore intervallo videtur post Speculum, si majoris fuerit Sphaerae segmentum, quam si minoris fuerit.
go Visibilis. tanto intervallo a Superficie speculi , quanto ante ipsum idem abest; erit ab m a bb in ab , adeoque 2M o: quod cum sit absurdum . in Speculo Sphaerico Convexo imago nunquam tanto intervallo post Speculum esse potest, quanto ante ipsum Objectum constituitur.
COROLLARIUM XVII. 3s . Sit - l b , seu sit distan-
lia Imaginis post Speculum distantiaeVim bilis a Speculo dimidia; erit ab bb Φ
3 ab adeoque lab bb, seu la b. O tectum igitur a Speculo intervallo dimidii Radii Speculi ab eodem distare debet, ut Imastinis distantia sit dimidia distantiae O tecti. SCHOLIO N3 6 8. Ex bis Corollariis intelligitur , qua ta facilitate plurima Cat trica Theoremata inveniri possint, ope Theorematum generalium , qua ct ipsa absque multa dijeultate
eruuntur. Poterat haec Theoria etiam extendi ad alias Carvas: possunt tamen aliis quoqucta modis Pancta concursus Radiorum reflexorum cum Axe inveniri. Ut industriam Lect ris excitemus, sequens addere labet Problema.
PRO3LEM A XXX. 3S9. Invenire Punctum F, in quo Tab. Radius G M sel EM AH AK Parthisia VlI. AMN parallelus cum eodem post reflexionem concurrit , sue in Concavitatem, sive in Convexitarem incidat. REsoLUTI O.
S. 233. Seom. & ex natura reflexionis
179쪽
i o ELEMENTA CATO PTR. Cisp. V. DE CATO PTR. ANALYT
Theorema. Si Radius parallelus FM vel MF incidat in Parabolam ΑMN, post reflexionem in Puncto F cum Axe comcurrit, quod a Vertice A quarta Param tri parte distat. S c Η o L I O N. 3co. Non absimili modo Punctum , ubἰ Radias reflexus quicunque eum Axe alterius Cuma concurrit , inveniri potes.
180쪽
odie Dior rare A Telescopiorum ac Microccopiorum persectioni potissimum destinatur; unde ratio refractionis in Specillis seu Vitris politis cujuscunque figurae inprimis in ea eruplicatur. Plerique Autores utuntur proportione prope vera Angulorum inclinationis &refractionis, quam in his Elementis quoque illustravi: MOLYNE Ux & ΗUGENI Us seli veram proportionem sinuum Anguli inclinationis & refracti adhibent, quamvis diversa ratione. Ille enim calculo Geometrico puncta concursus & disperitonis Radiorum eruit: hic vero generaliter absque certa Hypothesii eadem invenire docet. Ego ex vera refractionis Lege indolem refractionis generaliter in omni Diaphano Figurae potissimum Planae ac Sphaericae demonstro &generalia ad Specilla Vitrea & Aquea applico, ac inde Telesicopiorum ac Microscopiorum , aliorumque Instrumentorum. Υ et Dioptri-