장음표시 사용
101쪽
a N.ννti BC ,quod si CF; &ex Α, educasir AE caa paralleIa lipsi CD, vel BF . donec coeat cum FD, protracta iral E. insoniam igitur recta BF . rectae BC ,. aequalis est, ex quadrati erit rectan ulum APT m uehem aiunt sub tota AB, & seemento BC. Ruruis , uia recta CD, eadem ratione aequalis est rectae Ca; erit rectangulum AD, comprehensum sub segmetitiἐ AC, CB. Cum igitiir rectangulum AF. aequale se quadrato CF ,& rectangulo AD; liquido constat lectat oulum sub ΑΒ, tota,& segmento BC, conprehensium, aequale esse rectangulo comprenense sub segmentis AC, CB. quadrato praedicti segmenti BC fare si recta linea secta sit utcunque, rectangulum,quod as i tota describitur, &e. Quod demon strandum erat. .
PROPOS. 4. THEOR. q. Si recta linea secta sit utcunque e quod a tinta driribitur, quadratum. aequale est illis,' quae a segmentis describuntax, quadratis,&s 'ei, quod bis sub segmentis comprehenditur,
REcta linea AB, ditiisa sit utcunque 'in C. Dico
quadratum totius rectae ΑΒ , esse aequa te quadratis segmentorum AC, CB ,& rectangillo compiehenso bis sub dictis segmentis AC , CB. Probatur. Dein scribatur enim super A B a aquadratum AD, ducaturqa dia. meter BE. Deinde ex C, ducatur CF, b parallela recta BD, secans diametrum in puncto G; per quod rursus ducatur Hi parallela rectae M. Eritque qua-
102쪽
niam igitur trianguli AAE,duo latera AB, AE, aequa- llia sunt; sc erunt duo angui i ABE , AEB , aequales: l e . -δ, Atqui tres anguli da ABE, ΑΕΗ. BAE. trianguli ME, duobus rectis sunt aequales, &BAE, rectus est, 1 'cum sit angulus in quadrato: Reliqui ergo duo angu- Φli 'BE, AEB, erunt semirecti. Eademque ratione lostendetur, angulos DBE, DEB semirectos esse .Quod etiam constat ex iis, quae ad ρ . propos. lib. primi demonstrauimus. Nam, ut ibi olfensum est , diam ter BE, diuidit angulos rectos ABD. AED, si sariam. Quia ergo anguli quoque tres , trianguli EFG, e iaequales sunt duobus rectis , & angulus EFG , rectus l .eit, cum sit aequalis recto D, externus interno: l ' ρ nec non FES , ostensus semirectus, erit & reliquus lEGF, semirectu, 3 id roque aequa lis angulo FEG. Quare so a aequalia erunt latera EF, FG . qyae cain sint h ' aequalia appositis lateribus Gri , ΗΕ , erit parallelo-l h a tric intrium FΗ , quadratum, cum omn a eius latera sint laequalia , & omnes anguli recti: prooterea quod exi-lstente uno angulo recto, nempe F ΕΗ, vel F, in paral- :lelogram no FH, omnes quatuor recti sint, ut ad Co rollarium Propos. 13. primi libri demonstrati imus. Eadem ratione quadratum erit Cl. Quamobrem CI ,FH, quadrata sunt Gomentorum AC , CB , eo quod latus .HG, a aequale sit rectae AC. Rect ngula quoq; AG, ii GD, comprehen sa erunt sub s mentia AC , CB , propterea quod CG , GI, aequales sint rectae CB.; ub qua dratum C I; & FG; aequalis rectae G Α, ob quadratum FA, k hoc est rectae AC. Quocirca cum quadr/tum IIc, εα AD, aequale si quadratis CI, FH, & rectaneillis 'G, GD; constat quadratiim AD, totius lineae AB, aeqtiale l. esse qliadratu segmentorum AC CB, & rectangulo comprehenso stib iisdem segmentis AC, CB, bis sum p Sto. Igitur si recta linea iecuta si utcunque quadra-ltum, quod a tota describitur . . mod
103쪽
i Ex hae propos. fit manifestum, paralleluinnama circa diametrum quadrati esse quadrata . .
sequitur etiam ex demonstratione huius 4. propol diametrum cuiusuis quadrati diiiidere eius angulos ibifariam . Probatum enim fuit, angulos AEB,DEB,ei se semirectos. Id quod etiam ad propos. 3 . lib.1.de monstrauimus .
1si recta linea secetur in partes aequales,& inaequinles , reetangulum sub inaequalibus segmentis
totius comprehensum, una cum quadrat
quod ab intermedia lectionum dδribitur, aequale est es, quod a dimidia destrioitur.
Diuidatur recta AB, bifariam in C, Ze non his, fariam in D, ita ut sectionum inter media sit reineta CD , qua nimirum diamidia C B , superae minus segmentum DB, vel qua in ius segmentum ΑDdim,dium AC, excedit. Dim rectangulum sub segmentis inaequalibus totius AD, DB,
comprehensem, , una cum quadrato inter mediae CD,
Wquala esse quadrato dimid* CR Super dimidia Cri
104쪽
ain describatur quadratum CF , diustaque diametro BE, ex D. ducatur recta DG, cb parallela rectae BF, secans diametrum BE, in H, puncto, per quod ccJ ducatur recta IX, parallela ipsi BC 3 item ex A , rectae C , parallela ducatur ΑL , secans lineam IK , productam in L. Erunt igitur per Corollarium praecedentis Propos DI, KG , quadrata, idemite DH , recta, aequalis rectae DB: d a Est autem & ΚΗ , ipsi CD, aequalis. Quare rectansulum AH , comprehendetur sub AD, & DB , & rurrus ΚG . erit quadratum rectae CD, cum demonstrata sit aequalis ipla ΚΗ . Proba n. dum itaque est, rectaneulum AH , una cum quadrato xG, aequale esse quadrato C F . Quoniam ergo c e Icomplementa CH, FH, aequalia sunt, si addatur commune quadratum DI, erit parallelogrammum DF, aequale parallelogrammo CI; est aut & AK. 0 eidem CI , aequale, eo quod sint si per aequalibus basibus , &in eisiem parallelis : Igitur AK , & DF , etiam inter se aequalia erunt: quibus si commune apponatur CH, erit Gnomon MNO, rectangulo AH, aequalis. Quocirca cum Gnomon MNo, & quadratum RG, aequa Ba sint quadrato CF, erit & rectangillum ΑΗ , una cum quadrato ΚG, aequale eidem quadrato C F. Si recta ergo linea secetur in aequalian non aequalia&c.
105쪽
Si recta linea bifariam secetur , bc illi
quaedam linea in rectum adi)ciatur . . Reetaim gulum comprehensum sub tota , & adiecta, tanquam una linea, & adiecta, tanquam altera, una cum quadrato a dimidia descripto , aequale e st quadrato , quod ex dimidia, & adicita, tanquam viri linea, de- scribitur. ; i
SEcetur recta AB , bifariam in C, eian rectum
ad ijeiatur B D. Dico rectano ulum comprehensum sub tota composta AD, & adiecta DB. .una cum quadrato dimidiae CB,aequale esse quadrato lineae CD, quae ex diuridia CB , &adiecta BD , tanquam una linea componitur. Probatur. Describatur nanque C E , c a 3 quadratum super CD,& du- Aa diametro DF, ducatur ex B, re ista BG, so parallela rectae DE, secans diametrum DF , in H, puncto,per quod puntium riirsus ducatur IIc, paralleIa rectae CD:Item ex A,rectae CF,avatur paralis tela AL , secans IK , prodiiciam in puncto L. Erunt igitur per Corollarium I. Propos. . huius lib. BI, , quadrata , ideoque recta DI, rectae DB , aequalis : coest autem & ΚΗ, rectae CB , aequalis: quare rectangulum AI, comprehendetur sub rectis AD, DB; & ΚG, erit quadratum rectae CB . Probandum itaque est rectangulum AI , una cum quadrato ΚG , aequale esse quadrato CE, quod taliter demonstratur. Qi ioniam
106쪽
vero parallelo rammitin Ax , cd sequale est parali idiogrammo CH , eo quod sin iuper aequalibus basibus,& in eisdem parallelis r Est autem & para Ileis ram. . amm ΗΕ, sea eidem CH, aequale, sitne enim duo enm-ἐς plementa ; erunt ΑΚ,& ΗΕ, aeqitalia inter se. Addi. mergo communi CI, erit rectangultim AI, Gnomoni NNo, aequale. Quocirca cum Gn amon Mmo, &quadratum KG , quadrato CE , sint aequalia, partes omnes,&totum; erit&rectan raulum AI. una cum eo. dem quadrato ΚG, eidem quadrato CE. aequale. Itaque si recta linea bifariam seeetiir, & illi recta quini dam linea in rectum adliciatur &c. Quod erat ostendendum.
Si recta linea utcunque secemr; Qim a tota, quodque ab uno segmentorum utraque simul duo quadrata, 'qualia sunt& illi, quod his sub tota, &dicto segmento comprehemditur , rectangulo , & illi quod a reliquo semaento sit, quadrato. SEcetur recta AB, utrunqite in C. Dico qηadra
tum totius ΛΒ, & quadratum unius se em sue maioris, siue minoris, nempe ,ΑC, aequalia esse, recta gulo bis comp ehensi sub tota AB, & di- elo segmento AC, una cu'qua --drato reliquis menti Pro-ἰbatur. Describatδε enim saneri ΑΒ, ca quadratum AD, que diametro BE, ex C, b d u. t M 33, 3 catur CF, parallela retiae ΑΕ, secans diametrum in puncto G, F x per
107쪽
per quod agatur HI,parallela ipsi AB.Erunt rettum e Coroli I. Propos. 4 maris lib. CI, & ΗF, quadram Et quia recta GH, c aequalis est rectae AC, erit quadratum sumenti ΑC . Rursus quia AE , aequalis est ipsi AB, erit rectangulum AF, comprehensum sub tota AB, &segmento AC. Eadem ratione rectanguintum HD, comprehensum erit sub eisdem recti, Aril AC, eo quod rectae DE, EH. aequales sint rectis AB, 1 AC, ob quadrata AD, & FH. Quoniam igitur retanini tulis AF, FI, hoc est Gnomoni KLM , una cum quadrato CI, aequale est quadratum AD, scilicet partes omnes, & torum x si apponatur commune quadratum ΗF, erunt quadrata AD, ΗF, aequalia quadrato EF, una cum rectangulis AF, FI, &: quadrato CI; sed quadrato H F, &, rectangulis 6F, FI, adilualia sunt duo rectangula Ap,nD, quorum quodlibet,ut visum est, comprehenditur sub tota AB,& segmento . AC; γ igittur duo quadrata AD; H F,aequalia erunt duobus reinctangulis iub tota AB,& segmento AC comerehensis, una cum quadrato reliqui segmenti CB. Si ergo re
cita linea taetur v*runque, Alc. Quod erat ostem
si recti linea ricetur utcunque; Rec aemu
quater compreheosima sub tota, &vno mentorum, cum eo. quod a reliquo segimato
fit quadrato, aequale est es, quia a tot6 es dis segmento, tanquam vim liuea describitur,
108쪽
segmento, nempe CB, unaz cum quadrato reliqui segmenti ΑC , aequale esse qua Π drato lineae, qtiae ex recta AB,&dicto segmento CB, componitur . Prob. . Producatur enim AB, versius partem ses menti CB, nempe ad D , ita ut BD, prodiitia sit aequalis
tota AD, a)describatur quadratum AE. Ducta autem diametro D F, ducantur ηG, CI, b) paralleIinipsi DE,secantes diametrum inmnctis A, & Κ, per quae ducantur denuo ccI LM P, parallelae ipsi AD, quae secent priores parallelas in N,& Erunt igitur per Coroll. r. Propos . huius libri oΙ, Nin BM, LG, CP,circa diametrum DF,quadrata . Et quia ΘΚ, dy aequalis est rectae AC, erit ΟΙ, quadratum segmenti AC. Rursus quia NH, cea aequalis est rectae CB, erit Net. Quadratum segmenti CH, ideoq; quadrato BM, aequale, cum rectae CB, BD, aequales sint. Quare rectae BH,HQ, aequales sunt segmento CB; atque adeo duo rectangula ΑΗ, LQ, comprehensa erunt sub tota AB, & segmento micum H, c f sit aequalis rectae ΑΒ, sunt enim latera opposta in parallelogrammo. Eadem ratione erunt duo rectangilla NG, ΗΕ, comprehensa sub ΑΒ. & CB, Qim NM, ΗΜ, reetae g aequales sine rectis CB, BD, & rectae GH, EM, rectae FI, hac est rectae I l, hoc est rectae AB. Et quia quatiata Nin ΒΜ, aequalia fiant; si addatur commune ΚG, erunt ΒΜ, ΚG , simul aequalia rectangulo NG . . propter quinque re elangula AH, LQ, ΗΕ, BM, & EG;gnomonem RST, componentia aequalia sint rectangulo quater comprehenso sub tota: AB, & segmento CB. Cum igitur nomon RST, de quadratum , , aequalia sunt quam rato AE,erit rectangulum quater comprehensum.subdata recta AB, & segmento CB, vn cum quadrato re
109쪽
liqui segmenti aequale quadrato lineae AD, compositae ex AH, & dicto se mento CR. Quare si recta linea utcunque secetur , &c. Quod erat demonstran
PROPOS. THEOR. s. TSi recta linea secetur in aequalia, & non aequalia zQaadrata, quae ab inaequalibas totius lineae segmentis fiunt sim it, duplicia sunt & eius, quod a dimidia, &cius quod ab littermedia sectionum fit, quadrati.
KEcetur recta AB, bisariam in C, &non bifariam im D. Dico, quadrata segmentorum inaeqtialium AD, BD, simul dupla esse quadratorum , quae fiunt ex di .midia AC, &ex inter media sectionum CD, simul. Prob. Educatur enim ex C. ad ΑΒ, a . perpendicularis: CE, quae sit aequalis dimidiae AC, vel CB, ducanti irquere chae EA, EB . Deinde ex Daducatur quoque ad AB , perpendicularis DF, secans EB, in puncto F, per quod duca tu rFG, parallela Ipsi ΑΒ, secans CE , in G, puncto,& demum ducatur ΑF. inioniam igitur in triangulo ACE, latera CA, CE, aequalia sint per constructio. nem, iis ervire, anguli CAE,CΕΛ, inter se aequales: Est autem angulus ACE, rectus, cum CE, sit perpen-dsculariς; reliqui igitur sc) anguli alium rei tum eoninficient , ideoque AEC, lem re ita erit. Eadem ratione angulus BEC; erit semirectustae propterea totus Angulus ΑΕΒ, ex duobus semirectis coposit us,rectus erit. Rursus, quia triaguli FGE, angulus EGF,aequalis est recto ECB, cd externus interno, de opponto: ce erunt
110쪽
ea erunt reliqui duo anguli GFE, GR F, uni recto
aequalea osten in autem est, angulum GEF. esse s mirectum; igitur & GFE, semirectus erit, proptereaque angnli EFG, GEF, aequales erunt, si I. ideoque& latera EG,GF, aequalia inter se erunt. Eodem prorsus modo ostendetur in triangulo BDF, latera BD, DF, aequalia esse . Nam angulus B D F , est rectus, eum DF, sit perpendicularis, & B, scit irectus, &c. Itaque cum in triangulo ACE, angulus C, reetus sit, ga erit quadratum lateris ΑΕ, aequale duobus quadratis laterum AC, CE: Atqui haec duo quadrata inter se sunt aequalia, quod & lineae AC,CE, sint ostensae aequales. Igitur quadratum lateris AE, duplum erit quadrati lateris AC. Rursis quia in triangulo EGF, angulus G, rectus est, h) erit quadratum lat ris E F, aequale duobus quadratis laterum EG, GF : At duo haec quadrata sunt inter se aeqnalia ob aeqtialitatem linearum EG, GH Ιgitur quadratum lateris EF, duplum erit quadrati lateris GF , hoc est quadrati lineae CD, Est enim recta CD, i) aequalis rectae GF; cum CF, sit parallelogrammuna. .are dii. quadra.
ta rectarum AE, EF, dupla erunt quadratorum linearum AC, &CD: sunt autem duo quadrata recta
quadratum rectae ΑF, aeqtiale est duobus quadratis rectarum AD, DF ; Igitur & duo quadrata tectarum AD, DF, dupla sunt quadratorum rectarum AC,CD. Atqui quadratum rectae DF, aequale est quadrato rectae DB; ostensum enim est , rectas DF , DB , esse aeqtiales. Quare duo quoque quadrata rectarum AD, DB, segmentortim. inaequalium dupla sint quadratorum rectarum AC, CD, dimidiae scilicet Iineae, &intermediae sectionum. Si ergo recta linea secetur inaequalia , &non aequalia, Q2od erat demon