장음표시 사용
81쪽
PROPOS. I S. THEOR. 26. Parallelogramma super aequalibus basibus, &in eisdena parallelis constituta, inter se sunt aequalia,S Int duo parallelopramma ACE H, GFBD ι stiperaequales bases CE, & FD, inter easdeni parallelas AB, CD. Dico ea esIe aequalia . Pcobatur. Connectantur enim extrema rectarum CE, GH, ad easden
partes lineis rectis CG, EB. Quoniam igitur recta CE, aequalis ponitur rectae FD, Se eidem FD,ca aequalis est GB, in parallelogrammo GF DB, oppomta; M erunt CE, GH, aequales inter se: sunt autem & parallelae per hypothesin. Quare &CG, Elue, ipsas coniungentes, sca parallelae erunt, &aequales,ideoque CEBG , parallelogrammum erit. Itaque cum parallelogramma ACEΗ, GCEB, sint inter easdem parallelas, &super eandem basin CE, cd erit parallelograminum ACE H , parallelogrammo GCEB, aeqiiale. Ruisusqilia parallogramma GCEB, . GFBD, sunt inter easdeni parallelas, & stiper ean
idem basin GB; ea erit quoque parallelogrammum GF DB , eidem parallelogrammo GCER , , aequale. Quare ¶llelogramma ACE H,GFDB, cs inter se aequalia erunt. Parallelogramma igitur super aequalibus basibus, & in eisdem paraliqlis constitu ta, &c. Quod ostendendum erat .
82쪽
Triangula super eadem basi constituta, & inli. eisdem parallelis,inter se sunt
r Nier parallelas AB, CD, & superbasin CD , sint '
I. constituta, duo. triangula Λ C D , B C D, cdicitur autem triangulum inter duas esse parallelas
unius, & angulus oppositus es teram attingit. Dico ea triangula esse aequa- - lia. Probatur. Per . .
D, enim a)ducanir DF, parallela rectae AC, & CE , parallela ipsi l. DB . b i Erunt igitur parallelogramma AC DF, l bECDB, aequalias sunt enim stiper eandem basin CD, l& inter easdem parallelas AB, CD. Sed horum pa-lrallelogrammorum dimidia sunt triangula ACD, . BCD; c quod AD, BC, diametri bifariam secentie 34.ρ M' parallelogramma ACDF, ECDB; Igitur & trian gula ACD, CDB, cd a aequalia erunt. Triangulato, i itur super eadem basi , &c. Quin demon
83쪽
Triangula super squalibus basibus constῖ tuta,&inciscima parallelis, inter se sunt et qualia.
INter parallelas AB, CD. & super aequies hasta
CE, FD, sint constituta triangula ACE, D. Dico ipsa esse aequalia . Probatur . Ducatur enim e κC, linea CG, parallela ipsi FB, deinde a ptineto G, ad punctu E , ducatur linea GE . Quoniam vero CG, FB ; sunt latera opposita in parallelogrammo G C F B ; a) erunt infer se aequalias rersus bases CE, & F D,sup.
etiam angulus B F D, eb aequalis est interno , Se op. posito GCE : iam habemus dilo triangula BFD, GCE, quae habent duo latera BF, FD, duobus lateribus GC , CE , aequalia alterum ait ri , & angulos dictis lateribus comprehensos aequales: Quare ista duo triangulac uerunt aeqlialia. Sed etiam triangulum A C E , aequale est eidem triangulo GCE. c quia sitnt super eadem basi , in eisdem parallelis I ergo etiam triangula ACE, & BFD, cd erunt inter se aequalia. Triangula igitur super aequa. li basibus, & in eisdem parallelis dec. Quod fuit propositum . M
84쪽
pROPOS. 39. THEOR. 29. Vangula aequalia super eadem basi, &ad' easdem partes constituta in eisdem, sunt parallelis.
SInt duo trianeula aeqitalia ABC, DBC, super ran dem basin BC , & ad easdem partes. Dico ipsa esse inter easdem parallelas constituta, hoc est rectam Γctam a puncto A , ad punctum D , parallelam esse ipsi BC . Probatur. Si enim non est , ra) ducatur ex l a I r ἐνι. Α, parallela ipsi BC , quae
vel cadet supra AD, vel infra Cadat primum supra,& st AE , coeatque cum BD, protracta in E , ducatuique recta EC. Quoniam enim paralleis pontinuir AE,BC, b erit triangulo B AC, i Magdale triangulum BEC . Est autem per stippositio- .nem eidem triangulo BAC , aequale triangulum BDC. I
ltitur ι e) erunt triangula BEC, BDC, inter se aequa lia, quod est impossibile, quia Z DC , est pars , DEC. Wro est totum. Si vero patallela cadit intra AD , ut in data figura est alia AE , facile erit eisdem ration bus demonstrare aliud absurdiliri, nempe trianguli imῖξC , aequale esse triangulo BDC , quod est impolli-bjle cum unum sit pars & aliud totum . Erit igitur ΛΠ, parallela ipsi BC. Quare triangula aequalia si lper eadem basi &c. Quod erat ostendendum. e 1. ρ'
85쪽
PROPOS. o. THEOR. s Triiugula aequalia stiper aequalibus bambus, & ad easdem partes constituta, eisdem sunt parallelis. y Int duo triangula BAD, GFC , siper aequales λ-
i s BD , GC , qtiae in eadem recta linea collo. . centur a & ad easdem partes constituta. Dico ea esse in eisdem parallelis, hoc est rectam ex Α, F, ' . - ductam parat Ie-lam esse rectae BC. Probatur. Si enim non est, cadet parallela
ducta ipsi BC,ex Α,vel supra Arivel infra. Cadat primuiri supra,' eo eatque cum CF , prodii a in E , & vatur recta astis EG. Quoti iam igitur parallelae-ΑE,F. ' erat' 'ittianeulum GEC, isquale trianpulo BAD 3P'm lautem & tr angulum G FC, aequale triangolo B A Drb I. με. Ieitur triangula GEC: GFC , cn erunt aequalia interi s , pars, & totum. Quod est abserdiim . Quod si vusrop allela ducta per Α , cadat infra AF , qualis est idenuo alia AE , ducatur alia recta GE , erunt eadem x prorsus argumentatione triangula GFC , GEC , aequa- ilia, totum, & pars. Quini est absurdum . Est igitur AF , parallela ipsi BC ; quare triangula aequalia stuper' i aequalibus basibus &c. Quod erat demonstrandum PRo-
86쪽
PROPOS. I. PROBL. 3I. Si parallelograminum cum triangulo eandem basin habuerit, in cisdemque fuerit parallelis ; duplum erit parallelogrammum ipsius trianouli. INter parallelas AB, CD, & super basin CD, eon-
stituantur paralleloorammum AC DE, & triangu- εIum CBD . Dico parallelogramnium AC DE, dti-lpium esse trianguli CBD. Probatur. Ducta enim di lmetro CE, in parallel l
ACE, ECD, atqitalia: 'quare parallelogrammum AC DE, duplum erit tri-anstuli ECD : sed triangu- .
est triangulo lue D , cum sint siper eadem basi, & in eisdem parallelis: Quare&trianguli CBD, se duplum erit parallelogram-mum AC DE . Quapropter si parallelogrammum cum triangulo, &c. Quod erat demonstrandum .
PROPOS. a. PR OBL. II. Dato triangulo eo uale parallelo ammum cotistituere in dato angula re itineo . . DAttim triangulum sit BCD , & datus angulus lReetilineus Α, oportet igitur constituere paral- lelogrammtim aequale triangulo' BCD, habens angulum aequalem angulo A. Di datur unum latus trian
87쪽
bt 3.pν3. l GFD, M aequalis angulo Α, pro ut libet , hoc est siue angulus GTD, vergat ad partes D,
siue ad partes C, pro ut magis videbitur expedire. Ducatur item' per B e) rectae CD, paralle-Ia BE , quae secet FG , in G; Rursiis per D , vel C, ducatur ipsi FG, da parallela DE. ocincurrens rectae BG, productae in E; Eritque in angulo GFD, qui dato angulo rectilineo Α, factus eii aequalis, constitutumi parallelogrammum GFDE , quod dico esse aequale triangulo CBD. Probatur. Ducatur enim recta BF- oniam . vero parallelogrammum GFDE, e du- plum est trianguli DBF, & triangulum BCD. duplum s 3 pri. l est eiusdem trianguli DBF, ci) quod sint super aequalibus balibus,& in eisdem parallelis ; Erunt parallelogrammum G FDE, & triangulum BCD, N aequa-l lia inter se. Cum igitur angulus GFD , factus sit aequalis angulo A, constat propositum. Quo circa dato triangulo aequale parallelogrammum constituisl mus in dato angulo rectilineo. Quod erat facie
In omni parallesogramin complementa eorum, quae circa diametrum sunt parallelogrammorum, inter se sunt aequalia.
N parallelogrammo ABCD, finr circa diametrum AC, parallelogianania AEFG, GH FI, & com
88쪽
plementa GFID, EBHF, ut in as. definitione diximus. Dico complementa haec inter se esse aeuualia . Prinhatur . Cum enim
triangula ABC, CDA, ca aequalia ἱ a 34.pri. snt 1 Itemque tri anoula ΑEF,FGA; s naec ab illis demantur , cbὸ rema-hebunt trapezia Er , GFCD, aequalia: sint autem desc) triangula FIC, FHC, aequalia r quare si detrahantur ex trapeatis,' d) remanebunt aequalia complementa EFHB, GFID. In omni ieitur parallelo. grammo complementa, &c. Quod ostendendum
d 3. ρνε. Ad datum rectam lineam,dato triangulo aequale parallelogiammum applicare in dato angulo rectilineo. DAta recta linea sit A, datum triangulum B, &datus angulus rectilineus C. oportet igitur conitatuere Parallelogrammum aequale triangulo B, angulum ha-
ri 3 ι - 3 angulo C, Munum' latus aequale rectae A.Constitua-ttir triangulo
89쪽
t angillo C, aequalem, producatmque GF,ad H,ut FH, s sit aequalis rectae As& per Η, cb duratur Hi, paralis tela ipsi FE, occurrens ipsi DF,productae in I. Excendatur deinde ex I, per F, diameter I F, occurrens rectae DG, productae in Κ; & c) per K, ducatur Κ L. parallela ipsi GH, secans I H, protractam in L , producaturque EF, ad M. Dico parallelogram nun LM FH, este id, quod quaeritur. Habet enim latusFH, aequale datae rectae Α, & angulum H FM, angulo dato C, aeqΡlem, cum angulus HFM, cd aequalis sit angulo EFG, csunt enim ad verticem a & angulus EFG, factus est aequalis angulo C; Denique parallelogrammum LMFΗ, aequale est triangulo B, ce) cum aequale sit complemento DEFG , quod factum esti aequale triansulo B. Ad datam igitur rectam lineam dato triangulo, &c. Quod erat faciendum.
PROPOS. s. PROBL. I ἔ-Αd datam rectam lineam, dato rectilineo aequale
parallelogramm .m constituerela dato angulo rectillia . . OVamuis Euclides proponat hoe problema abs
lute non astringendo nos ad certam aliquam rectam lineam datam, ut in praecedenti propos. q. te cerat a tamen quia in seqtientibus frequenter usurpatur in data tecta linea, placuit ipsum proponere una cum data recta
sit ergo recta data FF; rectilineum ABC , &datus angulus D.Oportet igitur ad datam rectam EF,
90쪽
costituere parallelogrammii in aequale rectilineo ABC, quod habeat angulsi, aequalem angulo P. Resolu, reetilineum ni triangula A, B,&C. Deinde triangulo Α, ast aequale parallelogramaram constituatur Et GH,ia 44. pN. super rectain EF, habens angulam F, angulo D, aequalem . Item super rectam id G , parallelogrammi imGHI Κ, aequale triangulo B, habens angultim G, rqualem angulo D. Item stiper rectam I Κ, parallelo- r 2 grammum IKLM , aequale triangulo C , habens angulum X , aequalem angulo D : & sic deinceps procedatur si plura fuerint triangula in dato rectilineo : fastumque erit , quod iubetur. Nam tria parallelo. gramma constructa, quae quidem aequalia sutis rect ilineo dato ABC,conficulni totum unu raparallelogram- i .mum , quoa sic demonstratur . Duo anguli EFG, IH G Κ, c b a inter se sunt aequat 's , cum uterque sit i aqualis an talo D. Addito igitur communi angulo ' - - i
actus rectis aequivalent, d 1 Ieluale duobus an- M 2. prootulis H G Κ, FGH ; ideo luchi angui i duobus etiam tectis aequales erunt: se quare FG,GK, V0 m i ci/Mlε , illaeam efficient. Eadem ratione ostendemus E H, HI, ' ε 'unam retiam lineam etficere, propterea quod dito an- l 'tuliae HS , HI K , aequales inter se sunt, g cum sntlg34.1χνι. aquales oppositis angulis aequalibus EFG, H GK, a f)ff&dito anguli Hi Κ, II G , duobus sunt rectis aequales i&e. Cuui igitur EI, FK , sint paralle V, u)ήις inque i h ao.ni.
EF, IK: quod utraqtie parallela sit reetae rici ; parallelograminum erit EFΚL Eodem modo demonitrabitur parallelogrammum i K LM,adiunctii parallelogramnis. Est L, constituere totum unum parallelpetiymmaini EPIM . Ad datam ergo rectam lisseani EF dato rectilineo ABC, constituimus aequale. Parallelogiam mim EFLM, habens angulum FI aequalem angulo D, dato. Quod erat essiciendum.