장음표시 사용
71쪽
vi EM , KN, IO, ipsis EF, ΚG, L H, fiant aeqtiales,ae tandem rectae iuno antur MΚ,NL CC. Itaque quoniam duo lateia ΚE , & EM, trianguli ΚEM , duobus lateis ribus ΑΕ, EF , trianguli AE p, per constructionem utrunque utrique sunt aequalia , angulosque a) contianent ad vertieem aequales , erit & basis MΚ , b basi AF,&angulus M , angulo F, aequalis. Est autem &FG, eidem Ap, aequalis & angulus F, rectus per constructionem . Igitur & MK , FG , c aequales erum inter se, & angulus M, quoque rectus. Quare cum ad F Μ, excitatae sint duae perpendiculares aequales FG, reMX , erit per antecedens theorema angulus G , rectus. Rursus quia duo latera Lx , AN, trianguli IX N, dum bus lateribus A X , ΚG , trianguli ΑΚG , aequalia sunt ex consti uctione, cda angulosque comprehendunt aequales ad verticem Κ, ceὶ erit & basis N L. basi AG.& angulus N , angulo G , aequalis. Est autem & GΗ, ex constructione eidem AG , aequalis, & angulus G, rectus, ut proxime demonstratum est: igitur & NL, GH, fa inter se aequales erunt, & angulus N , quo que rectus. Quocirca per praecedens theorema erit etiam angulus Α, rectus. Eadem ratione ostendemus anguluni I, esse rectum, atque ita deinceps, si plures essent partes rectae AB . Est autem Ie angulus B, per hypothesim rectus: igitur rectη IC, BD, e g I p rallelae sunt ac pro ora per Heundum theorema BD, producta rectam ΑΓ, secabit supra piinctum C , atque adeo in puncto iis sectionis rectae AC, BD, coibunt. Quod erat demonstrandiim. Si autem neuter angulorum ABD, BAC, rectus fit, at quidem ABD , acuistus , di BAC , vel ae riis etiam, vel obilisus. Quia igitur duo anguin
72쪽
D3Ε , duobus rectis aequalest erunt hi duo illis duo. bus maiores; ablato ergo communi ABD , maior . 'erit reliquus DBE , reliquo BAC. Constituatur in l. A, i ad rectam AB, angilius B AF , angulo DRE, aqualis, cadetque recta AF, supra rectam AC, cum AF, maiorem angulum cum ΑΒ contineat.quam AC. Quir igitur externus angulus DBE , interno B AF , ex eadem parte opposito aequalis est, cu) eriint rectae AF, h, BD, inter se parallelae. Demittatur quoque ex Α, ad 30 , la perpendicularis AG, quae ex Coroll. 3. Prop. Ir. huius libri ad partes acuti anguli ABD , cadetrentque angulus G AF , rectus. Nam si acutus esse dirimi essiciet recta AG , in rectis AF , BD , incidens angulum AGD , rectum, & GAF, acutum a ae proinde ut prox inve demonstrauimus, rectae AF , BD, ad partes F, & D, tandem productae coibunt. Quod est absurdum : ouenis enim sunt parallelae. Si autem an-- gulus GAF . dicatur esse obtusus er e GAΗ , acutus; iquare ex proxime demonstratis coibunt rectae AF,BD, ad partes Η, ει B, productae, quod est absurdum, cum parallelae sint ostensae. Non est ergo angulus GAF,
acinus, aut obtusus. Igitur rectus , ac proinde elus p rs acu us. Quoniam igitur recta AG,in rectas AC, BD, incidens facit angulum G, rectum, & G AC .acu tum , conciirrent rectae AC, BD, ad irartes C, & D, via proxime demonstrati imus. Si igitur recta AB , in restas AC, BD, incidens faciat duos angulos minores duobus rectis, quorum neuter rectus sit, ipsae rectae productae tandem coibunt ad illas partes, ad quas sunt 3ntuli dilobus rectis minores. ωod erat ostenden-η dum. Quod si quando accidat, rectam 'C , existere . inter AB, AG , clare conuat reetas AC, BD, coire,
quod tunc AC, basim BG , trianguli BAG , secaret. Quibus positis ad seriem propos. Euclidis reuer
73쪽
In parallelas rectas lineas recta incidens linea; Et alternatim angulos inter se aequales eficit;& externum interno, & opposito, & ad eas: dem partes aequalem ; N internos, &ad casdem partes, duobus rectis aequales facit.
N parallela, AB, CD , incidat recta EG. Dico pri-l nium, anoulos alternos AFG, FG , inter se esse aeuuales. Probatur . Si enim non sunt aequales tit al-.ter nempe AFG, maior . Quoniam igitur .angulus AFG . maior est angulo FGD, si addatur communis a A. pro . , an oulus BFG, caa erunt duo AFG, BFG , maioreS.
ia - bus rectis minores erunt. R ς Luxu sint interni, M: ad earum partes &D. c emibunt lineae AB, CD, ad eas partis, quod est absaidum , cum ponantur effe
l . ostenderetur, rectas . A i B eoire ad partes A, & C; Igitur aequales erunt an gilli alterni AFG , FG D. , C G D 'Eademque est rat:ol' eulis alteinis BFG, FGC.
Dieo secundb, angulum e ternum FB.a ualem esse interno , & ad easdem partes opposito FGD. Pro' batu . Quoniam enim angulo DGF , aeqμalis eis an Eulus alternus ΑFG,ut ostensum est;&eidem AFis,' H d aequalis est angulus EFB ; erunt anguli EFB, DGF, ea inter se aequales. Eodem modo demonstrat ibitiir angulum EFA, aequalem esse angulo FGC.
74쪽
osco ertio , angulos inte enos, & ad easdeni partes BFG, FGD, aequales esse duobus rectis. Prob. Quoniam enim ostensum fuit, angulum externum FB, aequalem esse angulo interno,& opposito FGD ; si addatur communis BFG, id erunt duo EFB , BFG ,aequales duobus BFG , FGD : Sed duo Em , BFG , sunt aequales duobus rectis; igitur & duo anguli BFG, FG D duobus rectis aequales erunt. Eodem modo a guli AFG, FGC; erunt. duobus rectis aequales. In Parallelas ergo rectas lineas recta incidens linea alternatim &c. Quod erat demonstrandum.
Ex hae propos sequitur , quod si in parallelogrammo unus angulus sit rectus etiam reliqui tecti sunt. Cum enim lineae oppositae in paral- ου, telogrammo sim parallelae, xt BD, ' l. s CE, &an ipsas .incida recta IC , ca) erunt duc, anguli DBC, ECB, aequales duobus rectis ; sed ymis , nempe DBC , stipponisur rectus ;igitur & ECB, remiserit . Rursus quia in parallelas BC , OE , incidit recta BD , ου erunt duo anguli interni CBD, BDE, duobus aequatqs.; .s d B, supponitur rectus igitur de D, rectus erit, quod idem demonstrabitur de angulo E.
PRO P. Io. THEOR. a I. Quae eidem lineς parallele , & inter se sunt paralles .
SInt rectae AB, CD, eidem rectae EF, parallelae. Dico, & ipsas ΑΒ , CD , esse parallelas. Probatur. Qioniam enim ψmnes hae linae in eodem ponuntur e LD 1 ses r. n. a
75쪽
se plano , nam in propos. ,. undeci ni agitur de Iinei . in diuersis planis ducta
recta BG , secabit omnegin punctis HI, & G. Qiriaio itur AB , ponitur parallela ipsi EF a erit a naulus ΑΗΙ, aequilis annulo HIF . Rursus quia C D, ponitur parallela ipsi EF, erit angulus externus HI F , cb aequalis interno, M opposito I GD. Quare anguli AHI, I GD, coquoque i inter se aequales eriint. Cum igitur sint alterni ; e dat erunt rectae AB , CD , parallelae inter se Q iat igitur eidem rectae lineae 3cc. Qiiod erat ostendendum .
Α dato puncto , datae rein lines parallelam rectana lineam ducere .l Ex puncto C, ducenda sit linea parallela ipsi AP.
Ducatur ex C , ad AB, linea CD, utcunqtie fa ciens angulum quemcunque CD A , cui ad C ; c a 3 aequalis constituatiir angulus DCE. Dico rectam EC, extentam quantumlibet parallelam esse -ipsi ΑΒ . Probatur . Cum enim an- guli aIterni CDA. DCE, aequales sint per constructionem cb erunt rectae AB, CE , parallelae.
l Α'dato igitur puncto datae reetae lineae &c. Quod fa-
76쪽
1escunque trianguli' uno latere producto: Externus angulus duobus internis, & oppinsitis est aequalis. Et trianguli tres interni ai guli duobus rectis sunt aequales. IN triangulo ABC, producatiir latus B C, ad D.
Dico primo , angulum externum ACD, aequalem esse duobus internis, & oppostis simul A, & D. Pr batur. ca J Ducatur enim ex C, linea CE, parallela reetae AB. Quoniam igitur recta AC, incidit in parallelas AB, CE , c b erunt anguli alterni Α , & ACE, aequales. Rursis quia recta BD, incidit in parallelas AB, CE, cc)erit angulus externus ECD,eqlialis interno, & opposito B; Additis igitur aequalibus
DCE, ACE, componitura duobus A, R B, simul aequalis. Quini suit propositum. Qico secundo , tres angulos internos eiusdem triam guli Α, Β ,& ACB, duobus esse rectis aequales. Cum enim externus angulus ACD, ut ostensum suit, aequalis sit duobus internis Α, & B ι si addatur communisAECR, c e 9 erunt duo anguli ACU , ACB , aequales tribus A, B, & ACB: sed duo ΑCD, ACB, 0 aequales sunt duobus rectis r igitur , x tres interna A, B, ACB , duobus erunt rectis aequales. Quare cuiuscunque trianguli &c. Quod erat demonstractam.
77쪽
' Eὰ hae Propos. 31. collio itur . tres angulos cuiuslibet trianguli simili silmptos aequales esse eribus angulis cuiuscunque alterius trianguli simul sumptis. Quia oennes sunt aequales duobus rectis . Unde si duci anguli unius trianguli fuerint aequales duobus angit lis' alterius trianguli , erit dereliquus illius, reliquo huiust aequalis, aequiangulaque erunt ipsa triangula.
Constat etiam in omni triangulo isescete, cuius angulus a lateribus aequalibs comprehensis rectus fuerit, quemlibet reliquorum esse semirectum. Nam si reliqui duo simul conficiunt unum reisIm ι a cum -- a tres sint aequales duobus rectis, & tertius ille ponatur reditis. Quare cb cum reliqui duo sint aeqiiales, erit quilibet eorum ' semirectus. Si vero angulus fuerit obtusus, reliqui duo anguli aequales , semirecto minores erunt , de e contra si erit acutus.
Pariter perspicitum est in triangulo aequilatero, quemvis angulum esse duas tertias partes unius recti, vel tertiam partem duorum rectorum; nam duo angu-guli recti diuisian tres angulos faciunt duas tertias par tes unius recti,
78쪽
PROPOS. THEOR. 23. sRectis lineae, quae squales, & parallelas lineas ad eas ra partes coniungunt; &ipse quales, & paralleis sunt.
SInt rectae linae AD, BC, aequales, & parallelae, linfas autem conitinoant ad 'easdem partes rectae
AB, DC. Dico ipsas AB; DC, aequales quoque esse, di parallelas . Probatur. Ducatur enim recta BD. Quoniam igitur BD , incidie in parallelas 'AD , BC; a lR 9 p erunt anguli alterni ADB, DBC, inter se aequales .Quare cum duo latera AD, DB, trianguli ADB, aequalia sint duobus lateribus, CB,BD,trianguli CBD, utrunqtie virique;& anguli qtioqile dictis lateribus inclusi aequales; bJ erunt bases AB, DC, aequales, & angulus ABD, angulo BDC, aequalis . Cum igitur hi anguli sint alterni inter rectas AB, DC, cὶ erunt ΑΒ, DC, parallelae: Probatum autem iam fuit easdem e sie aequales. Rectar ergo lineae, qliae aequales ,& parallelas,&c. Quod erat demonstrandum .
Parallelogrammorum spatiorum squalia sunt inter se, qtrq ex aduerti & latera, & anguli, atque illa bifariam secat diameter.
SIt parallelogrammum ABCD, quale definiuimus. definitione 31. Dico latera opposita AB,DC,nec D non
79쪽
non etiam A D. BC, inter se esse aequalia . Item an u-los oppositos B, D,& Α, C, esse inter se aeqtiales: De nique ducta diametro BD, paralleIoerammiam ipsum bifariam secari. Probatur. Cum enim AD . BC, sint parallelae ab erunt anguli alterni ADB, DBC, aequales. Rurliis quia AB, DC, sunt parallelae, bJ erunt ,&anguli alterni BDC, DBA, aequales. Itaque cum anguli CDB, DBC, trianguli CDB, aequales sitit duobus angulis ABD, BD Α, trianguli DAB, uterque utrique : & latus BD, dictis angulis adiacens, commune utrique triangulos ca erit recta AD, aequalis oppositae rectae BC . & recta AB, oppositae rectar DC, quod est primum . Erit rursus eadem de causa angulus A angulo C, aequalis. Et quia si aequalibus angulis ADB, DBC, addantur aequales anguli ABD, BDC, d) toti quoque anguli ADC, ABC, fiunt aequales : constat secundum, anxii. Ios oppositos esse aequales. Quoniam vero duo latera AD, DB, trianguli ADB, aeqti lia scint duobus Iateribus CB, BD, trianguli CBD, utrimque utrique , &angu Ius ADB, aequalis angulo CBD, ut ostensum est; erunt triangula DAB, DCB, aequalia, ideoque parallelogrammum ABCD, diu illini erat bifariam a diametro BD, quod tertio loco fuit propositum . Parallelogrammoriim igitur sipatiorum aequalia sunt inter se, Quod ostendendum erat.
80쪽
PROPOS. THEOR. 23. Parallelogramma sit per eadem basi,&incit lena parallelis constituta,
inter se friat aequalia. INter duas parallelas AB, CD, super basi CD, existant duo parallelograinina CDEA, CDBF , di-Cumtir autem parallelogramma iii ei silam esse paral-Ielis, quando dua latera opposita partes sint paralle Iazum, ut in exemplo proposito cernitur . J Dico ipsa parallelox ramma inter se esk aequalia, non quo ad angulos,& latera , sed quo ad
aream, seu capacitatem. Probatur. Quo niam igitur in parat
Ielpgrammo CD EA, recta AE ,saa aequalis est recta CD, oppositae &eidem CD, aequalis est opposita FB, in parallelogrammo CD FB ; b taint LE , FR, inter se aequales ; si communis addatur EF, c) erit tota AF,toti EB, aequa lis a nec non etiam a neu lus BED, d aequalis est interno, & bpposito p RC ; est autem AC, e) ipsi ED, aequalis .Quare trianguIum BFD, triangulo FAC, ciὶ laequale erit; ablato ergo communi triangulo EGF, g, iremanebit trapezium ACGE, trapezio FGBD. aequale : inocirca addito communi triangulo CDG, fiet totum parallelograminum CDEA , toti par telogrammo CDBF, aequale. Parallelogramma igitur super eadem bas, & in eisdem parallelis constituta later se sint aequalia. Quod erat ostendendum. PRO.