장음표시 사용
111쪽
PROPOS. ro. ΤΗEOR. I. si recta linea bifariam secetur, & es in rectunt alia quaepiam linea adiiciatur : Uod a tota, cum adiuncta tanquam una linea,& ab adium Aa, utraque simul quadrata, duplicia simi, &eius, quod a dimidia, &eius, quod a compinsita ex dimidia, & adiuncta, tanquam ab una linea, descriptum sit, quadrati.
addatur BD. Dico, duo quadrata rectarum AD,& BD, simul, dupla esse duortini quadratorum simul, ta . quae ex rectis AC, CD, de scribuntur. Probatur. Si a1I.DL per AB,ex puncto C, ca) eri- is gatur perpendicularis C E,
V quaesit aequalis dimidiae AC,
IK vel CB, iunganturque rectae AE, EB. Deinde per D,du- V ducatur D F, ipsi CE , pa- α rallela, occurrens rectae protractae in G, puncto;& per E , rectae C D , parallela ducitur EF , seeans DF, in F, puncto, iunga, tiirque recta AG . ostendetur iam, angulum AEB, esse rectum, ut in praecedenti Propos. & CEB, emI-b θ ρη rectum ι ideoque bὶ eius alternum EGF , quoque ie-ς34 prcimirectum : est autem angulus F, ceo rectus, cum in parallelogrammo CF, opponatur angulo C,qui Iactus d 3 or . est rectus. Igitur d)& reliquus FEG, semirecti is et ε. pri. erit, ac propterea ipsi EGF, aequalis. Quare eo rectae EF, FG, aequalibus angniis oppositae, inter se aequales erunt. Eodem modo ostendes ,rectas BD, DG , esse in aequales, ex eo quod angulus BDG, sit rectus, BGD,
112쪽
semIrectus &e. Quoniam igitur quadratum AE ,rs aequale est quadratis aequalibus rectarum aequalium AC , CE 1 erie quadratum rectae AE , du plum quadrati rectae AC. Rursus quia quadratum rectae EG , g est aeqtiale duobus quadratis aequalibus rectarum aequalium EF, FG; erit qhoque quadratum restae EG , duplum quadrati rectae EF , hoc est rectae CD , eum CD , ch recta aequalis sit rectae E p . Duo igitur quadrata reaarum AE . EG , dupla sunt qua oratorum ex rectis AC, C D descriptorum. Atqui duobus quadratis rectarum AE , EG , t i aequale est
quadratum rectae Iineae AG; .& quadrato rectar lineae AG, aequalia sunt duo quadrata, quae ex duabus lineis AD, DG, describi intur c angulus enim D est rectus. Quadrata ergo rectariim AD , DG , dupla sunt quadratorum ex rectis AC, CD, descriptorum. Demum cum quadratum rectae DG, aequale sit quadrato rectae BD, ob linearum aequalitatem, erunt quoque quadra 'ia rectarum AD, DB, dupla quadratorum , quae ex re ctis AC, CD, describuntur Itaque si recta linea set cetur bisariam M. Quod demonstrandiim erat . f . ping 47. r3 b 3 .pνLi 7 pr α
Datam rectam lineam taliter secare, ut rectam gulum comprehensum sub toea , & altero segminatorum, aequale sit ei, quod a iniquo segmtato sit, quadrato. iDAta sit recta AB, quam secare oportet in duas
partes, ita 'e rectanguluis comprehensium sub tota, & a Iesis euis segmento , nempe minori, aequale
fit quadrato reliqui stamenti: nempe maioriada
113쪽
scribatur ex AB , quadratum AC, & diuise latere AD quod
cuin data recta AB, a noulum rectiim essicit, bifariam' ira E, iungatiir recta EB , cui est E A, producta aequalis sumatur EF;& ipsi AF , abscindatur ex data recta AB,aequalis AG. iod fieri potest clim ΑΒ , maior sit quam A F : nam cum E B , sit aeqtialis ipsi EF, ex constructis . ne I ca sint autem latera AE, AB, maiora latere EB ; erunt quoque rectae EA, &AB , maiores recta E F; ac proinde ablata communi AE, reli lira AB, maior erit reliqua AF . Dico rectam AB , sectam esse in G, taliter , ut rectangulum sibAB, & BG , comprehensum , aequale sit quadrato rectae AG; adeo ut AG , sit maius segmentum , & BG, minus. Probatur. Dicatur enim per G recta ΗΙ. parallela rectae DF , secans CD , in I: ac per F.duca-. Parallela secans HI, in H, puncto. Erit igitur parallelograminum AH , quadratum segmenti AG , cum omnia eius qtlatuor latera sint aequalia, cum c b) FH, H G. aequalia sint opposit s AG, AF, Pariter aequalibus , omnesque anguli eius iem recti ob rectum A, ut in Corollario a. . Propos. lib. pruni habetur . Rectangulum quoque CG , comprehensum erit sub AB , & sex mento BG, quod AB , aequalis stipsi BC. Quare probandum est rectangulum CG ,&2iadratum AH, aequalia esse . Quoniam igitur recta DA,est secta bifaria in E.& ei addita fuit in rem AF, c) erit rectangulum sub DF, S: FA, hoc est rectan- eulum D H, t cum FH, sit aequalis ipsi FA una cum quadrato dimidiae ΑΕ, aequale quadrato rectae EF, hoc est quadrato rectae EU, quae rectae EF , aequalis est per constructionem . Est alitem quadratum rectae EB, d Iaequale quadratis rectarum AE, AB. Qiare rectau-gulum DH, una cum quadrato rectae ΑE,aequale qua que u
114쪽
a que erit quadratis rectarum AE, AB. Dempto ergo li: communi quadrato rectae AE , remanebit rectangu- .i tum DΗ, aequale quadrato renae AB, hoc est quadra- .i to AC; Ablato rursus communi rectangulo AI , re , manebunt rectangulum CG , & quadratum AH , in- ter se aequalia. c od fuit propositum. Datam igi- i iur rectam ΑΒ taliter semimus &c.Quod erat laeten- .
Hoc problema nulla ratione numeris aceomodariu'l potest, ut monet Clauius in hoc loco, &demonstrat s ad Propos r . lib. 9. Siquidem numerus nullus potesti taliter in duos diuidi, ut numerus productus ex totor in alteram partem aequalis sit quadrato alterius partis.1 Quod sane non accidit in io. antecedentibus theormi, matibus, quae lib. s. in numeris clarius denisnstran- s
si ambimoniis triangulis , quadratum, quod
i fit a latere angulum obtusum subtendente, maius est quadratis , quae fiunt a lateribusi obtusum angulum comprehendentibuS, re i ingulo bis comprehensio, & ab uno latei: Tum, quae sunt circa obtusiim a lum, in quod cum protractam fuerit eadit perpen-
' dicularis, & ab assumpta exterius lino sub perpendiculari prope aisulum obtusum.
ii πι- ABC, habeat angulum ACB, obtu-ε A sum,& ex Α, in latu, BC, ad partes anguli ob-ν mur'rabum cadat perpendicularis A D. Dico qua
115쪽
t di aluin lateris Α Β , quod obtuso angulo opponitur, i maius esse quadratis laterum AC, CB. rectangillo bis
est quadratum lateris AB, aequale esse duobus quadratis latera AC, CB, una cum rectangillo bis sub BC, CD , comprehenso. Proba tur . Cum enim recta BD, utcunisque diuisa sit in C, a)erit quadra- tum rectae B D, aequale duobus quadratis rectarum BC , & CD, & rectangulo bis sub BC, CD, comprehensis. Addito itur communi quadrato rectae ΑD ; erunt duo quadrata rectarum BD, & DA , aequalia tribus quadratia rectarum BC , CD , D A , & rectangulo. bis sub BC. CD comprehenso: Est autem quadratis rectarum BD, DA, cbJ aequale quadratum rectae AB. Quare & quadratum rectae AB , aequale erit tribus. quadratis recta.
rum BC, CD, DA, & rectangulo comprehense bis sub BC , CD. Cum igitur quadratis rectarum C D, DA , o aequale sit quadratum rectae. AC, erit quadratum retiae AB, aequale qtiadfat s rectarum BC, CA ,& rectangulo bis comprehenso sub BC , CD . Quod est propositum . In Ambimoniis ergo tria .gulis quadratum M. Quod erat ostendendum .
116쪽
D Oxygonias .triangulis, quadratum . factum . a latere angulum acutum subtendente minus est quadratis, quae fiunt a lateribus angulum acutum comprehendentibus, rectangulo. bis comprehensb, & ab uno laterum, quae sinad circa a cucum angulum, in quod perpendicularis cadit, & ab assumpta. interius linea sub perpendiculari prope augulum acutum t
N triangulo ABC, omnes anguli sint acuti , & ex de inissa perpendicularis, AD, cadat in latus BC. Dico quadratum lateris AB, . quod acuto angulo e, opponitur, minus esse quadrat s laterum AC, CB, rectangulo bis comprehenso sub BC, CD, hoc est quadratum lateris ΑΒ, una cum rectangulo his comprehenso sub BC, CD, aequale esse duobus quadratis laterum AC, CB. Prob. Cum enim recta BC, diuisa sit vicunque in D, erunt quadrata re etarum BC, CD, ca aeqtialia rectangulo bis comprehenso sub BC, CD, & quadrato rectae BD: Addito ergo communi quadrato rectae DA, erunt tria quatdrata rectarum BC, CD, DA, aequalia rectangulo bis comprehenso sub BC, CD, & duobus quadratis rem clarum BD, DA. . Duobus autem quadratis rectartim CD,&DA, b) arq tale est quadratum rectae C A. Duo igitur quadrata rectarum BC, C Α, aequalia sunt rectangulo bis comprehenso sub BC, CD ,& duobus quadrat is rectarum BD, D A. Cum ergo duobus qiiD
117쪽
dratis rei hariim BD, DA, c) aequale sit quadratum erictae AB; erunt duo quadrata rectarum BC, CA, aequa. lia rectangillo bis comprehensis sub BC, CD &quadrato rectae AB, quod est propositum . In oxy4oniis ergo triangulis, quadratum a latere,&c. Quoci erat
PROPOS. I PROBL. 2.i nato rectilineo aequale quadratum
constituere. SIt datum rectilineum Α, cui quadratum aequaIeconstituendum est . Constituatur parallelogram
mum B, fa aequa Ie rectilineo Α, habens angulum reἰetum, cuius unum latus, ut CD, producatur ad E; fitque DE, recta aequalis rectae DF. Diuidatur quoque CE. bifariam in G, ptincto . quod cadet aut inpiinctum D, aut nonisi cadit in punctum D, erit recta DF, cirm aequalis ponatur rectae DE) rectae CD, aequalis . Quarercetangillum B, erit quadratum,cum alia dira latera opposita ba aequalia sint lateribus aequalibus DC, DF, & unus angulus per constructio
118쪽
nem sit rectus, & consequenter omnes rem per Cor-rol. ProP. 2'. lib. I. Atque adeo conmilitum est qua, dratum aequale rectilineo A, qtiod erat faciendum. Si vero punctum G, non cadit in D, facto G, centro interuallo GC, describatur semicirculiis CHEs producaturque FD, donec circumferentiam secet in fit. Dico igitur quadratum rectae DH, esse aequale rectilineo A. Probatur . Ducta enim recta GH, quia recta CE, dividitur bifariam in G, & non bifariam in , D; erit rectangulum comprehensum sub CD, DE, hoc est rectangulum B, una cum quadrato rectae GD.ce aequale quadrato rectae GE; hoc est quadrato rectae GH;cum GH, & GE, sint aequales, sunt enim a centro ad circumferentiam . Sed quadratum rectae GH, dst aequale est quadratis rectarum GD, DH. Quamobrem dempto communi quadrato rectae GD, remanebit rectangulum B, hoc est rectilineum A, quadrato rectae DH, aequale. Dato ergo rectilineo aequale quadratum constituimus . Quod facere oportebat .c s. sec.d 7.pνδ.
120쪽
a Quales circuli sunt, quorum diametri
aequales; Vel quorum. quae ex centris ad periserias ducuntur rectae lineae, sunt
aequalin. ι Euclides in hoc 3. libro vatims circuli proprietates demonstrat, exponendo prius suosdam terna i- hos, ad meliorem dicendorum intelligentiam. Primo enim loco docet, eos circulos esse aequales, quorum diametri, vel senesdiametri sunt aequales. Nam cum tirculus, ex iam 'dictis, describatur ex circumuolu tione semidiametri circa alterum extremum fixi im, &immobile perspicuum est , eos circulos esse aequales, notum semidiametri aequales sunt.