장음표시 사용
121쪽
Recta linea circulum tangere dicitur, qu* cum circulum tangat, siproducatur circulum non secat . , V τ est linea AB,quae
tangit circulum in C, nec ipsum secat uti facit DE , quae circulum secat in F, plincto. vn- . de AB, dicitur tangens, DE, vero secans.
In Circuli sese mutuo tangere dicuntur, qui sese mutuo tangentes, sese mutuo non secant. OVod patet in duebus circulis CFI, GIΗ, qui sese
122쪽
IV. In circulo aequaliter distare a centro rectae lineae dicuntur, eum perpendiculares, quae a centro in ipsas ducuntur, sinat aequales. Lomgius autem abesse illa dicitur, in quam maior Perpendicularis cadit. EVclides in hac definitione aequalem distantiam
rectariun in circulo desionauit per aequales per- spendiculares , sicuti inaequalem per inaequales. Ut ditae rectae ΑΒ , CD , in circulo ABCD , dicuntur aequaliter ditiare a eentro E , si perpendic lares ET, EG, aequales fuerint, sivi. ro perpendiculares non fuerint aequales illa linea , in quam cadit maior perpendicularis , dicitur longilis distare a centro , quam illa , in qi,ada cadit minψr Per pendicularis.
Segmentum circuli est figura, qua sub recta linea, & circuli peristria comprchenditur.
VT sunt fio urae A , & II, qtiae fi urae ut patet com prehenduntur sub una recta linea, &circlus, portione.
123쪽
t segmenti autem angulus est, qui sub recta IN nea, & circuli periseria comprehenditur
HIc pro angulo segmenti intelligit Euclides an. gulum mixtum contentum sub recta linea , &circuli peristria. v ΙΙ.
: In segmento autem angulus est, cum in se ci ii periferia sumptum fuerit quodpiam punctum , & ab illo in terminos rectae eius lineae, quae segmenti basis est, adiunctae su rant rectae linea: ; Is, inquam, angulus ab adiunctis illis lineis comprehensius. SP segmennim circuli quodetinque verbi gratia C,
in cuius periferia sumatur quodcunque punctum nempe C, a quo ad extrim itates rectae lineae ducantur duae rectae, iam angulus ab illis duabus rectis lineis comprehensus, vocater angulus in segmento .
VIII. Cum vers comprehendentes angulum rectae lineae aliquam assii naunt Periseriam , illi angulus insistere dicitur.
SI enim in periseria alicuius: inculi ΑDm , sumatur quodclinquo punctum', 'aempe A , ducantur
124쪽
duae rectae AB, AD , usque ad p riseriam D. B, angulus rectilineus D B , ins stere dicitur circumseis rentiae DCB , qui angulus sola vo.
ce differt a pracedenti . IX. Sector autem circuli est, cum ad ipsius ci culi centrum constitutus fuerit angulus,com prehensa nimirum figura , & a rectis litas angulum continentibus, & a periseria ab iblis assumpta.
N circulo E, & pariter ab eius centro E, duae lineae a centro ad circumserentiam dii 1ae constituant angulum rectilinetim , in hoc casu fi-gara E , contenta iub duabus rectis a centro ad circumferentiam ductis, de ab illa portione circumferentiae, quae a dicti, lineis rectis assumitur, vocabitur sector circuli , quia secat trirtionem circuli . a
Similia circuli segmenta sunt, quae angulos ea Piunt aequales : aut in quibus anguli sunt
SInt duo circulorum segmenta ABC, DEF , quaerapiant angulos aequales 1 BC, DEF, t quamuis Gu-
125쪽
menta sint ins- qii alium circulorum a Gemmetris dicuntur similia, vel etiam quando in se retinent angulos aeqtla-
PROPOS. I. PROBL. I. Dati circuli celatra:ri repe rire .
SIt datus circulus ADAE , cuius centrum oportet inuenire . Ducatur in dato circulo linea utcunque AB, a quae bifariam diuidatur in C, & per C, ad AB, perpe dicularis ducatur DE, utrinque in periseriae punctis D , E , terminata . Hac igitur bisariam secta in T; dico T, esse centrum circuli propositi. Prob. In ipsa enim recta DE , aliud ptinctuin, α Praeter T, non erit centrum , cuml omne aliud punctum ipsam DE, diuidat inaequaliter, nam solum in T, diti in fuit aeqtialiter. Si igitur T, non est centrum sit punctum G, extra rectam DE, a otio ducan ir Im ae G A. GC, GR. moniam ergo latera AC, CG, trianguli ACG. aequalia sint lateribus Il , CG. trianstuli BCG, & basis AG, basi GB, sitne enim a centro ad circumferentiam a bὶ erunt anguli .ACG. BCG, aequales ideoqite recti : erat auteni Mangulus A ,. reetiis ex constructione. Igitur duo
126쪽
antuli recti AC r, ACG, aequales erunt, pars, & to tum quod est absurdum . Non est ergo punitum G, centrum; eademque ratio erit de omni alio , praeterquam de ipso T; Quare dati circuli centrum reper,mus. Quod erat efficiendum .
. . Ex hae Propos. manifestum est , quod si in eireulo 'recta aliqua linea aliquam rectam lineam pariter incireulo ductam secet bifariam, & ad angulos rectos, in secante esse centrum circuli. Nam ex eo quod DE, recta rectam AB , bifariam secet in C, ad angulos rectos , ostensum fuit, punctum eius medium T , --eessario esse circuli centrum.
PROPOS. 2. THEOR. 2. Si in circuli periseria duo quaelibet puncti su
rint accepta ; recta linea, quae ad ipsa puncta adiungitur , intra circulum cadet. IN circulo ΑΕΒ, sumantur quaelibet duo puncta Α,& B, in eius circumferentia. Dico rectam ex A, Iin B , ductam cadere intra circulum, itaut ipsum se cet . Probatur. Ducta recta linea ΑΒ, in ipsa assignetur quodcunque plinctum nempe D , deinde a) inueniatur centrum da-ia I .rer.ti circuli, & st C, a quo ducantur rectae CA , C D T , & CB. Quoniam igitur in trianoulo ABC,duo latera AC, CB , iunt aeqitalia, c siint enim a centro ad circumferentiam a angulus C AB, by aequalis erit an-Ib s. pry. gulo CBA; cum vero angulus CDB, c maior sit in- c ai G ter
127쪽
ierno opposito CAD . d) maior quodue erit an gulo CBD. Qitia ergo in triangulo CDB. angulus D, ostensis est maior angulo B, e etiam latus CB, maius erit latere CD, sed recta CB, aeqtialis est rectae CT . ob defin. circuli; ergo recta m, maior erit re- CD. qirare cum CT, tota sit in circulo compre-bμnsa, punctum D, erit intra circulum. Eodemque prorsissmόdo demonstrabitur reliqua puncta rectae AB intra circulum reperiri'; quapropter eti m Iinea recta AB, ab huiusmodi punctis constituta intra circulum erit. Quare si in circuli periseria duo queli. bet puncta , &c. Quod erat ostendendum.
PROPOS. 3. THEOR. ' Σ. Si tu circulo recta quaedam linea per centrum ducta quandam illam non per centrum e tensam bifariam secet; & ad angulos rectos sanastrabit. Et si ad angulos rectos eam secet, . bifariam quoque eam secabit.
Er centrum Τ, circuli ACBD, recta AB, extensai diuidat rectam CD, non per centrum ductam,bia fariam in E. Dico rectam AB, esse ad angulos rectos ipsi CD. Prob. Ductis enim rectis TC, TD, emni duo latera TE, EC, duobus lateribusTE, ED, aequalia;& bases TC, TD, aequales. caJ Igitur anguli TEC, I ED, aequales erunt, hoc est recti. Quod primo erat propositum . 'it iam AB, ad angulos rectos ipsi CD. dieoreetam CD, bifariam secari in E , a recta AB. Prob. Ductis enim iterum rectis TC, TDι cum latera TC, TD, trianguli TCD, sin aequali , O eruat anguli TCD, T , aequales.
128쪽
Quoniam igitur duo anguli TEC, WE, trianguli TCE, aequales sunt duobus angulis TED, TDEdrianguli TDE, & latera TC,TD, quae rectis angulis aequalibus opponuntur, aeqtia lia quoque: cco Erunt latera EC, ED; aequalia . Sod secundo proponebatur. Si igitur in circulo recta quaedam liuea per centrum du-lia , &c. Quod demonstrandum erat.
, lEx hac demonstratione sacile inseremus, in quovisi triangulo duorum laterum aequalium , lineam , quaed. basim bifariam secat, perpendicularem esse ad insim Et e contra, lineam , quae ad basim est perpendicula- .ris, basim secare bifariam: ut patet in triangulo 1
si in circulo duet recta sineq non per centrum extenta sese mutuo secent: sese mutuo bi&-l riam secabunt. l ae rectae vC, DE, se mutuo in Α, secent in circulo BDCE , non per centrum extensiae . Dico fieri non posse, ut sese mutuo bl fariam secent. Si enim una earum per centrum transit, certum est, eam bisariam non :secari: solum enim in centro , per quod adtera ponitur non tranure, bisariam diuiditur: si vero neutra per σω. trum exleuditur, quamuis una learum nonnunquam bifariam ab laltera diuidatur , tamen altera minime secabitur bisa- lrem. Diuisa erit sit tam BC. quam DE. bifariam .i
129쪽
a i in A, si fieri po est. ca Imiento igitur centro circuli, i nempe T, ab eo ad Α, ducatur recta T A . Quonianii. t ergo recta TA, eonitur secare rectam BC, bifariam
b, r i in A, ha secabit ipsam ad angulos rectos. Eadem ratione secabitur DE, ad angulos rectos, cum etiam ipsa ponatur bifariam diuisa in A. Quare rectus anguliis TAR, recto angulo T AD, aeqtialis erit, pars toti,quod est absurdiim. Itaque si in circulo ditae rectae lineae non per cenuum extensae, &c. Quod erae demonstrandum.
PRO P. s. THEOR. q. 'Si duo circuli sese mutuo sucent ; non erit illorum
E. Dico ipsos non habere idem centrum. Prob. Sit enim, si fieri potest, idem centrum utriusque T, a quo duae rectae ducantur :TA , quidem ad punctum sectionis A TC, vero secans utramque eircumferentiam in E, & C. in niam igitur T, ponitur centrum circuli ABC, erit recta re , rectae ΤΑ, aequalis . Rursus quia iT, centrum quoque ponitur circuli AEDE . erit & recta TE, 'eidem rectae,TA , aequa .lis. Quare rectae V, TE, D aequales inter se erimi, pars, & totum quod est ampossibile. Si testiir duo circuli sese mutuo se tam . M. Quod ostendendum erat.
130쪽
Si duo circuli sese mutuo interius tangant; einl rum non erit idem centrum. 3DVo circuli ABC, Α D E, ad inuicem se in
terius tangant in A. Dico eos non habere idem centrum . Probatur. Habeant enim, si fieri po- , eest , idem centrum
T , a quo ditae rectae ducantur, TA qui-l i
secans utramque cir-l mserentiam in Ε,&οῦ, C . Qitoniam igitur . T, ponitur centrum circuli maioris ABC, erit recta TC, rectae TA , aequat is . Rursus quia T, ponitur centrum circilli minoris QE,erit recta TE, eidem rectae TA, aequalis. Quare rectae TC, TE, γ a r. pr. . inter se aequales erunt, pars, & totum, quod eit ab lsurdum. Si igitur duo circuli sese mutuo interius tan-lgλα&c. Quod erat demonstrandum.