장음표시 사용
91쪽
PROPOS. 46. PROBL. r 'Λ data recta linea quadratum describere
S It data recta AA, super quam oporteat quadratum describere. Ex A, & B, ca educantur AD, BC, I perpendiculares ad AB, sintque ipsi ΑΒ, aeqiiales,con. nectanturque recta CD. Dico ABCD , esse quadratum. Probatur. Cum enim anguli Α ,& B , sint recti, b) erunt AD, BC, parallelae: sunt autem & mluales, - quod utraque sit aequalis ip-
aequales r & ideo parallel grammum est ABCD, in quo cum AD , DC, CB, aemialdi sint ipsi AB, omnes quatuor lineae aequales existunt: sunt autem & omnes quatuor anguli recti, eum C, & D, cd aequaIes sint oppositis rectis Α,& B. Quadratum igitur est ABCD, ex definitione , ac proinde a data recta linea descriptum fuit quadratum . Quod faciendum erat.
In rectangulis triangulis, quadratum, quod a latere rectum angulum subteiidente deser bitur, aequale est eis, quae a lateribus he ctum angulum continentibus describuntur, quadratis.
l T N triangulo ABC .antuIus BAC, sit rectes caJ dei 1 scribanturq te super AB AC, BC, quadrata ABFG,
92쪽
RCHI, BCDE , Dico quadratum BCDE , descriptum
super latus BC,quod angulo recto oppo nitur , aequale esse duobus quadratis
N AB;FG, ACHI, quae super a i ta duo latera sunt descripta, siue haec duo latera aequalia sint , siue
inς qualia. Probatur. Ducatur enim recta
secans BC . in I, &iungatur rectae AD, AE, CF,BH. Et quia duo anguli BAC , BAG, sunt j recti , c) erunt rectae G A , AC , una linea recta ;eo- idemque modo IA, & AB, una linea recta erunt. Rur- ssis quia anguli ABF, CLE , sint aequales, cum sint re- lcti, si addatur communis angulus ABC, dJ fiet totus angulus CBF, toti angulo ABE, aequalis 3 similiterque totus angulus BCH, toti antulo ΑCD. Quoniam igitur duo latera 'AR , BE, trianguli ABE , aeqitalia sunt duobus lateribus M, BC, trianguli FBC , utrunq; Vtri que , Ut constat ex definitione quadrati: sunt autem,ia anguli ABE, FBC, hisce lateribus contenti aequa-Ies, ut ostendimus, est erunt triangula ABE , FBC, aequalia . E st autem quadratum , seu parallelogram iniim ABFG, fa duplum trianguli FBC , cum sint inter parallelas BF, CG , & super eandem basin BF : Et parallelo ram niti in BE KL , duplum trianguli ABE, eo quod sint inter parallelas BE, AK, & super eandem basia DE ; mare aequalia erunt miadratiim ABFG ,& g parallelogrammum BEL L . Eadem ratione osten detur , aequalia esse quadratum ACHI, & parallelogra inmit m CDXL; hJ sint enim rursus triangula ACD, HCB, aequalia ideoque eorum di ipla , paralla
93쪽
orarnmum videlicet CDκL. 8e quadratum ACHI, aequalia erunt. Qitainobrε totum quadratum BCDE, quod componitur ex duobus paralleloorammis RE KL, CD KL, atquale est duobus quadratis ABFG , ACHI. In recta ut is ergo triangulis &c. Quod erat demo strandum.
Quoniam huiusmodi Theorema utilitates habet insignes in Geometr bonum erit non selum ipsum bene intelligere, vertim etiam diligenter aduertere ea, quae a P. Clauio circa hoc Theorema in suis comentarijs adiungiantur , quia bretritatis gratia omittuntur.
. Si quadratum, quod ab uno latere trianguli describitur, aequale sit eis, quae a reliquis trianguli lateribus describuntur quadratis l angulus comprehensus sub reliquis duobusi trianguli lateribus, rectus est.b47 DFtur triangulum ABC, sique quadratum laterIs AC , aequale Quadratis reliquorum laterum BA, BL . Dico angulum ABC, esse rectum . Probatur. Ducatur namque BD , c a a perpendicularis ad BA , Me aequalis reetae BC , connectaturque recta DA . Quoniam igitur , in erranglii ABD , anetulus ABD , reetua eii; b erit quadratum rectae. - ΑD , aequaIe quadratis rectarum BA BD : Est autem qua- dratum rectae BD, quadrata recta AC , aequale, ob linea rum aequalitatem a quare qua dratum tectae ΑD, qnadratis rectatum BA,BC,aequale erit. Cum
94쪽
Cum et o quadratum reetae AC, eisdem quadratis re-mrtim BA, BC , aeqtiale ponatur , ω erunt quadrata rectarum 'AD, AC, inter se aequalia, ac propterea &rνctae ipsae AD, AC, aequales. Quoniam igitur lat ra BA, BD , trianguli ABD, aequalia sunt Iateribus BA , ΗC , triano iiii ABC ; & basis AD , ostensa est aequali, basi AC ; Nyeriint anguli ABD, ABC,aequales : Est autem angulus ABD, recti is ex constructi Ieitur & angulus ABC, rectus erit. Si igitur
quadratum , quod ab uno laterum trianguli describitur &c. Quod demonstrandum erat.
Nouem modis duo triangula inter se coinparauit Euclides in hoc libro . Primum, quando duo latera duobus lateribus aequalia sunt, utrumque utrique, continentque augulum angulo aequalem, 6 colligit aequalitatem bustum,reliquorumq; angulorum,atque adeo tinin
Secundo, quando duo latera duobus lateri-lbuS aequalia sunt, utrumque utrique , basisque lbasi est aequalis, b infert aequalitatem angulo- lrum illis lateribus comprehenserum . ubi alii
etiam concludunt aeqtialitatem reliquorum an gulorum totaque triangula probant aequalia. Tertio, cum duo latera duobus lateribus sunt aequalia e Vtrumque utrique comprehendunt vitam angulos inaequales , sic ostendit basin E mae I in L
95쪽
maiori angulo oppositam esse maiorem base minori angulo opposita. Quarto, cum duo latera duobus lateribus aequalia sunt, virlimque utrique, &bases inae quales, d) demonstrauit angulum maiori basi oppositum esse maiorem angulo minori basit opposito. Quinto, quando duo anguli duobus angulis aequales sunt, uterque utrique, & unam latus viii Iateri aequale, siue quod aequalibus angulis adiacet, siue quod mi aequalium angulorum opponitur,. φὶ probauit reliqua latera unius reliquis lateribus alterius esse aequalia, & reliquum angulum resiquo angulo. Vbinos docuimus sequi etiam, tota triangula esse aequalia. Sexto c0 demonstrauit, duo triangula super candem basin, & inter easdem parallelas constituta, esse aequalia. Septimo, υ ostendit, duo triangula super aequales bases, & inter easdem parallelas conab tuta, aequalia esse. Octauo h9 docuit, duo triangula aequalia super eandem basim, & versus eandem partem constituta, esse inter easdem parallelas. Nono tandem 0 probauit, duo triangula aequalia super aequales bases in eadem linea, in eandemque partem constituta, esse inter easdem parallelas.
96쪽
o ne parallelogrammum rectanguluin l
contineri dicitur sub duabus rectis lineis, iquae rectum comprehendunt angulum. l . . lIN hoc secundo libro agit Euclides de potentiis li
nearum rectarum, inquirendo quanta sint ,& quadrata partium cuiusuis lineae rectae diuisae, & parallelogramma rectangula iub partibus eiusdein lineae divisae comprehensa , tam inter se, quam comparatam cum quadrato totius lineς,&c. I Quod ut melius exequatur duas lproponit definitiones, quarum prima est modo adduct , in qua exponit, sub quibus rectis lineis contineri dicatur quod cunque parallelogrammum re-l
ctangulum e &quid se parallelogrammtulsub Iiabus lineis rectis : insed is um , ut perfecimn
97쪽
telli atur, aduertendiim est, parallelogrammum iulud dici rectaneulum, cuilis omnes a nouli sunt recti. Rursiis parallelogrammum rectangulum contineri sub duabus rectis lineis, quae unum angulum rectum commprehendunt, non importat aliud quam duas huiusmodi lineas exprimere totam parallelogrammi magnitit-dinem, una quidem exprimit longitudinem , alia vero Iatitudinem . Quod totum patet in parallelogramm rectangulo ΑRCD, in quo linea AD, exprimi latit .ldinem, AB, vero longitudinem e quare si multiplicetur unum latus per aliud, productum,erit totum parallelogrammum. Demum est considerandum , Geometras , ne toties eaedem lineae repetiantur, solere- exprimere omnia prorsiis parallelogramma duabus dumtaxat litteris que per diametrum opponuntur 1 exempli gratia Λαvel BD.
II. In onmi parallesogrammo spatio, unusnquodlibet eorum, quae circa diametrum illius sunt Parallelogrammoriam, cum duobus complo
P i xelligentia, in parallelogrammo
λBCD, ducatur diameter AC s & rursiis ex quovis eius puncto G, ducantur rectae EF , HI, paralIelae lateribus parallelogramni ita ut minra llelogrammum ΑBCD, d iiii- sum sit in A. parallelogramma, quorum duo EH, I F, dicuntur esse circa diametrum , alia Vero duo EI, & FΗ , complementa, ut manifestum est ex ultima d
98쪽
fin. primi libri. Quo posito fi ura composita ex uno lparallelogram circa diametrum , ut I F , una cum duobus complementis BG, GD, qualis est figura EBCDHG, quae designatur cireunserentia ΚLM , dicitur Gnomon. His positis ad propos. 1. lib. deueniamus, in quibus perfeci intelligendis opere pretium erit: multum laboris impendere, non selum propter quamplurimos istarum usus in rebus geometricis, tum etiam in humanis comercijs , adeo ut hic liber aureus dici merea. tur, cum mole quidem sit per exiguus , utilitates Wro contineat prope infinitas.
u fuerint duae recte lineae, quarum una secetur in quotcunque segmenta a Rectangulum comprehensum sub illis duabus rectis' lineis,
aequale est eis, quae sub insecta,& quolibelli
- segmentorum comprehenduntur, rectangulis. SInt duae rectae ΑΒ, &BC, quarum BC, sectar
quomodocunque in quotlibet lagmenta BD, DC. Dico rectangulum sibΑΒ, & BC; comprehensum, aequale esse omni. s rectangulis simulsumFis.. quae sub linea
indiuisa ΑΒ, & quolibet segmento lineae se hae
comprehenduntur, nempe rectangulo sub ΑΒ, & BD, a que sub AB, & DC. Probatur. Rectangultim enim BG , comprehendatur sub ΑΒ, & BC, hoe est recta BE,aequalis sit rectae v uod quidem fiet si erigantur ad BC, duae perpendis culares BE, CG, aequales rectae AB, aucaturque re- E CG
99쪽
petu: Es: Nam rectae BE,CG, a) parallelae erunt inb I. pro . in reetos a illos B, C: & aequales b inter se sent, liquia utraqtie rectae AB, ponitur aequalis: c Igitur erunt Drique EG, BC, parallelae, & aequales inter serac proinde rectangilli im erit RG, contentum sub AB, siue AE BC ex desin. r. huius libri. Deinde ex D, ex xlij; si chionibu si plures fuerint ducatur recta - DF, parallela ipsi BE, vel CG; iamque eonstitutad I .pντ. erimi duo plurallelo ramma BF, DG, d quare etiam
cui etiam est aequalis ipsa AB, pei costructionem .Quoniam igitur recta BE, aeqtralis est rectae AB, erit rectangultim BF, comprehen linia seb insecta linea AB, & seemento BD . Eadem ratione erit rectanguli mi DG, corri prehensum sub AB, ostensa enim est aequalis ipsi DF, & segmento DC; Quare cum rectanguis Ianp,DG, a qualia sint toti rectangulo BG, hoc enim est totum, & illae sitnt omnes partes, perspiculim est rectangulum comprehensum .iub AB, S: BC, aeqtiale esse omnibus rei tangit lis, quae ub AB, SI segmentis BD, DC, comprehendun tur. Si ergo fuerint duae rectae lineae,seceturque ipsarum altera , &c. Quod erat ostendendum.
PROPOS. 1. THEOR. 2. Si recita linea secta sit victinque e rectinguIa,' quae sub tota, & quolibet segmentortim com prehenduntur , aequalia sunt ei, quod a tinta fit, quadrato.
t u i diuidatii r utcunque in C, duas in
IN partes. Dico duo rectangula comprehensa sibtota AB, & segmentis AC, CB, simul sumpta aequalia
100쪽
esse quadrato totius lineae All. Probartir Descrilia' urenim AD, a quadratum lineae AB, &ex C, b) ducatur CF , parallela rectae AE , vel BD, quae c) atqita lis erit rectae AE , hoc est rectae AB, cui aequalis ellii effaAE . ex definitione quadrati. Quoniam tot ur rem AE , aequalis est rectae AB , erit rectis ii lum Arieomprehelum sub tota AB, & segmento AC: similiter erit rectangulum CD , comprehensiim sibi ola ' B , & se amenta C B a Quare cum rectangula AF, CD , aequalia sint quadrato AD , per spicuuin est, rectangula comprehensia sub AB, & seq- mentis AC, CB, aequalia esse quadrato lineae AR . Si istitur recta linea secta si vicuoqtie dcc. iniud erat demonstrandum.
PROPOS. 3. THEOR. Si recta linea secta sit victitaque : Rectangu-' tum sub tota , & viro segmentorum comprehensum, aequale est quod sub segmentis comprehenditur, rectangulo, &illi, :. quod a praedicto segmento destribitur qua
Inea recta AB , diuisa sit utcunque in plincto CDico rectangillum comprehensiim sub ima Al & utronis segmento , nempe B C, siue hoc segmen-leum maius sit, sitie minus aeqtiale est rectangulo sub segmentis AC, CB, comprehense, Aquadrato segmenti CB, prius a Dsumpti. Prob. . Constituatur