Sex priora Euclidis geometrica elementa, denuò clarioribus auctorum demonstrationibus, ... eddita ,H.R. ..

131쪽

. PROPOS: I, THEOR. 6. Si in diametro circuli q od piam sumatur pum

etum, qtiod circuli centrum non si ab em, que puncto in circulum cadant quaedam rectae lineae: Maxima earum illa em, in qua centrum reperitur , minima vero reliqua; aliarum vero propinquior illi, quae per cem trum ducitur , remotiore ducitur semper maior est : solum autem duae rectae lineae aequales ab eodem puncto in circulum c dum , ad utraque partes minimae , vel maei

ximae.

IN diametro BE, circuli BCRET, cuius centrum G.

punctum a silimatur quodcunque Α , praeter centi una, & ex Α, cadant iis circulum quotcunque lineae AD, AC. Dico omnium, quae ex ri, ad circumserentiam ducuntur, maximam esese AB, in qua est centrum , minimam vero reliquam AE, quae.

diametrum perficier Deinde re ctam AC , quae rectae AB , petr centrum ductae propinquior est, maiorem esse recta AD, quae ab eadem ΑΒ, plus distat s atque ita de alij, si ducantur in infinitiin . Demum ex Α, ad utrasque partes minimae Iineae ΑΕ, vel maximἡ ΑΒ, tantummodo duci pone duas linea inter se aequales. Ducantur encentro G, ad pilucta C, & D, duae rectae GC, GD. Quoniam igitur duo latera AG, GC, caJ maiora sunt reliquo A in triangulo AGC, sunt autem duae re-

132쪽

ctae AG, GC, duab is rectis AG, GH, aequales, hoc est toti rectae AB, quia GC, GH, sint ab eadem centro; erit & ΑΗ, maior quam AC; eademque ratione recta AB, maior erit recta AD ,& sic de reliquis. Quare 33, maxima est omnium, quae ex Α, in circulum cadunt .

Deinde quoniam in triangulo DGA, latus DG, b minus est duobus lateribus GM A D. Est autem GD, ipsi GE. aequalis; erit & GE , minor quam GA,&ΛD. Quare dempta comm mi GA, remanebit adhuc AE, minor quam A D. Vnde AE,minima est omniunt, quae ex A, in circuli circumferentiam cadunt. Rursus quia duo latera AG,GC,in triangulo AGC, aequalia sit it duobus lateribus ΑG. GD, in triangulo AGD, & angulus totus AG C, maior est sua parte AGD, sca erit basis AC, maior basi AD, & sic de reliquis, si ductae suerint. Quare linea propinquior ei,

quae per centrum ducitiir , inaior est remotiore. Tandem lineae AD , ex altera parte aeqtialis Ponatur AT, quod facile erit , si ad centrum G, versis allesam partem ponatur vntis angulus aequalis angulo

AGD, ut docet Propos . lib. primi, qui angulus intelligatur comprehensis 1iib AG, ikalia ex G, in T, ducta, unde si postea conjungantur puncta A, & T. per rectam AT, erit AT , aequalis ipsi AD , quia sunt

duo triangula, qtiae habent conditiones 4. PropusPrimi libri, unde basis AD; basi ΑT, aequalis crit. Quod te nulla alia liis duabus AD, AI .possit esse aequalis constat. Nam si ex Α, dueatut alia , quae cadat supra puncti in T, iuxta demonstrata erit maior qtiam AT, si cadat infra , erit minor ', unde nunquam poterit ense et ualis ipsi AD. Duae igitui dumtaxat rectae lineae aquales ad utrasque partes minina ae AE , vel maximae 88, cadunt. Itaque si in diametro circuli quodpiam

matur punctum&c. Quod elat dei astrandum,

133쪽

PROPOS. 8. THEOR. 7- Si extra circulum sumatur aliquod punistum, at quo ad circulum deducantur res ete quaedam, lineae, quarum una quidem per centrum protendatur,resiquae vero vilibet: in cauam peri- feriam eadentium rectarum linearum maxima quidem est illa, quae per centrum ducitur, I . aliarum autem propinquior ei, quae per Ceimi trum transit, remotiore semper maior est; lai conuexam vero peristriam cadentium redi, riim linearum minima quidem est illa,quae t ter punctum,& diametrum interponitur ue alia. rum autem ea, quae propinquior est minima remotiore semper maior est. Duae autem tan

t tum rectae lineae aequales ab eo pudes in ipsum I. . circulum cadunt aciutrasq; partes minimae, vel

maximae. SIt datum punctum Α, extra circulum E LΗ,cia ius centrum G, lineae secantes circulum ducantura piincto Α , quarum AB , per

centrum trans it, reliquae vero AC, AD, utcunque Dicorimonium maximam esse ΑΒ, quae per centrum transi: Deinde rectam AC, quae A B pereminim ductae,propinquior existit, maiorem quoque esse rem. AD, quae remotior est ab eadem lΑΒ,& se de reliquis,si extarienti E emitrario autem rectam AI, omnium , quae extra circiillim sunt, minimam esse: Deinde rectam ΑF, qtiae vicinior est mini.

134쪽

mae AI, minorem esse recta A E, remotiore. Denique ex Α, ad utrasque partes maximae lineae ΑΒ , vel niunimae AI, duci posse tantummodo duos lineas rectas

inter se aequales. Probatur. Ducantur ex centro G,

ad puncta C,D,E, F, rectae GC, GD, GE, GF. Quoniam igitur duo latera AG, GC, trian illi AGC , a viaiora sunt recta AC; sunt autem rectae A G , G C, aequales rectis AG, ω, hoc est toti rectae ΑΒ ; erit &AB, maior quam AC . Eadem ratione erit AB, maior quam AD , &c. Quare AB, est omnium, quae ex Α, in cauam periseriam cadunt, maxima, quod primosuit propositum.. Deinde, quoniam latera AG, GC, trianguli ASC.αqualia sunt lateribus, AG, GD , trianguli 'GD; Se totus anguhis AGC, maior est angu lo AGDι ba erit basis AC, base AD, maior. Eademque ratione de reliquis erit dicendum. Quue linea propinquior ei,

quae petr centrum ducitur, maior est reminiore. QRursiis, quia in triangulo AFG, tecta AG , minor est c duabus AF,FGs y aequales auferantur FG, M.

remanebit adhue AF, maior quam ΑΙ. Simili prorsus ratione erit ΑΕ, maior quam AF, &c. inare ΑΙ, omnium linearum extra eirculum , quae ex Α, ducum tur , minima est. - 'Rursis, cum intra triangulum AEG. cadant duae rectae AF, FG, ab extremitatibus lateris AG , ductae;

da erunt AF, FG, minores ipfis AE, EG; ablatis igitur aequalit is GE ,& GF, remmebit ad buc AE, maior quam ΑF. Quare linea propinqlitior minimae lineae AI, minor est , quam remotior ab eadem. Demum ducatur AL, aequatis ipsi AC, & AH, ipsi AF, qtio inium. Dico hanc solam duci posse aequar lem ipsi AC. Prob. Si alia praeter AL , potest duci aequalis ipsi AC, necessario ducenda erit supra,vel ii 'fra AEL; si ducatur supra, hixta superitis demonstrata, erit minor ipsa AL; si vero ducatur supra, erit maior; quare nulla praeter AL, ipsi AC, aequalis erit. Quo quo modo etiam probanduir erit, nullam praetcr ΑΗ,

135쪽

let et x EVCL EL EM.

duci posse aequalem ipsi AF, nam etiam ista , durendα ierit intra, vel extra ΑΗ; si ducatur intra minor eris lipsa ΑΗ, ex modo visis; si ducatur extra erit maior; quare nunquam poterit aequalitatem habere eum ipsa Ap. Duae igitur si,him rect ae lineae aequales ad utrasque partes minimae, vel maximae cadunt. Si igitur extra circulum simatiar aliquod punctum , a quo ad circulum deducantur reme quaedam lineae, quarum luna,&c. Quod erat demonstrandum.

PROPOS. s. ΤHEOR. 8.lisi in circisso acceptum sGrit punctum aliquod,

& ab eo puncto ad circulum cadant plures,l uuam duae redita lineae aequales 3 acceptum punctiim centrum est ipsius circuli o

a res , quam duae redue AB, AC, AD. inter se aequa- les. Dieo punctum Α, esse centrum circuli BCD. Prob. Connectantur

. . - euneta B, C, D, rectis BC,CD, ab quibus bifariam diuisis in E,& F, ducantur ex Α, rectae AE, AF. ini I niam igitur latera AE, EB, triangu- -li AEB, aequalia sunt lateribus ΑΕ, M EC, trianguli AEC; & bases AB,

AC, ponuntur etiam aequales s erunt anguli AM, AEC,aequales ideoqtiermi. Eodem modo ostendemiis, angulos ad F esse rectos. Quas re eum rectae AE, AF, diuidam rectas BC , CD, bis riam & ad angulos rectos, transibit utraque producta per centrum circuli, iuxta Coroll. Propos. I. huius libri. Punctum igitqr Α, in quo se mutuo secant , centrum erit circuli. Si enim aliud punctuin esset centrum, non transiret utraque per cellitum. Si ita , qtie

136쪽

que in cireulo aereptum fuerit punctum dae. Quod erat demonstranduin .

PROPOS. Io. THEOR. s. , ins cuculum in pluribus, quam duo hpunctis non secat.

SEcentse,si fieri potest,duoeirculi EC JAEBG, in tribis punctis E, F, G , ea inuentum autem sit

H, centrum circuli AFGBE , a quo ad dicta tria puncta duc mtur rectae NE, ΗF, HG, quae ρer circilli definitionem aequalm ili ter se erunt. Quoniam igitur in tra circulum A E B G F, asitim. peum est punctum H, a quo cadunt in circumferentiam plures quam duae re lineae, aequales 3 b erit Is centrum lcireuli AEEGF s Est autem idem punctum H, obeant. dem rationem centrum circuli EFD C s. Duo ergo circuli se mutuo secantes habent idem Gntrum. cc

s duo circuli sese intus contingant, atque ac rcepta fuerint eorum centri e ad eorum cemitra adiuncta recta linea, & producta in cominetum eirculorum cadet. . Angat circulus ABC , circulum ADE , intus in A; sitque G, centrum circuli ABC, & F , cenuum pariter circuli ADE quod necessario a priori

137쪽

diuertum erit, cum duo circuli sese interitis

centrum habere . Dico Iineam extensata, per G.& F, ad solum contactum Α, esse rectam. Probatur. Si enim linea GF, producta is com tactum A , non est recta,ad

aliud punctum , si fieri po- ltest, nempe ad C , ducatur. FC, quae simul clim GF, constititat recta GFe. Quoniam igitur in cireulo ABC, ssumptum est punctum F, quia non est centrum , cferre recta FC, residuum

inius ruti se per centrum transit , omnium inanima r

definitiόnem .est aequalis ipsi FD , quare FD . maior erit toti F C , quod est absurdum , nam F D , est una Dars . & FC , totum. Non igitur GF , simul eum FC, facit unam lineam rectam; at soli1mFA. Quaproptet iis duo circuli sese intus contingant. QSod erat de- , monstrandum.

PROPOS. I 2. THEOR. II. Si duo circuli sese exterius contingant, linea irecta, quae ad centra eorum iungitur, percontactum transibit. Irculi duo DCF, ECG, tang*nt se exterius in C; ,& centrum circuli DCF, sit A , circuli vero E C G, sit B. Dico rectam

extensam per Α , & B, trans re per contactum C. Pro. hatur . Si enim non transie secet circumferentias in D, '& E, ducantur me ex centris

138쪽

A,& B, ad contectum duae rectae lineae AC, BC. Quoniam igitur in tria noulo ACB , duo latera C A , CB, aa maiora sunt latere AB: Est autem recta AC , iectae δε D, aequalis ex eo quod A, ponatur centrum circuli D PF, & recta BC, ob eandem, rationem , aeqlIalis rectae BF; Quare ditae rectae AD, BE , erunt maiores recta AB, aliquae partes maiores toto , quod est absitdum . Si igitur duo circilli sese exterius contingant&ρ. Quod erat demonstrandum .

PROPOS. rs. THEOR. o. Circulus non tangit circulum in pluribus punctis, quam Vno, siue intus, siue extra

tangat.

T Angant sesecirculi AEBF, CEDF, intus si fieri

potest, in pluribus punctis quam uno E , F.

Assiimantur autem centra horum circulorum G , Η, a quae diuersa erunt 3 per quae recta GH, si in utram'. que partem extendatur, ba neceis: eit cadere in contactiis E , & F . Itaque cum G sit centrum , Sc recta ξGH F , diameter, diuidetiir EGI F , bifariam in G. Similiter dilii detur eadem EF , b uariam in Id, quod est ab stirdum . Una enim recta in vi:o dumtaxat puncto Dilariam diuisiitur. H Σ - Oii od

139쪽

Quod si quis dicit , rectam GH, extensam ad partes quidem H , cadere in contactum G s at vero ad partes G , minime per tinere ad contactum C. sed' sesare utrumque circulum cui in secunda figurao Respondeo, & dico hoc re. cte assirmari non posse,eum demonstratio antecedentis Propos sit universalis, & utrique contactui conueniat; unde GH, protracta debet cadere in utrunque contactum, non autem secare ambos circulos .

Rursus tangant se circuli AEFB, CEFD, exterius in pluribus punctis quam in uno . nempe in tota ci eun serεntia intercepta inter E , & F. Iuxta primam Propos. huius libri inueniantur centra Η, G , a3 quibus ad puncta E ,& F. ducantur rectae HE, HF, GE, GF . Iam linea H E G coniungens centra H, G, &transiens per co iniim E, c c γ recta erit 3 qua pariter ratione etiam Η F G, recta erit, quod est impos-fibile, quia duae rectae spatruit . clauderent . .are si duo circuli sese exterius cimtin*ant in uno puncto se tantummodo tangunt . .sderat demon strandum.

140쪽

si eῖrcula aequales re lineae aequaliter distanta centro. Et quae aeqtialiter diuanta centro, laquales sunt inter se, l

SInt in eircnlo ABCD, cuius antrum E, duae rectae AB, CD, aequales. Dico ipsas a centro E, aequa liter distare. Prob, Ducantur ex E, centro ad rectas AB , CD, duae perpendiculares EG, ET, de coniungantur rectae FB, EC. a Secabunt rectae Er, EG, rectas AB, CD, bisariam. Quare climiotae AB, CD, aequales ponam tur, erunt & earum dimidia , videlicet BT, CG, inter se aequa lia. Quoniam initur quadrata EB, & EC, ob laterum zqttalitatem, sunt inter se aequaliaet quadratum antem EB, b est aequale duobus quadratis G, TE; erunt 2 di quadrata G, TE, aequalia quadrato EC ; sed eidem quadrato EC, aequalia iunt duo quadrata es, GEt quare iuxta primum pronuntiatum duo 'dadrata BTIE, erunt aequalia duobus quadratis CG, HE. Ablatia igitur aequalibus quadratia rectarum ualium BT CG , remanebunt quadrata rectarum ξT, EG, aequalia, ideoque & rectae ET,& EG, aequ te erunt. Distant igitur iuxta . defln. huius libra tectae AB, CD, aeqtialiter a centro E. Denuo distent rectae ABGD, aequaliter a centro E. Pico eas inter s. aequales esse. Prob. Ducantur enimitenim ex centro L, ad AB, CD, perpendiculares ET, ξ6, qtiae per .def. huius lib. aequales erunt; diuidentque rectas AII, CD, cd bifariam . Duc is igitur xistis EB, EC, citant earum quadrata aequalia . Est It 3 autem a t. -