장음표시 사용
141쪽
autem quadratum rectae EB, e aeqtiale quadratis rectarum BT,. TE, & quaeratum r'ctae EC, inpule quadratis rectarum CG, GE. Igitur & quadrata rectarum ΒΤ, TE. aequalia stitit quadram rectarum CG, Gl , ideoque ablatis aequalibus quadratis aequastum rectarum ET,ς G, remanebunt quadrata rectarum BT, CG, aequalia, atque adeo rectar RT, CG: ac propterea earum duplae AB, DC, aequales quoque erant. Itaque in circulo aequales rectae line, aequaliter distant a G tro, &e. Quod erat demonstrandum .
PROPOS. Is THEOR. 14. In circulo maxina quidem linea est diametes,
aliarum autem propinquior centro, rem trire semper maior est. . 'IN circulo AETNBD, cuius centrum C, diametersit AB, & tecta ei propinquior DF, tentorior autem TEDico omniuin maximam esse AB & DF , maiorem quam TE . Prob. Ducantur enim e C, centro rectae CH, CI, per perustinua res ad DFI, TE . Et quia fi centro C, remotior est TE quam D F, erit CI, maior quam Cis, per η. def. huius lib. Abscindatur ex CI, recta CL, aequa Iis rectae CH, atque per L, ducatur NG, perpendicuIaris ad CI, connectan-lturque rect8CE, CT, CN, CG. Quoniam igitur per
i pendiculares rectis CH, CL , aequales sunt, aequaliteri distabunt rectae N G, DF, a centro , per η. deis. huius a i l l, & inter se aequ1les erunt. Rursus quia re
3'pr . t maiores quidem sint recta N G, &i sunt aequales diametro ΑΒ, erit diameter AB, maior
142쪽
quam NG. Eademque ratione erit ΑΒ, maior omnibus alijs lineis. Deinde quia latera CG, CN, trianguli GCN, aequa Ita sunt lateribus CE, CT, trianguli ECT:&angulus NCG, maior angulo TCE. c erit recta NG,maior rectia TE. Atque adeo DF,quae osten. sa fuit aequalis ipsi NG, maior quoque erit quam TE. In circulo igitur maxima quidem linea est diameter,&c. Quia erat ostendendum .
Que ab extremitate diametri cuiuscum circuli ad angulos rectos ducitur, extra ipsum circulum cadet; & in locum inter spiam rectam lineam,& peripheriam comprehensum altera recta linea non calet ;& semicirculi quidem angulus quouis angulo acuto rectilineo maior est,
reliquus autem minor. IN circulo ABC, cuius centrum D,diameter sit AC, ad quam e A, puncto extremo perpendicularis
ducatur . Dieo h ne lineam per pendicularem ne cessario extra circulum cadere. dirob. Si enim caerunt
143쪽
I sint f per minorea duobus recit is . Non
dε perpendieularis intra circula cadet, neque eandem ob mulam in ipsam ciratimserentiam, sed extra qualis est EF. rursus ex Α, inter AE, rectam. &circumserentiam ΑΒs non posse cadere aIteram rectam. Prob. Cadat enim , si fieri test, recta AG, ad quam ex D, ducatur perpendicularis DΗ, seram circum ntiam in L quae necessirio ad partes anguli acuti M AG, cadet, ex eoroll. a. propoc I . lib. I. Quoniam igitur in triangulo D Α Η , duo anguli DHA , DAH, o minores sint duobus rectis ;&DΗΑ, remis est per constructionem, erit angnius DAΗ, recto minor: id ue retia DA, hac est, recta
illi aequalis DI, cda maior erit quam DΗ, p.rs maior toto, quod est absurdum. Non igitur intercipietur recta inter AE,& cireumferentiam AB, sed quaecumque ex Α, infra AE, duratur , de circulum secabit. Dico denique Angulum semicireuli, contentum diametro AC, re circumferentia AB, maiorem esse omni acuta angulo ree ilineos reliquum vero angulum contino gentiae, qui continetur recta AE, & circumserentia AB,minorem esse omni acuto angulo rectilineo. Prob. Quoniam enim 'flansium est, omnem rectam ex A. ductam, infra perpendicularem AE, cadere intra ei culum, faciet necessirio ea linea cum AC, angialunt rectilineus , acutum minorem angulo semicirculi .ae vero cum ΑΕ. angulum rectilineum acutum maiorem angulo contingentimcum ille sit pars anguli semicim li, hic vero totum quid piam respeetii , anguli eontingentiae . Id quod liquido oonstat ducta recta M. suomodocunque insta AE. Nam eum haec linea Α' intra circulum cadat, ut demonstratum est , erit a gulus rectilineus acutiuCAB, minor angulo semicirisculi contento sub diametro AC, & eircumferentia ABC, cum ille huius sit pars: Angulus vero continis gentiae contentus sub tangente linea AE, & circumserentia ABC, minor angulo rectiIineo acuto B Α E, ea quod ille huius pars fit . Eademqua ratio est de omni.bus
144쪽
bus aliis angulis acutis rectilineis, cum omnes contineantur a diametro AC, vel tangente AE , & rectis ex Α, sub ΑΕ, ductis, quae cranes intra circulum ga-dent, ut ostensum fuit. Angulus igitur semicirculi maior est omni acuto angulo rectilineo, Q eliquus autem angulus contingentiae minor. Quare quae ab extremitate diametri cuiuscunque circuli ad ahulos rectos ducitur, m. Quod erat ostendendum.
Hine manifestum est, rectam a diametri circuli extremitate ad angulos rectos ductam, iνsum circuIum tangere. ostensum enim est ipsim eadere extra circulum . Quare solum in puncto illo diametri extremo eirculum attingit . Qin propter si iubeamur per datum punctum Α, incireumferentia circuli AH, rectam lineam ducere,quae circulum tangat in A, ducemus ex Α, ad centrum C,
mram AC, & ad eam excitabimus perpendicularem l E; quae cirruliun tanget in A,ut demonstratum est. l
i tum circulum tangat. Ex puncto D, ducenda sit linea, qua tangat ci lculum FEC, euius circuli centrum sit B. Duevitur recta DB, serans circumferen- . tiam FC, in Ε, puncto. Deinde centro B, interuallo BD, describatur circulus DT, ex E, educatur E T, perpendicularis ad DB, seeans circulum DT, in T, puncto. Ducta denique recta G, secans circulum FEC, in C, connectatur
145쪽
recta DC: quam dico tangere circulum FEC, inpin Acto C. Prob. Cum enim duo latera BE, G, trianguli EG aequalia sint duobus lateribus BC, BD, trianguinti CBD, utrumque utrique, ut patet per circuli desin. Antillusque Β, diistis lateribus comprehensis sit comisi muniηt fa) Erunt bases ET,CD, nec non etiam anguli BET,BCD, sisper ipsas,aequales. Est autem BET, rectus per constructionem; ovare & BCD, rectis erit. Itaque DC, cum sit perpendicularis ducta ad C, e tremum semidiametri CB , tanget circulum per e rollarium praecedentis propos. A dato ergo puncto D, ducta est DC, recta tangens circulum FEC; in C, quod iaciendum erat.
PROPOS. 18. THEOR. Is 'Si recta quae piam linea circuliim tangat, a cestro autem ad contactum adiungatur rem quaedam linea ; quae adiuncta fuerit, ad ipsam
confiagetatem perpendicularis erit. RE et a linea AB, tangat in puncto B, circulum
EBDT, cuius centrum C, & ex C, ad B, recta ducatur CB. Dico CB, perpen dicularem esse ad AB. Prob. Si enim non est ducatur CA, per pendicularis ad AB, secans circumferentiam in E. Qitoniam igitur in triangulo C AB, ast duo anguli CAB, ABC, sint min res duobus rectis: est autem per constructionem C AB re arigitur C B A, erit minor rebo.
Qua re maior erit recta b CB, quam CΑ:sed recta CB, aequalis est ipsi CE ergo CE, erit lar ipsa CΛ, pars quam totum quod est absurduma
146쪽
dum Est igitur CH, perpendicularis ad AB.iniare si circulum tangat recta quaepiam linea,&c. Quod erat demonstrandum. -
Si circulum tetigefi uaepiam linea , a contacta autem recta quaepiam linea ad a gulos rectos ipsi tangenti excitetur : In excitata erit centrum circuli. ΓΑngat recta AB , eircillum ApDT ut in antecedenti figura a in puncto B ; Se ex B , ducatur, perpendicularis ad Λ A. Dico in B T, este centrum circuli. Probatur. Si enim in ipsa BT, non est centrum circuli, erit extra , nenape in G , , quo ad contactum B, ducatur recta GB, qtiae a perpendi i cularis erit ad AB. Qitare angulus GBA , erit rectus: lsed etiam angulua C B A , per constriictionem est re- ictus: igitur duo anguli GBA , & CBA, inter se aequa- lles etsint pars , & totum e quod est absirdum. Non lioitur extra BT, centrum circilli existet. Quare si atr-culum tetigerit recta quaepiam linea &c. Quod erat demonstrandum .
In circulo angulus ad centrum duplex est amisguli ad periseriam, cum fuerit cadem peribi. stria basis angulorum. l
IN circulo ADBE , cuius centrum C, super basin , constituatur angulus ΛC3, ad ceutrum : &super
147쪽
stiper eandem basin angulus ADB, ad periferiam. Di,
eo angulum ACB , ad centrum duplum esse anguli ADB, ad periferiam . Probatur. Includant enim primum duae DA, DB, duas CA, CB, & per centrum C, recta extendatur DE. Quoniam instur duae rectae DA, DB,sunt inter se aequa Ies, a)eru ni anguli CDA, C AD , inter se aequales : Est autem externus a nauli ACE, cb aequalis duobus internis,&oppositis CDA, CAD : Quare ACE , duplus erit alterius eorum , veanguli CDA . Eodem modo duplus ostendetur angulas BCE , anetuli CD B. Quapropter totiis angulux ACB, duplus erit totius an 2 uli ADB. Quando enim duae magnitudines duarum sunt duplae, singulae singularum, est quoque a o regati im ex illis aggregati ex his duplum. Coiunt ergo propositum. Deinde non includant reetae AD. BD, rectas C A. CB, sed DA, per ceatrum extendatur. Quoniam igitur externus angulus ACB, sc) aequalis est duobus L. ternis CBD, CDB: hi autem duo ob aequalitatem laterum CB, CD, dI sunt inter se aequales , erit angulus ACB, alterius eorum duplus nempe anguli ADB; quod suit propositum . Demum recta DA, secet rectam Ct: , de per centrum C , extendatur recta D E. Quoniam igitur angulus ECB, ad centrum, & angulus EDB, ad periseriam , habent eandem basin EB, & recta DE, per centrum extenditur 3 erit angulus ECB, duplus anguli
EDB, ut in secunda parte huius Propos, ostensum st. Simis
148쪽
simili modo erit angulus ECA , duplus anguli EDA, habent enim hi anguli eandem basin E A. Reliquus igitur angulus ACB, dupliis erit reliqui anguli ADB. e Quando enim totum totius est duplum ,& abs tum ablati .est & reliquum reliqui duplum. In circulo igitur angulus ad centrum duplex est &c. Quod
PROPOS. 2I. THEOR. I s. In circulo, qui in eodem segmento sint, a guli; sunt inter se aequales v
IN circolo ABDC, citius centrum E , existant anguli C,& D,in segmento AC . Dico eos eis aequa- .ies. Probatur. In primissit segmentum ΑCDB ,s lmicirculo maius; & ducantur rectae lAE , BE , ad centrum E . Quoniam Iigitur angulus A EB, ad centrum, Ica a duplus est tam anguli ACB, quam A D B, ad periseriam a cum omnes habeant eandem basin Α B ierunt anguli C, D, dimidiator partes anguli E. cb) Quare inter se aequa
les erunt. Eademqtie ratione omnes
Ω - to minori connectantur recta
DE, CE. Quoniam igitur anae gulasDEF,
149쪽
ad centrum, te duplus est anguli DAF, ad periserianir Similiter angulus CEF, anguli C AF, ac proinde ductanguli simul D E F, CEG, duorum anguIorum simul'DAF, CAF, dupli erunt ,h ic est, totius anguli DAC: Sunt autem anguli DEG, GEF , aequales angulo DEFrerum quoque tres anguli DEG GEF, FEC, simul d pli anguli DAC. Eadem ratione erunt iidem tres anguli dupli anguli DBC. d Quare aequales erunt anguli DAC, C. Itaque in circulo,qui in eodem segmento sunt anguli &c. Quod erat ostendendum .
PROPOS. ar. THEOR. 2 . adrilaterorum in circulis de riptoriam amguli, qui ex aduerso , duobus rectis sunt
IN eirculo ABCD, euius eentrum E , inscripti,ni se quadrilaterum ABCD. Dico duos angulos oppo sitos ABC , ADC; item BAD, ra BCD, aequales esse duobus re-- . Prodatur . Ductis enim V diametris duabus AC , BD, a erunt duo anguli ABD, Αι D,
A J-i D in eodem seemento ABCD,
aequales. Quare duo anguli ABD , CBD , hoc est totius amgulus ABc , aequalis est duobus angulis ACD, CAD , nam duo anguli CBD , CAD, i eum sint in eodem segmento per a I. huius sunt interi se aequales. Addito igitur communi angulo CD A, erant duo anguli ABC, CDΑ, aequales tribus angulis DCA, CAD,& ADC. b) Sςdisti tres aequales iant duobus rectis. Igitur duo ABC, ADC, duobus
rectis aequales erunt. . 'Eodem modo ostendemus, amgulos I BAD, esse duobus rectis aequales. Nam '- rursus
150쪽
rursus duo aliouli ABD, ACD, 0 sint aequales: I emicduo BCA BDA; ac propterea totus a novius BCD, 'duobus angulis ABD,BD Α, aequalis erit. Addito ieitur communi angulo B Α D; eriint duo a neuti BCD, D, aequales tribus angulis ABD, BDA, DAB. da 4 Sed hi tres sunt aequales duobus rectis; Igitur & duo BCD, BAD, duobus rectis aequales erunt. Quadrilaterorum igitur in circulis descriptorum , &c. inoderat demonstrandunt. ε
Super eadem recta linea duo circulorum segmenta similia, & inaequalia non constituentur ad easdem partes.
SI enim fieri potest super rei ha ΑΒ reonstituantur
ad easdem partes duci segmenta similia, & inae qualia ACB, ADB. Perspicuum est autem,quod se so i- - iarum intersecant in punctis A, & B: Ω Circulu, enimi ocirculum non secat in pluribus quam duobus punctis. Unde peripheria unius segmenti tota erit extra peripheriam alterius. Ducatur igitur recta AD, secans circumferentias in C, & D. conne A II ctanturque rectae CB, DB. Quo niam igitur segmenta ponit murri' . . ssimilia, erit per Io. Desin. huius lib. angulus ACB, 'aequalis angulo A DB, externus interno , b quod eii labsurdum . Non igitur segmenta sunt similia . iniare super eadem recta linea, &s. Quod erat ostenden- l. dendam. I