Sex priora Euclidis geometrica elementa, denuò clarioribus auctorum demonstrationibus, ... eddita ,H.R. ..

151쪽

PROPOS. 2 . THEOR. 22. super squalibus reetis lineis, similia circulorum semicitia, sunt inter se aequalia.

SVperrectis lineis aequalibiis AB, DB, constituta fini segmenta similia ACB, DFE. Dico ea inter

les, .congruent inter

se , si altera alterisueerponatur. Dico. igitur & se*mentum A C B , 1egment 1 DFE, congruere. Si enim non congruit canet aut

extra, aut intra, aut partim extra, partim intra. Quod si extra aut intra cadat, eonstituentur super eadem re

cta DE, duo segmenta ACB, DFE, fimilia , di inaequalia, quorum unum totum extra athid cadit. Quod est absiuidum. a) Demonstratum enim est contra. rium. Si vero segmentum unum cadat Hrtim intra partim extra, perspicuum est huiusmodi circulorum segmenta sese secare in pluribus punctis quam duobus , nempe in punctis D, E, & G. Quin est absurdum. ba Circuli enim non se secant in pluribus punctis, quam duobus. Congruet igitur segmentum ACB, segmento DFEs atque adeo ipsa inter se aequalia erunt. Quo circa silper liueia, M. Quod erat demon-pRo.

aequalibus rectis strandums

152쪽

PROP. zs. PROBL. 3. culi segmento dato, describere circulum,

i , cuius est segmentum.

SP sumentum cla Ii ABC, quod perficere opo

teat. Subtenda ur recta AC, quae bifariam secetur in puncto, per quod perpendicularis ducatur DB, conneetaturque ΑΒ. ΑπuIus io itiir ABD , vel maior angulo D ΑΒ , vel aeqtialis , vel minor. Sit primum maior quod continget quando segmentum ABC,semicirculo minus eri Tunc enim quia B D, transit peri centrum ex emollario propoc 1.1 huius lib.quod centrum est extra segmentum. cum seg-lmentum ponatur semicirculo minus; erit DA, maior quam DB, cum BD, perficiens diametrum sit 03 -- l a mnitim minima, quae ex puncto D, in circumserentiam

cadunt. Quare angulus DBΑ, bδ maior erit angulo b r 1.ν, DAB fiatque angulus B Α E, 0 aequatis anguloleas. H. DBA, & secet recta AE , rectam BD, primveham in E. tDico E, esse centrum circilli,cuius segmentsi est I 3C. ιProdi Ducta enim recta EC, erunt duo latera AD, lDE, trianguli ADE, aequalia duobus lateribus D, DE, trianguli CDE, de anguli dietis lateribus contenti aequales, nempe recti . Quare bases AE,EC, da laequales erunt. cea Est autem EA, a qualis ipsi te EB , quod anguli ERA, EAB, sint aeqitales per con-l structionem. Igitur tres t meae EA, EC, EB, aequa ples erunt: cs Ac propterea E, centrum erit circuli I ABC, Cum ex E, plures quam duae rectae lineae aequa- lies cadant io circumserentiam .

I sit l

153쪽

Sit deinde an ulus D RA, angulo D A B, aequalise cquod continges quoi do segmentum ABC , emicirculus fuerit. Tune enim erit A diameter ,& D, eentrum amue

adeo DA, DB, aequales: g quare, M anguli DAB, DBA, ii uales erunt ch; erunt igitur rectae DA , DB, aequales. Erata D C autem,& DC, aequalis ipsi DA, nam rina AC, secta sitit bifariam . Quapropter eum tres rectaei DA, DB, DC, -- dant ex D, in circumferentiam; erit per s. huius lib. D, centrum ei reuli ABC. Sit tertio angulus DBΑ, angulo DAB,minor: quod quidem eueniet, si segmentum ABC, semicircitio m i. ius extiterit. Tune enim, quoniam, BD, transit per c uum ex corrol. propos r. huius se. quod quid antra segmentum , etim maius esse ponatur, existit 3 erit c ia DB, omnium , quae ex D, in circumserenotiam cadunt, maxima a maior igitur

erit quam D A ; ideoque angultu DAB, λ maior erit angulo-A. Fiatque angulusBAE, l a aequalis angulo D B Α, &-et recta AE. rectam BD, in Ε, puncto, quod ostendet esse eentrum eo modo, quo id ipsum ostendimus. quando angulus DBA , maior erat angulo DAB, dummodo dueatur recta E C. Circuli igitur segmento dato descripsimi circulum, cuius est is mentum . mod erat iaciendum.

154쪽

In aequalibus circulis, aequales anguli aequalibus periferiis msistunt, sive ad centra, siue ad; periferias co tituti insistant.

N eimilis aequalibus ABC, DEF, quorum centra G, & H , constrini sitit primum ad contra anguli aequales AGe,DHF. Dico periserias AC, D F, quibus in fistunt, esse aequales. Prob. Sumantur enim inperiserijs ABC, DEF, duo puncta

B, & Q ad quae

rectae ducantur AB, CD, np, PE. Rioniam igitur anguli B,&E, aa dimidia sunt aequalium anguloium G & H; erunt ipsi aequales inter se . cbare ex defih. segmenta ABC, DEF. similia erunt. Et quia latera AG, GC, aequalia sunt lateribus DΗ, Η F, propter circulorum aequalitatem ,&anguli , quos conti nent G, & Η, aequales ex hypothesi, si concipbntii rhales ductae a plincto A, ad C, 3e a puncto D, ad F, erunt inter se cb aequales. Cum igitur segmenta si . milia ABC, DEF, fini super lineas aequales, seu bases aequales AC, DF, c) erunt ipsa ister se aequalia. Quare si a circulis aequat bus huitisinodi segmenta aequalia demantur, remanebunt segmenta AC,DF, inter se aeoualia 3 atque adeo periseria AC, peris riae DF, aequalis erit. Quod est propositum. Sint deinde ad periterias conliituti duo anguli aequales B, & E s Dico rursus per iemas AC , DF, super quas insistunt, esse aequaus. Erunt enim,ut prius, I a sugmen

155쪽

segmenta ABC, DEF, Similia . Cum igitur sint si1-ἰ per aequales lineas AC, DF, ecum enim anguli G, H,l aequales sint, sunt enim d dupli angulorum aeqtialium B E, erunt ut prius rectae ductae a puncto A,ade δε. ter. l C, & a piincto D, ad F, aequales e) erunt ipsa inter se aequalia. Si igitur a circulis aequalibus detrahan-l tur. remanebunt, & segmenta AC, DF, aequalia. In aequalibus itaque circulis, &e. Quod fuit demonstrandum .

la aequalibus circulis, anguli ; qui aequalibus periseriis insistunt, sunt inter se aequales, siue ad centra, siue ad periserias constituti insi

stant.

IN eireulis aequalibus ABC, DEF, quorum centra G, H, insistant primum anguli ad centra A G C, DΗF, aequalibus periphe rijs Λ C. D F. Dico angulos

aequales inter se esie. Prob. Si enim non sunt squales sit angulus A GC, minor, Da fiatque angulus AGI, aequalis angulo DΗF. b) Erunt igitur peripheriae AI,DF, aequales. Cum vero periseria AC, aequalis ponatur Perila riae DF; erunt periteriae Ar, AC, inter se aequales, pars, & totum, quod est absurdum. Sunt ergo anguli AGC, D H F, aequales. Insistant deinde eisdem periseriis aequalibus, AC, . DF,

156쪽

DF , anguli B , & E , ad periferias , quos rursus dico Iesse aequales . Prob. Nam anguli B, & E, ad peri- ferias, cc)sunt sub dupli angulorum G, H, ad centrum; sed anguli ad centrum demonstrati sunt aequales 3 initur & anguli B, &Ε, arsuales erunt. Inaequalibus igitur circulis anguli , qui aequalibus peri-ferijs insistiint, &c. Quod erat demonstrandum .

In aequalibus circulis aequales recte lineae aequales periserias auserunt, maiorem quidem maiori ; minorem autem minori.

N circulis aequaIibus AGB, CHD , quorum centra E,& T, fiat rectat aequales AB, CD. Dico malo rem periseriam A G B, aequalem esse - maiori periferiae C ID, & mi norem Α Β , minori CXD. Probatur. Ductis enim rectis ΕΑ, EB,a G, TD 3 erunt latera ΑΕ, ΕΒ, triangu- li ΑΕΒ , aequalia lateribus CT, TD, tr guli OD , ponuntur autem, &.

bases AB, CD, aequales. Igitur ca anguli E , dc T, l a 1 ruaequales erunte ac propterea periseriae ΑIB,CΚDAEu, . bus insistitnt, b a aequales erunt: quae ablatae ex totis i b 26.re aequalibus relinqtient etiam aequales AGB, CED . In laequalibus ergo circulia aequales rectae lin dec. Quod erat demonstrandum .

157쪽

PROPOS. THEOR. x ε. In aequalibus circulis, aequales periserias, aequa

les rectae lineae subterriunt. IN eireulis aequalibi is AGB, CH D, ponantur arasta. les periferiae AGB , C, D ; item ΑΙΗ , CXD. Dum rectas AB, CD, quaera eas subtendunt , esse aequales. Prob. ctu enim lineis, ut prius,l T J erunt latera AE, EB, V j trianguli AEB, aequalia lateribus CT , TD, - trianguli C T D 1 sunt autem & anguli E . T, aequales, quod aequalibiis periseriis AIB, CX D, insistant. Igitur & bases AH , CD , cba aequales erunt. In aequalibus ergo circulis, aequales periserias dec. Quod erat ostendendum .

Proximae antecedentes quatuor Proposetiani in eo, dem cireulo sunt intelligendae , quemadmodum eon. stat ex adductis demonstrationibus, quae locum habere in uno, eodemque εσsul. .

158쪽

SP periseria ABC, bisariam secanda. Dueatur re. subtendens AC, qua bifariam in D , divisa. erigatur perpendicitiaris D B , quae periferiam ABC. bifariam sesibie in B, puncto. Probat. Duetis enim rectis ΑΒ , CD, erunt latera AD, DB, trianguli ADB, aequalia lat ribiis CD,DB, trianguli CDA: sunt autem & anguli deinceps ad D, aequales, nempe recti. Igitur a 3 & bases AB, CD, aequales erunt 3 Ac propterea periseriae AB, CB, cbaerunt aeqirales . Datam ergo periseriam iacuimus &c. boderat iaciendum.

. PROPOS. 33. THEOR. 27. In circulo angulas, qui in se circulo, rectus Iest; qui autem in maiori semento, minor l

xino; qui vero in minore segmento, ma-lior est recto . Et insuper angulus maioris segmenti, recto quidem maior est ; Gu ris autem flamenti angulus , minor est re Careuli enim MDE, euius centrum V diameteriit AEE , constitaiaturque in semicirculo angulus i

159쪽

a s. N.

lADE , existetque angultis AED in maiori segmen.

eo AED . Constituatur quomque in minori segmeto ABD, angulus ΑΒ D. Dico angulum ADE, in semicircillo reinctum esse s angulum vero ΑED , in maiore segmerito, minorem rector & angulum A B D, in minori segmento,

esse maiorem recto. Item angulum maioris segmenti co- prehensiim recta AD, & pe I riseria AED, esse recto maiorem. Et angulum mi- noris segmenti comprehensium recta A D , & periseria ABD , esse recto minorem. Probatur. Ducatur enim recta DT, ad centrum, & extendatur recta ED, in C. Quoniam igitur rectae TE, TD, aequales sunt, a) erit angulus TED, angulo T DE , aequalis. Eadem ratione erit angulus TDA,aequalis angulo T AD; ideoque totus angulus ADE , duobus angulis TAD, TED, aequalis erit. cb Est autem & angulus ADC, externus eisdem duobus internis angulis DEA, DAE, in triangulo DEA, aequalis. Quare aequales erunt in ter se anguli ADE , ADC et ac propterea uterque reactus . Rectus igitur eit angulus ADE , quod est propositum . Quoniam vero in triangulo ADEAuo angilli DEA, E D A , se sunt duobus rectis minores ; & angulus EDA, ostensus est rectus; erit angulus D EA, in maviori segmento, recto minor e quod est secundum. Rursus, quia in quadri latero ABDE, intra circulum descripto. N duo anguli oppositi ABD, DEA,

sunt duobus rectis aequales; & angulus DEA, osten sus est recto minor : Erit ABD , angulus in segmento minori, recto maior; quod est tertium. Amplius cum angulus rectus ADE, pars sit anguli segmenti maioris AED, qui sane comprehenditur re

160쪽

laris, recto maior, quod est quartiina. Demum , cum angulus segmenti minoris, nimirum comprehensus recta AD , & periferia DBA , sit quoque pars anguli recti A D C. Erit angulus segmenti minoris recto minor : quod est quintum . In circulo igitur angulus, qui in semicirculo, rectus est&c. d erat ostendendum .

. Ex hae Propos.fit manifestum,quod angulus trianguli reliquis duobus existens aequalis , rebus est, eo quod producto latere externus, qui fit, illi contiguus

mdem sit aequalis, lac. proinde illi duo sine inter se reuales,proptereaque recti . ,

PROPOS. 31. THEOR. 28. si circulum tetigerit aliqua recta linea, a con tactu autem producatur quaedam alia recta linea circulum secans 3 anguli, quos ad con- tingentem facit, aequales sunt iis, qui in alternis circuli segmentis consistunt, angulis. T Angat recta AB, circulum DEFC, in ptincto C,

a quo ducatur recta aliqua,nempe CE, secans, seu diuidens circulum in duo se . menta ,in quibus fiant anguli C FE. CDE. Dico angulum ACMaequa- . lem esse angulo C F E , in alterno

- alterno segmento. Probat. Tram

O B seat enim primum linea secans circulum per centrum, & sit CD. caa Erit igitur uterque angulus in seiti irculρ rectus, ve