장음표시 사용
161쪽
t est angulus CED s sed etiam anguli duo ΑCD, BCD. qui sunt a tangente AB, & a linea CD , per centrum transietinte, ουὶ sunt res,t. Igitur anguli a tangente ΑΒ, & mrante C D , facti sunt aequales angulis, qui
in alternis segmentis constituuntur. vlterius non trans rat recta secans circulum perce
triim , & si verbi g satia CE, connectaturque recta EF , FC. cca Cum enim CD , perpendicularis fit ad AB, erit angulus B C D , rectus nec non etiam anguis lus CED, in semicirculo cd rectus erit; unde aequales erunt anguli BCD , CED ; sed anguliis CED ; in triangulo CED, rectiis est; quare reliqui duo anguisti EDC, DCE, uni recto aequales erunt, &per Comsequens aequales angulo retio BCD. Dempto ergo communi angulo DCE, renis ebit angulus EC 'aequalis angulo EDC, in alterno tegmento constituto. Quoniam veru in Uradii later' CFED, duo anguli opis positi CFE, EDC, ea sunt aeqhales duobus rectis: 'isunt autem & duo anguli ACE , BCE, duobiis reliis aequales, si auseramur aequales anguli BCE, EDC, in. Inane,int anguli ACE . CFE, inter se aequales. Si circuIum igitur tetigerit aliqua recta linea , a Gnt Mctii autem &c. Quoa erat 'stendendum .
PROPOS. 33. PROBL. s. super data rem linea describere segmei in
circuli, quod capiat angulum aequalem dato angulo rectilineo. Recta data se ΑΒ, de datus a uius rectiliaeua C. Oportet igitur super AB , sismentum describe re, in qu mulus visum sit Miulis anguis duo C.
162쪽
fuerit rectus data recta AB, diuidatur his a-riam , ipsaque existente diametro superi insa in semicirculus describatur, factumque erit quod proponitur; nam angulus in illo semicirculo, a cum a semper sit rectus, qtialis erit dato recto. l
Deinde si antulus datus fuerit obtiisus, vel acutus, in praesenti figura, ad punctum A, fiat angulus D A B, aequalis angulo C , acuto ; M agatur ad DA, perpendicularis AE, quae certe cadet supra AB; fiat deinde angulo FAB, aequalis angulus FBA, secetqueo svF , rectam AE , in F, puncto. b) Erunt igitur re 'ctae FA, FR , aequales, quare si centro F , & interuaulo FA, describatur circulus ABE, transibit per Α, &B . Dico igitur angulum in segmento AEB, quod d scriptum est si per ΑΒ, esse aequalem angulo C. Pro. batur . Fiat enim in dicto segmento anguli. AE B. Quia igitur AE, transe per centrum F, & ei perpendicularis est D A. tanget recta D Λ , circillum in A, puncto per Coroll. Prop. I 6. huius lib. Quapropter anguIus DAB. hoc est angulus datus C , ca aequalis i qerit angulo E , in alterno segmento A G B . Quoqηomodo pariter procededum erit, si angulus datus obtusus erit . Itaque super data recta linea descripsis s
163쪽
A dato cuculo semeitium abscindere capi
angulum aequalem dato angulo rectilineo. DAtus circillus sit A 3 Ε, a quo auferre oportest
segmentum ; in quo anaulus existens aeqtia Iis - γ' sit dato angulo C.
t b 1 Est eniώ anguliis DAq, aequalis angulo E , iii
alterno segmento AEB . cum ergo angulo dato C, factus sit aequalis angulus D A B , erit quoque angu-jiis' C', jugiit' E , aequalis . A dato ergo circulo
abscidiimis segmentum AEB , &c. Quod faciendum
164쪽
PROPOS. 31. THEOR. 29. Si in circulo duae rectae lineae sese mutuo siecti rint, rectangultim coinprehensium sub scymentis unius, aequale est ei, quod sub se emtis alterius comprehenditur, rectangulo ..t IIN circulo ACBD, secent se mutuo rectae AB, CD,
in Ε, puncto . Dico rectangulum comprehensum sub segmentis AE, EB, aequale esse rectangulo com
prehenso sub segmentis, CE. ED.
Aut enim utraque linea transit perlcentrum, aut una tantum,aut neutra. lTranseat primum utraque perieri trum, 't In prima figura . Quoniam igit in omnia quatuor tegmetua in ter se aequalia suiu , perspici; una est, rectangit tu comprehesumaubc bus unius lineae segmetis aequalee, ei, quod sub duobus alterius I neae segmentis coprehenditii r, rectangulo. l. Deinde transeat ΑΒ, tala per cen ' trtim T; diuidatque primum rectain CD. bifariam in E; Ac propterea ad angulos rectos, conius Tatur.
que recta DT. Quoniam igitur AB iuila est ye aqualia in T, & per inaequalia in E, b erit rectan-i gulum sub AE,& EB, Una cum quadrato rectae TE, aequale quadrato rectae TB , ideoque quadrato iectae TD, cum rectae TB, TD, sint aequales: Est autem ova. dratum recte TD, co aequale quadratis rectatum TE l c 7.Η3. ED, Igitur rectangulum sub AE, EB, una cuni qua-idrato intermediae TE , aequale quoque erit quadratis rectarum TE, ED. uuare ablato e muni quadrato rectae TD remanebit Iectangulum sib AE,EB,aequale
165쪽
quadrato rectae ED hoc est, rectangulo sub , &E, ; cum CE, ED, rectae sint aequales, ae proinde rectanguiuip sub eis comprehensum, sit quadratum. Diuidit iam ABδransiens per centrum rectam CD,
non bisariam Getur ergo CD, bifariam in G, ducan d a. turque rectae FG, FD, d eritque pG , perpendicula- ' 'lei, ad CD. Quoniam vero rectaneulum sub AE , ree s. m. J EA, unaciim quadrato rectae FE, o aequale est qua
idrato rectae FB, hoc est quadrato rectae FD: est autem quadratum rectae FE, aequale cf quadratis rectai tum FG, GE, & quadratum rectae FD , aequale quadratis rectaruna FG, GD; erit quoque rectant ulum sub AE, EB, una eum quadratis FG, GE , aequale quadratis rectarum FG, GD. Dempto communi quadrato rectae FG, remanebit rectangulum sub AE,& EB, una cum quadrato rectae GE, aequale quadrato rectae GD. Atqui etiam rectangulum sub CE , &l ED, una cum quadrato rectae GE; cρὶ aequa e est ei dem quadrato rectae GD: propterea quod recta CD, secta sit bifariam in G,& non bifariam in E. Igitur rectangulum sub AE, & EB, una cum quadrato rectae G E, aequale est rectangulo sub CG, GD , una cum quadrato eiusdem rectae GE. Quare ablato communi quadrato rectae GE, remanebit recta nil ultim sub
AE, EB, aequale re tangulo sub CE, ED. Quod est propositum.
Tertio , demum neutra per cen trum transeat, sue una illarum bifariam diuidatur, siue neutra . Ducatur per centrum, & punctum is
etionis E, recta GH; Quoniam itaque ostensum est , rectangulum sub AE, EA, aequale eue rectangulo sub GE,&EH, silet ΑΗ, diuidatur bifariam, siue non: Item rectangu i luna sub DE, &EC, aequale quoque esse eidem re I ctan-
166쪽
sub GE, &EΗ, siue DC, secta sit bifariapi,
suae non: erit rectangulum sib AE, & ER , aequale rectangulo siib DE & EC, quod est propositam. Si in eirculo igitur duae rectae lineae sese mutuo secent. δα. Quod demonstrandum erat.
Si extra circulum sematur punctum aliquoriabeoque in circulum cadant duae res linea quarum altera quidem circulum secet, altera vero tangat: God sub tota secante AE ext rius inter punctum, & conueram peripheriam /ssumpta comprehentitur rectangulum, aequale erit ei, quod a tangente describitur, quadrato. Extra circulum ABC, suma.
tur aliquod punctum,nempe, D, a quo linea ducatur DA, secans circulum in C. a & linea BD, tangens eirculum in B. D co rectano ulum sub D Α,&DC, aequale esse quadrato retiae DB. Prob. Transtat en ur primum recta D A. per centrum E, tutio aturque recta EB, quae cb perpendicularis erit ad DB.Quoniam igitur CA, diuisa est persequa Ita in E, & ei addita in rectum,& continuum alia quaedam CD, c) erit rectangulum sub D A, DC, una cum quadrato rectat m, hoc est cum quadrato rectae EB, aequale quadrato re b 18.serae
167쪽
te quadratis rectarum DB, BE . Quare rectanguIum sub A D, D C, una clim quadrato E B, aequale erit duobus quadratis sua DB, BE. Ablato igitur communi quadrato rectae EB, remanebit restangillum iubDA, DC, aequale quadrat , rectae DB. Quod fuit
propositum. Denuo non transeat DA, secans per cent 'um E.
Diuisa ergo Α C , bifariam in P, ducantur rectae EB, IR Dri:EC , ED , EF, ceJ eritque EB , ad DB . perpendicu-3. νεν. llaris; fa&EF, ad AC. Quoniam igitur CA diuisa se.test per aequalia in F, & ei addita recta CD , c λ atrie rectangiillim sub DA, DC, una cum quadrato remel CF, κ*iale quadrato rectae DF. Addito igitur comis muni quadrato rectae FE , erit rectangulum sub DA,I DC , una eum quadratis rectarum CF , FE, aequale quadratis rectarsi DF, FE: sed Quadratis rectarum CP. k 4ν quadratum rectae, EC, ideoque &. qnadratum rectae EB: Et quadratis re starum DF,FE,h ora. aequale h est quadratum rectae ED . Quare rerianis gulum sub DA, DC, una cum quadrato rectae EB,
- . aequale erit quadrato rectae DE. Cum igitur quadratum rectae DE, ia aequale sit quadratis restarum DB, BE, erit&rectangulum sub DA, DC, una cum quadrato rectae EB, aequale quadratis rectarum DB, BE. Ablato ergo communi quadrato rectae BE, remanebit rectangulum sub DA, DC, quadrato rectae DB, aequate: qtura est propositum. Si igitur extra circu- tum summatiir punctum aliquod, &e. Quod erat de- Imonstrandunt .
168쪽
PROPOS. 37, THEOR. 3I. Si extra circulum sumatur punctam aliquod, ableoque puncto in circulam cadant duae rectae j
lineae, quarum altera circulum secet, altera incleum inci lat; Sit autem, quod sub tota se- cante, u exterius inter punctuna, &ῖconue- Τxam periferiam asumpta, comprehenditur rectangulum, aequale ei, quod ab incidente describitur quadrato: incidens ipsa circulumi
Extra cireulum ABF i eulus centrum E, punctum sumatur D ,3 quo ducatur resta D A irculum secans in C, εerecta DB, incidens iri. circulum ad L. punctium B : sitqtie rectangulum l. sub D' Α , D C , ηqtiale quadrato irectae DR, Dico D Bia circulum' tano ere in B. s a / Dyςatur enim DF, tangens circulum, & iiingantiir rectae EB, EF ; .&li DA, non transeat per centrum E., ut est in praesenti figura, iungatar quoque recta ED. Quoniam igitur rectangulo sub DA, DC , b aequile est
quadratum rectae pngentix D Prde eidem rectangvlla sub DA, DC, uale ponitur quadratum rectae DBa erunt quadrata rectarum DF, D B. inter se aequalia, ideoque ει Tectae DF, DB, aeditates in et Te erunt. Itaque quia latera DF, FE , trianguli D F E, aequalia Tunt later, dias DB, BE , trianguli DBE & basis D E , communis , scy erunt anguli DFE , DIE aequales. d) Sed angulus DFE , rectiis est, quod DF, circulum tan-
169쪽
gat . Iginir & angulus DB E, rectus erit. Quapropter per Coroll. Propos. t s. huius lib. - , cireulum tanget 3 quod est propositum. Si ergo extra eircu- quin lamatur punctum aliquod &α duod erat M. monstrandum o
170쪽
FIgura rectilinea in spra rectilinea inscribi
dicitur, cum singuli eius figurae, quae im cribitur , anguli singula latera eius, in qua inscribitur, tangunt. -
IN hoc quarto libro Euclides agit de variis inscrip-i
' tionibus figursiun rectilinearum in circulo factis, di earundem circa circulum descriptionibus. Nec non etiam tractat de inscri-
ptioniblis circuli in figurix rectilineis, &de circuli de scriptioniblis circa easdem figuras rectilineas. inapro Pter paucis definitionibu primo loco exponit quid si bi velit, figuram in figura inscribi, aut circa figuram describi : incipiens a figuris rectilineis, nam si anguli D, E, F, interni trianguli Κ 1 DEF,