장음표시 사용
171쪽
BG, tangant latera AB, BC, C trianguli externa ABC, dicetur triangulusn DEF, in triangulo ABC, esse inscriptum. IL
similiter etiam figura circum Muram destribi dicitur, cum singula eius, quae cis cumscribbi si latera, singulos'eius fimirae angulos ictbgerint , circum quam illa aestribitur.
E contierso triangulum ABC, dicetur describi circa trianguluin DEF, quonam siligula latera illius tam gunt singillos angulos istius.
: singiui eius figurae, quae inscribitur, anguli te tigerint circuli periseriam. . . Vt si anguli A, B, C, trianguli
C, tangant periseriam Circus A BC D, dicetur triangulum in circulo esse inscriptum.
172쪽
plura vero rectilinea circa circulum deseribi dicitur, cuni singula latera eius, quae circumstribitur, cu culi periseriam tangunt.
Vt verbi gratia, 'si latera triangiui ABC, tangant cir- P culum DEF.
Similiter circulus In figura rectilinea inscribi dis E citur, cum circuli peri
seria singula latera tan giteius figurae, cui inscribitur is
j . VI. circulus autem circum figuram d scribi dic, tur, cum circuli periferia sit ilos tangittius figurae, quam circumscribit, angulas. VII. Recta linea in circulo accommodari, seu coaptari dicitur, cum eius extrema in cirςuli re feria fuerint.
173쪽
ationiam enim recta linea ΑΗ, si is extremitatibus Α,& B,tangit periseriam ABC, hinc est quod linea recta AB, circulo aceomodata, seu coaptata dicitur no vero CD.
In dato circulo rectam lineam accomodare. aequalem datae rectar lineae, quae circuli divinetro non sit maior. IN circulo ABC, coaptanda sit recta linea aequalis
rectae linae datatD,quae tamen maior non sit diatre. troeati circuis ABC. Cum enim diameter circuli a sit omnium rectarum in circulo maxima, si data recta diametro maior foret non posset in circulo aptari una illi aequalis. Duco tur ergo diameter λ C. Itaque
si data recta D, aequalis fuerie diametro aptata erit AEC, illi aequalis 3 si vero D, minor fuerit diametro , b bscindatur ΛΕ, aequalis ipsi D,& centro A, interuallo, AE, deseribatur circulus BE, secans circuhiui ABC, in B, puncta. Ducta igitur recta a plincto Α, ad puncium B, erit ea aptata in circulo ABC, aequalis datae rectae D. Prob. Est enim AB, c) aequalis ipsi AE; sed D, etiam ipsi per constructio nem aequalis est ipsi AE: quare AB,& D, inter se quo
174쪽
In dato circulo triangulum describere dato triangulo aequiangulum.
N eireulo ABC, sit descistendum triangulum aequiangulum triangulo dato DEFι ducatur recta , Η, tangens circultimin Α , fiatque angulus GAB, angulo F , aequalis, & angulus HAC,an- eulo E. pariter aequalis. fiat, extendanturq; rinae F ARAC. ad circumseremtiam usque in puncta B, & C. coniungaturque recta BC. Non cadet Ptem recta AC , in rectam AB, vel inter rectas AB , ΑΗ, ex eo quia, anguli GAB, HAC , hoe est anguli F , E , aa minores sine duobus, rectis; essent inem duobus rectis aequales per a 3.primi , si AC, in M, eaderet, vel maiores duobus rectiss inter AB, & AG, caderet. Dim triangulum ABC, circitis dato inserimum, esse aequianguIum dato trNn Eulo DEF. Prisbat. Est enim angulus C, b aequa' is angu si ABri R eidem angulo G AB, per constructionem aeqtialis est ρngillus F a quare anguli C ,& F, inter se aequales erunt. Similiter quia angulus B, capiquat is est anght. ΗΑC; & eidem angulo HAC, per eonstructionε angulus E, aequalis QSiareeriint etia amguli B, &a inter se quales. Cum igitur duo anguli. f. M C , erit uti ABC, aequales sint duobus an illis E, de F , in triangulo DEF d) erunt quoque resquianguli Α, & D , Huales. AEquiangulum est ergo X lxian-h st. era
175쪽
triane saltim ABC, trian rulo DE P. Quare in dato cir. culo triangulum descripstinus &c. Quod faciendumi erat.
PROPOS. PROBL. s. iirca datiroi circulum triangulum describore dato triangulo aequialaga
CIrca datum circulum ABC, describendum sit
triangillum aequiane ultim dato trianIgulo DEF. Producto latere EF, utrinque ad G, de H , urinptoque
euli, nemuper, luca. tur recta utcunque
AIR squalis ansulo DEG , & angulus B IC , angulo D F Η. Deinde expunctis A, B, & C , educantur ad AI, luel, CI, per
pendiculares NI, IM, MN, quae cireulum tangent in punctis A, B, C, per Coroll. Prop. 36. lib. g. coibun que in punctis N, L M. Si enim duceretur recta AC, netent duo anguli NAC , NCA, duobus rectis minores , ac proinde A N , C N , coibunt &c. Nam rectaliaec AC, caderet supra rest ax AI IC , quia hae angula constituunt in I. enim spar u eirca I. aequale sit qria
tuor rectis ex Cor. 1. Prop. et q. l. t . hoc est qllatuor angu
lis factis a duabus rediis DE,DF,supra tectam GH, μ
176쪽
dentibus, sintque duo anguli AIB, BIC duobus an- lgulis DEG. . D p Η, aequales , erita eliquum spatium lAIC , reliquis duobus angulis DE F , DFE , a qualis; L sed hi , sa) minores sunt duo iis rectis; igitur & spatiuna AIC, minus erit duobus rect is, ac proinde angulus erit AIC ; alias spatium illud eget vel aequale duobus rectis, si nimirum AI,CI, unam rectam luneam constituerent; vel inaliis duobus rectis , si recta linea AI, producta caderet supra IC ; cadit igitur ne cessario AI', producta infra CI, ac propterea angulus fet AIC, ad partes N; & dueta recta AC, faciet cum fAN , CN , duos angulos minores duobus rectis; ide
que rectae AN , CN , coibunt in puncto N . Qiiod to-ltum dicendum erit de reliquis, quod scilicet coeant in punctis Ll, & I. ino stante descriptum est triangulum N LM, circa et rcillum ABC, quod dico esse aequiangulum dato triangulo DE F . Probatur. Quoniam enim omnes anguli in qliadrilatero RAEL, aequales sint quatuor rectis, ut ad Prop, 32. lib. t. a Clauio de-nions t.& anguli LAI, LBI. sint duo recti psopter per pendiculares IA , IB; erunt reliqui AIR , & t , duo bus rectis aequales. Cum igitur & anguli DEG,DEF. tba sint duobus rectis aequales; si auferantur aequalesane uli AIB , D E G, remanebit angulus L , angulo DEF, aequalis. Pari ritione ostendemus angulum M. aequalem esse angulo DFEs cc I Reliquus igitur angulus N , reliquo angulo D , aequalis erit : atque idcirco triangulum LMN , aequiangulum triangulo dato DEF. Circa datum aso ci culum Quod erat
177쪽
PROPOS. q. PR OB L. q. In dato triangulo circulum inscribere
It describentius circulus iis dato triangulo ABC Dillisis duobus angulis ABC, ACB , bifariam pero '. lib. I. rectis BF , CD, quae intra ii ianguluinc'eant in G , ducanturq; ex G,ad tria latera trianguli perpediculares GD, SE, GF. Quoniam igitur duo anguli GDB,in triangulo GBD, aequales sunt duobus angulis G B E, G E B , in
triangulo GEB, uterque utrique , & latus B G, commune ι a eruiae quoque latera G D , G E, aequalia. Eademque ratione aequalia erami latera G E, se F , in triangulis GEC, GFC. Cum igitur tret rectae G D , G E G F , sint aequales circulus ex G, ad internalium G E, descriptus transibit per reliqua puncta F, & D , per Coroli. Propos. I lib.,ex eo quod latera perpendicularia sint ad semidiametros G D , G E . G F. In dato ergo trian. gulo circulum descripsimus &c. Qu*d erat effeten, dum a
178쪽
circa datum triangulusia 'circulum destri-
. t bere, SP circulus describendus circa datum triangulum ABC . Dividantur in primis duo latera AB, AC, c quae in triangulo rectangulo, A 'obtusingulo sumenda sunt
Deilitatis gratia eirca rectuma a. vel obtusum angulum , quamuis hoc non se omnino necessarium,
R B eum quaeuis duo latera bifariam possint secari a bifariam in E , &
. U ' F , punctis . ea quihnis educan v tur E D , F D, sserpendicularesa, quae coeant ini puncto D, squod enim co ant pC patet, quia si ducta essct re
EF, fierent anstuli EFD, FED, i
duivis rectiν minores a eritq- ρ. D. vel intra triangulum, vel in latere BC, vel extra triangulum.I
bases DB, Dα inter se aeqgales. γΕodemque modo erunt DC, DA,aequales. Cum ergo tres rectae DB, DA, DC, sine aequales , circuIus delcris pluiex D, ad interuallum DA. transibit etia- per iacta B, & C. circa datum ergo triangulum cir- . : .
iam diripsimus . Quod erat faciendum.
179쪽
COROLLARIUM.t Ex hac propos manifestum est, quod si centrumi intra triangulum cadat, omnes aueu Us esse acutos, quoniam omnes cb) sunt in maiori seo mento circuli: fivero sit in latere BC, cI angulum BAC, illi lateri op. positum este rectum , x eo quod hi in semicirculo. Si denique cadat extra triangulum d angultim oppositum BAC, obtusum esse cuin in circuli minori segmento reperiatur. Quod totum valet etiam ccon-udiso .
PROPOS. PROBL. 6. Ita dato cireulo quadratum describere
S It in dato circulo ABCD, cuius centrum Ε, inscribendum quadratum . Ducantur duae diametri AC, BD, secantes se ad angulos rectos in centro F, iunganturque rectae AB, BD, CD, DA. Dico ABCD, Nie quadrῆ tum inlcriptum in dato circulo. Brob. Nam quia latera EA, EB, trianguli AEB, aequalia sunt lateribus pC, ΕΗ, trianguli BEC,cum omnia sint ex centro ad circumserentiam; rursu sitne & anguli con- 'tenti dictis lateribus aequalibus, sunt aequales, nempe recti , a igitur bases AB, BC, erunt aequales . Eadem ratione aequales erunt rectae BC, CD, itemque reetae CD, D A, & rectae DA, AB. Omnia igitur latera quadrilateri ABCD, sunt inter' atqitalia. Sunt autem & anguli b)recti cum omnes in semicirculis existant. a re quadratum erit ABCD, unde quadratum in d to citctilo descripsimus. Quod elat faciendum.
180쪽
Circa datum circulum quadratum describere.
SIt circa datum circulum PDHF, cuius centrum E, describendum quadratum . Ducan ur duae diame-erim, DF, sese secantes in Ε, centro ad an ulos rectosa & per B, D, H, educantur ad diametros lineae perpendiciqares A CAI, IG. G A, coeuntes in punctis A, C, I, G. Quod enim c eant BA, DA, patet ex eo, quod diusta recta BD , faciat cum BA, DA, diros angulos duobus rectis minores , atque ita de reliquis . Dico ACIG, i esse quadratum , circa circulum descriptuiri. Prob. Clin enim anguli BED, ADE, sine recti, erunt ΒΗ, AG, parallelae a similiterque erunt CI, B H, parallelae. cb Quare & AG, CI, inter se parallela: erunt . Eodem modo parallelae erunt ΑC, GI. Quoniam igitur parallelogrammuaa est.ΑBHG, cc erunt latera opposita AG, BII, aeqitalia,& anguli oppositi BAG, BEG, aequales: sed B HG, l
est re eius, igitur & BAG, reditis erit. Quo pariter 'modo ostendemiis,angulos C,I, G, esse rectos; nec non etiam latera AC, CI, IG, GA, aequalia esse diame-Vriu BH, DF; Quare cum diametri sint aeqllales, erunt S qitatuor latera iam dicta inter se aeqitalia: ideoque lΑCI G, quadratum erit, cuius quidem latera circulum itan unt ii ixta coroll. propos. lib. Quapropter circa datum circulum quadratum descripsimus. Quod erat efficiendiura.