장음표시 사용
181쪽
PROPOS. 8. PROBL. g. In dato quadrato circulum describere
S It in dato quadrato ACIG, inscribendus eircii I . Diiii sis lateribuς hilariam in B, F, Η , D, ducan tur rectae BH , D F , sese secantes in puncto E . Quinniam igitur AC , GI, rectar aequales stini, & parallelae, erunt & dimidiae earum ΑΒ, GH , aequales , & parallelae. a Quare etiam A G, parat tela est ipsi ΒΗ,& etiam ς qua lis. Eadem ratione erit C l, pati liel a , & aequalis ipsi ΒΗ:Itemqite rectae AC, GI, pa rallelae erunt, & aequales ipsi
DF. Sunt igitur parallelogramma AE , CE, IE ,&GE ; ideoque rem DE , ΕΗ, EF , EB, aequales eritnei rectis A B, D G , CB, A D : sunt autem hae inter se aequales, cum sint semis, aequalium Α C , A G M. Quare & rectae EB , ED , ΕΗ . EF , inter se aequales
erunt; ac propterea circulus descriptus ex E , ad in
teruallum E B, transibit quoque per puncta D, Η , di F. Qui circulus cum contingat latera AC, CI, I G, GA , per Coroll. Propos r6. lib. I. c b in quod anguli ad B, D, Η, T, sint recti , descriptus erit in quadrato . AI. In dato ergo quadrato circulum descripsema 'Quia efficiendum erat.
182쪽
PROPOS. PROBL. s. Grca datum quadratum circulum descri
bere. SIt describendus circulas circa quadratum A B C D. Ducantur diametri A C. B D , secantes se in E, ptincto E. Quoniam igitur latera Α B, A D , trianguli AE B D, aequ lia sunt, a eriint anguli A B'o A D B, aequalies a est autem angultis BAD, rectus 3 l Quare ABD. ADB , anguli erunt semirecti. Similiter ostendemug, reliquos Om: nes angulas ad A , B , C , D , esse semirectos,& idcirco inter se equales . Cum ergo anguli E A R , E l A, sint aequales,ce erunt rectae EA , Es , aequales. Eademque ratione EA , E D , aequales erunt , sicuti etiam E D , EJEt demum E C, E B . Quare circulus ex E , interuallo EΑ , descriptiis , transibit per reliqua puncta B, C, . Circa datum ergo quadratum circulum descripsimus . Quod erat faciendum .
κ'. Abscoles triangulum constituere, quod habeat utrumque eorum, qui ad basin sunt, angulorum , duplum reliqui . . l
SVmatur quaeuis recta linea A B , quae diuidatur in C, ca taliter ut rectangulum sub AB, BC, aequvile sit quadrato rectae A C. Deinde centio Λ, inter. uallo a II.D.
183쪽
u lio, AB ,eireulus BDE , describatur, in tuto cl0 acisomodetur recta Bin aequalisa ipsi A C , uinoatiirque recta A D. Quoniam enim rectae
i Dico umimqtie angulorum: ABD, ADB, duplum esse re- . liqui anguli. A. P0b. - Ducta or' enim recta CD, ω, describa tbe circa eriangitium AC D l eireulus D C Αε. Quoniam ivitur rectangulum sib AB, BC, aequale est quadratol iectae BD: & recti BΑ,secat circulii , D C Α Ε, id tanget, recta BD, eundem circillum DCAE , in puncto P. Quare angulus BDC, ea aequalis est ingulo A, in alterno segmento CAED. Addito igitur cot piunt angulσCDA , erit totus angulus ADB, aequalis duobus an illis CDA . C Α D s sed duobus angulis EDA. CAD, ia aequalis est etiam angulus exterinniis BCD. Angulus ergo B C D , aequalis erit angulo ADB, hoe est angulo ABD. gJ cum ABD , ADB, anguli sint inter se aequales , ac propterea ch iectael DC. DB; aequales erunti Est autem BD, aequalis posi-lta rectae AC igitur& CD, ipsi C',aequalis erit; i ac psopterea anguli CAD,CD Α, aequales inter se erun. Angulus igitur ADB, qui aequalis ostensius est duobus angulis CAD, CDA, duplus erit alteriliis eorum, nimirum anguli R. Quare & angulus A B D , 'dupluaeris eiusdem anguli Α.Isbsceles ergo triangulum constituimus habens ,&c. Quod iasiendum suit prolui,
l Quoniam vero in triangulo ABD, tres anguli. rarant totales diibbus rectis, hoc est quinque quintis daόrum rectorum, euidens est, augulum A, esse quim.
184쪽
itin partem duorum rectoriim ; utrumlibet autem B, D , duas quintas partes. Item A. esse duas quintas partes unius recti, & virlimuis B , D , pariter essequatuor quintas partes. Quandoquidem Omnes tres
b) aequales sunt duobus rectis, hoc est decem quintis unius recti .
It in dato circulo AB, CDE , inscribendum pentagonum aequilaterum , & aequianguluin. ca
Constituatur triangulum Isbseeles FGH, ita- ut uterqlie angulorum
G , & H , duplus sit roliqui F;postmodum vero in circulo b inscri- batur triangu)MACR, triangulo FGH, aequi- angulum a quo posito Vterq; anguloru ACD, CD A , c) bifariam diuidatur rectis CE, DB, ii tragan-ttirqtie rectae ΑΒ. BC, CD, DE , EA. Dico pentagonum ABCDE, in dato circulo inscriptuna,esse aequi- laterum , & aequiangulum . Probatur. Cum enim uterque angulorum A C D , ADC, d plus sit anguli CAD, & bifariam diuisis; erunt quinq; nguli BDC, DCE, ECA,&CAD, aequales. d) Quare arcus AB, PC, CD, DE , E A, se per quos ascenderunt, atque idcirco ce rectae etiam AB, BC, CD, DE,EA, aequales erunt. AEqtii laterum est igitur pentagonum ABCDE. Rursus quia arcus AB, ED , aequales sint saddito communi BCD, fient aequales ABCD, EDCB.
185쪽
tes, aequales erunt. Eodem niddis 2quales enine milibet horum anguloitim reliqui anguli. Insistunt enim aequalibus arcubus , quorum singilli externis arcubus aequalibiis componunttir. AEquiangulum est ergo peti,tagonum ABColl. Quare cum etiam aeqtii laterum fuerit ostensum , inscriptum erit dato circulo penta. gonum aequi laterum, & aequiangulum : Quod erat effetendum .
Min. sequitur angulum pentagoni 2qiiilateri , &aequianguli completii tres quintaspartes duorum rectorum vel sex quihias unius recti. a Ienim tres anguli BAC, CAD, DAE, aequales sint, utpote qui aequalibus arcubus insistant, sit autem C A D, per Coroll. praecedentis Propos quinta pars duorum rectorum , vel duae quintae unius recti . Erit totus B A E, tres quintae duorum rectorum ; vel sexuuintae unius recti .
datum circulum, pentagonum aequilaterum, & 2quiangulum describere.
It circa datum circillam BD FHL , describendum pentagonum atqui laterum , de aequialiginum. caa Inscribatur in dato circulo pentagonum Φqtii laterum, & aequi angulum , cuius anouli sint in
punctis B, D, F, Η , L . Deinde excentro M, ad puncta B, D, RH, L, ducantur rectae MB , MD, MF, M H , ML, qtiamuis in nostra fietura ad puncta B,& L,non snt ducta ) ad quas postea ducatis tur perpendiculares ΑC , CE, EGO
186쪽
enim recta ibs, erunt duo anguli s DF, EFD,du bus rectis minores, eum fini partes rectbrum an rum 'EDM,EFM ; eoibunt igitur iuxta I 3. pron.rectae
DE , FE , ad partes E sicque de aliis. Et quia ipsistatistant circulium per Coroll. propos. Is Aib. 3. erit descriptuni pentagonum ACEGI , cirra datum cireulam 1 quod dico esse aequ i laterum, & atqtriangulum. Probat. Ductis enim rectis ME, MG , erunt quadrato rectae ME. b equalia tam quadrata rictarum MD, DE , quam rectarum MF , FE. Quare quadrata r ctarunt MD, DE, aequalia erunt quadratis rectarum MF, FE : demptis ititur aequalibus quadratis rectarum aequalium MD, MF. remanebunt ii adrata rectarum DE, EF, aequalias ideoque etiam rectae DE, EF, aequales erunt. Quoniam ereo latera DΜ, ME , trianguli
DΜΕ, aequalia sum lateribus M,ME,ertinaxuli F- fest utem & basis DE, aequalis hasi EF, ut ostensim est ;fc erit angulus D ME, angulo EΜyy ualis. Igitur & anguli cd DEM , FEM. Duplus fgitur est
angulus DMF anguli F ME. Eodem modo ostendefinis angulum *- , duplari ethahguli orum inre non etiam de reliquis. Qimi agitur anguli DMF, F ΜΗ, e/ sint aequales, ex eo quod insistant aequali hus circumferelatiis i D F, FH , cum ipsae; are this aequalibus DF , FH , auserantur: erunt re dini ij eorum GPFMG, aequales. Quocirca cum vim anguli EMF., EF M trianguli EM F, aequales sint duc inis angulis G MF, GFM, trianguli GMF,& latus inis adiacens Μ F , commune a c g erunt & latera F G, aequalia, & anguli MEF, MGF, aequ*les,
esterilip recta EG, ipsius rectae EF. Eadema mimiae ostendemus E C , rectam duplam esse rectae Sunt autem ostensae aequales DE , EF ι istitur &eatri duplae EC , EG, aequales erunt. Similiter demonstrabimus, rectas GI, IA, AC , aequales esse cili- libet rectatum CE , EG. AEqiii laterum ergo est pen--mun ΛREGI. Rursus quoniam ostensum est,
187쪽
angulos TEM, FUM , aequales esse , ac semisses anm. lorum DEF, FGH ; erunt & eorum dupli DEF,FGH, aequales. Eademque ratione anguli HIL,LAB, BCD; euilibet angulorum DEF. F G H , aequales erunt. AEquiangulum igitur est pentagonum ACEGI. Uapropter cum & aequilaterum sit ostensium, descriptum erit circa datum circulum, pentagonum aeqlli laterum , & aequiangulum. Quod erat efficiendum.
Ex hae demonstratione Mutturi quod si in circulo
qtiaecunque figura aequi latera ,&aequiangula describatur,& ad extrema seniidiametrorum ex centro ad angulos ductarum cxcitentur lineae perpendiculares, constituere aliam figuram totidem laterum,Se angulo. rum equalium circulo circumscriptant, ut patet.
PROPOS. II. PROBL. II. In dato pent no aequitatem, & aequiangialo circulum inscribere.
T Nscribendiis sit circulus ACEGI. Dividantur duo CAI, ACE, proximi ca) bifariam rectis AD, Co, quae coeant in O, puncto,quod dico esse intra pentagonum a nam si a plincto O, connectantur rectae OE , OG,
o, ad angulos pentagoni AC EGI, ductas esse aequales. Quoniam enim latera AC, Co, trianguli ACO, aequalia sunt lateribus EC, Co, trianguli ECo ι sunt autem de anguli ACO, ECO, dictis lateribus contenti aequales per
188쪽
per construistionem; ib) erunt &bases AO, Eo,&anguli C. AP, C E O, inter se aequales. Qini igitur anguli CAI, CEG, ponantur aequales, &CAo, dimidium ponatur aratili CAI, per constructionem erit &oeo; dimidium anguli CEG. Diuisius est ergo angu- Ilus CEG bifariam. Simili modo ostendemus, reli- uos duos angulos EGI, GIA, pariter esse bifariam diuises. mo stante cum duo latera AC,m,in triangulo ACO, aequalia sine cliiobus lateribus E Co, in triangulo EC' & anguli ACO, ECO, dictis lateribus aequalibus compraehensi, sint aequales per constructionem, ea erit basis Ao; basi Eo, aequalis:ie 4. quoquo modo etiam demonDabitur Co, CA, G EO, Io, inter se aequales esse: quapropter punctumo, erit intra pentagonum ACEGI. Durantur iam exo, ad singula pentagoni latera perpendiculares OB, o D, OF, Ο Η, OL. Quoniam igitur duo anguli BΛo, A D, in triangulo ABo, aequales sunt dum has angulis LAO, ALO, in triangulo ALO; estque latus Ao, subtensum uni aequalium ahgulorum, inmune; U) erunt & rectae Bo, LO. aequales. Simili- terque ostendentur reliquae perpendiculares DO,FO, l .HO, aequales cuilibet istarum. Cireulus ieitur de- .r ' ascriptus ex centro o, & interuato OL, transibit quoque per puncta Η, F,D.B; quoniam vero latera lagoni circulum hunc tangunt per coroll. propos. 16. lib. . eo quod angulos rectos faciant cum semidiame. tris Bo, DO; erit circulus BDFHI, in dato pentag
ns inscriptus . in iaciendum grat . i l
189쪽
PROPOS. I . PRO PL. 14 orca datum pentagonum aequilaterum,& aelu angulum circulum dςscribere . SIt circa pentagonum ABCDE, aequi laterum , &aequiangulum circulus describendus. Diuisis duo, hiis angulis BAE, ABC , bifariam rectis A G, BG, quae coeant in puncto G, intra pentagonum , ut in antecedente propos demonstratum est; de conlatinis rectis GC, GD, GE, ostendemus, ut in praecedenti propos etiam reliquos angulos BCD, CDE, DEA, sectos qObifariam . Eiunt ergo omnes an uti dimidii inter se aequa. Ira, ex eo quod toti anguli aequales ponantur. Quo niam igitur in triangulo AGH , duo anguli BAG, ABG, aequales sunt scaa erunt rectar AG, BG, inter se aequales. Eademque ratione erunt reliquae, GE, GD, GC, cuilibet istarum aequales. Quare circulus 4 scriptita ex centro G, interuallo GA, transibit quoque per puncta Bis C, D,E. Circa datum ergo pentangonum, dic. Quod iaciendum erat.
PRPPO S. rs. PROBE Is.la dato circulo hexagonum aequilaterum , &aequianguluna inscribere.
SIe in dato circulo ABCDEF, cuius centrum G, in. scribendum hexagonum aequi laterum ,& aequiangulum . Ducta diametro A D, ex centro D, inter
190쪽
uallo D s. descrit 'atur circulus, qui seret circulum da um in ptinctis C, R E, e quibus per centrum G, extendantur rectae CF, EB. Si imitur connectantur rectae AB, BC, CD, DE, EF, FA, inscriptum erit in dato circulo hexagonum ABCDEF , quod dico aequi laterum, &aequiangulum esse. Prob. Cum enim recta GC, aequalis si rectae GD, &recta DC , aequalis eidem rectae DG, ex defin. circuli; erunt& rectae GC, DC, aequales imter sie: Idrque triadgulum c DG, erit aequi laterum. Quare tres anguli in ipse ca) erunt aequales inter se qui cum aequales sint dηρbus rectis, cb erit quilibet it lorum, nempe CG D, tertia pars duorum rectorum . Eodem modo erit ad- ulus DGE, tertia pars duorum rectorum . Sunt autem tres anguli CGD, DGE,EGAE, cc aequales duobus rectis. Reliquus ieitur, annulus E G F, erit quo
que tertia pars duorum rectorum. Sunt ergo tres an-huli COD, DGE, EGF, inter se aequales; quibus ciimeti aut c d equales sint ad verticem anguli FG A,AGB, BGC; erunt sexanguli ad centrum G,constituti aequatis . ce Quare circumserentiae, quibus insistunt, f ac propterea rectae AB, BC, CD, DE, EF, F A,aequa-aea erunt. Quapropter aequi laterum est hexagonum ABCDEF. Ruthia, qtita circumferentia BC, aequalis est circumserentiae, si comunis addaim CDEF. erunt circumferent;ae B C D E F, AFEDC, aequales. Anguli igitur ima insistentes BAF, ABC, D aequales erunt. Similiterque ostendemus, reliquos angu
astorum; quia nimirum quilibet insistit a reui compo sto eη quatitor arcubus aequalibus, nimirum ex tot, quot latera ciantinet figura inscripta demptis duobus. Ea qu. fit, angulos omnes aequalibM arcubus insistea s. pri