장음표시 사용
191쪽
re. Quare aeqtriangillum quo ue est hexagomini ABCDEF. In dato ergo circulo hexagonum aequila
terum, & aequiangulum descripsimus. Quod facient dum erat a
Hine manifestum est, He agonUatus aequale este semidiametro circuli: Nam DC, latus hexagoni aequale eit sentidiametro DG, ex defin. circuli.
PROPOS. I 6. PROBL. IIn dato circulo quinti decagonum kauda terum,& aequiangulum describere S It in dato circulo ABC, inscribendum Quintide.
cagonum aequi laterum, & aequiangulum. In data circulo constituatiu
laterum ABC, quod etiam aequiangu Ium erit ex Coroll. Prop.quintae libri b) Eruntque tres arcus AB, BC, CA, aequales. Qualium igitur partium qua lium quindecim est tota circumferentia ABC, talium quin que erit arcus AB, qui ex dictis tertia pars est circumserentiae. ca I ser ibatur rursis in dato circulo pentagonum aequitaterum, Si sequiano ultim ADEFG, applicans unum angulum ad piinctum A: d) eruntque quinque arcus AD, DE,EF,FG, S aequales. Qualium igitur par tium
192쪽
tium aequalium quindecim est tota circumferentia A8C, talium trium erit arcus Α D. quinta pars existens totius circiimferentiae. Itaque cum arcus AB, ωntineat tales partes quinque, & arcus AD, tres; co
tinebit reliquus arcus DB, duas . Diuiis ergo arcum, cda bifariam in m erit arciis ΒΗ, pars decimald 3 rer: uinta totius circumferentiae. Quare ducia recta ΒΗ, iudiendet decimamquintam partem totius circun se- , rentiae; cui si aliae quiniordecim, 0 aequales in circulo accommodentur, in circulo inscriptiim erit quin-;r thletagonum aequi laterum , quod c0 & sequiangu- 'lum est, eum eius anguli subtendant arcus aequales, nempe compositos ex Ia. arcubus aequalibus omnes,
ut perspicuum est. In dato igitur cireulo quintidera-gunum , &c. Quod faciendum erat. Pari modo per ea , quae sipra ad propos. I , I 3,r . huius lib. dicta sint de pentagono , describemus etiam circa datum circulum quintideragonum aeaui- laterum , & aequiangulum . Nec non etiam in datorintide gono aequitatem , & aequiangulo circulumescribemus ι & tandem circa datum quintide g num circulum describemus.
194쪽
malaris, cum minor metit 'maiorem. Evcliues in qu or antecedentibsis libris qMnti
tatem continivim absolviet considerauit: i' nocet. autem libro illam eandem quantitatem ex min/li M' abibliite , sed prout ad aliam refertur, hoc est qua tenus comparata ad aliam cum illa aliquam proportionem habet: nullatenus descendendo ad ullam quantitatis speciem, ut ad lineam, superficiem, vel corpus, sed alummodo in genere quantitatis coiitilina'. Pr portiones e p90 is, Qua 'x institvltim seruet finitiones ad proportionum demonstrationes neceu
In primis inquit agnitudinem illam nun σqus maiorem aliam magnitudinem metitur,Ι'rtemi pyli LuteQ.quonia magnitudo trium cI bitor te ma Pta metitur aliam munividinε iu
195쪽
ma magnitudo minor , dicitur pars secundietiidinis, nempe maioris. E contra vero quia magnis tudo trium cubitorum non metitur magnitudinem deis ἰ cem cubitorum, ideo magnitudo s.cubitorum non diisl citur.pars magnitudinis Io.cubitoriim. Nam ter sumis pia non adaequat, & quater excedit, quod totum re, quiritur,ut una magnitudo dicatur pars alterius. Αduertendunt tamen est, quod pars apud Μathematicos est duplex , nam alia est pars aliquota , alia aliquanta. Pars aliquota dicitur illa, quae metitur istum totum, itaut aliquoties repetita totum sutim constituat , ut est numerus 1. cΗm 6. cum 9. m. col-
Pars vero aliquanta dicitur illa, quae adaequale non metitur suum totum , sed aliquoties sumpta vel ipsum excedit, vel ab eodem deficit , cuiusmodi pars est nu
Si autem quaeratur quaenam ex istis partibus fueruab Euclide definita. Resp. quidquid alij dicant s, lam partem aliquotam per datam Euclidis definiti,nem definiri, tum quia haec solummodo metitur suum totum , tum etiam quia, ut ex lib.ν. constat. Pars al, quanta in numeris ab Authore huius libri non dieitur pars, sed partes . Nam numerus non est pars numeri sed duae partes tertiae , quales sunt duo b, narii.
Multiplex autem est maior mlaoris . cim M.
O Vando enim una mapnitudo ab alia metitur, N
numerus 8 . qui metitur a numero ε, tunc com mensarata magnitudo multiplex dicitur commensii ramis; unde sequitur quod si duae magnitudines mi , nores duas alias matrio aeqiae metuntur , hoc est una miri
196쪽
minor in viis maiore toties contineatur,quoties altera minor in altera maiore ut exemp.gratia I s. reip cta,& s. dicuntur aeque multiplices . ΙΙΙ.
Ratio est duarum magnitudinum eiusdem g
neris mutua quaedam, secundum quam . . . titatem, habitudo. O Vando enim duae quantitates eiusdem generis, ut duo numeri, ditae superficies, duo BIida M. eomparantur toler se secundum rationem quantitatiliam, hoc est quatenus una maior est, vel minor, vel aequalis alteri , lautiismodi comparatio, seu respectust mutuus, appellatur. ratio, seu Proportio. Illa vero luantitas ,1 quae ad aliam refertur , dicitur ab EucliLee, & aliis antecedens proportionis : Ea vero ad quam ratia refertur consequens proportionis. l
Proportio vem, est rationum similitudo. IN hae quarta definitione id, quod proportio oppeb
latiir, illud ipsum a Graecis Analogia & aquamplurimis latinis proportionalitas dicitur. 'Quemadmo- dum enim compalacio duarum quantitatum inter' se dicitur proportio 3 ita comparatio duarum , vel plurium proportionum inter se, proportionalitas solet nuncupari . Quia enim pronortio numeri 12. ad 4 .i eadem est ac s. ad a. hinc eu quod habitudo inter has, Proportiones proportionalitas dicatur. i Aduertendi in tamen est id , quod dicit Clauius in i hoe loco, quamplurimos scilicet Matheuiaticos compa- . -
197쪽
rat Onem duarum quantitatum proportione , habitudinem autem proportionum proportionalitatem apis pellare. Quod sane nos etiam imposterum obserita. bimus. Multae autem prGportionum habitudines, seti proportionalitates a sci iptori biis assignantur, videlicet proportionalitas Arithmetica, Geometrica, atque Mu- sica , seu Armonica ; quamuis Euclides in hoc libro circa Geometricam tantummodo versetur,qtiae duplexi assignantur Continua scilicet, atque Discreta. Continua est , in qua singulat quantitates intermediae bis sumuntur taliter, ut nulla fiat proportionum interruptio , sed quaelibet intermedia quantitas si ,& antece dens, & consequens. Ut si dicatur, quae est proportis A , ad is, eadem est B , ad C , &c. Discreta vero, roportionalitas est illa , in qua singulae quantitates intermedite semel tantum accipiuntur , taliter ut fiat proportionum interruptio, niillaq; quantitas sit animi cedens, & consequens ; ut si dicatur, quae est propor- tio A, ad B, ea est C, ad D, &c.
OVot sitat genera proportionum apud
Mathematicos , & quae 'sint praecipuae proportiotrahi ates compendiose exponere opere pretium duxi, non solum Π ea, quae ab Euclideri s.& 6. libro demonstrantur, rebus materia libus accommodari potiriat, verum etiam ut ea,
Mathematicis, & Philosophis de motuum proportione disputantur, clarius intelligi queant. Proporcio igitur ab Euclide definita diuidiatur
198쪽
ost in proporti6nem Rationalem, & Irrationa lem. Rationalis est illa, quae in numeris potest exhiberi e & hac modo se habet proportio illa; q rae cadit inter lineas, quarum una est 2 o. palim. altera vero est I o. palim; haec enim proportio cosedens inter has duas lineas per numeros ro, & t Kexprimitur. Proportio Irrationalis est illa. quae in numeris non potest exhiberi; cuiusmodi est proportio diametri alicuius quadrati ad latusἰ' eiusdem quadrati: quod totum ab Euclide in
Alii vero aliter explicant huiusmodi propor- fiones, dicentostilicet, proportionem Rationa-4
lem cadere inter quantitates commensurabiles,4 s nempe illas, quae lubent unam communem pa i tern aliquotam, seu quas eadem mensura communis metitu r. Et hoc mogo se habet linea ro. pH. & linea 8. pes. Nam linea q. pal. est pars alii quota tam lineae ro. quam 8. pal. Nec aliter iam meri dis uiatur commensurabiles, nam saltem unitas omnes metitur. E coaera vero Proportio Irrationalis est illa, quae cadit inter duas quantii tates in commensurabiles , nempe illas, quae sititi lana habent communem partem aliquotam, seu, quarum nullam commanem mensuram possu-ὶ irius reperire. Huiusmodi autem se habent hae, duae quantitates, nempe diameter quadrati, delii, latas eiusdem quadrati; licet utraque istarum, quantitatum habeat partes aliquotas, scilicet ebis midiatam, tertiam, quartam, &c. attamen nullai Pars aliquota unius quantitatis potest aliam
199쪽
quantitatem metiri, ut ab Euclide in amissi.id λ ἡionstratum filii; Ex modo dictis colligitur in numeris,sbiam
proportionem Rationalem dieriri, quia saltem vnitas omnes numeros metitur ἱ at vero in quam litate continua non suum proportio Rationalis, i Verum etiam Irrationalis inuenitur. Alii posteal aliter proportionem pamri suem, nempe in pro 1 portionem Aequalitatis, & I qualitatis. Prima di illa, quae cauilinter duas quantitates aequales, ut inter duas lineas, quarum utraque est 1 o, ΣΟ, vel Io palmorum , M. Proportis vero mae qualitatis est illa, quae cadit inter duas quantitates inaequales, vidacet inter duas lineas, quarum una est ros palm altera qλ ω, I bo, &c. Notandum tamen est quod duo proportionum genera vltimo loco assignata .cum. prioribus talem ha at connexionem, ut scilicet omnis prinportio Aequalitatis sit semper Rationalis, non autem e contr/ . Item omni proportis Irrationalis est semper necessario Inaequastatis , at macconuerso, utcoiuideranti patebit. ι Ommissa igitur Aequali s proportion qtuae vinius subdiuidi nequit, nam omnes quantitates aequales eandem semper habent proporri nem aequalitatis; hac in quam omnusta inaliam proportionem Inaequalitatis transeamus, Inaequalitatis proportio subdiuiditur in priἡ Pntionem maioris, & minoris inaequalitati Pro: . ibortio maioris Inaequalitatis est, quando maiori quam cum reconfertur iliamque prin
200쪽
portionem habet numerus 2 O. ad I o. compar tus. E conisa vero proporuo minoris i Inaequali ratis est, quando mesor qllantitas' cum inaiore confertur ut estn merus Load ao. comparatus;
vel quando linea 4. Palm. cum linea ro. palin. sconfertur. Neque enim eadem est proponio Lad I o, ac I o, ad ut clare patet, vel mediocriter in Algebrae regulis versiariS. - Verum in hoc loco dumtaxat sermonem excitamus circa pro retiones maioris, vel minoris inaequalitatis, quatenus selas proportiones Rationales comprehendunt: de reliquis vero proportionibus Irratiotialibus iaro..tita agunt Α
re Rationalis proportio minoris, vel maioris In qualitatis in s. genera distribuitur , vid licet in Multiplicem, Superparticularem, Super partientem, Multiplicem Superparticularem, &Multiplicem Superpartientem, cum hac solum discrimine,quod in proportione minoris BK quam litatis singulis vocabulis praeponitur pHpositio SVB, dicendo sub multiplicem, sub superparti
Ex his quinque , proportionum. generibus alia sunt simplicia, alia composita. Simplicia sunt tria priora, reliqua vero duo composita. 'Quod autem proportio Rationalis nuriris, vel minoris in qualitatis adaequale in quinque assi gnata genera distribuatur posita istorum gene- explicatione ostendemus