장음표시 사용
201쪽
II Roportio multiplex definirur , quod sit hael bitudo maioris quantitatis ad minorem, quando maior minorem taliter aliquoties combnet, ut minor metiatur maiorem. Hanc propor. ionem habet numerus et O. ad 4. siquisem a
i quinquies comprehendit Qum pariter diceml dum venit circa lineam 1 o. pQum ad lineam
Huiusmodi proportio sub se infinita continα
genera; nam si in preportione multiplici maior ruantitas minorem bis tantummodo contineat. icitur proportio Dupla: si vero ter contineat, dicitur tripla, si quater quadrupla, si decies decupla , &c. me posito facili negotio definiuntur species proportionis multiplicis; siquidem proportio tripla nil aliud est quam habitudo maioris quaintitatis ad minorem taliter, ut maior ter minorem complectatur. Pariter proportio Mupla est illa habitudo maioris quantitatis ad minorem, quando maior minorem octies complectitur, ut i 3 numerus 8. ad habet proportioneni Oct fiam, quia octies ipsum 6. continet. Quod tin
tium valet reiam dei reliquis speciebus. Propod Q donis multiplicis.
202쪽
i Esinitur .proponio . superparieularis,l quod sit hibit 1do maioris quantitatis
minorem, quanto maior minorem sis dumtaxat continet, &inseper unaan eius partem aliqu*tam, scilicet dimidiatam, 3. I. &c. Ham Proportionem habiat: merus 3. ad a. Nam numerus 3. semes continet et, & insuper unitaaem,
quae est pars dimidiata ipsius a. Item linea Ia. pedum ad lineam s. pedum propositionem ha d
superparticule em, quia scilicet prior limis ei continet ueriorem, & insuper lineo s. pedum, quae est 3. pars lineae s. pedum. Haec pariter proportio in infinita genti asa, diuiditur. Nam si illa' pars aliquota in matbri quantitate contenta est dimidiata pars tradoxis quanis s constituitur proportio sesquialte si autem est tertia pars, insurgit proportio sesquitertia; si quana,sesquiquarta ; si centesima,sesqui
Centesima, dic. Vnde mediante hoc vocabeso is ciles erunt definitiones omniam proportionum super particularium. Proportio enim sesquio tina est quando maior quantitas minorem semela acludit, & insuper ossi in partem minoris, Rumitatis et squalis est proportio inter s. &inter s. Ao. Siquidem s. semelcbn unitatem, quae est octava I
203쪽
, pars ipsius 8 sicuti etiarn 43. semel continet ol& insuper s. octava pars ipsius qo.
SVperpartiens proportio desintur, quod sit
habitudo maioris quantitatis ad minorem, ἰ quando maior minorem semel dumtaxat conti- net, & insuper aliquot eius partes aliquotta non esticientes unam aliquotam. Huitismodi proportionem habet numerus 8. ad s. Siquidem ni merus 8. semel continet s. & insuper tres viait tes, quarum quaelibet est pars aliquota, nempe quinta huius numeri s. Ιph autem temarius ex ' illis tribus utatatibus compositus, non est pari aliquota ipsius numeri s. Et hic est aduertendum, quod in data definitione dictum fuit, partes illas aliquotas simul sumptas non debere eonstituere unam partem aliquotam, quia sic distinguimus proportiones superparticulares a superpartientibus . Dantur enim quaedam proportiones, quae' primo aspei eiu videntur superpartientes, cum tamen reuerabsint superparticulares: ut patet inter numeros. Io.&8. Quamuis enim Io. semel contineat A l& insuper duas unitates, quarum quaelibet est' octava pars numeri 8 , quia tamen illae unitates simul sumptae constituunt binarium, quod est quarta pars numeri 8, ideo ista pro γrtis non
204쪽
insuperpartiens, sed superparicularis, nempe
mariter huiusi nodi proportio superpartiens habita ratione partium aliquotarum diuiditur in genera infinita: si tari maior quantitas mino- . rem semes comprehendat, Ne duas eius partes es, iquotas modo supra assignato, tunc conser e proportio superbipartiens, si autem maior qua titates minorem mel comprehendat, & hasuperi . tres partes aliquotas, runc conficitur proportio supertripariens, 'ε Vlterius quodcunque ex assignatis generibus, habita ratione denomina nis partium aliquo-ltarunt, adhucdiuiditur in genera infinita. Hinc proportio Sum bipartiens inter duasd quam inaequales, quarum maior se i conm 'nee minorem, & duas eius partes tertias, dicitur . superparti s tertias ; & si illae duae partes fuerint quintae appellabitur superbipatetiens quintas, dcc. - Si autem quaeratur quomodo cognosci possitan unus numerus habeat communem mensuram
citati alio nec . Respondeo bac totum manifiγstari ab Euclide in lib. 7. in quo loco assignato. . regulam iuueniendi communem mensuram n merorum, illosque numeros, qui communem l non habeat praeter vin F ut 84 3. Ο primo. vocati
205쪽
DSfinitur promitio multiplex super ri
cularis, quod sit habitudo maioris quam i utaris ad minorem, quando maior minorem vi, quoties, ut bis ter , via quater, M. continet, Se Praeterea Vnam eius partem aliquorum. Huiusmodi proportio est, quam habet namerus s. ad 4. Continet enim s. bis .i' quo ad istam ditem haec proportio conuenit cum multiplichnempe cum Dupla, & vite ius eo re di unitatem, suae quarta εars numeri &quantum ad hoc ista proportio tanumst cum s particulari. nempe sesquiquarta: qua de re Lec proportio optime multiplex superparticula ris, idest ex mulciplici, & superp-culari resis tans, pes atur. I Diuiditur postea proportio ista his aratisne proportionis multi icis in genes a infinita, eo prorsus molo, quo dictum in de multi io nempe in duplam superparticulatam, triplam sia'. pe particulatent, M. & insuper unam partem' diluoris aliquotam. Denuo quodcbinque ex assignatis generibus. ih infinita genera subdiuiditur, hanita semper ra tione proportionis superparticularis: Nam pro Porti' tripla superpanicularis continet sub is
206쪽
reissam sesquialteram, quando scilicet maior
quantitaS minorem ter contineat, & ulterius dbmidiatam eitis. partem; triplam sesquitertiana, triplam sesquiquartam, &c.
DEmum Proportio multiplex superpartiens definitur, quod sit habitudo maioris
quantitatis ad minorem, quando maior aliquoties minorem complectitur, & insuper aliquot eius partes as quotas non eficientes unam aliquotam. Huiusmodi proportionem habet numerus II. ad 3. Nam II. ter complectitur 3, & insuper duas unitates, quae simul sumptae non constit uni unam partem aliquotam, Vt patςt . .
Diuiditur primo haec proportio habita rati ne proportionis multiplicis in duplam stiperpartientem, triplam superpartientem, quadruplam seperpartient , &c. Quodlibet postea istorum generum,hrita ravatone numeri partium, sub se continet infinita Lenera. Vt V. g. sub tripla protrartione super- Partiente continetur tripla superbipartiens, tripla supertripartiens, tripla superquadripartiens, dic. Demum quaecumque istarum proportionum imita ratione partium aliquotarum, tu generaiadhuc infinita subdiuiditur. Vt v. g. tripla su mereripartiem diuiditur in triplam supertripar Μ tientem
207쪽
tientem qilaletas, in triplam supertriparilanteni . quintaS , , 7. S. &c QIarum proprias desin, tiones aisgnare eo dictis: facile quicumque de-- promere poterit.
OVnui illa, qtiae hactenus dicta sulit de qui,
que proporti una ratiotralium generibus λοῦ circa proportionen maioris inaequalitatis, sunti pariter intelligenda circa quinque proportionum . genera correspondentia proportionibus minoris inare litalitatis, pridinittendo solum praeposition S UB; Nam si in adductis exemplis minores . qIantitates conserantur cum maioribus habet bunt proportiones minoris inaequalitatis. Eo autem prorsus modo, quo se habet Ioo. ad I,
ita I. ad I oo. Hinc est, quod ex dictis prpori Ioo. ag I, est centupla I ita r. ad Ioo. est subis centupla; sicque discurreado de reliquis propor- - tionam macrib s. Haec suntilla genera, in quae proportio Ratio inalis tam maioris, quam minoris inaequalitatis db uiditur.' QIod vero alia non possint assignars probant Authores . & pnaecipue Clauius, in hoc loco; oc haec conis endiose licta sufficiant circa quinque Proportiolaum Rationalium genera, I i Plura
208쪽
proportionalitatis: generδ v do , & ali vin
r Arithmetica p ominialis, Ein qu Moves plures numeri per eand disserentiam pro grediuntur 3 ut sunt isti numeri 6, 7, ἔλ
Geometrica vero proportibnalitas est quapd' tres, vel plures numeri eandem habent propo tionem, quam quidpin Euclides definiuit, quia haec pxo u proportionalitas dicitur, siue Λα- logia. Vt, v. g. isti numeri z, 6, 18, ν &α quilibet autem istorum numerorum ad shumantecedentesia triplam habet 'proportionem, ac propterea huiusmodi numeri cuntur geometriace proportionales. Demum proportionalitas Musica, siue Hadimonica est quando tres numeri ita ordinantur, ut eadem sit proportio maximi ad minimum,
quae diiserendae inter ni orus duos ad disserentia
210쪽
ratacmem intes se habere dicumtur, quae multiplicatae possint sest
inuicem superare. - EVelides in tertia definitione duarum magnitudi-'
num eiiisdem generis habitudinem rationem v cauit, . quam nos eum ala, quamplurimis. proportio nem dicimus: nunc vero idem Author in hac quinta/j definitione exponit quidnam requirant duae quantita-l tes eiusdem generis ad hoc, t inter se proportionem, habere dicantur. Ait ighur, illa, tantumniodoma - gnitudines dici pinortionein inter se habere, quamin utraque multiplicata ita augetur , ut alteram tandem superet; si vero alterutra quantumuis multipli- 1 cata numquam alteram excedat nullam proportionemii inter se habere dicuntur . Hinc diameter , Ee Laruat' quadrati dicuntur habere proportionem, licet irrationalem, quia latus per . . multiplicatum diametrum excedit . E contra .ero oolligitur ex ista definitione non .clum inter lineam finstam , de infinitam, verum etiam si inter angulum contactus, & lingulum rectilineum iri nullam crati proportionem,quia linea finita quomodo cunque multiplinata onquam potest superare lineama infinitam nee mmius .atactus quantumuis multipli-lleatus, tamen semper minor existit quouis angulo rem lineo etiam minimo, Is adlis in. lib.3. acinoastr d