장음표시 사용
211쪽
. - In eadem ratione dicuntur esse magnitudinec prima ad seciandam, & tertia ad quariam, cum Drimae, &tertiet aequae matriplicia, a secundar.& quartae aeque multiplicibus qualistunque sit haec multiplicat utrumque ab utroque vesina deficiunt, vel una aequalia sunt, Uel una ex- tedunt; si ea, quae inter se respondent,sumant
T Nhae definirione Euelidesexponit quasnam eondb1 tionis apud Mathematicos requirant magnitudin- ,
ut eandem dicantur habere proportionem . Quod tum essicit confugiendo ad aearum aeque multiplicis, , ut comprehendat omnes magnitudisum proportion , o tam rationales, quam irrationales. Sint igitur quδ' ituor magnitudines AP prima; B, secunda . C, tertia; i& D . . quarta a sum aliturque primae , & tertiae aeque :multiplicia secundiunquamcunque multiplicationem iE, quidem ipsilis Α, primae; & F , ipsius C, tertiae et lysimo sumantur secundae, & quartae ., ali3 aeque mul tiplicia secundum quamlibet multiplicationem 3 G, quidem ipsius B , secundae; & H , ipsius D, quartae. do posito,si sumpta aeque mulpipliςra, prout Inter se .Qpondent,conserantur, nempe multiplex primae E, , cum multiplici secundae O; &- multiplex tertiae F, . eum multiplici quartae H; deprehefisumque iuptit ser i j eundum quascumque multiplicationes ea taliter inter se stare, ut si E , multiplex primae magnitudinis A, minus suerit, quam G, multiplex secundae magnitu dinis B; etiam F , multiplex tertiae magnitudinis C, minus sit, quam H, multiplex, quartae magnitudinis
D: Aut si E, aequalis fuerit ipsi Ga etiam F aequalesie
212쪽
lasi Hr isit denique, si E, maius fuerit quam G; etiam lF , maius sit quam H: quod totum nil aliud est quam
utrumque ab utroque vel una deficere , vel una aequa. Ita esse, vel una excedere s hocque semper iaccmat nee in vilio genere multiplicium contrarium pbssit reperiri . Quo stante d cetur eadem est proportio primae magnitudinis A , ad secundam B a quae est proportio tertiae C. ad quartam D. Similiter si quatuor quantitates concedanturetandem habere prol resonem, Oncedendum quoque erit, lquaelibet atque multiplicia primae, & tertiae collata cum quibuslibet aeque multiplicibus secundae,& quartae, habere defectus , aequalitatis, aut excessiis eamdem conditionem, cum definitum,& definitio debeant, semper reciprocari. -- Quod totum Vt melius intelligatur, placet unum
exemplum in nu-'meris adducere,ex
quo apparebit defectus, aequalitas; l& excessus in ipsis multiplicibus, ut supra dictum est acceptis.
autem eandem rationem habe, ' tes, proportionales in reum . -
Q I magnitudinum AB, CD, eadmisis proporalii ad B. quae ad D , istae magnatudines pruportio
213쪽
rat aliquando c li Umul iplex tertiae in 'maius esse muli py ς α vel minim , V kl ius mori esse Esse proportionem
Pr Poriis au- in tribus termitis paucissimis V consistit.
α Deopothionem vo*m ipsum In Proportionis ab ipse Euς ς' ut etiam
214쪽
hes terminos, si fuerit pro tarmalita continita, di
quatuor, si fuerit discreta P: v - , δ'
M. Cum vexo im magi itudines suerint .ipas in portionales ue Prima ad tertiam cibabicaram, rationem habere . dicitur eius , quam haSὰ ' ad secundam: At cum quam Maagnitudines proportionales fuerint ; Prima ad quartam re,plicatam rationem habere dicitur . eius , quam habet ad secundam, Et semper deinceps, uno
plius, quamdiu proportio extiterit. 'ΡRo elatiori intelligetia huius definitionis est adueris
tendum , quod si tuerint magnitudines A,B,C,D, E ,&c. continue proportionales , itaui eadem sit proportio A, ad B, quae Β, ad C s&C , ad D , ad E , proportio A , primae magnitiidinis: ad C , tertiam
magnitudinem dicetur duplicata eius proportionis. quam habet A,prima magnitudo ad B, -gnitiidinem lacundam: quoniam inter A, &C , duae proportiones reponuntur , quae aequales sitiat pri)portioni A , ad B, videlicet promitio A , ad Η , & B, ad C , ut propterea proportio A, ad C , intercipiat qtiodammodo proportionem Α, ad A, duplicatam, idest bis ordimisi sita . Insuper obandem rationem proportio primae mignitudinis A, ad quartani D, Krcetiis triplicata eius proportionis, qu- habet A, ad B, &c. - Ἀι Aliqui interpretes exponunt hanc definitionem dicendo , quod in pluribus quantitatibus proportionali- lyus prima ad tertiam habet duplicatam r*tionem eius
quam habet ad secundam : quia illa istius sit dupla;
quod tamen falsissimum est. Quis namqtie affirmabit tu istis numeris continust proportionalibus A s. s.
215쪽
J TI Rπ6rtio multiplex definitur, quod sit livbitudo maioris qtiaillitatis ad minorena, quando maior minorem taliter aliquoties coni,net, ut minor metiatur maiorem. Hanc propor . tionem habet numerus et O. ad 4. siquidein et O.
quinquies comprehendit Quod pariis diceml dum venit circa lineam ro. pedum ad lineam I, ' pedum comparatam, &c. Huiusmodi proportio sub se infinita continet genera ; nam si in proportione multiplici maior
quantitas minorem bis tantummodo contineat. dicitur proportio Dupla: si vero ter contineat,
dicitur tripla, si quater quadrupla, si decies d
Hoc posito facili negotio definiuntur 1pecies proportionis multiplicis; siquidem proportio tripla nil aliud est quam habitudo maioris quam litatis ad minorem taliter, ut maior ter minorem complectatur. Parin proportio octapla est tibia habitudo maioris quantitatis ad minorem, quando maior minorem octies complectitur, ut β numerus 48. ad 6. habet proportionem Oct iplam, quia octies ipsum 6. continet. Quod to tum valet etiam de reliquis speciebus. Proportionis multiplicis.
216쪽
DEfinitur .pro reio . superparieularis, quod sit habitudo maioris quantitatis ad minorem, ita maior minorem stines
dumtaxat continet,&insuper v n eius partem atri tam, si ilicet dimidiatam, 3. I. &c. Hanc proportionem ha- :numerus 3. ad a. Nam numerus 3. semel continet 1; α insuper unitatem,
quae est pars dimidiata ipsius a. Item linea Ia. pedum ad lineam s. pedum propositionem habet superparticulyem, quia scilicet prior linea semel contina potiriorem, & insuper lineam s. Pedum, quae in pars lineae s. pedum. Haec pariter proportio in infinita genera su diuiditur. Nam si illa pars aliquota in matbri quantitate contenta est dimidiata pars miooris quantitatis, constituitur proportio sesquialtera, si autem jest tertia pars, insurgit proportio sesquitertia; si quarta,sesquiquarta ; si centesima,sesquis Centesima, &c. Vnde mediante hoc vocabnio faciles erunt definitiones onusiam proportionum suPer particularium. Proportio enim sesquio laus est quando maior quantitas minorem semelli inaudit, & insuper odi iam partem minoris Rumitatis: clualis est proportio inter s. & 8risC1B inter s. dc. q. . Siquidem s. semel coni l
217쪽
pars ipsius 8 sicuti etiarn 43. semel continet Aol&insuper s. octava pars ipsius qo.
SVperpartiens proportio definitur, quod sit
habitudo maioris quantitatis ad minorem, i quando maior minorem semel dumtaxat conti-l net, &insuper aliquot eius partes aliquotas non efficientes unam aliquotam. Huiusmodi prinportionem habet numerus 8. ad s. Siquidem numerus 8. semel continet s. & hasuper tres unit res, quarum quaelibet est pars aliquota, nempe quinta huius numeri s. Iph autem ternarius ex illis tribus utatatibus compositus, non est pars
aliquota ipsius numeri s. Et hic est aduertendum, quod in data definiatione dictum suit, partes illas aliquotas simul
sumptas non debere eonstituere manxpartem aliquotam, quia sic clistinguimus proportiones superparticulares a superpartientibus . Dantur enim quaedam proportiones, quae' primo abi etu videntur superpartientes, cum tamen reuera sint superparticulares: ut patet inter numeros Io.&8. Quamuis enimrio. semes contineat 8,& insuper duas vilitates, quarum quaelibet est octava pars numeri 8 , quia tamen illae unitates, simul sumpta constituimi binarium, quod esti quarta pars numeri 8, ideo ista pro γrtio non
218쪽
insuperpartiens, sed superpateticulans, nempei.
Pariter huiust nodi proportio seperpartiens halata ratione partium aliquotarum diuiditur in genera infinita: si enim mamr quantitas mino- rem semel comprehendat, Ne duas eius partes es, . quotas modo supra adlatrato, tunc consurgit proportio superbipartiens , si autem maior qua titates minorem semel comprehendat, & insuperi tres partes aliquotas, tunc coissicitur proportio Isupertripartiens, i Vlterius quodcunque ex assignatis generibus, habita ratione denominationis partium aliqti tartitia, adhuc diuiditur in genera infinita. Hinc proportio Superbipartiens inter duas quantitas inaequales, quarum maior se, coiit, 'nea minorem, & duas eius partes tertias, dicitur . in expartiens tertias ; & si illae duae partes Berint . quintae pellabitur superbipartiens quintas, βα. - Si autem quaeratur quomodo cognosci possit .an unus numerus habeat communem mensuram cintitato necde Respondeo hac totum maniis stari ab Euclide in lib. 7. in quo loco assignat regulatra iuueniendi communem mensuram n merorum, illosque numeros, qui communem mensuram non haesut pnaeter Vin te Vt r
219쪽
DE initur promitio multiplex supers, secularis, quiis sic habitudo maioris quaei.
titatis ad minorem, quando maior minorem a quoties, ut bis ter , vel quater, M. continet, M. praeterea unam eius partem aliquotam. Huiusimodi proportio est, quam habet numerus s. ad 4. Continet enim si bis .i qud ad istam oritem haec proportio conuenit cum multiplicι . .
nempe cum Dupla, & vlt ius eo tinen unitatem, suae est quarta tiara' numeri qaantum ad hoc illa proportlac uenit cum inparticulari,' nempe sesquiquaria: qua de re haec proportio optime multiplex superparticula ris, idest ex multiplici, & superparticulari resis tam , appellatur. Diuiditur postea proportio illa habri rationa proportionis multi icis in genera milita, eo. prorsus molo', quo dictum in de multi in nempe in duplam superparticularim, triplam perparticulaseni, M. de insupen unam partei . minoris aliquotam. Qi Denuo quodchmque ex assignatis generi . ii, infinita genera subdiuiditur, haoita semper ramin ne proportionis superparticularis : Nam pro Portis tripla superparticularis continet sub se
220쪽
Mplamssesquialteram, quando E:lli et maior quantitas minor ter contineat, & ulterius dimidiatam eius. partem ; triplam sesquitertiam, triplam sesquiquartam, M.
DEmum Proportio multiplex seperpariem definitur, quod sit habitudo maioris
quantitatis ad minorem, quando maior aliquoties minorem complectitur, & insuper aliquot. .cias partes asquotas non efficientes viram aliquo tam. Huiusmodi proportionem habet numerusdIa. ad 3. Nam Ia. ter complectitur 3, & insuper duas unitates, quae simul sum' non constit unt unam partem aliquotam, Vt patet.
Diuiditur primo hax proportio habita rati ne proportionis multiplicis in duplam superpartientem, triplam perpartientem, quadruplam sim patrientis , M. Quodlibet postea istorum generum,hvita ratione numeri partiues, sub se continet infinita genera. Vt v. g. sub tripla proportione superpartiente continetur tripla superbipartiens, tripla ortripartiens, tripla seporquadripartiens, dic, Demum quaecumque istarum proportiOinam natata ratione partium aliquotarum, in generaiahuc infinita subdiuiditur. Vt v. g. tripla su pertripartiens diuiditur in triplassi supertripar Μ γε sientem