장음표시 사용
221쪽
tientelia qualetas, in triplaria stipertriparilantem iquintas, 7. S. M. QIarum proprias definitiones ais gnare. dietis: facile quicumque de-
Rationalibus minoriSInaequalitatiS.
Orani a illa,qitae hactenus dicta sunt de quin
que proportionam rationalium generibus :circa proportion n- maioris inaequalitatis, sunt pariter intelligenda circa quinque proportionum genera correspondentia proportionibus minoris inaequalitatis, praemittendo solum praeposition S U B ; Nam si' in adductis exemplis minores. quantitates conferantur cuin maioribus habet-bunt proportiones minoris inaequalitatis. Eo autem prorsus modo, quo se habet Ioci. ad 1, ita I. ad Ioo. Hinc est, quod ex dictis prportio Ioo. ag I, est centupla I ita I. ad Ioo. est subcentupla; sicque discorreado de reliquis propor- - tiona in generib s. lHaec siintilla genera, in quae proportio Ratio inalis tam maioris, quam minoris inaequalitatis diuiditur. QIod vero alia non possint assignara probant Authores. & praecipue Clauius, in hoc loco; α haec co:npendiose dicta sitfficiant circa j quii qua Proportionum Ratio ratium gelaera,l- - ῖ plura
222쪽
an a cupiens Cautum cons tui, qui hanc. ma- iteriam, & alias etiam quas lurimas sapientim
P porrionalitas ab Euclide definita in plu-
. ra Senera parritur, praecipua haec sunt, viaelicet PIPportioliati s Arithinetica, Geometrica, re Musica. niti Armonica i quae proportimulitatis. genem a BQctis ,& aliis vincantur medietates
Arithmetica proportionalitas est quindo tres. vel phires numeri per eand disserentiam progredituitur; ut sunt asti numeri φ I, Q, II,
Geometrica vero proportlairalitas est quando tres, vel plures numeri eandem habent propo rionem, quam quident Euclides definiuit, quia haec proprio proportionalitas dicitur, siue Λα- logia . Vt iv. g. isti numeri 2, 6, 18, Fq, M. quilibet autem istorum numerorum ad Pum antecedentem triplam habet 'proportionem, ac propterea huiusmodi numeri cucuntur geometrice proportionales. Demum proportionalitas Musica, siue Hadimoitica est quando tres numeri ita ordinantur, ut eadem sit proportio maximi ad minimum,
quae differentiae inter maiores duos disserentia
223쪽
lis in quibus eadem est propoclita maximi numeri si ad minimum 3,quae dii rentiae interimavimu& medium Α, Himirum numeri et, ad diserem Maii triter minimum 3. idest y.i cum utraque pro ponio sit duplo coiast imisiit proportiositati si,u-Ηa uionicam.' Huiusmodi autem proportiolaesitas dicituri Musicli: quia plarumqtie eius numeri hab-il.
las proportiones ,- in quibus eoinsistunt misi iconsonantiae, ,t staret in adducto exemplo, nam inter G & 6 est promisio Equialtera constitunas conscirantiam, qtrae Diapente , -siue Quintit dicitur . Inter m&3, est proponio, quitertia, constimetis coiianisham, quam Diatesset bre, quartM voca se .' De mini inter e tremos 6, 3 , cernitur. proportio dupla cohstituens coiitta. 3nantiam, quam Diapason, siue octauam appel
Etiam quantum ad istas tres proportionalitates optimum censeo aduertere ea, ouae a Claum in cholio Propos. xε. lib. 6 eruditulline proponuntur direm istas propinionalitator quibus pronunc breuis . tali studendo relictis interuptam desinitiopum lib. s. expositionem denuo aggrediλmur . .
224쪽
rasonem inter se habere dictvlatur, quae multiplicatae possunt sese
inulam superare. - - EVelides in tereia definitione duarum magnitudinum eiusdem generis habitudinem rationem v cauit , illam nos cum alis quamplurimis. proportio . nem dicimus: nune vero idem Author in hac quinta edefinitione exponit quidnam requirant duae quantita-l 'tes eiusdem generis ad hoc, ut inter se proportionem a haiare dicantur. Ait igitur, illas tantummodo ma-l gitudines dici proportionem inter se habere, quarum utraque multiplicata ita augetur , ut alteram tandem superet; si vero alterutra quantumuis multiplicata numquam alteram excedat nullam proportionem inter se habere dicuntur. Hinc diameter, & latus quadrati dicuntur habere proportionem, licet irrationalem, quia latus per C. multiplicatum diametrum excedit . E contra Vero milieitur ex ista definitione non Glum inter lineam finstam , 8e infinitam, verum etiam ii inter angulum contactus, & kngulum rectilineum 4 inullam dari proportionem,quia linea finita quomodo cunque multiplieata niinquam potest superare lineam infinitam , nec angulus 'ebatactus qitantumuis multipli, eatus, tamen semper minor existit quouis angulo rem-
lineo etiam minimo,ris dein stra. u
225쪽
. - In eadcin ratione dicuntur esse met Eusa prima ad secuti lam, & tertia ad quamm, cum primae, &tertiet aequae multiplicia, a secundae.& quartie aeque multiplicibus qualistunque sit haec multiplicat utrumque ab. utroque vel una deficiunt, vel Vna aequalia sunt, vel viri e tedunt; si ea, quae inter se responden sumant h
N haς definitione Euelidesexponit quasnam e di 1 tionis apud , Mathematicos requirant magnitudines, ,
ut eandem dicantur habere proportionem . Quod totum emit confugiendo ad aearum aeqtie pviltiplici , , ut comprehendat omnes magnitudisum c proportion , oram rationales, quam irrationales . . Sint igitur quin ituor magnίtudines A, prima ; B, secti a pC, tertia;& .D. . quarta a sumanturque primae ,& tertiae aeque multiplicia secundumquamcunque navitiplicationem iE, quidem ipsilis Α, primae ; & F , ipsius C, tertiae et , qsimo sumantur secundae, & quartae: alia aeque mul lip licia secundum quamlibet multiplicationem 3 G, quidem ipsius B , secundae; & H , ipsius D, quartae. ι sinposito,si sumpta aeque mulsipliςia,prout inter sei rel-ndent, ni erantur, nempe multiplex primae E, icum militiplici secundae O; & multiplex tertiae F, .cum multiplici quartae H; deprehensumque suφtit se-: ieundum quascumque multiplicationes ea taliter intelie stare, ut si E , multiplex primae magnitudinis A, minus suerit, quam G, multiplex secundae magnitu dinis B; etiam F , multiplex tertiae magnitudinis C, minus sit, quam U , multiplex, quartae magnitudinis
D: Aret si E, aequalis fuerit ipsi G a etiam F , aequale sit
226쪽
ipsi Hr lut denique, si E, maius fuerit quam G; etiam F , maius sit quam Η: quod totum nil aliud est quam
utrumque ab utroque vel una deficere , vel una aequa. Ita esse, vel una excedere s hocque semper summaenete in vilio genere multiplicium contrarium possit reperiri Quo stante dicetur eadem est proportio primae magnitudinis A , ad secundam B; quae est proportio tertiae C, ad quartam D. Similiter si quatuor quantitates concedantur eandem habere pro μrtionem, concedendum quoque eri lquaelibet atque multiplicia primae, tertiae collata cum quibuslibet aeque multiplicibus secundae, quartae , habere defectus , aequalitatis, aut excessis eandem conditionem, cum definitum, & definitio debeant i. semper reciprocari. --
Quod totum ut melius intelliga-Jtur, placet unum qexemplum in nu-'meris addiicere,ex
quo apparebit de isectus, aequalit is l& excessus in ipsis multiplicibus, Ut supra dietiim est
autem eandem rationem habe - ' - tes, pix morti alta incentum .
I magnitudiniim AB, CD, eaderi R in portio Azad B. quae ad D, istat magmtudines prvportionales dicentur.
227쪽
Cum vero aeque multiplex primae magnitudinis excesserit multiplicem secundae ; At multiplex tertiae non excesserit multiplicem qua- ; tunc prima ad secundam maiorem rati nem habere dicetur , quam tertia' ad , qua
t. N hae definitione Elielides deelarat, quam condi. tionem habere debeant quatuor magnitudines,it
lx x prim h bς x d secundam maiprem proportionem,
quam tertia ad quartam, dicendo Si primae, & tertiae sumpta fuerint aequae multiplicias 4tem secundae,& quartae alia aeque multiplicia , deprehensiimq; su rit aliquando c licet non semper 3 multiplex primae .imaius esse multiplici secundae, at multiplex tertiae maius non esse multiplici quartae, sed vel minus, vel; aequale, dicetur maiorem esse proportionem pri ae imagnitudinis ad secundam, quam tertiae ad quartam. IX.
Proportio autem in tribus terminis paucissimis consistit.
ID, quod Euclides rationem nominat Interpretra proportionem vocant; illud vero .. quod nomii e proportionis ab ipso Euclide appellatur, id ipsum Imterpretes pariter Proportionalitatem vocant, ut etiam stria monuimus . siqniam vero omnis proportio habet ternlitam AN ntis , & eoni uentem x &cum proportionalitas lit rationum similitusto necesse est in omni proportionalitate reperiri, ut minimum,
228쪽
. . Cum vexo tr -suerint μw3 portionales, Prima ad tertiam Haplicat rationem habere . dicitur, eius qu- habα ad
secundam: At cum quatu magnitudines proportionales fuerint ; Prima ad quartam triplicatam rationem habere dicitur . eius , quam
habet ad secundam , Et semper deinceps, uno
plius, quamdiu proportio extiterit. . iΡRoelariori intelligetia huius definition se adueris' tendum , quod si tuet int magnitudines AR,C.D, E ,&c. continue proportionales, itaui eadem sit pro-
, proportio Α, primae magnitudinis Ad C, tertiam magnitudinem dicetur duplicata eius proportionis. quam habet A,prima magnitudo ad B, mgnitudjnem iacundam: quoniam inter A, &C , duae proportiones reponuntur , quae aequales sunt pri)portioni A , ad B, videlicet promitio A , ad B, & B, ad C , ut proptereas proportio A, ad C , intercipiat quodammodo propor- tronem Α, ad A, duplicatam, ideli bis 'rdine sitassi. In super dangem rationem proportio primae magnitudinis A, ad quartam: D, Alcetias triplicata eius proportionis, qu- habet A, ad .R,&c. - . Aliqui interpretes exponunt hanc definitionem d Cendo , quod ita pluribus quantitatibus proportionalibus prima ad tertiam habet duplicatam rationetri eius 4 quam habet ad secundam : quia illa istius si dupla; quod tamen falsissimum est. Quis namqtie affirmabit in istis. numeris continuς proportionalibus 1 s. s. L.
229쪽
' -oporis eri, ad i. duplam esse proportioris an ad s. eum illa istius sit quintupla - .
bH ologae, sevisimhes ratione maguitudines.
dicuntur antecedentes quidem anteceden' ἐ- - - tibus . cons uentes vero com
EVelides supra definiuit, proportionalitatem esse
proportionum smilitudinem , nunc vero exponit , etiam terminos, seli quantitates dici similes, vel homologas. Doeet enim antecedentes magnitudines appellari hcmologas, seu finules proportione inter se, nee non etiam conseqtientes. Si enim est proportiosiad B Iava' C,ad D s dicetur quantitas Α, limilis qua sititati C a & B, similisquantitati D. Cum enim habeam similitudinem proportionum, necesis est etiam, utramque magnitudinem antecedentem utrique consequenti eodem modo aequalem. maiorem , vel minorem cini stere, ut inridenn. monuimus.
XII. Alterna raco, est sumptio antecedentis ad anto cedentem, &consequentis ad consequentem.
IN hoc loco Praeceptor explicat sex modos argumen tandi in proportionibus. Primus dicitur proportio alterna , seu permutata: Secundus, inuersa, seu e GIDI trario: Tertius, compositio rationis , seu coniuncta prop6rtipnalitas: Qartiis, divisio rationis, vel disiun icta prqportio alitas: Quintus, conuersio rationis, siues eversi proportionalitas : Sextus demum , est Propor
230쪽
tio ex aequalitate , seu aeqlia proportio. aQuantum igitur ad primum dicit Euclides , Altem: na , seu permutata proportio est, cum positis quatuor magnitudinibus proportionalibus Α, C, D, infertur earinem esse proportionem antecedentis Α, ad antecedentem C, quam habet consequens B, ad consequentem D. Vnde Authores se sormant huiusmodi argu . mentationem a Si est ut A, ad H, ita C , ad D; igitur permutando , seu vicissim erit ut A. ad C, ita B, ad D. Quod vero haec argumentatio sit bona ad Propos. huius libri demonstratur, dummodo tamen quatuor magnitudines sint eiusdem generis.
lauersa ratio , est sumptio consequentis, ceu' antecedentis, ad antecedentem, vini; ad
SI stierint quatuor magnitudines proportionales A, B, C, D, hoc modo, ut Λ, ad B, ita C , ad D , &inferamus ita esse consequens B , ad antecedentem Α, ut consequens D , ad aliud antecedens C; dicemur argumentari ab inuersa Proportione. Authores sie formant istam argumentMionem. Vt est A, ad B, ita C, ad .D et igitur conuertendo, vel e contrario erit quoque B , ad Α, ut D, ad C. Quam argumentatiotiem bonam esse ad Cqroth propos. 4. huius libri ostende dum erit.