장음표시 사용
231쪽
cum consequin ceu unius, ad ipsam . consequentem. sit proportio AB . ad BC, quae , ad F s eo tru
tiirque eam lariter esse proportionem totius ΑΒ. & BC . simu . ad con uentem BC, clitam habri' totum DF, ex DE,&EF, compositum, ad consectu . tem EF : dicetur haltilinodi argumentatio compositio ra. tionis , ex eo quod ex intemdente N eons uente inom. ponatur aliud antecedens. Hisque verbia fit haec argumentatio. ut AB, ad BC, ita DE, ad EF ; ergo componendo erit ut AC, ad BC, ita DF . ad EF. 'avinitas huius arguinentationis timatur in hoc lib. propos. 18. Quo aroumentandi modo addi eossunt alii duo,quo. rum primus dicitur compositio ratibnisconuersasquandosei licti sumitur antecedens, & consequens, ut una, quae cum antecedente conseratur dicendo. Si est ut AB; ad BC, ita DE: ad EF; ergo est etiam AC, ex amfecedente , de eonsequente eomposita ad antecedretem AB.ve est DFppariter ex antecedεnte inconseca aen. te conflata ,ad antecedentem DE. Quam argumenta tionem esse validam ad Propocis. huius lib. demo strabimus , in qua hoc dicendi modo uti poterimus: Ermo per eompositionem rationis conuersam &c. A iter. postea modus dici potest, compositio rationis
contraria ; quando nimirum eadem magnitudo ante-l eedens refertur ad antecedentem , & consequentem,
232쪽
Arsmiis compositionem rationas contririam i io itur eritvt ΑΒ . antecedens ad 'fiatam AC, ita DE', Utececiens
ad ipLm DF: qum pariter ad Propos.11.huius osten;
Diuisio rationis, est sumptio excessus,qub amrecedens superat conseouentem, ad consequentem.
V Emi strasa fidicitur quae proponio en mima
AB, ad CR, eadem est totius DE, ad FE: igitur exit &excessus AC , c quo antecedens consequentem superat ad CB , consequentem , ut excessus DF , ad Consequentem FE. In hac argumentata' eita loquentur : ergo diuidendo &c. Haec tilatio ostendenda erit ad Propos. tr. huius lib.
nuersio ratiotiis est sumptio antecescivis H excisum, quo antecὰem superat 1r.
SI hoc modo argiinientetur ludo ΛΒ . ad CB, ita tota DE , ad FE :
233쪽
rationHω. Qui modus argumentandi conflaniatur is Corou. Popocry. huius libri .
XVII. . Ex qualitate ratio est, si Νures duabus sint Imagninidines , & his aliae multitudine pires,
quae binae, & in eadem ratione sumantur: cum
t ut in primis navaitudinibus prima ad ultimam, sic & in secundis magnitudinibus prima ad intimam tae habuerit. Vel aliter. Sumptio extremorum per sub- ductionem mediorum.
μSInt ptiires magnitiidines duabus A,B,C,x totidem D, E, F, sintque binae, & binae in eadem ratione, hoc est Α, ad B, ut D, ad E,&B, ad C, ut E, ad F. Si igitur mitigatur, pro pterea eam esse proporti nem primae magnitudinis Α, ad tertiam C , quae D , quartae ad F, sextam; dieetur huiusmodi argu
mentandi forma ex aequo, siue ex aequalitate, in qui
an C D E F scilicet extremae magnitina dines subdiustis med colliguntur habere unam , eandemque proportionem inter se.
Quoniam vero duobus modis licet ex aequalitate arcgtiere , videlicet ordinate procedendo, vel ordinem perturbando, Euelides duabus sequentibus definitio
nibiis exponit quid sit ordinata , & quid perturbata
234쪽
ordurata proportio est, cum fuerit, Oeina admodum antecedens ad consequelitem, ita amtecedens ad consequentem et fiterit etiam , ut
consequens ad aliud quidpiam, ita consequens ad aliud quidpiam .
SI fuerit A, ad B, MD, ad Eirersiisque ut B , consequens ad aliud quidpiam, nempe ad C, ita c-- sequens E,ad aliud quidpiam nempe ad F ; dicetur Ἀ- ilis proportio ordinata; ouia idem ordo tam in primis, quam secundis magnitudinibus seruatur . Huiusmodi argumentatio demonstratur ad Pro sax. huius lib.
Perturbata autem proportio est,' Etam tribus,, positis magnitudinibus , de aliis, quae sint his inultitudine pares, 't in primis quidem magni- , tudinibus se habet antecedens ad consequentem, ita in secundis magnitudiuibus ante ens adi conseqnentem : Vt autem in primis munitudinibus consequens ad aliud quidpiam, lic in secundis magnitudinibus aliud quidpiam ad am
SI sit quemadmodum Α, ad B, ita E,ad F; deinde uti
in primis magnitudinibus B, consequens ad C, alii d qiildpiam, ita in secundis magnitudinibus aliud quidpian D, ad antecedentem E, tunc huiusmodi pro-d: portio nuncupabitur perturbata, ex eo quod non sedi
235쪽
tietur idem ordo in magnitudinam proportionibus. Hanc esse optimam arguimmatmnem in propos. 23.
nullas - libri demonstratur. Adueritati tamε est,propor tionem tam ordinaram, 'uarrturbatam' exinemorus
Ἀ- iam si plus quam tres in I L I ι 1 enitudines proponantur, is A B C E F Propos. xx. & 13. huius
si sint qnmcunque magnitudines quorramque, magiaitudinuta aequalium numero, sing ' singularum, aequem 'plices 3 quam mulin plex unius est una magnitudo, ' nuri b
Si sint quotcunq; magnitudine) Α8,Co,totidem --
gnitudinum β, p, aeque myltipi ces . Dico magnitudine A B. Ci simul tam esse multiplices magnitudinum E,F,simul, quam est multiplex AB, ipnus. i E, vel CD, ipsius s. Prob. ' . - . Cum enim AB, C D, sine V: atque multiplices ipsarum Ε, &66 6B. diuidatur in magnitudines 'A G, GH, ΗΒ, ipsi E, aequales, etiam CD. in magnitudines CI, IK, x D, ipsi F, aritiales Maidetur; eruntque magnitudines C l. ax, xD,tot numero. quot sunt magnitudines AG, GH , iis, minui iplex est βB,ipsius E,qua multiplex est CQ.
236쪽
cD, ipsi is s: Quoniam vero AG, R E, aeqitales' sunt l. ituer se si ipsis addantur aequales CI, R F, aὶ erunt lAG, CI, simul aequales ipsa E, &modo erunt GH, & IK, simul aequales ipsis E, & F, si mul 3 Nec non etiam ΗΒ, & κD, simul ipsis E, &F,
simul aequales erunt. Quoties igitair E, m AB, vel F, ln CD, continetur, toties etiam E, F, limul in AB, CD, simul comprehenduntur: laeinlue quam multDplex est AB, ipsus E, tam sunt multiplices AB, D, 1imul ipsarum Ε, & F, simul, ut constat ex defin. hiatiis libri. Quare fi sint quoscunquedines, qotcunque magnitudinum , dcc. Quod erat M. monstrandum .
Haec propositio in quacunque proportione ad pro pos. ix. huius libri demonstatur; nempe tam in Pro portione rationali, quam irrationali.
PROPOS. a. THEOR. a. Si prima secundae atque suerint multiplex, atque tertia quartari fuerit autem, & quinta secundae aeque multiplex atque sexta quartae erit occomposita prima cum quinta, sectinuae aeque multiplex, atque tertia cum sexta, quartae. It prima magnitudo AB, tam multiplex secusae S C, quam est multiplex tertia DE, sus tam multiplex sit quinta BG , iecund* 2m multiplex est sexta EH, ipsius quartae F. Dico pra-mam ΛΒ, una cum quin δ' hu' itati plicem esse secundae C, DE, una cum s exta Eri, composita , ipsius .
237쪽
Prob. Cirm enim AB, DE, sint aeqtie multiplices la sarum C,& F; erune in ΑΒ, tot magnitudines aequales ipsi
C , qtiot sine in Ct- aequales ipsi' . F. Eadem ratione erunt & in B G, tot magnitudines aequales ipsi C, quot sunt in E H, aequales ipsi F. Si igitur aequalibus militi udinibi is AB, DE, addantur aequales multitiid neSBG,EH. toties comprehendetur C, in AG, ou ties F, in D H. Ideoqtie tam multiplex erit ΑΒ, prin componia cum quinta BG, ipsilis secitndae o, quam multiplex est DE, tertia composita cum sexta ΕΗ, ipsius quartae F. Si itaque prima secundae aeque suerit multiplex, 3 c. Quoet erat ostendenditu . 's C H o L I U M. ἰ . Hoc totum pariter concluditur ab Euclide in omni genere proportionis ad propos. 2 . huius Iibri .
Sisit prima secundae aeqtremultiplex, atque te tia qtrariae; sitimantur autem aequerisultiplices prinaae, & tertiae : Erit & cx aequo, sumpta rum utraque utriusque aeque multiplex, altera quidem secandae, altera vero quartae.
It prima magnituda A, tam multipIex secundae Mqliam multiplex est tertia C, quartae D, suman
238쪽
tam niultiplicem esse E, ipsius B ,semnitae ἰ quammul. tiplex est F, ipsius D, quartae. Pr . Cum enim E,
stribitantiir E,& F, in m gnitudines ipfisi Α, & aequales . Vt v. g. in EG, GH, HI, aequales ipsi A; de FK, KL,LΜ,atqvalea ipsi C, Erunt tot partes in E , aequales ipsi Α, quot sunt in F, aequales ipsi C. moniam vero E G, FΚ, aequales sint ipsis A, Be C, ne autem Α,&C , atquhiiltiplices ipsa- . rum B, de , ex byp μ ictesi: erant M EG, FK, earundem B, I aequemultu plices. Quoniam igitur EG, prima magnitudo tam est multiplex secundar B, quam est multiplex FΚ, te tia. ipsius quartae D: Item GH, quinta tam multiplex lest eiusdem secundae B, quam multiplex KL , *xta leiusdem quartae D. a Erit composita ex pri- l alma, & quinta tam multiplex t secundar B, quam est multiplex FL, composita ex tertia , de sexta , ipsius iquartae D. Rursus clim sit m , prima tam multiplex I secundae B , quam multiplex est tertia F L , quartae a D. ut iam demonstratum est : sit alitem & HI, quinta tam multiplex secundae B, quam est L M, sexta multiplex ipsiusqtiar ae D: φ erit & EI, composita ex prima , 8e quinta tam multiplex secundae B , suam est FM, composita ex tertia, de sexta ipsius qirariae D.' Ea.demque est ratio, si plures fueunt partes in ipsis E, Seri si ereo prima secundae aeque si multiplex. atque tertia quartae, Occ. Qiod standendum erat.
239쪽
SCH. O L. IVi M. Hoc theorema non selum in maonitudinibus multiplicibus, sed etiam in omnibus proportion' '. ostendetur ad propos. 22. huius lib.
PROPOS. q. THEOR. q. Si prima ad secundam eandenti habuerit rati
primae Λ, & tertiae C, Mitemtiluplices B , & F; Item secundae B , &quartae D , aeqile multiplices G.& H, iuxtaqtiamuis multiplicationem: siue enim E , F, aeque multiplices sunt psarum A, C, sicut G, H , ipsarum B, D, sitie non . His positis constat ex def. s. huius librI, s E, deficie a G, etiam F, deficit ab H ; & s E , aequalis est ipsi G , etiam F, equalem esse ips H, &
240쪽
teritae non solum una deficere a multiplicibus secundae, ac quartae, aut una aeqtialia esse,aut una excedere,
ut diximus, sed eandem quoque proportionem habere inter se, nimirum ita esse E, multiplex primae Α, ad G, multiplicem secundae B, ut F, multiplex tertiae C, ad H, multipIicem quartae D. Hoc est si rursiis, E, statuatur prima magnitudo; G, vero secunda; F, te tia , & Η, quarte: sumanturque ipsi rum E. F, aeque-
multiplicia qualiacunque s Item ipsarum G, H, alia quaecunque etiam aeque multiplicia; Multiplicia ipsarum E, F, a multiplicibuq ipsarum G, H, vel una deficere , vel una aequalia esse , vel una excedere, prout vult defin. s. Rnrsus capiantur Κ , ipsarum F, aeque multiplices; nec non etiam L , M , aeque multiplices ipsarum G , H . Quoniam igitur tam multiplex est E, prima ipsius A, secundae quam F,tertia ipsius C, qtiariae a sumptaeque sunt I, & multiplices ipsarum E, F, primae, ac tertiae : sal Erunt ex aequo I , aeque multiplices ipsi rum Α, C, secundae , & quartae. Eadem prorsus ratione erunt L M,ipsarum B, D,aeque militiplices. Et quia ponitur proportio Λ , primae ad B, secundam, quae C, tertiae ad D, quartam; Ostens
que sunt I. Κ, aeque multiplices primae,& tertiae A,C; item L, M, aeque multiplices secundae, Se quartae B, D, cbst sit ut si I, multiplex primae deficit ab L , multiplici secundae, etiam Κ, multiplex tertiae necessario deficiat ab M, multiplici quartae :& si I, aequalis est ipsi L, etiam Κ, necessario sit aequalis ipsi M; & de inum si I, excedit ipsum L, etiam X, necessario ipsam, M, excedere debeat : Idemque ostendetur in quibus cunque aeque multiplicibus magnitudinum E, & F; nec non magnitudinum G, & Ηι quia semper' haec aequemultiplicia, quaecunque sint, cI aequemulti8licia quoque erunt magnitudinum Α,C,& BD. Itaque cum I, & Κ, sint aequemultiplices primae E, & eertiae F; Item L,& M,aequemultipliees secundae G. quase eae H; osteniumque sit, si I, multiplex primae minor suerit, qu m L, multiplex secundae . multiplicem tertiae