장음표시 사용
241쪽
tiae X, m morem qitoque esse, qRam Μ , militipIIcem quartae; si aequalis, aequalis; si minor, minor; atque hoc totum contingere in quacunque militiplicatione: cd erit ut E, prima ad G, secundam , ita F, tertia ad H, quartam . Si igitur prima ad secundam eandem habuerit rationem &c. Quod erat demonstrandum
Ex modo dictis facile demonstrabitur Inuersi ratis,
quam Euclides def. 3 3. explicaiiit shoc est, si qtiatuor magnitudines fuerint proportionales I easdem e con-'tra, seu in Ieris ratione proportionales esse. Sit enim Α, ad B. vi C, ad D. Dico esse coluertendo, ut B, ad A, ita D, ad C. Sumetis enim E, & F, aequemultiplicibus ipsarum A, primae, re C, tertiae; Item G,Η, Σqtiemultiplicibiis B, secundae,& D,quartae: quoniam ex eo, quod Α, prima ad B, secundam se habet ut C. 'l tertia ad D, quartam, ca) necessario sequitiir si E, t multiplex primae minor fuerit quam G, multiplax λ'lciindae, vel aequalis, vel maior etiam F, multiplicem itertiae minorem esse,vel aequalem,Vel maiorem,quam H, multiplicem quartae; quo stante perspicuum est 1iὰ contrarin G, maior fuerit quam Ε, vel aequalis, vel minor, etiam H,maiore fore,vel aequalem,vel minor ε, 'va F,secunda quacunq; multiplicatione simpia fuerint haec aeque multiplicia. Si enim utraque E, P, minor est,quain utraque G, H, erit e contra utraque G,Η, maior quam utraque E, F, &c. Itaque quo niam primae Β, & tertiae D, sempta sunt ae pie multiplicia G, H; item secundae A, M quartae C, aequemultiplicia E, F; ostensumque est G,Η , ves una excedere E,F, vel una aequalia esse, vel una deficere , secundiim quamcunqtie multiplicationem ea multiplicia sumantur a b.γ erit ut B, prima ad A, secundam, ut D, tertia
ad C, quartam. Qod erat demonstrandum.
242쪽
Si magnitudo magnitudinis aeque fuerit mul- tiplex, atque ablata ablata ; Etiam reliquar Iiquae ita multiplex erit, ut tota totius.
Ira multiplex sit tota AR , totius CD , ut est multiplex ablata ΑΕ, ablatae CF. Dico reliquam EB taene multiplicem reliqua: F D , ut est tota ΑΒ , totius CD. Probatur. Ponatur
videlicet ipsius GC, ut est lΑΕ, militiplex ipsius CF, vel tota AB, totius CD. Quoniam igitur AE, EB, aeque multiplices sunt ipsarum CF , GC ; a) erit tota AB , totius GF, ita multiplex , ut AE , ipsius CF, hoc est omnes omnium , ut una viaius et Sed tam multiplex etiam ponitur AB, ipsius CD , quam est multiplex AE , ipsius CF. Istitur AB, tam est multiplex ipsius CF, quam multiplex est ipsus CD ; atque id circo b aequales sunt G F , CD ι ablata igitur communi CF, 'aequales remanebunt GC, FD. Tam multiplex igitur erit E B, , ipsius FD, quam multiplex est ipsius GC; Sed ita multiplex posita fuit EB , ipsius GC , ut AE, ipsius CF, hoc est ut tota AB, totius CD. Quare tam . multiplex est reliqui EB , reliqua: FD . quam est tota. AB, totius CD. Si magnitudo ergo magnitudinis aeque fuerit multiplex &c. inod erat demonstrandum .
243쪽
me propositio uniuerse demonstrabitur Propos. 3 ρ. in qua magnitudines cuiuscunque proportionis exhi-abentur ν
PROPOS. 6. THEOR. 6. Si duae magnitudines duarum magnitudinum
sint aeque multiplices, de quaedam detractae sint earunciem aeque multiplices: & reliquae eisdem aut aequales sunt, aut aeque ipserum multiplices.
SInt magnitudines ΑΒ, CD, aeque multiplices ipsa. rum E, F ι & detractae AG, CH , eariindem ε, I, aeque multiplices. Dico reliquas GB , ΗD , alit esse aequales eisdem E , F, aut
Certe earundem aeque mη, tiplices. Prob. Cum enim
A B , sit multiple, ipsius E,N ablata quoque AG , eiusdem E , multiplex ; erit reliqua G B , vel aequalis ipsi E, vel eius multiplex : alia inaequalis, vel non multi- plex magnitudo addita mused tipliei erimponeret multiplicem , t Sit igitur primum G B, aeqitalis ipsi E. Dico etiam: i H D, ipsi F, esse aequalem. Ponatur enim CI , aequi l lis ipsi F. Quia enim prima A G , tam est multipleli secundae E , quam tertia CH, multiplex est qIrtae I, re quinta GH, aequalis est fecitndae E, scut & CI,
244쪽
ta aequalis est qliartae F ; ca) Erit ΑΗ,prima inlm qum-i a 2 ea ita multipleκ secundae E, ut HI , tertia cum hexta: multiplex est quartae F : Atqui CD, ipsius F, eriit quo-ὶ que tam multiplex, quam AS, a Fltiplevsut DL . ' Eque multiplices igitur sunt HI , CD , ipsitis F. cba Ideoqtie aequales inter se . . Quars dempta Ginmunit: CH , remanebunt C I, H D , aequales. Cum igituCCI, posita sit aequalis ipsi F ,eriinoque ΗD , eidem S . aequalis . Quod est propiastum . iSit deinde GS , multi ex ipsi ut E . Dico i quo que esse HD, multiplicemusius h. scissita Mnqi1e CI, ita multiplici ipsiis F , ut est multiplex GH, ipsius Et: c) erit ut prius AB, ita multiplex isssius E,ut est multiplex HI, ipsius F; quare iteriim d aequales erunt H I, CD satque adeo dempta communi CH , reliquae et latriCI, H D , aequales erunt: Sed C I. est ita multiplex ipsius F , ut est GR, ipsius E , ex hypothesi. Igitur &HD , tam multiplex erit ipsius F, quam G R, ipsius E, quod in propositim . Si igitur duae maenitudines duarum magnitudinum sint aequae multiplices &c. Quod
C H o I I U M. Hoc pariter ostendetur Propos. 24. in omni generei proportionis. ' f
PRO PO S. . THEOR. 7. iAequales ad eandem, eandem habetat rationis j
& eadem ad aequat . SIst duae magnitudines A, B, inter s. aequales, Setertia quaeuis C. Dico Λ, & B, habere eandem
245쪽
proportionem ad C. Itemque vicissim C, ad ipias Α, - & B, eandem qu D IS que proportionem
B mantur enimaequemultiplices ipsarum aequalium A, B; a eruntaue RE, aequales inter se. Capiatur' demio F, vicusque multipleat ipsius C. Quoniam . igitur D,E, aequales sunt ut utraque, vel minor fit quam F vel aequalis, vel maior, iuxta quamcunque multiplicationem ea muhiplicia stimantur . Quare cum D,E, aequemultiplices primae Α, & tertiae B, minores tat ipsa F, multiplici secundae, & quartae C, I est enim C, instar duarum magnitudinumῖ vel aequa-h-l les, vel maiores, erit ea proportio primat, Α,ad C, secundam, quae temae Β, ad eandem C, quartam. Eodem modo ostendemus F,vel minorem esse utramque D,E, vel utrique aequalem , vel maiorem . Igitur cum F, multiplex primae, ac tertiae C, una deficiat a D, et E, aequemultifidibus se dat Α, & quartae B; . . vel una aequalis , vel maior; cc erit quoque ea pro-- l portio primae C, ad sic undam Α, quae tertiae C, ad
uius ostendi haec secunda pars per coroll. 4. propoc' ex inversa ratione. Cum enim iam fit ostensiam esse Α, ad C, ut B, adVerit conuertendo C, ad Α, ut C, ad B. AEquales ergo ad eandem , eandem habent rationem ;& raseat ad aequales. Quod erat demo strandian.
246쪽
Inaequalium magnitudinum maior adeandem, maiorem rationem habet,quam minor:Et ca-ldem ad minorem maiorem rationem habet, tquam ad maiorem.
Ιnt inaequales magnitudines AB, maior , & C,m nor,tertia autem quaelibet D. Dico proportionem ΑΒ , ad D, maiorem esse proportione C, ad eandem D. Et e convuerso maiorem esse proportionem D, ad minorem C , quam ad AB, maiorem. Prob. Intelli atur enim in maiore magnitudine AB, magnitudo AE, aequalis minori C, sitque reliqua EB. Deinde utraque EB, AE, aequaliter niultiplicetiir hac lege, ut GF, multiplex ipsius EF, maior quidem sit quam At HG, multiplex ipsius ΛΕ, non sit minor eadem D; sed vel aequalis, vel maior . Quoniam igitur duae FG, GH, aeque multiplices sunt duarum BE EA; sa) erit & tota F Η, ita multiplex totius Az: vi HG, lapniis ΑΕ, hoc est cum aequales sint postae C, AE. Capiatur quoque ipsus D, multiplex IK, qua proxime maior sit qnam HG . Abscisa ergo Lx , quae aequalis sit ipsi D, non erit IL, maior q tarn HG, alias I x. non esset multiplex ipsius D,proxime maior quam iHG; sed & IL, maior quoque esset quam HG. lsi IX, dupla sit ipsus D, perspicuum est IL, non esset maiorem quam HG, cam IiG, posita sit minor quam .
247쪽
a D, hoc est quam IL, & ideirco HG, erit vel aequalis N ipsi IL, vel maior mila FG, majorsitansisa quam D; Lx , vero ae lualis eidem D; erit quoque PG, maior quam Lx. Cum eFo HG. non minor sit quam IL, ut demonstratum eu, sed vel aequalis , vel majora erit tota FH, marir quam lK. Itaque cum FH, BG, sint aeque illiplices primae AB. tertiae C s quel Κ, multiplex ipsius quae ad instar est secundae , &quartae: sit autem FΗ, multiplex primae maior quam Ix, multiplex secundae: at HG, multiplex tertiae non sit nisimqu/m IS,mltiplex quartae , immo minWὶ ex hypothesi. sumpta enim est in , multiplex ipsim D, maior quam HG,ὶ ca erit maior proportio pri mae Ap, ad D, secundam, quam C, tertiae ad D,
Quoniam vero e contraris Ix, multiplex primae D, po gur enim nunc D, prima, ac tertia; C, secunda; S AB, quartaὶ maior est quam HG , multiplex secundae C; At 4Κ, multiplex tertiae D, maior non est quamm, multiplex quariae ΑΒ, immo minor, cum FH, maior sit, quam Ix, ut ostensum est: cba erit maior proportio D, primae ad C, secundam, quam D, tortiae ad AB, quarum; quod fuit propositum . Inaequalium igitur Mimjudinum maior ad eandem , M. Quod erat ostendeisum.
ad eandem, eandem habent ratione is aequales sunt inter .se: Et Ad quas .eadem eandem habet rationem, hae quoque intersi sunt aequales. ιH Abeant primum A, ε ,eandem rationem ia c.
Dico A, & B, esse inter se aequales. Sit . 4 m,lsi fieri potest, altera , nempe Α, maior, & B, mi idoss
248쪽
sa 'igitur niator proportis maioris A, ad C,qtiam 3 . minoris B eandem C; quod est corura suppositum. Non ereo inaequales sunt Α,4t B,sed aequa lea . Habeat deinde C, eandem proportionemad Α,&B. Dico rursus A, R B, esse aequales. Nam, s altera , nempe Α- esset maior, δε B, nor; Ο helet C. 3d B, minorem, maiorem proportionem, quam ad Α, maiorem 3 qu pariter esset matra hypothesin. Non igitur maior erita, quam B, sed aequais. Quae igitur ad eandem, sta dem habent rationem, dic. Quod fuit demon' lstrandum .
PRO POL Io. THEOR. 1 . Ad eandem magnitudin rationem haben t
rium', quae maiore rationem habex, illa maior est: Ad quam autem eadem maiorem irationem habet, illa minor est. ' σ
HA, at in imis A,ad C,maiorem proportionem,'
quam B, ad eandem C. Dico A, maiorem esse Huam B. Prob. Si enim Α, loret ipsi B, aequalis, aa h berent A,&B, ςὸndem pro' portionem ad C; Si autem A, minor esset quam B. ba haberet B, lnaior ad C. proportimnem maiiem quam A. minor ad eandemC, quod est ρontra supposi- . Nonesti itur A, aequa lis, vel minor quadν ι , leo maior. Habeat secundo C, ad B, maiorem proportionem, .uam ad A. Dico pariter B, minorem tala quim A. I . . O a dion
249쪽
Non enim aequalis erit B, ipsi A; ci alioqui haberet C, eandem proportionem ad A,& B, quod est comtra hypothetin. Neque vero B, maior erit quam Α, d alias haberet C, ad minorem A, mitorem proporti nem, quam ad B, maiorem ; quod magis est coni suppomum . Minor igitur est B, quam Α, quod est propositim. Ad eandem ergo magnini dinerti ratio. nem habentium, &c. Quod erat dentonstrandum.
PROPOS. II. ΤHEOR. II. eidem sunt caedem rationes, & inter se
SInt proportiones Α, ad B, & C, ad D, eaedem pro portioni E, ad F. Dico & proportiones Α, ad B, & Cod D, easdem esse inter se secundum defin .s.hoc est sumptis
aequemustri. plicibus ip-larum A, C; item aeque multiplici.bus ipsarlia n, D, per cotingere, tmultiplices ipsarum A,C, a multiplieibus ipsaru B.D, vel una deficiant, vel una aequales sint, . vel una ex-l cedant. Sumantur enim ad omnes antecedentes R, C, E , aequemultiplices quaecunque G, H,I; & ad omnes conseqlientes B, D, F , alia: qu cunque Muemtil tiplices K, L, M. Quoniam igitur ponitur esse A,prima ad B, secundam , ut E, tertia ad F, quartam p a fit ut si G, multiplex primae deficiat a x , multiplice secundae, defietat quoque I , multiplex tertiae ab Rmultiplici quartae: si aequalis, aequalis: si maior , m ior : H Sed ut eodem modo ellandetur si I, minors ' est,
250쪽
est , quam Μ, vel aequalis , vel maior, est quoque H, minor , vel aequalis, vel maior quam L, propterea quod ponitur esse E, prima ad F, secundam, ut C, tertia ad D, quartam. Quare si G , multiplax primae A, deficit a X, multiplice secundae B, deficiet quoque Η, - . multiplex tertiae C , ab L. multiplice qtiariae D. Et si G, aequalis est, vel maior, quam Κ , etiam H, aequalis erit, vel maior , quam L. Idemque ostendetur accidere in quibusciinque alijs aequemultiplicibus. o l eQuapropter erit A, prima ad B, secundam , ut C. ter- l quintia ad D, quartam. Quae t ritur eidem sunt eaedem ra. tiones, & inter se sunt eaedem. Quod erat ostendendum.
PROPOS. Ira THEOR, II. Si fueritat quotcunq; imagnitudines propor tionales quemadmodum se habuerit vita ante cc lentium ad unain consequentium, ita se habebunt omnes antecedontes ad omnes cons qllentes. ID quod Euclides in Propos. r. huius libri de multiplici proportione demonstrauit, ostendit hic de omni genere proportionis etiam irrationalis. Sint ergo