장음표시 사용
251쪽
tii in aci via Ym consueuent uni, nisuirum A. ad B, esse oni rest antecessene x fimul A, E, C, ad omnes eon. sequentes simili R. F, D. Probat. Sumptis enim G,I,
H , inluerimitiplicibus antee entities s cti x , M, I, et oitemn stiplici hiis consequentiundi; a 3 erunt omnes G, i, H, simili omnium A, E, c, simu sta mulit plicesve una unim nempe ut G, ipsius A ; At omnes Κ,M, L, simul omnium A p, D, simul ter multiplices , ut v n unius, nsmirum ut x, ipsius B. Quoniam vero poni. tur esse A, prima ad B , secundam, ut E , tertia ad F, qu,rta in s & et Ε, prima ad F, secundam , ita C, tertia ad n , qtiariam; ba fit ut si G , irai stiplex primae A, deficit a Κ, multiplici secundae B, deficiat quoquei, multiplex tertiae E , ab M , multiplici quartae F , &
lis quoque sit I, ipsi M, & Η , ipsi L, vel maior. Αe
proinde si G, minor est, vel aequalis, vel maior Hiram x. & omnes G, I, Η, fimul, omnibus Κ , m , t mino res fine , ves aeqnales, vel maiores. c Quocirca estve A , prima ad B, secundam, ita Λ, E, C, tertia ad B F,inquartam. Si itaque sim mi unque m g nitru dines proportionales &c. demonstra itum.
Si prima ad secundam eandem habuerit ra
tio lena, quam tertia ad quare a 3 tertia Vero ad quam alii maiorem rationem habuerit, quam quinta ad sextam : Prima quoque ad secum tuan maiorem rationem habebit, tuam quimita ad sex n. S r Α , prima lay t. sectindala ι ut C , tertia ad
quarta ire: sit autem propartio tertiae C , ad quar-ι τη- D, maior quam quinta E, ad sextam F . D co &l t ' pro
252쪽
ptoportionem A , primae ad B, secundam esse malo.
secudum definitionε 8. hoe est gintis aequemultiplicibus ipsarum F, contingere posse,ut mul- rtiplex priniae A, excedat multiplicem secundae B, at lmultiplex tertiae E, non excedat multiplicem quartae lF. Sumptis enim G, H, I, aequemultiplicibus antecedentium ι & Κ, L, M, aequemultiplicibus consequentium, cum sit Α, minia ad B, secundam , ut C, tertia ad D, quartam; a) fit ut si G, multiplex primae excesserit x, multiplicem secundae , excedat quoque hi, mustiplexiptit ipsam L, multiplicem quartae, M. At quando H, excedit ipiam L, cb non necessarior, exeidit ipsam M, sed aequalis aliquando erit , vel minor; ex eo qiud malor ponatur proportio C, primae ad D, secundam, quam E, tertiae ad F, quartam. Igitur fis , excedit x, non necessario I, excedit M. cca Maior ergo est proiiartio A, primae ad B, secundam, quam Ε, tertist ad F, quartam. Quapropter si prima adsuetcundam eandem habuerit lationem , quam tertix adl
253쪽
Si prima ad sectindam eandes - habuerit ratior ne ii, quam tertia ad quartam: Prima vero' quam tertia maior fuerit, erit & secunia ma- . ior quain quarta: d sit prima fuerit aequa: ilis tertiae, erit & secunda aeqtialis quartae, si ve- ω minor; &minor citi AS D enim A, prima ad R, secundam , ve C, tertia 'ad
D, quartam. Dico si A, maior fuerit quam C, ' etiam B. maiorem fore quam D; si R aequalis, aequalis; si minor, minor. Sit: primum A, maior quam C, ca qu propter proportio maioris Α, aci maior erit quam proportio minoru C, ad eandem B. Quoniam' Igitur est C, prima ad D, secundam: ut Α, tertia ad B, quartam; Proportio autem tertiae A, ad quartam B,ut ciste . ' sum est, 'maior est quam quintae C.
ad se am tbJ maior quoque erit proportio C, pruinae ad V, secundam, quam C, quintae ad B, sextam o Minor est ergo D, quam B; idenae B, maior ericquam D. modest propositam. sit deinde L aequalis ipsi C, idcires d erit ααd B, ut C, ad U. 4ioniam ititur C. a. D, &C, ad B, eaedem sunt proportioni Α, ad Bd Hierunt quoque inter se eaedem proportiones C, ad D,&C, ad B. fὶ Ideoque aequales aerunt B, & D. Quod est propositum. sit tertio Α, maior quam C el eritque Propter hoc maior Oroportio C, Maioris ad B, quam Α, inin ris ad eandem B. Qitoniam igitur est C, prima ad D, secundam, ut Α, tertia ad B, quartam; est autem pro portio
254쪽
portio Α, tertiae ad B, quartam minor, quam C, quintae ad B, sexta.. h) Minor quoque erit proportio C, primae ad D,secundam, quam C luintae ad B, sextam: cia Ideoque Β, minor erit quam D, quod est propos tum Si igitur prima ad secundami eandem habuerit rationem, &c. Quod erat demonstrandum.
PROPOS. I s. THEOR. I .Partes cum pariter multiplicibus in eadem sunt ratione, si prout sibi mutuo respondent, ita sumantur. C parthim Α, & B, aequemultiplices CD, he fif. lla Dico ita esseCD, ad EF, ut A, ad B. Prob. Cum j
Diiiidatur ergo CD , in partes CG, GH, HD, aequa-Ies ipsi A; & EF, in partes EI, IK, KF, aequales ipsicaa eritque CG, ad EI, ut A , ad B, quod CS, & A, nec non etiam EI, & B, aequales inter se sint. Eadem. que ratione erit GH, ad IK , & HD, ad EF, ut A , ad B : b ideoque CG, GH, H D, ad EI, IK , KF ,eau dem habebunt proportionem. Ruocirca vi CG , ad EI, hoe est vi Α, ad H, o ita erit CD, ad EF, nempe omnes CG, GH, ΗD. limuli ad omnes EI, IK, KF, si mul: quod est propofitum. Partes itaque cum pariter multiplicibus &c. Quod erat demonstrandum .pllo
255쪽
si quatuor magmtudines proportionales se 'rint, de Vicissim proponionales '
I N hoc loco demonstrat ir alternae, silie permutata rproportio , seu ratio, quae e sicata fuit defin. 11.huiu, libri . Sit enim Α, ad v, ut C , ad D. Dieo vucissim, seu permutando esse quoqueo, C, ut B, ad D. Probatur . Suma tur estim ipsi rum, A, B, primae, &se. cundae aequemuit,plices E,&p; item ipsarum C, D , fer
i. tiae, ac 'uartae aeque . . t multiplaees Η, erItque E , ad F, ut A, ad B, cum E, & F, sint pa- riter multiplices partium Α, &B. Eadem ratione erit
G, id H, ut C, ad D. Cum igitur proportiones E, ast C , ad', sint eaedem proportioni A , ad si , ta Erunt & ipsae iister se eaedent. Rursus inia proportio
quartam. cca mare si g, prima maior est qua in G, te tia, vel aequalis, vel minor, erit quoque F, secum da maior quam quarta, vel aequalis, vel minor, in quacunque niultiplicatione accepta sint aeqtie multi
tur Α, prima ad C, secundam, ut B, tertia ad D, qua tam cuna E, & F , sint aequemultiplices primae Λ, ac
256쪽
ternae A, At G, & Η , aequemultiplices C, secundae.& D, quartae, & illae ab his una deficiant, vel una aequales fini, vel una excedant m. quod est propo- stum. Si erooquatuor ma nitudines proportionalesiuerint . inod ostendendam erat.
PROPOS. 17. THEOR. IT. Si composita magnitudium proporti ases fi- i rim, hae quoque diuitae pre ui
Ioeo demonstrae Euclides diuisionem rati rais, quam desin.1 3. explicauit. Sint mim com
gnitudines ΑΒ, CD, εο DF, FE, Pro portionales
hoc est fit ΛΒ, ad CB, ut D E , ad FE. Dico Nidiuisas easta l
les esse, hoc est , ut est AC, ad CB, ita esse DF, ad FE. in illo sensi, quem defin.ε. exposuimus. Capian turenim ipsarum AC CB, & DF, FE, Mumulti Cea eodem ordine GH, HI, KL , LM; ca/ha multiplex ipsius AB, ut est GH, ipsius hoc est ut KL , ipsius D s. Sed ut est multiplex KL, 3pitu l. i DF, b ita quoque multiplex est x Μ, ipsius DE. E gis ara multiplices sunt GI, ΚΜ, ipsarum AB , DE. Capiantur rursus in Mo, aequemultiplices ipsaru*
257쪽
CB, FE Qebniam io itur sic est multiplex AI, pristit secundae I, ut L M, tertia quartae FE: Item tam est multiplex IN, quinta secunda: CB,quam multiplex est . e No, sexta 'liartae FE; cra Erit & AN, sic multiplexi secundae CB, ut LO, multiplex et quartae FE. Itaque is cum sit AB, prima ad secundam CB, ut DE . tertia ad FE , quartam; sumi et ite sint aeque multiplices GI, XM, primae , ac tertiae. ΑΒ , DE : Ireui fecitndae , &d QOfsquartae CB, FE aeqtie multipliees ΗN , Lo, d fit ut uisti .lcra multiplex primae AB, deficit ab Id N , multipli. cis Hiadae CB, etiam KM,mu tiplex leniae DE, d ficiat ab Lo, multipliceqitariae F E : de si aequalis, aequalis: si excedat, excedat. Quod si deficiat tam GI , ab H N , quam KM , ab Iora latis communibus
HI, LM , et it & G H , aequalis ipsi IN , & x L , ipsi Mo. Et si denique G I, excesserit ipsam ΗN , &xM, ipsam Lo, abutis communitas, LM , exe det quoque GH.ipiam IN, de KL, ipsam No. Quamobrem cum GH, KL, sumptae sint aeque multipliaees primae AC a 3e tertiae DF: Item IN ,. Mo, aeque multiplices secundae CB , & quam: re: ostensumque sit in quacum multiplicationi: in x aequemultiplices
fuerint acceptaea aequemultiplices primae, de tertiae ab aestiemultiplicibus secundae, Sequartae, vel una deis fictre, vel aemiales esse,vel una excederes ea erit AC, e ε. - ad CB, secundam, ut DF, tertia ad FE , quar
tam ; quod fuit propositum. Si igitur compositae magnitudines proportionales fuerint, dec. Quod osten-l dendi im cIat.
258쪽
PROPOS. 18. THEOR. rs. Si diutis e magnitudines suerint proportionales, hae quoque con positae proportionales
N hoc loco Euelides demonstrat compositionem rationis, quam desinitione i . descripsit. Sint . . .. - enim, clivisae magnitudi A
nes AB, BC, & DE. EF, proportionales, hoe est ΑΗ, ad BC, i DE,ad EF. Dieo & eompositas pro portionales esse, hoe e but AC ad BC, ita esse DF, ad EF Prob. Si enim non est ut AC, ad BC. ita DF, ad EF, .habebit DF, ad aliqtiam magnitudinem minorem. ipsa EF s vel malo rem eandem proportionem quam AC, ad BC. Habeat primum DF, ad GF, minorem ipsa EF, si fieri Potest, eandem proportionem , quam AC, ad F C. Quoniam igitur est ut AC, ad BC , ita DF, ad GFr ca) Erit diuidendo, ut AB, ad BC, ita DS, ad GF: sed ut AB, ad BC, ita quoque posta est D E, ad EF: bo Igitur erit etiam ut DG, prima ad GH secundam, ita DE, tertia ad ER, quartam . . Cum ergo DG, prima maior sit quam RE, tertia a cca erit quoque GF, secunda maior quam EF, quarta, pars maior ta- lto, quod est ab stirdum . . JIisdem prorsus fundamentis demonstrabitur absiur- duia , nempe totum minus sua parte, si dicaturari H F, maiorem ipsa EF, eandem habere proportio- ltionem, quam AC, ad BC. Cum enim DΗ, prima minor sit quam DB, tertia; cd erit quoque UF, se Cunda minor quam EF, quarta, totum minus parte
259쪽
quod est absirdum . Non igitur habebit ad minorem ipsa EF, aut ad maiorem eandem proportionem,quam AC, habet ad BC. Quod est propositum. Ita quudiuisae magnitudines sint proportionales, &c. Quod erat demonstrandum.
PROPOS. rs. THEOR. I s. si quemadmodum totum ad totum, ita a, latum se habuerit ad ablatum : & reliquum ad reliquum se habebit, ut totum ad totum. ID , quod in Propos. demonstratum est de multiplici proportione, hoc loco de omni proportione, etiam irrationali demonitratur. Sit enim tota AB, ad totam CD. ut ablat a AE,
ad ablatam C F. Dico &reliquam EB, esse ad reliquam F D , ut est tota AB, ad totam CD. Cum enim sit AB.. ad C D , ut AE ad CF; caa erit&Dermutando AB , ad AF,
istir ut CD. ad CF. b Diuidendo agatur erit EB, ad AE, i ut FD, ad CF. e Quare permutando rursus erIt EB, , ut AE . ad CF , hoc est ut tota AB, ad totam CD , cum posita si AB. ad C ut AE , ad C F. Si igitur quemadmodum totum ad totum dic. Quod erat
Ex his facile demonstrabitur modus ille argimae tandi in proportionibus , qui desiimitur a conuersi getationis, iuxta i6. definitionem . Sit
260쪽
. Sit enim ut AB, ad EB , ita CD , ad FD . Dico per conuersonem rationis esse quoque ut AB, ad AE, ita CD , ad CF . Cum enim sit, ut AB, ad EB , ita CD, FD ; a Erit quoque diuidendo ut AE , ρd hy, ita CF, ad FD. Igitur&conuertendo, ut EB, ast AE, ita FD, ad CF : c) Ac propterea comp0nendo quoque ut AB, ad AE, ita CD, ad CF. inod fuit proposuwa. PROPOS. ao. T, HEOR. ΣΟ.
Si fuerint tres magnitudines, & aliae ipsis n mero aequales , quae binae, & in eadem ratione sumantur; - Ex aequo aut prima quam tur-tia maior fuerit,erit & quarta,quam sexta maior . Quod si prima tertiae Derit aeqpalis, erit; ει aliarta aequalis sextae; fia .illa minor .haselquoque minor erit.
a s. qui. Interes magnitudines A, B,C, totidem O,E,F. sitque Α, ad B, ut D, ad E : & B, ad C, ut E, ad F, sit autem primum A
ad E a maior igitur pro portio quoque bJ erit D, ad Ε, quam C, ad R. Hi ve bI3. M . C, ad B, ita est F, ad F . Cum enim sit R , ad C , ve 'E, ad F, erit conuertendo ut C, ad B , ita F , ad E . Ii Naior iratur proportio etiam erit D , quaa l