장음표시 사용
261쪽
i Deindest A: aequalis ips C. Dico ge D, aequalenti esse ipsi F. Cum enim Α, sit ipsi C, aequalis, ca eriti eadem proportio A, ad B, quae C, ad B: est autem vi; A, ad B, ita D, ad E. cbJ Igitur erit D . ad E , Hl C, ad B; At ut C, ad B, ita est F, ad Ε, per invertam
rationem, ut supra ; Qtiare erit quoque D , ad E, ut F, ad E. ee . Ideoque aequa Ies erunt D, & F . Quod est propositum . tDemum sit A, minor quam CDico & D, minorem esse quam F. Cum enim Α, minor sit otiam C; a erit minor proportio Α , ad B . quam C, ad B. Sed veΑ, ad B, ita D, ad E. by Minor quoque erit propor.eio D, ad E , quam C, ad B. Vt autem prius conite tendo est uti C, ad B, ita F, ad E . Igitur minor quo. que proportio erit D , ad E , qu m F, ad E. eo AeNopter D, minor erat quam p. Quod est propomtum . si sint itaque tres magnitudines, & aliae ipsis numero aequales m. Quod erat demonstrandum .
si situ tres mammdines, .& aliae ipsis numero, aequales,quae binae,& in eadem ratione sumasi tur ; Heritque perturbata rum pro Uini ex aequo autem prima, qtram tmia maiori fuerit: est & quarta , quam sexta, maior.
Quod si prima tertiae fuerit squalis; erit &quarta aequalis striae ; sin illa minor, haec quo quo minor erit.
Slat tres magnitudines Α, B. C, M totidem D, E, Rquae binae, & in eadem ratione sumamur , sitque i perturba earum proportio , hoc est, vi Α, ad B, stafi, ad ii
262쪽
E, ad F, & ut B, ad C, ita D , ad E. Sit autem primo
loco A , prima maior, quam C, tertia. Dico &D , quartam esse malo, reni sexta F. Cum enim
Α, maior sit quam C. a erit maior proportio Α, ad B, quam C, ad B : est autem ut A, ad B, ita E, ad F: b ergo maior quoque proportio est E,ad F, quam C, ad B. Quoniam vero ut B, ad C, ita est D, ad Ε, erit conuertendo, ut C, ad B, ita E, ad D. Quare maior quoque erit proportio E, ad F, quam E, ad D cc Ideoque maior erit D, quam Fue quod est propositum. Deinde sit A. ipsi C, aequalis. Dico D, quoque ipsi F, esse aequalem. Cum enim Α, sit aequalis ipsi d) erit Α, ad B, ut C, ad B: sed vi Α, ad B, ita est E, ad Fr est autem ex inversa ratione, ut C, ad B, ita ε, ad D, uti prius. θ) Igitur erit quoque, Vt E, ad F, ita F, ad D; f) Atque idcirco D, ipsi F, aequalis erit. God est propositum . Sit tertio Α, minor, quam C. Dico& D, minorem esse quam F. Cum enim Α, sit minor ; ga erit minor proportio Α, ad B, quam C, ad B: Ut autem Α, ad B, ta est E, ad F; h minor ergo est proportio E, ad F, quam C, ad B. Quoniam vero, ut supra, ex inuer- ratione est ut C,ad B, ita E, ad D: erie quoque mi- κλr proportio E, ad F, quam F, ad D; si Ac propte- ροδ D, minor erit quam F. Quod est propositum. Si gitur sint tres magnitudines, & aliae ipsis numerom tales, dec. Quia ostendendum erat.
263쪽
PROPOS. xx. THEOR. 22. Si sint quotciuique magnitudines, & aliae numero q quales, quet binae in eadem rati esumantur: Et ex aequalitate in eadem rati
ne erunt. IN Me theoremte demonstrat Euclides modum cargumentandi in proportionibus ex aequalitate, quando proportio ordinata. Sint mi primum tres militatus
litate esse Α, ad C, ut D, ad F. Sumptis animipsarum Λ, D, aeque multiplicibus G, & Η:1tε ipsarum B,E, aeqtis multiplicibus I,xanem ipsarum C. F, quemultiplicibus I,M. Cum enim sit Α, prima ad B, Gundam, ut D, tertia ad E, quar a 4. q. .ltam, o erit quoque G, multiplex primae Λ, ad L - 'Imultiplicem secundae A, utΗ, multiplex tertiae D, ad multiplicem quarte E. Eadem ratione . cum sit λbε. qui.iprima ad C, s undam, ut E,tertia ad F, quartanii in erit I, multiplex primae Β, ad L, multiplicem secundae C, ut li, multiplex tertiae E, ad M, multipliceml quartae F. ioniam igitur sunt tres magnitudinea G,lI, L, & aliae tres, Η, λ, M, quae binae in eadem rati ero.l-- l ut si G, prima superat tertiami I; superet quoque necessario hi, quarta sextam M; &
264쪽
s aequalis , aequalis ; & si deficiat, deficiat. iniare
cum G, Η, aequemultiplices primae A, & tertiae D, vel una deficiant ab L. Μ, aequemultiplicibus saeundae C,& qirariae F, vel una aequales sint, vel una excedant in quacunque multiplicatione sumpta sint ea milli. plicia ; cd erit A, prima ad C, secundam, Ut D, tertia ad F. qitariam . Quod est propositum . 'Deinde sint plures magnitudines tribus, ita ut sit etiam C, ad N, ut F, ad o. Dico etiam esse ve A, ad N, ita D, ad O. Cum enim supra sit ostensium intri bus magnitudinibus, esse Α, ad C, ut D, ad F: pon1tur nunc C, ad N, ut F, ad o, erunt tres magnitudines A,C,N,&aliae tres D, F, o, qtiae binae in eadem rationa sumuntur ι ergo ex aequalitate in tribus magnitudinibus ostensa, rursus erit vi Α, ad N, ita D, ad o. Eodemque modo idem ostendetur in quinque magnitudinibus per quatuor ι siclit idem in quatuor demonstrarum fuit per tres, &c. Quare si sint , quotcunque magnitudines, &c. Quod erat ostendendum.
PRO P. 23. THEOR. 23. - magivtudines, aliaeque ipsis numero aequales, quae binae in eadem ratione sumam tur, fuerit autem perturbata earum propor tio : Etiam ex aequalitate in eadem ratione
erunt. . 'IN hoc theoremate demonstratur ratio G aequalitate , quando proportio est perturbata. Sint enim tres magnitudines A,s,C, & aliae tres D, E, F, sitque Perilubata earum proportio, hoc est sit ri Α, ad B ita quis.
265쪽
E, ad R& vtWad C, ita ad E. Di eo pariter exaequalitate esse ut Α, ad C , ita D, ad F. Sumptis namque ipsarum A, B, D, seque multiplicibus G, H,I: Item ipsartim C, E,F, aequemultiplicibus X, 1, Μ, a erit ut Α, ad B,ita G,ad H, climG, Η, sint ipsarum Α, aequemiiltipli
igitur ut G, ad H, ita- quoque est E, ad F: sed ut E, ad F, cca ita- qiioqste est I, ad Μ; quod L, M, sint ipsarum E,F, aequemultiplices . Igitur O) erit quoque ut G, ad H, ita L, ad M. Riirsiis quoniam est B, prima ad. C, se cundam, ut D, tertia ad E, quartam s e erit quoque vi Η, multiplex primae Β, ad Κ, multiplicem secundae C, ita I, multiplex tertiae D, ad L, multiplicem qua tae E. Quia ergo sunt tres magnitudines G, H, R, Maliae tres I,I,M, quae binae in eadem ratione sumuntur estq; eara perturbata proportio a cum ostensium sit esse ut G, ad H ita L, ad M;& vi H, ad v, ita I, ad Lac fa fit ut si G, prima superat tertiam li, superet pariter quarta I, sextam M; & si aequalis, aequalis; si minor, minor. Quare cum G, & I, oequemultipi cesprimae Α, & tertiae D, a K,& M, aequemultiplicibias secundae C, & quartae F. vel una deficiant, vel una aequales sint, vel una excedant; erit g ut Α, prima ad C, secundam, ita D, tertia ad F, quartam, quod est propositum . Itaque s sint tres magnitudines , &c. Quod erat ostendcndum. pctoa
266쪽
PROPOS. et q. THEOR. 24. Si prima ad secundam eandem habuerit res... trinem , quam tertia ad quartam ; habu . rit autem & quinta ad secundam eandem rationem, quam sexta ad quartam : Etiam. Composita prima cum quinta, ad secundam eandem habebit rationem, quam tertia cum sexta, ad quartam. ID, quod Propos. i. demonstrauit Euclides de sola
Proportione multiplici, demonstrat hoc loco de omni proportione, etiam irrationali. . Sit enim A B, prima ad C , secundam, ut DE, tertia ad F , quartam: Item BG, quinta ad C, secundam , ut Eri , sexta ad F , quartam . Dico ita esse AG, compositam ex prima, ac quinta , ad secundam C, ut est D H , composita ex , tertia , & sexta , ad qua tam F. Cum enim fit ut
B. , ad C, ita ΕΗ, ad F , erit conitertendo ut C, ad BG, ita F, ad ΕΗ. Quoniam igitur est AB, ad C , Ut DE, ad F;&C, ad BG, vi F, ad EΗ; caaerite atqtiali AB, ad B G, vi DE , ad EH. b Componendo igitur erit ut tota AG , ad BG , ita tota Dri , ad Itaque cum rvrsiis sit AG , ad BG, vi DH , ad Eii; αBG, ad C, ut E Η, ad F: scin Erit ex aequali AG, λn C, ut DH , ad F. Quod est propositum . Si ergo pri'ma ad secundam eandem habuerit rationem &c. Quod erat demonstrandum.
267쪽
Si quamor magoetudines proportioneses rint: Maxima, & minima reliquis duabus
i maiores erunt. . 's It enim AB, ad CD. ut E, ad v, sitq; ΑΒ, omnium
maxima p, minima. Dico duas AB, & F,simul esse maiores duabus CD, &-. Auseratur enim ex AB, magnitudo AG, aequalis ipsi Eria ex , alia CH,aequa. li, ipsi F Erit igitur ΑG, ad CH, ut E, ad F , hoc est ut A B , ad CD. Quare th sit to. ta AB, ad totam CD , ut ablata AG , ad ablatam Cin Erit quoque a 3 ut tota ΑΒ. ad totam CD , ita reliqua GB, ad reliquam Hor Est autem 'in B , cum sit omnium maxima maior quam CDr igitur , GB, maior erit quam H D. Quoniam vero A G, 8e E , aequales sunt, si ipsis addantur aequales F, & CH, nimirum F.
268쪽
Si 'prima ad secundam habuerit maiorem pro- Portionem, quam tertia ad quartam: hab bit conuertendo secunda ad primam maiorem proportionem, quam quartam. ad tertiam.
Αbeat enim A , ad B , maiorem proportionem, quam C , ad D . Dico proportionem B , ad Α, minorem esse proportione D ,ad C.I ntelligatur enim esse E, ad B , ut C , ad D; eritque proportio A,ad B. maior proportione E , ad B ι a ac propterea Α.ma ior erit quam E. cbam ire minor eru proportio B, ad A, maiorem , quam B, ad E, minorem: Sed ut est B, ad E , ita est conuertendo D , ad C : igitiir proportio B, ad Α , minor quoque est quam D . ad C. Godest proposioum .
PROPOS. 17. THEOR. a T. Si prima ad secvngam habuerit maiorem pro
portionem, quavi tertia ad quartam : Ηγbebit quoq; vicissim prima ad tertiam maiore Proportionem, quam staunda ad quartam.
R I enim Α , ad B, habeat maiorem proportionem, quam C, ad D . Diso permutando maiorem quo P que
269쪽
que esse proportionem A. Q ad C, quam B , ad D. Intel ligatur itaque existere E, ad B, ut C, ad D , eritque proportio Α, ad B, maior etiam, quam E , ad
B : c a Ideoque Α , erit maior quam E. b) Qiiare maior erit proportio A, ad C, quam E , ad C . e Quoniam vero permutando est ut E, ad C, ita B , ad D, cum posita sit E, ad B, ut Q ad D. Igitur pro portio Α, ad C, maior quoque erit, quam B, ad D. t Quod est propositum.
PROPOS. 18. THEOR. si prima ad secundam habuerit, maiorem pr
portionem, quam tertia ad quartam : Habebit quoque composita prima cum secunda , ad secundam maiorem proportionem, quam composita tertia cum quam, ad qua
SIt maior proportio AB, ad BC, quam DE , ad ERDico & componendo maiorem esse proportionem AC, ad BC, quam DF,ad EF. Intelligariir autem esse GH, ad BC, ut DE, ad EF; eritque proportio ΑΗ, ad BC, maior quoque , quam GB, ad BC. a Ideoque AB, maior quam G B. Αddita ergo communi BC, fer AC, maior quam GCit eb/ ac propterea maior erit proportio AC, ad B C, i quam GC, ad BC. Sed componendo, cco ut est G
ad BC, ita est DF, ad EF. c quia posita fuit GA , ad
270쪽
BC . ut DE , ad EF. Ergo maior etiam erit propor- Leio AC, ad BC, quam DF , ad EF. Quod tuit propo- r
si composita prima cum secunda ad secundam maiorem habuerit proportionem, quam com posita tertia cum quarta, ad quartam : Ha- . bebit quoque diuidendo prima ad secun- dam maiorem proportionem , quam tertia ad quartam.
SIt maior proportio AC , ad BC, qtiam DF , ad Ep. Dico & diuidendo maiorem esse ΑΗ, ad BC,quam DE, ad EF . Intelligatur autem esse SC, ad BC , ut DF, ad EF,eritque propor
b 8 qu otio AC, ad BC,maior quo que proportione G C, advC: a 3 ideoq; maior erit AC, quam GC. Ablata ergo communi BC ά maior lerit Α Β , quam G B : b iΑe propterea maior erit proportio AB ad BC , 'iam lGA d BCi te Sed diuidendo,ut est GB, ad BC, it j cI7.qΜ3. est DE , ad EF. c posita namque est GC , ad BC, ut DF . ad EF. o Igitur maior quoque erit proportio AB, Mi BC qnam DE, ad EF. Quod suit proposi