장음표시 사용
101쪽
a Sit eurva quaevis A D C circa axem B N, & ex quibusvis curvae punctis A. a ductu tangentibus AB, ab , quae cura
axe eonveniant in punctis B, b, necnon ordinatis AN, an, compleantur parallelogramma A N BG , an bg circa ipsas tangentes, velut diametros consistentia; sicque remper fiat. ut per omnium parallelogrammoruin angulos exteriores, idest per puncta G, g, tanseat curva Gg: comprehendet haec cum
priori curva A a C, & latere extimi parulelogrammi A G, spatium C a A G p aequale figurae prius politae C a A N; sumpta
enim quantumlibet parva tangentis particula AD, a d , ac per D, d ductis axi,&basi parallelis MD H, Ε DF, md h. ed ferunt rectangula GD, DN, g d, d ni utpote complementa parallelogrammorum circa diametrum, invicem aequalia spotes &utrinque addere AD, ad , ut compares aequalia parallelogramma AH. N F, aut ali, ius; potes insuper directum parallelogrammum AH, ah in dextera sigura commutare iuobliquius intra easdem parallelas eidem nihilominus tangenti impositum, spatio autem C A Gg melius adjacens ad evidentiorem circumscriptionem) dc hoc fetu per in quolibet puncto eveniet, ergo cum in utroque spatio haec indesinite par v e latitudinis parallelogramma pollini ab iis delicere, ii iinscripta
sumassitur , aut eadem spatia excedere, si circumscripta comparentur, minori defectu .i aut excessu quolibet dato ; coni latipsemet spatia Can Gg, C AN integre, & particulatim, id est,
102쪽
idest tum tota, tum eorum correspondentes partes invieemeoparando,prorsus aequalia esse. Imo inde inferre potes,qubd,
cum totum parallelogrammum N G trianguli NBA sit duplum, & complexum ex utraque figura g G Aa C,&Ca AN duplum solius C a A N. reliqua inura BG g C dupla erit trilinei CAB, eurva C A . tangente AB , & axis portione, quam tangens intercipit,comprehensi ; id quod expeditae mutitarum figurarum dimentioni conducere potest.
3 Hinc si in qualibet figura CA ductis ubi libet axi parallelis, primum A G aequali subtangenti N B extimi puncti A,
tum aro, aro, resediis uItra ordinatam AN ipsis ro, rorespective aequantibus Iongitudinem subtangentis nb, n bad suum punctum a pertinentibus, quousque compleatur figura oo GAN; vel etiam squod in idem recidit si per N punctum regula quaedam N ta converti concipiatur , secans axifigurae parallelas a r. ar productas in punctis o o. itaui eaderegula NG, sive No semper parallela existat tangenti AB. aut ab . sintque BAGN , bao N parallelogramma quomodo rursus ro aequalis erit respectivae n b, auserendo scilicet ex aequalibus a o , b N , aequales ar , nN Ex utraque
103쪽
inquam hac descriptione colligitur, figuram o o G A N aequalem fore prius datae figyrae C A N. quemadmodum & partes correspondentes rAGo,na AN 1emper aequales esse; quid enim hoc aliud est, quam ipsas lineas AG, ag, num. praeced. consideratas,directe aeprimere in Λ G , ro , ut jam non ad curvam, sed ad respectiva basis A N puncta terminentur Spatium igitur Ca AG g , servata singularum suarum linearum aequalitate, protrusum in N Oo G A, erit, ut prius, aequale ipsi C A N, nisi malis & hic sumere infinite parvam tangentis portionem, ferὰ cum curva A a coincidentem, & ex proportionalitate B N , seu G A ad r a , cum N A ad A r, interre aequalitatem rectangulorum G Ar, & ANn, ae similiter in reliquis, ut supra. 4 Uel etiam sumpta infinite parva tangentis , aut curvae portione Aa, junctisque ad N radiis AN . a N, a N, ostendetur semper parallelogrammu G A a duplum trianguli N A a. utpotὶ eidem basi A a , inter easdeni parallelas A a , N G aut aa. N o ) insistentis , quare tota figura Ca A G o o Niotius C AN dupla erit, & dividendo i patium oci G A Nipsi C AN aequale erit ; eo modo quo in his bilineis curva,
104쪽
& recta comprehensis, velut aa A, aut Na A, accepto puncto N, sive in extremo basis, sive alibi, aut etiam intra figuram , dc per N transeunte recta N o, quae tangentibus a d perpetub parallela existens, secet ipsas ar, ad basim NA ordi natas, in punctis Ο, erit Noo A a N dupla trilinei, seu bilinei sprout integra sumitur, aut ejus pars ramis Na intercepta NaA , propter parallelogrammum da oli ubique duplum trianguli da N; unde mirum quot figurae dimensionem
accipiant. ue Inib eadem opera possent duae figurae eidem datae aequales constitui, s nempe regula mobilis per punctum N utrinque extendatur, ut Occurrat ambis coordinatis ex eodem puncio,
105쪽
scilipei non tantum ipsi ar axi parallelae, sed & a n parallelae basi in punctis o o ; habebitur enim eadem ratione figura C N O o, tum priori C A N, tum eidem collaterest G Ο N A integre, &particulatim si dest qud ad totum, & qud ad nartes proportionales in prorius aequalis; sicut viceversa, ubi figura CNo, vel etiam GONA alteri adjacenti CAN integrE, Sc particulatim modo praescripto aequalis fuerit, ducta ab ramo No parallela tanget curvam A a e in a; si enim ita non sit, alia igitur, quam N Ο, parallela erit tangenti ab , unde alia figura, quam C Noo, fiet particulatim , & integrQaequalis i pii A a C N, ade ue & ipsi primae C N Ο, vel G ONA; quod inferret aequalitatem totius cum parte; multarum igitur curvarum tangentes hac methodo determinabis; cave tamen partium ordinem hactenus indicatum adamussim o serves, in lubrico enim, si quidquam immutaveris, te sore praevideo. Ρlacet autem compendii causa figuras hactenus descriptas invicem Correlatas appellare 6 boniam verb tangentium alias methodos dedimus, in negotio dumtaxat dimensionis figurarum paulld diutius im
106쪽
morabimus, cujus ex hac methodo meimina bene multa ob via sunt. Proponatur primb figura N o o , cujus olim hanc fenesim excogitaveram ad circuli Quadraturam promovenda. ἰorma ex regulis CN . N A ad angulum rectum C N A compositis in plano verticali circa punctum N ita convertatur , ut brachium N C determinatae longitudinis existens, extremo suo C peripheriam quadrantis eireularis Caa Rdescribat, brachium verbindennite extensum N A infra orizontem verssis S inclinetur, seceturque in o a filo a in pondere T perpendiculariter descendente extenso, atque extremo regulae N C , sive N a alligato ; itaque angulus a N o semper rectus erit; sed&ducta circuli tangente ab rectus est. NaD; aequidistat igitur No tangenti ah ; estque No o figura quadranti Correlata; & ideo spatium eurva di o o, radio NA, &asymptoto AS interjectum aequale erit circulari quadranti C A N, ejusque partes Non semilagmentis arcu C a. ejusque sinu recto, & verso comprehensis aequales erunt, &ZOnae orro ZOnis arcu a a , ordinatisque ad axem NC interjectis aequabuntur, &interminata spatia oor AS , spatiis
107쪽
arcu Aa, radio AN, & sinu areus a C determinatis ; praeterea sectores convexi N C a, cavis sectoribus N a o aequales erunt, & portiones, curva No, ejusque subtensa No comprehensae, trilineis arcu ac, ejusque tangente, & intercepta axis portione definitis aequabuntur, & areus Ca ad eius fianum, sive ad Nr, erit perpetuli, ut sertium Noa C ad rectangulum C Nr, aut ANr , &c. Tangentem poscis ad quodlibet punctum o p divide bifariam No; expuncto divitionis ad punctum a iunge rectam, quae secabit Nr in aliquo puncto; hinc juncta ad o tanget. Unde habetur, tan-pentem a b quadrantis N C A, productam usque ad radium
N A, simul cum sinu ar , seu linea or ordinata Correlatae Noo, & ramo No, ac tangente, quam supra determinavimus ad punctum Correlataeo, ipsum radium N A , usque ad oecursum tangentis b a protensum, secare in harmonica proportione ; seu abscissam N r ad subtangentem, quae correspG- det puncto o, & ordinatae or . esse , ut o a cum ar ad ipsam a r. Εamdem lineam ab aliis postmodum descriptam inveni posita N o aequali abscisse AK sine relatione ad circulu.
108쪽
ν spatii Cycloidalis dimensio hine etiam profluit; esto enim Cyclois Aa O, cum circumscripto parallelogrammo DN, ac per punctum N perpetub feratur recta N parati
tela existens tangentibus Cycloidis a b , & occurrens ordinatis trilinei Cycloidalis . nempe ipsis an productis in D. Constat figuram Correlatam, inde provenientem, N oo fore ipsummet semicirculum genitorem Cycloidis, quippe cujus cnordis No parallelae sint dictae tangentes Cycloidis, ut dudum Geometris innotuit, ac reicellius indicavit, potestq; ex generali nostra de tangentibus ex motuum compositione determinandis doctrina π s. tradita sic paucis deduci. Gignitur Cyclois ex duplici motu, utroque aequabili, & aeque ve-Ιoci, altero per basim o D, cujus directio in puncto a est ad, altero per arcum semicirculi, cujus directio est tangens d B;
109쪽
hae igitur posita aequali lineae da, seu ipsi areni dA , iuncta Ba erit tangens, utpote diameter Rhombi laterum aequalium
ad, d B, adeoque in qua est directio motus ex duobus aequEvelocibus per latera a d. d B compositi; vertim quia tam angulus C dA simul cum Ad B . quam angulus C Ad , simul cum Adr rectum constituunt, estque C d A aequalis C Ad. etiam B d A ipsi A d r aequabitur ; duplus est igitur B d r ipsius Ad B; sed& duplus unius ex aequalibus internis dB a; itaque anguli dBa, Bd A sunt aequales , sed & alterni ; aequi distat igitur tangens a B chordae circuli genitoris Ad. Quoniam igitur praetcripta figura Noo est semicirculus genitor, atque ex ea, quam nunc illustramus, doctrina, aequalis eit integro, Scparticulatim trilineo Oa AN, hoc sublato ex parallelogranimo NADO, quod ejusdem semicirculli,ex Archimedeis do-
110쪽
ctrinis, sive utὶ & nos in Uivianeis ostendimus ad Pr. 36. Cor. I.
est quadruplum, residuum spatium semicycloidis O a A D triplum erit semicirculi genitoris. Sed & partium cavae cycloidis, duabus tangentibus, &curva comprehensarum dimensio
innotescet; puta spatium A ba semper aequale erit portioni circulari, arcu A d, ejusi e chorda comprehensi, eo quod spatium A d r spatio, viden. i. A ai, & triangulum A d r triangulo i ba sit aequale. 8 Sed & spatia trilinearia, redi adfig. a. a d Aa, arcu circulid A, curva Aa, &ordinata da comprehensa, dupla semper esse convincentur segmentorum cycloidis, curva A a, & subtensa A a comprehensorum; siquidem tota parallelogramnad Aba dupla sunt integrorum triangulorum a Ab ; sed segmenta cava cycloidis a Ab, simul cum segmentis circularibus Ad duplum eniciunt solius cavi cycloidalis segmenti a Abi igitur rςliqua trilinea ad A dupla erunt residuorum segmentorum convexorum cycloidis A a:unde Sc zonae a d d a duplae erunt sectorum cycloidalium a A a, duabus subtensis, & curva a a comprehensorum. Hinc si ordinata ad esset ad semissem altitudinis cycloidis . sive per centrum C circuli genitoris transiret, quoniam tunc trilineum A d a quadrabile laret, utpote aequaIe ungulae, seu figurae sinuum quadrantis, ad cujus arcum applicaretur , idest aequale quadrato radii Cd ; tunc inquam segmentum convexum cycloidis a A quadrabile pariter foret Lei itio etiam id demonstrante) nempe aequale semissi quadrati radii; qubd si ordinata a de sit ad quartam altitudinis partem, itaut A r sit aequalis semissi radii AC, quia sector circularis d AC dR3lus erit trianguli ad A squippe inaequalibus basibus d A, da ad altitudinem C A duplam ipsius Ar) & trilineum cycloidale d Aa, ex nuper dictis, duplum
est tegmenti convexi cycloidis A a, erit tota figura a A C d adupla segmenti a Ad, chorda Ad , curva Aa . & ordinatae Portione ad contenti; igitur dividendo, triangulum aequilaterum d A c aequale erit huic ipsi segmento ; quod proinde quadrabile erit; unde & quadrabile, quod additione triangulio Ar conficitur, semilegmentum a At , ejusque duplum in integra cycloide, aequale nimirum aequilatero triangulo, quod