장음표시 사용
121쪽
Prima Noni Theorematis demonstrario. Hine solida on vis ex infinitis Logisticae spatiis esse ostenduntur , ut quadrata radiorum basis , Oportiones , ut di ferenti eqstadratorum h radiis extremis Alia Logisti ea in driplicata ordinatarum prioris ratione patium comprehendit prioris subduplum, item subtangentem subduplam habet: generaliter quaecumque fuerit Logistica, ejus spatium , ct subtangens tam submultiplex erit
prioris , quam submestiplicata ordinatarum ratio . Idem nonum Theorema fecundu demonIbatur. In cir relatis figurissolidum ab exteriori duplum semper est solidi , quod ab interiori circa axem revoluta describitur . , partes partium respondentiam. Hinc temtia ejusdem Theorematis demonstrario Dime ΟΡ-liri ex figura quadranti correlata , ejiusve partibustum concavis , tum convexis, item solidorum ex trilineo cycloidis, i ave femicycloide circa tamentem verticis revoluta , eiusque partium. Solidorum quoque ex spatio Cisseidis concavo, aut cenumst, tum circo a Imptoton, tum circa ei parastelam ex vertice. Conoidum ex infinitis parabolis ad circumscriptos lindros , velconor, item sobrirum ab infinitis bupe . bolis ratio adinscriptos Olindros nota ia
N hoc nono eoremate stapronunciat Hugeniust &ἁ- dum, inquit, productam ab ia itos sis pos aliquam O di tam i onversione circa γπιοιον est sesquialterum cori,
122쪽
eujus altitudo aquetursubtangenti, O stas emidiameteraequalis sis ordinatat ita solidum inductumabis uiuspatio BFOI in conversione circa FO, seriuialterum es Conigeniti ex triangulo S FO eirca eamdem Eo revoluto. Huius prima demonstratiose institui potest. Intelligantur huic solido circumscripti innumeri ulindri F M. PS, &α aequalis ubique altitudinis Fin, QP, PT, &c. indefinitὰ exiguae, itam horum lindrorum eongeries pro ipso rotundo solido sumi queat,& tangentis OB portiuncula primo cylindro F M intercepta ferE cum ipsa curva BN coincidat, seu ad ipsam obtineat rationem minorem qualibet inaequalitatis maioris ratione assignabili hoc enim ex vulgatis methodis fieri potest) designetur etiam OH aequalis subtangenti O F. a Jam sic: Haec series cylindrorum, qui inter se sunt, ut basium FB, QM, PU continue proportionalium quadrata, est quaedam Geometrica progressio solidorum proportionalia in in linitum continuata; igitur ex demonstrationibus, sive Ca- vallerii, sive Torricellii, sive Gregorii a S. Vincentio, omnia terminorum aggregatum idest rotundum solidum, de ovo
loquimur erit ad primu terminil scilicet ad eylindrum M D
123쪽
ut ipse primus terminus ad primam differentiam, hoe est, ut quadratum FB ad ejusdem differentiam a quadrato Q N, velut quadratum FO ad rectangulum H Q F, quo dissert ipsum quadratum FO ab O Lex vi construetionis, & hypothesis praemissae. Clim ergo ratio solidi rotundi ad inscrtetum co-num,ex triangulo B o F genitum,componatur ex ratione talis
solidi ad primum cylindrum F M , & ex ratione ejusdem lindri F M ad conum FB o, quarum prima, ex dictis, est eadem, quae OF quadrati ad rectangulum H QF , secunda
vero eadem est, quae GF ad trientem altitudinis o F positi coni, aut rectanguli H F ad Hin in trientem o F. ideberit solidum rotundum Logisticae ad praediistum conum ut quadratum o F ad rectangulum H Q in triente O F, nempe in composita ratione ex o F ad in quae est ratio subdupla , propterea qubd H disterat ab H F differentia Q Findefinite parva, & re ad minimos cylindros redacta, penituSevanescente) & OF ad trientem sui, quae est ratio tripla; ex his autem composita ratio est sesquialtera, ut patet in his numeris 3, 6, a, itaque solidum ex Logistica circa axem Fore voluta sesquialterum est Coni ex inscripto , & per tam
124쪽
Ientem determinato triangulo FB O . Quod erat demon-
3 Hinc nullo nNotio deducitur, rotundum solidum aspatio post AB infinito, ad solidum rotundum a spatio item infinito post aliam ordinatam CV ad invicem esse, ut quadrata BA, CV, quippe & horum solidorum subsesquialtene ma gnitudines, nempe inscripti coni,ob eamdem altitudine sub tangentis,sunt ad invicem .ut quadrata radiorum basis; menon solida ex portionibus A VCB, B A Da esse ad invieem, ut differentias quadratorum AB, CV, & AB , QD, sire, ut armillas circulares ab VE , & DK circa B tevolutis deseriptas, vel haec solida ad invicem esse, ut respondentia spatia geometricae spiralis, per hujus Logisticae convolutionem, axe BC in punctum contracto, proVenientia; quae Omnia etiaargumentis cap. 3. adductis in demonstratione primi Theo rematis confirmari potuissent, intellectis nimirum loco parallelogrammorum BZ, xΣ, &c. totidem cylindris, eademque prorsus demonstratione applicata. Nobis aliam hujus veritatis demonstrationem meditantibus illud ostendendum occurrit , qudd si intra Logistieam BCA describatur ad eamdem asymptoton , ea Aemque
125쪽
ordinatam FB alia sutica BNM, cujus ordinatae sat, ne quadrata prioris Logisticae, iaciendo nimirum ubique, ut F B
EM, &e. Spatium a Logistica FB NM comprehensum subduplum erit spatii a Logistica P B C A comerehensi; sumpta enim quavis ordinata DNC. ac posita EF dupla F D, ordi. netur EM A; est igitur in priori Logistica FB ad DC, ut DC ad ΕΑ; sed etiam ex constructione ita DC ad D Nordinatam posterioris Loεisticae; aequales sunt igitur DN , &Ε A; & hoe semper; ordinantur autem E A in spatio F B C A ad altitudinem Ε F semper duplam altitudinis F D interceptae ab aequali ordinata D N in spatio FB NM ; igitur ex Proposit. r. nostrae Appendicis ad Demonstr. Vivian. Probi. erit spatium F B C A duelum ipsius FB NM. e. d. s Colliges spatium FB NM aequale ess e triangulo F B Oper tangentem prioris Logisticae Bo determinato, siquidem& hujus duplum est,ex Theoremate septimo Hugeniano, idem spatium FBCA; necnon evidens est . subtangentem Logi-stieae posterioris FB NM fore semissem ipsius o F , quippe ejus rectanguIum in F B aequale foret spatio F B N M , uti &Praedicto triangulotimo generaliter , quam submultiplicata fuerit ratio ipsarum D N, D C, rationis D N, F B, tam submultiplex fore spatium a Logistica BNM comprehen lum
126쪽
spatii eomprehensi ab ipsa B C A , & tam submultiplices
pariter fore subtanSentes hujus, subtangentium illius 6 Ut altera igitur pro siti Theorematis demonstratio complaatur, triangulo o FB ad veri ieemo inseriptum esto trilineum parabolicum o R P B F, cujus ad verticem tangens o F ς manifestum est, num ex OBF circa F o pr portionaliter analogum este trilineo o BF, quippe, ut circuli, vel quadrata radiorum B F. N D, ita lineae BF . DP; quemadmodum & spatium FB NM supra descriptum proportionaliter analogii est solido rotundo ex Logisti F BC Acirca Fo. eb qudd circuli. veI quadrata radiorum FB, DC snt ut lineae FB, D N; ita erit igitur solidum ex FBC A ad Conum ex FB o. quemadmodum spatium FBΝM . idest ex praeced. num. triangulum FB O , ad trilineum FBPO;
nempe in ratione sesquialtera. e. d.
7 Duas alias adhuc diversas ejusdem Theorematis demonstrationes afferre possem, sed ne longiot sim . & alter, longe utiliori locum aperiam , hac dumtaxat ContentuS ero ,. quam tertio Ioco subj ungam, atque ut Lectorespatienter attendant enixius rogabo. Semen foecundissimum est, unde illa pullulat, quippe illa, quodpraec. cap. m. a. sevimus , atq;. unde Lot fructusae unda eoII visus, amarem penitus, atque e geneum essem puries. Sint igitur eaedem Correlatae figurae , quas loco citato dcscripsimus, g GA a C, &NAa C; utraque autem circa Disiligod by Corale
127쪽
ca axem N B convertatur ; ajo solidum a spatio primo, & exteriori productum duplum esse solidi a secundo , & interiori spatio geniti; facta enim eadem, ut prius, constructione, cum parallelogrammum N F aequale sit ipsi M G utroque citra NB revoluto, cylindrus ex primo erit ad tubum cylindricum genuum ex secundo, ut dimidia N A quae est distantia uentri gravitatis ipsius N F ab axe motus ad mediam arithmeticam inter MN. & AN quae est distantia centri gravitatis
MG ab eodem axe) haec autem media arithmetica in parallelogrammis infinite exiguae latitudinis, atque adeo in ipsis mei solidis, in quae tandem desinunt tubi illi cylindrici, punctis M, A, coincidentibus,&omni latitudine M A penitus evanescente, est ipsissima linea N A; itaque, cum idem ratiocinium valeat in omnibus aliis cylindris ex n f, & tubis cylindricis ex mg in tali conversione spatiorum genitis, erit semper unusquisque cylindrus solidi ex interiori figura ad quemlibet tubum solidi ex figura exteriori, ut dimidia NA adi tana N A, ut dimidia n a ad totam n a, semper nimirum in ratione subdupIa; solidum igitur ex interiori figura C a A Nest semissis solidi ex figura exteriori g GA a C. Quod erat demonstrandum.
128쪽
8 Dires E autem depressis, aut eveci s lineis singulis AG, ag, ut jam non ad ipsam curvam Aa C, sed ad Dasim N Aipsarum extrema pert3ngant , quemadmodum cap. praecedentinum. 3. monuimus non variari figurae quantitatem, sed eamdem esse figuram N o o G A hinc provenientem , ac quae prids erat g G Aa C . ita pariter eonstat, idem solidi ex ipsa oo G A N eirca N B revoluta pro vetiturum, quod prius ex g G Aa C , propter servata in eamdem linearum A G, &or tum longitudinem. tum distantiam ab axe motus, a delique easdem cylindricas superficies haec solida componentes; duplum est igitur solidum ex figura oo G AN , solidi ex Ca AN facta eirea N B utriusq; rotatione ὶ descripti ;imo & paries paritum respondentium, videlicet ista dum, 'uod ex portione Nro, duplum solidi ex C a n s acce- Ptis or , & na homologis . scilicet in idem a punctum convenientibus & quod ex orAG, duplum eius. quod ab A a n N , ob eamaem rationem.
129쪽
s Tertia igitur propositi Theorematis Hugeniani demonstrati ossic expedietur. Esto Logistica Aa C. Constat ex diaetis cap. pr.uia num. I 3. et Correlatam figuram esse parallel grammum N A G O, quod si circa axem Logistiuae rotetur cylindrum producet triplum coni ab inscripto triagulo N A Beiusdem balis, dc paris altitudinis ; cum igitur ex ea, quam hic adduximus, doctrina solidum ex Logistica circa axem sit se duplum praefati cylindri ex parallelogrammo N AG, erit 1 liduni Losisticae ad conum illum inscriptum in ratione com- polita ex lubdupla, inter ipsum, dc cylindrum Intercedente, dc ex tripla inter cylindrum, ac dictum conum reperta; Ratio autem ex his composita ut ad finem num. a. indicavimus uitselquialtera; quare, &c. t o Sed & hinc pariter constat dimensio portionum ejusdem solidi, puta ejus, quae a parte naAN circa nN rotata generatur , quippe quae demonstretur semissis tubi cylindri ei ex correspondente Parallelogrammo Aro circa eumdem axem converso geniti, idest aequalis cylindro, hasi disserentia circulorum AN, Nr, altitudine vero semisse subtangeniis; indeque subtracto cylindro ab inscripto parallelogrammo nar, residuu aequale erit annulo ex spatio trilineari ar A circa axem
130쪽
revoIuto, quod proinde notam rationem habebit, sive ad at iii annulum ar A, sive ad tubum cylindricum ex parallelogrammo, quod sibi circumscriberetur; δc hoc . Wr . desiderabatur ad jpatia quaedam trilinearia Spiralis Geometricae.
tum ad invicem, tum ad circumscriptas armillarum circularia Portiones comparanda . ut ex ibi dictis constat . Calculum Ineat qui volet. Nobis colligendi sunt fructus ex doctrina n. 7. &8. indicata uberrime manantes. imb verius Lecto.
ribus indicandi, ne voIuptatem illos per se decerpendi eisdem invidisse videamur. iii In primis igitur in figura quadranti Correlata, cap. prae num. 6. descripta, patet, nedum integeum spatium S A N o ocirca N C revolutum, producere solidum aequale spherae raridio NA deseriptae: quippe duplum hemispherii ex conversione quadrimis C AN , sed & quarum spherae portionum duplae sint portiones ejusdem solidi a partibus eoncavis Nordeicriptae, ac consequenter cui solido aequales e noides a con-Vezis etiam portionibus, curva N O , & axe C N produs o interceptis, ordinataque ex o ipsi rN parallela terminatis. dc circa eumdem axem conversis, &tam facile erit, sive at